1、一、内容提要一、内容提要1.简谐振动的特征与规律简谐振动的特征与规律A.动力学特征：动力学特征：kxF B.运动学特征：运动学特征：)cos(tAxC.规律：规律：)cos(tAx)cos(tAa2)sin(tAv0222 xdtxd 振动波动习题课振动波动习题课2.描写振动的基本物理量及其关系描写振动的基本物理量及其关系A.振幅：振幅：AB.角频率、频率和周期：角频率、频率和周期：T,1 T 2 C.初相位：初相位：由系统决定圆频率：由系统决定圆频率：mk 由初始条件确定由初始条件确定 A和和 ：22020 vxA )(00 xvarctg 简谐振动可以用旋转矢量表示简谐振动可以用旋转矢量表
2、示3、简谐振动的能量、简谐振动的能量A.动能：动能：)(sin tmAmvEk22222121B.势能：势能：)(cos tkAkxEp2222121C.特点：机械能守恒特点：机械能守恒221kAEEEpk 4、阻尼振动和受迫振动、阻尼振动和受迫振动A.阻尼振动：存在摩擦阻力阻尼振动：存在摩擦阻力dtdxmdtdxkx vfr B.受迫振动：存在周期性外力受迫振动：存在周期性外力)cos(tff0220dtxdmtfdtdxkx )cos(5.简谐振动的合成简谐振动的合成A.同方向同频率：同方向同频率：)cos(122122212 AAAAA22112211 coscossinsinAAAAt
3、g B.同方向不同频率：拍同方向不同频率：拍拍频为：拍频为：12C.两个相互垂直同频率的振动：两个相互垂直同频率的振动：椭圆椭圆D.两个相互垂直不同频率的振动：两个相互垂直不同频率的振动：李萨如图李萨如图6.平面简谐波波动方程：平面简谐波波动方程：)(cosuxtAy7.描写波动的物理量及其关系描写波动的物理量及其关系周期：周期：T 由波源决定由波源决定波速：波速：u 由由介质决定介质决定波长：波长：uT 8.波的能量波的能量能量密度：能量密度：)(cos22uxtAdVdWw平均能量密度：平均能量密度：2221 AdVdWw 能流密度：能流密度：uAuwI2221 9.波的干涉与驻波波的干涉
4、与驻波相干条件：相干条件：同方向，同频率，位相差恒定。同方向，同频率，位相差恒定。加强条件：加强条件：,.,)(2122212 kkrr 位相差：位相差：21AAA 减弱条件：减弱条件：,.,)(2112 kk 21AAA 驻波：驻波：两列振幅相同、相向传播的相干波叠加形成驻波。两列振幅相同、相向传播的相干波叠加形成驻波。波腹与波节相间，相邻两波节（或波腹）间距为波腹与波节相间，相邻两波节（或波腹）间距为2 半波损失：半波损失：入射波在界面处反射时位相发生突变的现象。入射波在界面处反射时位相发生突变的现象。10.多普勒效应多普勒效应ssvuvu 0二、讨论题二、讨论题1.将单摆拉到与铅直方向成
5、将单摆拉到与铅直方向成 角时，放手任其自由摆角时，放手任其自由摆动。则角是否为初位相？为什么？又单摆的角速度是动。则角是否为初位相？为什么？又单摆的角速度是否为谐振动的圆频率？否为谐振动的圆频率？o 解：解：不是初位相，而是初始角位移。不是初位相，而是初始角位移。不是圆频率，不是圆频率，单摆的圆频率为单摆的圆频率为odtd gl/2.什么是波速？什么是振动速度？有何不同？各什么是波速？什么是振动速度？有何不同？各由什么计算公式计算？由什么计算公式计算？)(cosuxtAy )uxt(sinAdtdyv3.一质量为一质量为 m长为长为L的均匀木板水平地放置在以相同的均匀木板水平地放置在以相同角速
6、度相向旋转的滚子上。滚子与木板间的摩擦系角速度相向旋转的滚子上。滚子与木板间的摩擦系数为数为 .问当木板偏离平衡位置后的运动是否为谐振问当木板偏离平衡位置后的运动是否为谐振动？如果是求其周期。动？如果是求其周期。.NN 解解：木板的平衡位置为座标原：木板的平衡位置为座标原点。木板的重心偏离原点点。木板的重心偏离原点x时，时，木板在水平方向的受力为：木板在水平方向的受力为：)NN(F )xLmgmg()xLmgmg(22 kxL/mgx 2 木板在水平方向上的受力为与位移正比反向木板在水平方向上的受力为与位移正比反向的恢复力，所以是作谐振动。其振动周期为：的恢复力，所以是作谐振动。其振动周期为：
7、gLmgmLkmT 22222 kxL/mgxF 24.用旋转矢量讨论下列各题：用旋转矢量讨论下列各题：（1）右图为某谐振动）右图为某谐振动x-t曲线，曲线，则初位相为则初位相为 ，P时刻的位相为，振时刻的位相为，振动方程为。动方程为。_3/2/)(/cos(.mtx3320 x(m)t(s)-.P5.52.0(2)某振动振幅为某振动振幅为A，周期为，周期为T，设，设tT/4时，质时，质点位移为点位移为x=，且向正方向运动。则振动的，且向正方向运动。则振动的初位相为初位相为 ,质点返回原点时的最小时质点返回原点时的最小时刻刻 2/A_tP05.5xx4/T43/83/T（3）两个同方向同频率同
8、振幅的谐振动的合成，其）两个同方向同频率同振幅的谐振动的合成，其合成振幅不变，则两个振动的初位相差合成振幅不变，则两个振动的初位相差_ 12 3 5.有人认为频率不同、振动方向不同、相位差不恒定的有人认为频率不同、振动方向不同、相位差不恒定的两列波不是相干波，所以不能迭加。这种看法对不对？两列波不是相干波，所以不能迭加。这种看法对不对？1A2AA1A2AA6.沿沿X轴负向传播的平面谐波在轴负向传播的平面谐波在t2秒时的波形秒时的波形曲线如图所示，波速曲线如图所示，波速u0.5m/s，则原点，则原点O点的振点的振动表达式为动表达式为。y(m)x(m)-.P5.012mty)1(2cos5.00
9、222242 TuTt=0时，曲线右移半个周期，时，曲线右移半个周期，原点质点速度为负。原点质点速度为负。7.一平面余弦波以波速一平面余弦波以波速u0.5m/s沿沿x轴正向传播，轴正向传播，在在x=1m的的P点振动曲线如图点振动曲线如图a所示。现另有一沿所示。现另有一沿x轴负向传播的平面余弦波在轴负向传播的平面余弦波在t=1s时的波形曲线如时的波形曲线如图图b所示，试问这两列波是否是相干波？所示，试问这两列波是否是相干波？41234t(s)y(cm)a41234x(m)y(cm)bsT4 m4 suT8 8.设波源位于坐标原点设波源位于坐标原点O，波，波源的振动曲线如图，源的振动曲线如图，u5
10、m/s。沿沿X正方向传播。（正方向传播。（1）画出）画出距波源距波源25m处质点的振动曲处质点的振动曲线；（线；（2）画出）画出t=3s时的波形时的波形曲线。曲线。y(cm)t(s)-.P242y(cm)t(s)-.242y(cm)x(m)-.10202 2)5(2cos2 xtyty2cos2 xy10cos2 三、计算题三、计算题1.如图所示，已知如图所示，已知 m,R,J,k.现将现将物物体体m向下拉一微小距离后放手，试证向下拉一微小距离后放手，试证明物体作简谐振动。并求振动周期。明物体作简谐振动。并求振动周期。RJkmyfTTmg解：受力分析解：受力分析maTmg JfRTR Ra )
11、(0yykf 其中其中 mg=ky0 yyRJmkdtyda2222 /所以，物体所以，物体m的运动为谐的运动为谐振动。且振动周期为：振动。且振动周期为：2222kRmRJT 2.一平面简谐波沿一平面简谐波沿x正正方向传播，振幅方向传播，振幅A10cm，圆频，圆频率率 当当t=1.0s时，位于时，位于x=10cm处的质点处的质点a经过经过平衡位置向平衡位置向y轴负方向运动。此时轴负方向运动。此时,位于位于x=20cm处的质处的质点点b的位移为的位移为5cm,且向且向y轴正方向运动。设该波波长轴正方向运动。设该波波长 是是 ,试求该波的波动方程。试求该波的波动方程。17 s cm10 解：设该波
12、的波动方程为：解：设该波的波动方程为：)(cos uxtAy求解的关键是求出波速求解的关键是求出波速u 及原点的初位相及原点的初位相解解:由题意知由题意知t=1.0s时时07710 )cos(.uxya0 av所以所以2707/.usmu/.840 317/取取3/故得波动方程为故得波动方程为)().(cos.mxty3840710 3/4.17u0 bv得得3417/.u 时，时，b点的位相只能取点的位相只能取 （还考虑了（还考虑了 以及以及 的条件。）的条件。）3/cm10 cmxxab10 注意注意b点落后于点落后于a点，故同一时刻（点，故同一时刻（t=1.0s)a点的位相点的位相取取2
13、/同理同理3.题中图题中图a表示一水平轻绳，左端表示一水平轻绳，左端D为振动器，右端固为振动器，右端固定于定于B点。点。t0时刻振动器激起的简谐波传到时刻振动器激起的简谐波传到O点。其波点。其波形如图形如图b所示。已知所示。已知OB2.4m，u=0.8m/s.求：（求：（1）以以O为计时零点，写出为计时零点，写出O点的谐振动方程；（点的谐振动方程；（2）取）取O 点为原点，写出向右传播的波动方程；（点为原点，写出向右传播的波动方程；（3）若）若B 处处有半波损失，写出反射波的波动方程（不计能量损有半波损失，写出反射波的波动方程（不计能量损失）。失）。解：（解：（1）由）由 2 u得得 4804
14、022 u由由 t=0,y=0,v0 知：知：2 )(cos(cmty2440 DOx(cm)y(cm)o-40-204B（3）)(cos 2802440 xOBty)()(coscmxt 28044（2）)()(coscmxty280440 4.有一平面波有一平面波 （SI制），传到隔制），传到隔板的两个小孔板的两个小孔A、B上，上，A、B 两点的间距两点的间距1，若若A、B传出的子波传到传出的子波传到C点恰好相消。求点恰好相消。求C点到点到A点的距离。点的距离。)(cos3306002xty CAB解：解：).(cos)(cos11300223306002xtxty 所以，所以，m11.相
15、消条件：相消条件：21212)(krr（1）k=0,1,2.12122 rr由几何关系有：由几何关系有：11212 )(rrrr所以所以)(12211212 krrrr（2）由（由（1）、（）、（2）式可得：）式可得：)()()()(12412121212221221 kkkkrK=0时，时，mr6340111141121.5.一固定波源一固定波源A在海水中发射频率为在海水中发射频率为 的超声波，射的超声波，射在一艘运动的潜艇在一艘运动的潜艇B上反射回来。现测得反射波和入上反射回来。现测得反射波和入射波的频率差为射波的频率差为 ，已知潜艇的运动速率远小于海，已知潜艇的运动速率远小于海水中的声速水中的声速u。试证明潜艇的运动速率为。试证明潜艇的运动速率为:2 uv证明：设证明：设B以速度以速度v接近接近A，由多普勒效应公式知，潜，由多普勒效应公式知，潜艇接收到的超声波为：艇接收到的超声波为：uvu 探测器测得反射波频率为：探测器测得反射波频率为：vuvuvuu所以：所以：vuv2频率差为频率差为:因为因为 vu 2 uv请同学们自证请同学们自证B离开离开A的情况的情况
