1、第1节 匀速圆周运动快慢的描述1.1.知道什么是圆周运动，什么是匀速圆周运动。知道什么是圆周运动，什么是匀速圆周运动。2.2.理解线速度概念，知道匀速圆周运动线速度的特点。理解线速度概念，知道匀速圆周运动线速度的特点。3.3.理解角速度概念，知道角速度的物理意义和单位。理解角速度概念，知道角速度的物理意义和单位。4.4.掌握匀速圆周运动的角速度、线速度、周期、转速间的关系。掌握匀速圆周运动的角速度、线速度、周期、转速间的关系。重点：重点：1.1.匀速圆周运动的线速度和角速度及其之间的关系。匀速圆周运动的线速度和角速度及其之间的关系。2.2.在具体情景中确定线速度、角速度与半径的关系。在具体情景
2、中确定线速度、角速度与半径的关系。难点：难点：1.1.匀速圆周运动的角速度、线速度、周期、转速间的关匀速圆周运动的角速度、线速度、周期、转速间的关 系。系。2.2.在具体情景中确定线速度、角速度与半径的关系。在具体情景中确定线速度、角速度与半径的关系。一、线速度一、线速度1 1匀速圆周运动匀速圆周运动在任意相等的时间里通过的在任意相等的时间里通过的_都相等的圆周运动。都相等的圆周运动。2.2.线速度线速度做圆周运动的物体通过的做圆周运动的物体通过的_与所用时间的比值。与所用时间的比值。弧长弧长弧长弧长3.3.线速度的方向线速度的方向总是沿总是沿_方向。方向。4.4.匀速圆周运动的性质匀速圆周运
3、动的性质曲线运动中线速度的方向时刻在变，所以是曲线运动中线速度的方向时刻在变，所以是_（A.A.匀速匀速B.B.变变速）运动。速）运动。圆周的切线圆周的切线B B二、角速度、周期、频率和转速二、角速度、周期、频率和转速物理量物理量角速度角速度()()周期周期(T)(T)频率频率(f)(f)转速转速(n)(n)定义定义大小大小单位单位矢、矢、标性标性意义意义做匀速圆周运动做匀速圆周运动的物体，半径转的物体，半径转过的角度过的角度与所与所用时间用时间t t的比值的比值周期性运动每周期性运动每重复一次所需重复一次所需要的时间要的时间单位时间单位时间内运动重内运动重复的次数复的次数单位时间单位时间内的
4、转动内的转动次数次数t22rTv1fTnf2rad/srad/ss sHzHzr/sr/s或或r/minr/min矢量矢量(其方向中其方向中学阶段不研究学阶段不研究)标量标量标量标量标量标量描述做匀速圆周运动的物体转动快慢的物理量描述做匀速圆周运动的物体转动快慢的物理量三、线速度与角速度的关系三、线速度与角速度的关系1.1.线速度与角速度的关系式：线速度与角速度的关系式：_。2.2.线速度与角速度关系的推导过程线速度与角速度关系的推导过程由线速度的定义式由线速度的定义式_,_,角速度的定义式角速度的定义式_,_,圆心角与圆心角与弧长的关系式弧长的关系式_,_,三式联立可得三式联立可得v=_v=
5、_。v=rv=rs=rs=rrrsvtt【判一判【判一判】（1 1）匀速圆周运动中线速度是不变的。）匀速圆周运动中线速度是不变的。()()（2 2）做匀速圆周运动的物体转过的角度越大，其角速度就越大。）做匀速圆周运动的物体转过的角度越大，其角速度就越大。()()（3 3）当半径一定时，线速度与角速度成正比。）当半径一定时，线速度与角速度成正比。()()提示：提示：（1 1）匀速圆周运动中线速度大小不变，方向时刻改变，）匀速圆周运动中线速度大小不变，方向时刻改变，故（故（1 1）错误。）错误。（2 2）角速度）角速度 ，角速度的大小由，角速度的大小由和和t t两个因素共同决定，两个因素共同决定，
6、大，大，t t不确定时，角速度不一定大，故（不确定时，角速度不一定大，故（2 2）错误。）错误。（3 3）线速度与角速度的关系是）线速度与角速度的关系是v=rv=r，当半径一定时，线速度，当半径一定时，线速度与角速度成正比，故（与角速度成正比，故（3 3）正确。）正确。t 线速度线速度、匀速圆周运动、匀速圆周运动1.1.探究线速度探究线速度直线运动的速度公式是直线运动的速度公式是 ,圆周运动线速度的定义式是圆周运动线速度的定义式是 ，这两个公式中的，这两个公式中的s s的物理意义是否相同？若不同，的物理意义是否相同？若不同，请指出其不同之处。请指出其不同之处。svtsvt提示：提示：直线运动的
7、速度公式直线运动的速度公式 和圆周运动线速度的定义式和圆周运动线速度的定义式 中的中的s s的物理意义不相同，公式的物理意义不相同，公式 中的中的s s表示表示t t时间内的时间内的位移，是矢量，圆周运动线速度的定义式位移，是矢量，圆周运动线速度的定义式 中的中的s s表示表示t t时时间内质点通过的弧长，是标量。间内质点通过的弧长，是标量。svtsvtsvtsvt2.2.探究匀速圆周运动探究匀速圆周运动（1 1）若物体做匀速圆周运动，其线速度有何特点？）若物体做匀速圆周运动，其线速度有何特点？提示：提示：做匀速圆周运动的物体，线速度大小不变，方向时刻在做匀速圆周运动的物体，线速度大小不变，方
8、向时刻在改变。改变。（2 2）匀速圆周运动是匀速运动还是变速运动？如何理解匀速圆）匀速圆周运动是匀速运动还是变速运动？如何理解匀速圆周运动中的周运动中的“匀速匀速”？提示：提示：变速运动。匀速圆周运动的线速度大小保持不变，而线变速运动。匀速圆周运动的线速度大小保持不变，而线速度的方向时刻变化。所以，匀速圆周运动是一种变速运动；速度的方向时刻变化。所以，匀速圆周运动是一种变速运动；匀速圆周运动中的匀速圆周运动中的“匀速匀速”是指是指“匀速率匀速率”。【知识点拨【知识点拨】对线速度的四点理解对线速度的四点理解（1 1）线速度是物体做圆周运动的瞬时速度，描述做圆周运动的）线速度是物体做圆周运动的瞬时
9、速度，描述做圆周运动的物体运动的快慢，线速度越大，物体运动得越快。物体运动的快慢，线速度越大，物体运动得越快。（2 2）线速度是矢量，它既有大小，又有方向。）线速度是矢量，它既有大小，又有方向。（3 3）线速度的大小：）线速度的大小：，s s代表弧长。代表弧长。（4 4）线速度的方向：在圆周各点的切线方向上。）线速度的方向：在圆周各点的切线方向上。svt【探究归纳【探究归纳】1.1.线速度线速度（1 1）线速度）线速度 ，s s表示圆弧长度。表示圆弧长度。（2 2）线速度是矢量，其方向沿圆周上该点的切线方向。）线速度是矢量，其方向沿圆周上该点的切线方向。（3 3）线速度描述物体沿圆周运动的快慢
10、。）线速度描述物体沿圆周运动的快慢。2.2.匀速圆周运动匀速圆周运动匀速圆周运动是一种变速运动，是匀速率圆周运动的简称。匀速圆周运动是一种变速运动，是匀速率圆周运动的简称。svt【典例【典例1 1】（】（20122012鹤壁高一检测）关于匀速圆周运动，下列说鹤壁高一检测）关于匀速圆周运动，下列说法正确的是法正确的是()()A.A.任意时刻物体相对圆心的位移保持不变任意时刻物体相对圆心的位移保持不变B.B.任意相等时间内物体通过的位移相等任意相等时间内物体通过的位移相等C.C.任意相等时间内物体通过的路程相等任意相等时间内物体通过的路程相等D.D.匀速圆周运动是匀速运动匀速圆周运动是匀速运动【思
11、路点拨【思路点拨】解答本题时应把握以下三点：解答本题时应把握以下三点：(1)(1)位移和路程的区别。位移和路程的区别。(2)(2)速度与速率的区别。速度与速率的区别。(3)(3)匀速运动与匀速率运动的区别。匀速运动与匀速率运动的区别。【解析【解析】选选C C。物体相对圆心的位移的大小就是半径，其方向沿。物体相对圆心的位移的大小就是半径，其方向沿着半径的方向远离圆心，且方向是时刻变化的，故着半径的方向远离圆心，且方向是时刻变化的，故A A错误。由于错误。由于做匀速圆周运动的物体的运动轨迹是圆周，所以做的是曲线运做匀速圆周运动的物体的运动轨迹是圆周，所以做的是曲线运动，在曲线运动中路程和位移是不相
12、同的，路程是标量，而位动，在曲线运动中路程和位移是不相同的，路程是标量，而位移是矢量，有方向。在任意相等时间内物体通过的弧长相等，移是矢量，有方向。在任意相等时间内物体通过的弧长相等，即在任意相等时间内物体通过的路程相等，但在任意相等时间即在任意相等时间内物体通过的路程相等，但在任意相等时间内物体通过的位移是不相等的，故内物体通过的位移是不相等的，故C C正确，正确，B B错误。匀速圆周运错误。匀速圆周运动是速率不变的运动，是匀速率运动，而不是匀速运动。故动是速率不变的运动，是匀速率运动，而不是匀速运动。故D D错错误。误。【变式训练【变式训练】关于匀速圆周运动的线速度，下列说法中正确的关于匀
13、速圆周运动的线速度，下列说法中正确的是是()()A A大小和方向都保持不变大小和方向都保持不变 B B大小不变，方向时刻改变大小不变，方向时刻改变C C大小时刻改变，方向不变大小时刻改变，方向不变 D D大小和方向都时刻改变大小和方向都时刻改变【解析【解析】选选B B。物体做匀速圆周运动时，线速度大小不变，方向。物体做匀速圆周运动时，线速度大小不变，方向时刻沿圆周的切线方向，所以方向时刻改变，故时刻沿圆周的切线方向，所以方向时刻改变，故B B正确，正确，A A、C C、D D错误。错误。角速度角速度、周期（频率）和转速、周期（频率）和转速1.1.探究角速度探究角速度线速度和角速度都可以描述圆周
14、运动的快慢，这两个物理量分线速度和角速度都可以描述圆周运动的快慢，这两个物理量分别从哪个方面描述圆周运动的快慢？别从哪个方面描述圆周运动的快慢？提示：提示：线速度描述物体（质点）沿圆弧运动的快慢，角速度描线速度描述物体（质点）沿圆弧运动的快慢，角速度描述物体（质点）与圆心连线扫过角度的快慢。述物体（质点）与圆心连线扫过角度的快慢。2.2.探究周期（频率）和转速探究周期（频率）和转速周期、频率及转速都是描述匀速圆周运周期、频率及转速都是描述匀速圆周运动运动快慢的物理量，它们各有什么含动运动快慢的物理量，它们各有什么含义义?在大小上有何关系？在大小上有何关系？提示：提示：周期是物体匀速转动一周所需
15、的时间，周期越长，转动周期是物体匀速转动一周所需的时间，周期越长，转动越慢，周期越短，转动越快。越慢，周期越短，转动越快。频率是单位时间内运动重复的次数，频率大转动快，频率小转频率是单位时间内运动重复的次数，频率大转动快，频率小转动慢。动慢。转速是日常生活和生产中常用于描述物体转动快慢的物理量。转速是日常生活和生产中常用于描述物体转动快慢的物理量。指的是单位时间内转动的次数。指的是单位时间内转动的次数。其关系是：其关系是：11Tfn。【知识点拨【知识点拨】对角速度的四点理解对角速度的四点理解（1 1）角速度描述做圆周运动的物体转动的快慢，角速度越大，）角速度描述做圆周运动的物体转动的快慢，角速
16、度越大，物体转动得越快。物体转动得越快。（2 2）角速度是矢量。它既有大小，又有方向）角速度是矢量。它既有大小，又有方向(中学阶段不研中学阶段不研究究)。（3 3）角速度的大小：）角速度的大小：，代表在时间代表在时间t t内，质点与圆心内，质点与圆心的连线转过的角度。的连线转过的角度。（4 4）在匀速圆周运动中，角速度大小不变，方向也不变，是）在匀速圆周运动中，角速度大小不变，方向也不变，是恒量。恒量。t【探究归纳【探究归纳】1.1.角速度角速度（1 1）角速度）角速度 。（2 2）角速度描述物体）角速度描述物体(质点质点)与圆心连线扫过角度的快慢。与圆心连线扫过角度的快慢。2.2.周期（频率
17、）和转速的关系周期（频率）和转速的关系 (n(n的单位为的单位为r/sr/s)t11Tfn。【典例【典例2 2】一个走时准确的钟表，时针、分针和秒针都做匀速转】一个走时准确的钟表，时针、分针和秒针都做匀速转动，下列关于它们的说法中正确的是动，下列关于它们的说法中正确的是()()A.A.分针的周期是秒针周期的分针的周期是秒针周期的6060倍倍B.B.分针的角速度是秒针角速度的分针的角速度是秒针角速度的6060倍倍C.C.时针的周期是分针周期的时针的周期是分针周期的2424倍倍D.D.时针的角速度是分针角速度的时针的角速度是分针角速度的1212倍倍【思路点拨【思路点拨】解答本题应把握以下三点：解答
18、本题应把握以下三点：(1)(1)圆周运动周期的概念。圆周运动周期的概念。(2)(2)时针、分针和秒针转动一周的时间。时针、分针和秒针转动一周的时间。(3)(3)周期和角速度的关系。周期和角速度的关系。【解析【解析】选选A A。秒针转动一周时间。秒针转动一周时间T T1 1=1 min=60 s=1 min=60 s，分针转动，分针转动一周时间一周时间T T2 2=1 h=60 min=3 600 s=1 h=60 min=3 600 s，时针转动一周时间，时针转动一周时间T T3 3=12 h=12 h=43 200 s=43 200 s，所以，所以T T2 2TT1 1=601=601，故，
19、故A A正确。正确。T T3 3TT2 2=121=121，故故C C错误。错误。2 21 1=T=T1 1TT2 2=160=160，故，故B B错误。错误。3 32 2=T=T2 2TT3 3=112=112，故，故D D错误。错误。【互动探究【互动探究】机械手表的秒针、分针、时针的转速之比为多少？机械手表的秒针、分针、时针的转速之比为多少？【解析【解析】转速以转每秒为单位时，转速等于频率。所以秒针的转速以转每秒为单位时，转速等于频率。所以秒针的转速转速 分针的转速分针的转速 时针的转速时针的转速 所以秒针、分针、时针的转速之比为所以秒针、分针、时针的转速之比为n n1 1nn2 2nn3
20、 3=720121=720121。答案：答案：720121 720121 1111n r/sT60，2211n r/sT3 600，3311n r/sT43 200，描述圆周运动快慢的各物理量间的关系描述圆周运动快慢的各物理量间的关系1.1.探究各量间的关系探究各量间的关系（1 1）匀速圆周运动中，根据线速度及角速度公式推导线速度、）匀速圆周运动中，根据线速度及角速度公式推导线速度、角速度、周期（频率）、转速之间的关系。角速度、周期（频率）、转速之间的关系。【思路分析【思路分析】线速度、角速度、周期、转速是等价的物理量，线速度、角速度、周期、转速是等价的物理量，正确理解各物理量的含义和公式，利
21、用线速度及角速度公式可正确理解各物理量的含义和公式，利用线速度及角速度公式可求出周期（频率）、转速以及线速度和角速度的关系。求出周期（频率）、转速以及线速度和角速度的关系。提示：提示：由由 可知，当物体匀速转动一周时，线速度表可知，当物体匀速转动一周时，线速度表达式及角速度表达式则变为达式及角速度表达式则变为 联立联立两式两式得得v=rv=r；当转速的单位为转每秒（；当转速的单位为转每秒（r/sr/s）时，根据）时，根据 得得 综上可得线速度、角速度、周期、转速之间的关综上可得线速度、角速度、周期、转速之间的关系为系为svtt和2r2v,TT，t2n2n1。2rvr2rf2rnT。（2 2）在
22、匀速圆周运动中，根据）在匀速圆周运动中，根据v=rv=r，试分析这几个量之间的，试分析这几个量之间的正反比关系是怎样的？正反比关系是怎样的？提示：提示：半径一定时，线速度与角速度成正比。半径一定时，线速度与角速度成正比。角速度一定时，线速度与半径成正比。角速度一定时，线速度与半径成正比。线速度一定时，角速度与半径成反比。线速度一定时，角速度与半径成反比。2.2.探究各量间关系的应用探究各量间关系的应用利用利用v=rv=r分析下面两种传动装置分析下面两种传动装置(如图如图)中中A A、B B、C C各点的线速各点的线速度和角速度的变化情况。并总结这两种传动装置的特点。度和角速度的变化情况。并总结
23、这两种传动装置的特点。提示：提示：(1)(1)皮带传动装置皮带传动装置(甲图甲图)：因为皮带转动时，在相同的时：因为皮带转动时，在相同的时间内，间内，A A、B B两点通过的弧长相等，所以这两点的线速度大小一两点通过的弧长相等，所以这两点的线速度大小一样，即样，即v vA A=v=vB B。又。又v=rv=r，当，当v v一定时，一定时，与与r r成反比，而成反比，而r rA ArrB B，所以所以A ArrC C，所以所以v vA AvvC C。同轴传动装置特点：同轴传动装置各点（转轴上的。同轴传动装置特点：同轴传动装置各点（转轴上的点除外）角速度相等。点除外）角速度相等。【知识点拨【知识点
24、拨】对圆周运动各物理量间关系的理解对圆周运动各物理量间关系的理解（1 1）在讨论）在讨论v v、r r三者间的关系时，应采用控制变量法，先三者间的关系时，应采用控制变量法，先保持其中一个量不变来讨论另外两个量之间的关系。保持其中一个量不变来讨论另外两个量之间的关系。（2 2）、T T和和f f三个物理量可互相换算，只要其中一个量确定，三个物理量可互相换算，只要其中一个量确定，其余两个量也就确定了。其余两个量也就确定了。（3 3）公式）公式v=rv=r适用于所有的圆周运动；关系式适用于所有的圆周运动；关系式 适用于所适用于所有周期性运动的情况。有周期性运动的情况。1Tf【探究归纳【探究归纳】1.
25、1.描述圆周运动快慢的各物理量间的关系描述圆周运动快慢的各物理量间的关系（1 1）（2 2）在）在v=rv=r、公式中，要看其中两个量的关系，需应公式中，要看其中两个量的关系，需应用控制变量法。用控制变量法。2.2.传动装置的特点传动装置的特点（1 1）皮带传动：皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘的线）皮带传动：皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘的线速度大小相等，且等于皮带的运行速度。速度大小相等，且等于皮带的运行速度。（2 2）同轴传动：两轮固定在一起绕同一转轴转动，两轮的角速）同轴传动：两轮固定在一起绕同一转轴转动，两轮的角速度相同。度相同。2rvr2rf2rnT。2rTv【规律方法【
26、规律方法】解决传动类问题的方法解决传动类问题的方法（1 1）牢牢抓住传动类问题中的两个重要特点：）牢牢抓住传动类问题中的两个重要特点：固定在一起同轴转动的物体上各点角速度相同；固定在一起同轴转动的物体上各点角速度相同；不打滑的摩擦传动（包括皮带传动）的两轮边缘上各点线速不打滑的摩擦传动（包括皮带传动）的两轮边缘上各点线速度大小相等。度大小相等。（2 2）明确描述圆周运动的基本物理量间的关系，即线速度、角）明确描述圆周运动的基本物理量间的关系，即线速度、角速度、周期、频率、转速、向心加速度等物理量之间的关系：速度、周期、频率、转速、向心加速度等物理量之间的关系：2rvr2rf2rnT。【典例【典
27、例3 3】如图所示，在】如图所示，在O O1 1、O O2 2、O O3 3三三个轮的边缘各取一点个轮的边缘各取一点A A、B B、C C，已知三，已知三个轮的半径之比个轮的半径之比r r1 1rr2 2rr3 3=321=321，则则A A、B B、C C三点的线速度大小之比为三点的线速度大小之比为v vA AvvB BvvC C=_=_；A A、B B、C C三点的角速度之比三点的角速度之比A AB BC C=_=_；A A、B B、C C三个轮三个轮子的转速之比子的转速之比n n1 1nn2 2nn3 3=_=_。【思路点拨【思路点拨】应用应用v v、r r、n n各量的关系式各量的关系
28、式v=rv=r=2nr,=2nr,分别讨论各量的比分别讨论各量的比值关系时，先根据传动的类型判断各量是相等还是不相等，然值关系时，先根据传动的类型判断各量是相等还是不相等，然后由公式再确定其比值关系。后由公式再确定其比值关系。【解析【解析】由于由于O O1 1、O O3 3两轮共轴，所以两轮共轴，所以A A、C C两点角速度相等，即两点角速度相等，即A A=C C；由于；由于O O1 1、O O2 2通过皮带传动，所以通过皮带传动，所以A A、B B两点线速度的大两点线速度的大小相等，即小相等，即v vA A=v=vB B。由由v=r,rv=r,r1 1rr3 3=31,=31,A A=C C
29、,则则v vA AvvC C=31=31。整理得：整理得：v vA AvvB BvvC C=331=331。由由 r r1 1rr2 2=32,v=32,vA A=v=vB B，则，则A AB B=23=23。整理得整理得A AB BC C=232=232。由由=2n=2n得得n n1 1nn2 2nn3 3=232=232。答案：答案：331 232 232331 232 232v,r【变式训练【变式训练】（20122012温州高一检测）如温州高一检测）如图所示，在风力发电机的叶片上有图所示，在风力发电机的叶片上有A A、B B、C C三点，其中三点，其中A A、C C在叶片的端点，在叶片的
30、端点，B B在叶片在叶片的中点。当叶片转动时，这三点的中点。当叶片转动时，这三点()()A.A.线速度大小都相等线速度大小都相等B.B.线速度方向都相同线速度方向都相同C.C.角速度大小都相等角速度大小都相等D.D.向心加速度大小都相等向心加速度大小都相等【解析【解析】选选C C。由题意可知。由题意可知A A、B B、C C三点的角速度三点的角速度相同，相同，C C正确；正确；由由v=rv=r知知v vA A=v=vC Cv vB B,且且A A、B B、C C三点的速度方向不同，故三点的速度方向不同，故A A、B B错错误；向心加速度表达式为误；向心加速度表达式为a=ra=r2 2，知，知a
31、 aA A=a=aC Ca aB B，D D错误。错误。【温馨提示【温馨提示】线速度、角速度、周期、频率、转速都能描述圆线速度、角速度、周期、频率、转速都能描述圆周运动的快慢，但它们描述的角度不同。明确圆周运动中上述周运动的快慢，但它们描述的角度不同。明确圆周运动中上述各量之间的关系，是分析和计算有关圆周运动的基础，同时还各量之间的关系，是分析和计算有关圆周运动的基础，同时还要注意圆周运动的周期性特点，圆周运动周期性的存在往往会要注意圆周运动的周期性特点，圆周运动周期性的存在往往会导致问题多解。导致问题多解。【典例】（【典例】（20122012天水高一检测）如图所天水高一检测）如图所示，半径为
32、示，半径为R R的水平圆板绕竖直轴做匀速的水平圆板绕竖直轴做匀速圆周运动，当半径圆周运动，当半径OBOB转到某一方向时，在转到某一方向时，在圆板中心正上方圆板中心正上方h h处以平行于处以平行于OBOB方向水平方向水平抛出一小球，小球抛出时的速度及圆板转抛出一小球，小球抛出时的速度及圆板转动的角速度为多大时，小球与圆板只碰一次，且落点为动的角速度为多大时，小球与圆板只碰一次，且落点为B?B?考查内容考查内容圆周运动的多解问题圆周运动的多解问题【思路点拨【思路点拨】解答本题应把握以下三点：解答本题应把握以下三点：(1)(1)平抛运动的规律。平抛运动的规律。(2)(2)圆周运动的周期性。圆周运动的
33、周期性。(3)(3)联系平抛运动和圆周运动的桥梁是时间。联系平抛运动和圆周运动的桥梁是时间。【解析【解析】设小球做平抛运动的时间为设小球做平抛运动的时间为t t，小球落到小球落到B B点时水平位移为点时水平位移为R R，设小球抛出时的速度为，设小球抛出时的速度为v v则则R=vtR=vt，要保证小球落到要保证小球落到B B点，需在小球做平抛运动的时间内使圆板转点，需在小球做平抛运动的时间内使圆板转动动n n圈（圈（n=1n=1，2 2，3 3），），212hhgtt2g，RgvRt2h则则所以圆板转动的角速度为所以圆板转动的角速度为 （n=1n=1，2 2，3 3）。）。答案：答案：（n=1n=1，2 2，3 3）2tn2g2gn2nnt2hhgR2h2gnh
