1、第十二章第十二章 大跨度桥梁大跨度桥梁 稳定理论稳定理论 同济大学桥梁工程系同济大学桥梁工程系 大跨度桥梁研究室大跨度桥梁研究室 第十二章第十二章 大跨度桥梁的稳定理论大跨度桥梁的稳定理论 本章主要内容 1 1 概概 述述 2 2 第一类弹性及弹塑性稳定分析第一类弹性及弹塑性稳定分析 3 3 拱桥稳定分析和非保向力效应拱桥稳定分析和非保向力效应 4 4 材料非线性问题材料非线性问题 5 5 第二类稳定问题和极限承载力全过程分析第二类稳定问题和极限承载力全过程分析 6 6 小小 结结 1.1.概述概述 1.11.1 稳定理论的发展稳定理论的发展?什么是结构失稳？什么是结构失稳？结构在外力增加到某
2、一量值时，稳定性平衡状态开始丧失，稍有扰动，结构结构在外力增加到某一量值时，稳定性平衡状态开始丧失，稍有扰动，结构变形迅速增大，使结构失去正常工作能力的现象变形迅速增大，使结构失去正常工作能力的现象?稳定问题的重要性稳定问题的重要性 随着桥梁跨径的不断增大，桥塔高耸化、箱梁薄壁化以及高强材料的应用，随着桥梁跨径的不断增大，桥塔高耸化、箱梁薄壁化以及高强材料的应用，结构整体和局部的刚度下降，使得稳定问题显得比以往更为重要结构整体和局部的刚度下降，使得稳定问题显得比以往更为重要?桥梁结构的失稳形态桥梁结构的失稳形态 桥梁结构的失稳现象表现为结构的整体失稳或局部失稳桥梁结构的失稳现象表现为结构的整体
3、失稳或局部失稳 局部失稳局部失稳是指部分子结构的失稳或个别构件的失稳，局部失稳常常导致整个是指部分子结构的失稳或个别构件的失稳，局部失稳常常导致整个结构体系的失稳结构体系的失稳 1.11.1 稳定理论的发展稳定理论的发展(续续)?桥梁失稳事故的发生促进了桥梁失稳事故的发生促进了桥梁稳定理论的发展桥梁稳定理论的发展?17441744年，欧拉年，欧拉(L.Eular)(L.Eular)就提出了就提出了压杆稳定压杆稳定的著名公式的著名公式?彭加瑞彭加瑞(A.Poincare,1885)(A.Poincare,1885)明确了稳定概念，并推广到流体力学明确了稳定概念，并推广到流体力学的层流稳定问题中，
4、即的层流稳定问题中，即 稳定分支点稳定分支点的概念的概念?恩格塞恩格塞(Engesser)(Engesser)和卡门和卡门(Karman)(Karman)等根据大量中长压杆在压曲等根据大量中长压杆在压曲前已超出弹性极限的事实，分别提出了前已超出弹性极限的事实，分别提出了 切线模量理论切线模量理论和和折算模量折算模量理论理论?普兰特尔和米歇尔几乎同时发表了关于普兰特尔和米歇尔几乎同时发表了关于 梁侧倾问题梁侧倾问题的研究成果的研究成果 1.11.1 稳定理论的发展稳定理论的发展(续续)?薄壁轻型结构的使用，提出了稳定新课题薄壁轻型结构的使用，提出了稳定新课题?瓦格纳瓦格纳(H.Wagner,19
5、29)(H.Wagner,1929)及符拉索夫及符拉索夫(1940)(1940)等建立关于等建立关于薄壁杆件的薄壁杆件的弯扭失稳理论弯扭失稳理论?证明其临界荷载值大大低于欧拉理论值，且不能用分支点的概念来解释证明其临界荷载值大大低于欧拉理论值，且不能用分支点的概念来解释?引入了极值点失稳的观点以及跳跃现象的稳定理论引入了极值点失稳的观点以及跳跃现象的稳定理论?稳定理论与非线性理论的联系密不可分稳定理论与非线性理论的联系密不可分?只有通过对结构只有通过对结构 几何非线性关系几何非线性关系 以及以及材料非线性本构关系材料非线性本构关系 的研究，的研究，才能深入揭示复杂稳定问题的实质才能深入揭示复杂
6、稳定问题的实质 1.21.2 两类稳定问题两类稳定问题?研究结构稳定问题的两种形式研究结构稳定问题的两种形式 1)1)第一类稳定：第一类稳定：分支点失稳分支点失稳 从小范围内观察，以小位移理论为基础从小范围内观察，以小位移理论为基础 2)2)第二类稳定：第二类稳定：极值点失稳极值点失稳 从大范围内研究，以大位移非线性理论为基础从大范围内研究，以大位移非线性理论为基础?由于第一类稳定问题是特征值问题，求解方便，在许多由于第一类稳定问题是特征值问题，求解方便，在许多情况下两类问题的临界值又相差不大，因此情况下两类问题的临界值又相差不大，因此研究第一类稳研究第一类稳定问题仍有着重要的工程意义定问题仍
7、有着重要的工程意义 1.3 1.3 稳定问题的求解方法简介稳定问题的求解方法简介?静力平衡法静力平衡法?从平衡状态来研究压杆屈曲特征，即研究载荷达到多大时，弹从平衡状态来研究压杆屈曲特征，即研究载荷达到多大时，弹性系统可以发生不同的平衡状态性系统可以发生不同的平衡状态?实质是求解弹性系统的平衡路径实质是求解弹性系统的平衡路径(曲线曲线)的分支点所对应的载荷的分支点所对应的载荷值值(临界载荷临界载荷)?能量法能量法?求弹性系统的总势能不再是正定时的载荷值求弹性系统的总势能不再是正定时的载荷值 1.3 1.3 稳定问题的求解方法简介稳定问题的求解方法简介?振动法振动法?当压杆在给定的压力下，受到一
8、定的初始扰动之后，必将产当压杆在给定的压力下，受到一定的初始扰动之后，必将产生自由振动生自由振动?如果振动随时间的增加是收敛的，则压杆是稳定的如果振动随时间的增加是收敛的，则压杆是稳定的?缺陷法缺陷法?由于缺陷的影响，杆件开始受力时即产生弯曲变形由于缺陷的影响，杆件开始受力时即产生弯曲变形?在一般条件下缺陷总是很小的，弯曲变形并不显著在一般条件下缺陷总是很小的，弯曲变形并不显著?当荷载接近临界值时，变形才迅速增大，由此确定失稳条件当荷载接近临界值时，变形才迅速增大，由此确定失稳条件 1.3 1.3 稳定问题的求解方法简介稳定问题的求解方法简介(续续)?对于欧拉压杆而言，所得到的临界荷载值是相同
9、的对于欧拉压杆而言，所得到的临界荷载值是相同的?但它们的结论并不完全一样，表现在以下几个方面但它们的结论并不完全一样，表现在以下几个方面 (1)(1)静力平衡法静力平衡法?当当P=PP=P1 1、P P2 2.P.Pn n时压杆可能发生屈曲现象，无法判断何种情时压杆可能发生屈曲现象，无法判断何种情况最可能失稳况最可能失稳?在在P P?P P1 1、P P2 2.P.Pn n时，屈曲的变形形式不能平衡，无法回答直时，屈曲的变形形式不能平衡，无法回答直线形式的平衡是否稳定的问题线形式的平衡是否稳定的问题 1.3 1.3 稳定问题的求解方法简介稳定问题的求解方法简介(续续)(2)(2)缺陷法缺陷法?
10、当当P=PP=P1 1、P P2 2.P.Pn n，杆件将发生无限变形，杆件将发生无限变形?但对于但对于P P在在P P1 1、P P2 2.P.Pn n各值之间时压杆是否稳定的问题也各值之间时压杆是否稳定的问题也不能解释不能解释 (3)(3)能量法和振动法能量法和振动法?PPPP1 1之后不论之后不论P P值多大，压杆直线形式的平衡都是不稳定的值多大，压杆直线形式的平衡都是不稳定的?和事实完全一致和事实完全一致 1.3 1.3 稳定问题的求解方法简介稳定问题的求解方法简介(续续)?由于桥梁结构的复杂性，不可能单靠上述方法来解决由于桥梁结构的复杂性，不可能单靠上述方法来解决其稳定问题其稳定问题
11、?大量使用的是大量使用的是近似求解方法近似求解方法：?从微分方程出发，通过数学上的各种近似方法求解从微分方程出发，通过数学上的各种近似方法求解 如逐次渐近法如逐次渐近法?基于能量变分原理的近似法基于能量变分原理的近似法 如如RitzRitz法，有限元方法可以看成是法，有限元方法可以看成是RitzRitz法的特殊形式法的特殊形式 2.2.第一类弹性及弹塑性稳定分析第一类弹性及弹塑性稳定分析 2.12.1 第一类稳定问题的线弹性有限元分析第一类稳定问题的线弹性有限元分析?在发生第一类失稳前，结构在初始构形线性平衡，大位移在发生第一类失稳前，结构在初始构形线性平衡，大位移矩阵矩阵0 0KKL L为零
12、为零?不论不论T.LT.L还是还是U.LU.L列式，表达形式是统一的列式，表达形式是统一的 (?K?K?)?u?R?按线性代数理论，必有：按线性代数理论，必有：(12-3)(12-3)?在结构处在临界状态下，即使在结构处在临界状态下，即使 R0R0，uu也有非零解也有非零解?K?K?0(12-4)(12-4)2.12.1 第一类稳定问题的线弹性有限元分析第一类稳定问题的线弹性有限元分析(续续)?发生第一类失稳前满足线性假设，应力与外荷载以及发生第一类失稳前满足线性假设，应力与外荷载以及几何刚度为线性关系几何刚度为线性关系?若某种参考荷载若某种参考荷载?P?对应的结构几何刚度阵为对应的结构几何刚
13、度阵为?K?K?式式(12(124)4)可写成可写成?K?(12-5)(12-5)?K?K?0(12-6)(12-6)?稳定问题转化为求方程的稳定问题转化为求方程的最小特征值问题最小特征值问题 2.12.1 第一类稳定问题的线弹性有限元分析第一类稳定问题的线弹性有限元分析(续续)?KK可以分成一期恒载的初内力刚度阵可以分成一期恒载的初内力刚度阵 K1?和后期荷载（和后期荷载（二期、活载等）的初内力刚度阵二期、活载等）的初内力刚度阵 K2?两部分两部分?计算一期恒载稳定问题，计算一期恒载稳定问题，K2?0，?为为恒载稳定安全系数恒载稳定安全系数?计算后期荷载稳定问题，则恒载计算后期荷载稳定问题，
14、则恒载 K1?可近似为一常量，式可近似为一常量，式(12(126)6)改写成：改写成：K?K1?K?0?2?(12-7)(12-7)?为为后期恒载稳定安全系数，相应的特征向量就是失稳模态后期恒载稳定安全系数，相应的特征向量就是失稳模态 3.3.拱桥稳定分析和非保向力效应拱桥稳定分析和非保向力效应 本节以本节以解析法解析法来阐述拱桥的第一类稳定计算来阐述拱桥的第一类稳定计算 可分为以下两类问题：可分为以下两类问题：?面内稳定面内稳定?侧向稳定侧向稳定 3.13.1圆弧拱平面屈曲微分方程圆弧拱平面屈曲微分方程 圆弧拱的屈曲易于获得解析解，得到端支承情况和矢跨比对拱桥临界圆弧拱的屈曲易于获得解析解，
15、得到端支承情况和矢跨比对拱桥临界荷载值的影响荷载值的影响 图图 12.2 12.2均布径向荷载作用下的圆弧拱均布径向荷载作用下的圆弧拱?在均布径向荷载在均布径向荷载q q 作用下，开始只有沿拱轴方向的弹性压缩变形作用下，开始只有沿拱轴方向的弹性压缩变形?若忽略轴向变形的影响，拱轴线与压力线完全吻合，处于无弯矩若忽略轴向变形的影响，拱轴线与压力线完全吻合，处于无弯矩状态状态 3.13.1圆弧拱平面屈曲微分方程圆弧拱平面屈曲微分方程(续续)当荷载达到临界值时，拱发生微小的弯曲变形当荷载达到临界值时，拱发生微小的弯曲变形 v v，且在截，且在截面上存在弯矩面上存在弯矩 M M，在这一变形状态下可以导
16、出它的屈曲微分方，在这一变形状态下可以导出它的屈曲微分方程为：程为：d vvM 2?2?EIxdsR或：或：222 (12 (129)9)d vMR?v?(1210)2EIxd?3.23.2等截面圆弧拱在均布径向荷载作用下的屈曲临界荷载等截面圆弧拱在均布径向荷载作用下的屈曲临界荷载 双铰圆弧拱在径向荷载双铰圆弧拱在径向荷载q q 作用下作用下(图图 12.3)12.3)，其拱截面弯矩，其拱截面弯矩 M?N?v?qRv (12 (12 11)11)代入式代入式(12(1210)10)，即得，即得 d2v2?k v?0 (12 (12 12)12)2d?图图 12.3 12.3 受均布径向荷载的等
17、截面双铰圆弧拱受均布径向荷载的等截面双铰圆弧拱 3.23.2等截面圆弧拱在均布径向荷载作用下的屈曲临界荷载等截面圆弧拱在均布径向荷载作用下的屈曲临界荷载(续续)边界条件边界条件:?0,v?0 得得 c2?0?2?,v?0 得得 c1sin2k?0c c1 1不能为零，则必须有不能为零，则必须有 sin2k?0 (12 (12 15)15)由此得到由此得到 2k?n?,(n?1,2,3,.)由于拱的两端不能移动，圆弧拱轴也假定不发生伸缩。因此由于拱的两端不能移动，圆弧拱轴也假定不发生伸缩。因此n=1n=1 相应的失稳模态是没有意义的。要求最小特征值时相应的失稳模态是没有意义的。要求最小特征值时n
18、=2n=2，拱，拱的屈曲模态为的屈曲模态为:?v(?)?c1sin?(12 (12 16)16)?3.23.2等截面圆弧拱在均布径向荷载作用下的屈曲临界荷载等截面圆弧拱在均布径向荷载作用下的屈曲临界荷载(续续)临界荷载值为：临界荷载值为：EIX?EIx(2?1)?K13 (12 (1217)17)qcr?3R?R 式中式中2?K1?2?1 (12 (12 18)18)?K K1 1称为拱的临界荷载系数称为拱的临界荷载系数(或稳定系数或稳定系数)，与夹角，与夹角 有关。有关。式式(12(1217)17)也可写成中心受压直杆的欧拉公式的标准形式也可写成中心受压直杆的欧拉公式的标准形式2?EIX?E
19、Ix?Ncr?qcrR?22(1?2)?(12(1219)19)2R?s02223.3 3.3 圆拱的面外稳定圆拱的面外稳定 平面拱轴侧倾后是一条空间曲线，其位移与几何关系用曲线坐标来描述。平面拱轴侧倾后是一条空间曲线，其位移与几何关系用曲线坐标来描述。图图 12.4 12.4 侧倾变形后的拱侧倾变形后的拱 拱侧倾变形后拱侧倾变形后(图图 12.4)12.4)，任意截面，任意截面 s s 在垂直于拱平面在垂直于拱平面 x x 轴，指向拱轴法向的轴，指向拱轴法向的y y 轴和同拱轴切线重合的轴和同拱轴切线重合的 z z 轴三个方向分别发生了线位移轴三个方向分别发生了线位移 u u、v v、w,w
20、,并绕这三个轴并绕这三个轴发生了转角位移发生了转角位移、。截面主轴。截面主轴 x x、y y、z z 也随着拱的侧倾产生了变位。研也随着拱的侧倾产生了变位。研究相距究相距 dsds 截面的变形，可得拱绕截面的变形，可得拱绕 y y、z z 轴转动的曲率关系：轴转动的曲率关系：3.3 3.3 圆拱的面外稳定圆拱的面外稳定(续续)?d u?y?2?RdS?(12 (1221)21)d?1 du?z?dSR dS?下面用能量法研究两端固结拱轴线长度为下面用能量法研究两端固结拱轴线长度为 L L 的园拱的侧向稳定问题。的园拱的侧向稳定问题。圆拱侧倾时，拱肋侧向弯曲变形能为：圆拱侧倾时，拱肋侧向弯曲变形
21、能为：VB?2EIy2?L/2?L/2?ds (12 (1222)22)2y 拱肋扭转变形能为：拱肋扭转变形能为：GJL/22?Zds (12 (12 23)23)VT?2?L/2 拱肋轴力在侧倾时所作外力功为：拱肋轴力在侧倾时所作外力功为：du2 VD?qR?L/2()ds (12 (1224)24)dsL/23.3 3.3 圆拱的面外稳定圆拱的面外稳定(续续)结构势能为：结构势能为：?VB?VT?VD (12 (12 25)25)设失稳模态为：设失稳模态为：2?S?ua?A(1?cos)?L?(12 (12 26)26)2?S?a?B(1?cos)?L?将式将式(12(1221)21)?(
22、12(1224)24)、(12(1226)26)代入式代入式(12(1225)25)，由，由?0?A2?0 (12 (12 27)27)?B22EIy?4?易得：易得：qcr?3222 (12 (12 28)28)R?(4?)3.3 3.3 圆拱的面外稳定圆拱的面外稳定(续续)EIy 其中：其中：?为弯、扭刚度比例系数。为弯、扭刚度比例系数。GJ 当式当式(12(1228)28)确定的确定的 q qcrcr比相应面内失稳临界荷载比相应面内失稳临界荷载为小时，圆拱先出现侧倾失稳为小时，圆拱先出现侧倾失稳 对于宽跨比较小的拱桥，对于宽跨比较小的拱桥，侧向刚度相对较小和单承侧向刚度相对较小和单承重面
23、拱桥，都有可能发生侧倾弯扭失稳，在设计时必须重面拱桥，都有可能发生侧倾弯扭失稳，在设计时必须对这类结构进行侧稳验算对这类结构进行侧稳验算 3.4 3.4 拱桥稳定与非保向力效应拱桥稳定与非保向力效应 1)1)拱桥的稳定问题拱桥的稳定问题 实际拱桥都带有拱上建筑，拱圈轴线形状各异，都受有竖向荷载，实际拱桥都带有拱上建筑，拱圈轴线形状各异，都受有竖向荷载，研究拱桥的稳定问题可以抓住以下三点：研究拱桥的稳定问题可以抓住以下三点：a)a)确定拱轴线时，力求拱肋受力以轴向受压为主，因此可将各类确定拱轴线时，力求拱肋受力以轴向受压为主，因此可将各类拱肋的稳定问题通过一定的等代关系转换成圆拱的稳定问题来研究
24、；拱肋的稳定问题通过一定的等代关系转换成圆拱的稳定问题来研究；b)b)拱上建筑多以连续梁为主，梁的刚度增加了拱的稳定性，用能拱上建筑多以连续梁为主，梁的刚度增加了拱的稳定性，用能量法计算这类结构的稳定性比较方便；量法计算这类结构的稳定性比较方便；c)c)用解析法计算拱桥稳定问题比较复杂，一般都采用数值计算，用解析法计算拱桥稳定问题比较复杂，一般都采用数值计算，可以从大量数值计算结果的规律中总结出常用拱桥的稳定计算近似公可以从大量数值计算结果的规律中总结出常用拱桥的稳定计算近似公式。式。3.4 3.4 拱桥稳定与非保向力效应拱桥稳定与非保向力效应(续续)例如拱桥的立柱刚度远比拱圈和梁的刚度小，为
25、简化计算，可以例如拱桥的立柱刚度远比拱圈和梁的刚度小，为简化计算，可以假定各立柱上下端均系铰结假定各立柱上下端均系铰结 通过数值计算，可把这种简化结构的临界荷载近似地写成：通过数值计算，可把这种简化结构的临界荷载近似地写成：EIa?qcr?K3?l?(12 (1229)29)2?f?f?Ib?K?K?1?0.95?0.7?llI?a?式中：式中：K K为只有拱肋时的临界荷载系数；为只有拱肋时的临界荷载系数；I Ib b加劲梁的抗弯刚度；加劲梁的抗弯刚度；I Ia a拱平面抗弯刚度。拱平面抗弯刚度。3.4 3.4 拱桥稳定与非保向力效应拱桥稳定与非保向力效应(续续)2)2)非保向力效应非保向力效
26、应 图图 12.5a)12.5a)是是上承式拱桥的面内失稳上承式拱桥的面内失稳，由于桥面抗弯刚度较小，当拱发生失，由于桥面抗弯刚度较小，当拱发生失稳时，立柱受到梁施加的水平约束而变成倾斜，产生的水平分力有稳时，立柱受到梁施加的水平约束而变成倾斜，产生的水平分力有加速加速其侧倾其侧倾的趋势的趋势 图图 12.5b)12.5b)是是系杆拱侧倾失稳系杆拱侧倾失稳，吊杆受到梁施加的水平约束而变成倾斜，产，吊杆受到梁施加的水平约束而变成倾斜，产生的水平分力有生的水平分力有 减缓减缓其发生失稳的趋势其发生失稳的趋势 图图 12.5 12.5 非保向力系对拱稳定的影响非保向力系对拱稳定的影响 3.4 3.4
27、 拱桥稳定与非保向力效应拱桥稳定与非保向力效应(续续)?跟随结构变形而改变其方向，这种力系称为跟随结构变形而改变其方向，这种力系称为 非保向力系非保向力系?非保向力系对结构稳定性有正面效应，也有负面效应非保向力系对结构稳定性有正面效应，也有负面效应 下面以单承重面系杆拱为例来讨论非保向力系对其侧向稳定的影响下面以单承重面系杆拱为例来讨论非保向力系对其侧向稳定的影响 作用均布荷载作用均布荷载 q q，设吊杆的布置满足膜张力假定，则吊杆拉力为：，设吊杆的布置满足膜张力假定，则吊杆拉力为：T Tqa (12qa (1231)31)式中：式中：a a?吊杆间距。吊杆间距。3.4 3.4 拱桥稳定与非保
28、向力效应拱桥稳定与非保向力效应(续续)拱肋侧倾后，吊杆发生倾斜，其拉力拱肋侧倾后，吊杆发生倾斜，其拉力 T T 对桥面产生了一个向外的水平对桥面产生了一个向外的水平分力，使之发生侧向弯曲变形分力，使之发生侧向弯曲变形 u ub b(x)(x)，而对拱肋产生了一个向内的水平分力，而对拱肋产生了一个向内的水平分力H(x)H(x)，这个恢复力就是，这个恢复力就是非保向力效应非保向力效应，相当于一个侧向水平弹簧支承效应。，相当于一个侧向水平弹簧支承效应。ua?ub H(x)?T?k(x)ua (12 (1232)32)y(x)qa ua?ub 式中：式中：k(x)?(12 (1233)33)y(x)u
29、a 考虑到桥面侧向刚度相对于拱肋要大得多，近似地取考虑到桥面侧向刚度相对于拱肋要大得多，近似地取 EIEIbyby=?，则式，则式(12(1233)33)简化成简化成 qa k(x)?(12 (1234)34)y(x)3.4 3.4 拱桥稳定与非保向力效应拱桥稳定与非保向力效应(续续)当系杆拱发生侧倾时，其总势能除了前面式当系杆拱发生侧倾时，其总势能除了前面式(12(1222)22)?(12(1224)24)列出的三项列出的三项外，还增加了考虑非保向力效应的虚拟弹簧支承变形能外，还增加了考虑非保向力效应的虚拟弹簧支承变形能V Vk k：1k(x)2uads (12 (12 35)35)Vk?2
30、 a 将式将式(12(1235)35)增添到式增添到式(12(1225)25)中，由能量驻值原理可得系杆拱侧倾临界中，由能量驻值原理可得系杆拱侧倾临界荷载：荷载：qcraL2L?2?非保向力效应系数非保向力效应系数,式中：式中：1?qcr?qcr (12 (12 36)36)1?Cqcr由式由式(12-28)(12-28)给出。给出。VkC?VD (12 (12 37)37)对圆弧拱，偏安全地取对圆弧拱，偏安全地取 y(x)=fy(x)=f，则，则 C C 的下限为：的下限为：3?2R C?()(12 (12 38)38)4?f3.4 3.4 拱桥稳定与非保向力效应拱桥稳定与非保向力效应(续续
31、)根据不同的矢跨比根据不同的矢跨比 f/lf/l，可算得，可算得 c c 和和?值，列于表值，列于表 12121 1。非保向力效应系数一般在非保向力效应系数一般在 2.52.5?3.53.5 之间。之间。不同矢跨比不同矢跨比 f/lf/l 时的时的 c c 和和?值值 表表 12121 1 f/l f/l C C 近似近似?值值 精确精确?值值 1/3 1/3 1/4 1/4 1/5 1/5 1/6 1/6 1/7 1/7 1/8 1/8 0.684 0.684 0.653 0.653 0.638 0.638 0.630 0.630 0.623 0.623 0.621 0.621 3.16 3
32、.16 3.50 3.50 2.88 2.88 3.31 3.31 2.76 2.76 3.22 3.22 2.70 2.70 3.17 3.17 2.65 2.65 3.14 3.14 2.64 2.64 3.12 3.12 4.4.材料非线性问题材料非线性问题 4.14.1 概概 述述?当构件应力超过弹性极限后，材料弹性模量当构件应力超过弹性极限后，材料弹性模量E E成为成为应力的函数，导致基本控制方程的非线性，即材料应力的函数，导致基本控制方程的非线性，即材料非线性问题非线性问题?凡是在本构关系中放弃材料线性关系假定的理论，凡是在本构关系中放弃材料线性关系假定的理论，均属材料非线性范畴均
33、属材料非线性范畴?桥梁结构以钢和砼作为主要建材，因此涉及的材料桥梁结构以钢和砼作为主要建材，因此涉及的材料非线性主要是非线性弹塑性问题和砼徐变问题非线性主要是非线性弹塑性问题和砼徐变问题 4.2 4.2 弹塑性应力、应变关系与屈服准则弹塑性应力、应变关系与屈服准则 根据实验结果，单轴应力下材料的应力、应变关系如根据实验结果，单轴应力下材料的应力、应变关系如图图12.712.7所示，可归结为如下几点：所示，可归结为如下几点：1)1)应力在达到比例应力在达到比例极限前，材料为线弹极限前，材料为线弹性；应力在比例极限性；应力在比例极限和弹性极限之间，材和弹性极限之间，材料为非线性弹性。料为非线性弹性
34、。图图12-7 12-7 单轴应力下材料的应力、应变关系单轴应力下材料的应力、应变关系 4.2 4.2 弹塑性应力、应变关系与弹塑性应力、应变关系与屈屈服准则服准则(续续)2)2)应力超过屈服点，材料应变中出现不可恢复的塑性应力超过屈服点，材料应变中出现不可恢复的塑性应变应变:?e?p(12-39)(12-39)应力和应变间为非线性关系：应力和应变间为非线性关系：?(?)(12-40)(12-40)3)3)应力在某一应力下卸载，则应力增量与应变增量之应力在某一应力下卸载，则应力增量与应变增量之间存在线性关系，即：间存在线性关系，即：d?Ed?为了判断是加载还是卸载，用如下加载准则：为了判断是加
35、载还是卸载，用如下加载准则：(12-41)(12-41)当当?d?0时为加载，满足时为加载，满足(12-40)(12-40)当当?d?0时为卸载，满足时为卸载，满足(12-41)(12-41)4.2 4.2 弹塑性应力、应变关系与弹塑性应力、应变关系与屈屈服准则服准则(续续)4)4)在卸载后某应力在卸载后某应力?下重新加载，则：下重新加载，则：?0 时，时，d?Ed?(12-42)(12-42)?0 0为卸载前材料曾经受到过的最大应力值，称后屈服应为卸载前材料曾经受到过的最大应力值，称后屈服应力，若：力，若：?0=0=?s s 材料称为理想塑性的；材料称为理想塑性的；?0 0?s s 称材料为
36、硬化的。称材料为硬化的。5)5)从卸载转入反向力加载，应力、应变关系继续依式从卸载转入反向力加载，应力、应变关系继续依式(12-41)(12-41)或或(12-42)(12-42)，一直到反向屈服。在复杂应力状态，一直到反向屈服。在复杂应力状态下，判断材料是否屈服，可以用应力的某种函数表示：下，判断材料是否屈服，可以用应力的某种函数表示：4.2 4.2 弹塑性应力、应变关系与弹塑性应力、应变关系与屈屈服准则服准则(续续)F(?ij)?0(12-43)(12-43)若以若以?ijij为坐标轴建立一坐标空间，则式为坐标轴建立一坐标空间，则式(12-43)(12-43)的几的几何意义为空间超曲面。任
37、一应力状态在此空间中代表一何意义为空间超曲面。任一应力状态在此空间中代表一个点，当此点落在屈服面之内时：个点，当此点落在屈服面之内时：F (?ij)?0，材料呈弹，材料呈弹性状态；性状态；F(?ij)?0时，材料开始进入塑性。时，材料开始进入塑性。各向同性材料的屈服条件与坐标轴选取无关，屈服函各向同性材料的屈服条件与坐标轴选取无关，屈服函数常以主应力函数形式表示：数常以主应力函数形式表示：F(?1,?2,?3)?0(12-44)(12-44)4.2 4.2 弹塑性应力、应变关系与弹塑性应力、应变关系与屈屈服准则服准则(续续)常用的屈服条件有常用的屈服条件有：?屈雷斯卡屈雷斯卡(Tresca)(
38、Tresca)屈服条件：假定最大剪应力达屈服条件：假定最大剪应力达到某一极限值时，材料开始屈服，相当于材料力学到某一极限值时，材料开始屈服，相当于材料力学中的第三强度理论中的第三强度理论?密赛斯密赛斯(Von Mises)(Von Mises)屈服条件：假定偏应力张量屈服条件：假定偏应力张量的第二不变量达到某一极限时，材料开始屈服的第二不变量达到某一极限时，材料开始屈服,相相当于材料力学中的第四强度理论当于材料力学中的第四强度理论 此外还有此外还有Drucker-PragerDrucker-Prager屈服准则屈服准则 Zienkiewicz-Pande Zienkiewicz-Pande 屈
39、服准则等屈服准则等 4.3 4.3 弹塑性本构矩阵的增量表达式弹塑性本构矩阵的增量表达式 设屈服函数用下式表示：设屈服函数用下式表示：F(?ij,K)?0式中：式中：?ij应力状态；应力状态；K K硬化函数。硬化函数。(12-45)(12-45)在增量理论中，把材料达到屈服以后的应变增量在增量理论中，把材料达到屈服以后的应变增量分为弹性增量和塑性增量两部分，即：分为弹性增量和塑性增量两部分，即：d?d?d?ep(12-46)(12-46)4.3 4.3 弹塑性本构矩阵的增量表达式弹塑性本构矩阵的增量表达式(续续)其中弹性应变增量部分与应力增量之间仍服从虎其中弹性应变增量部分与应力增量之间仍服从
40、虎克定律，即：克定律，即：d?Ded?其中：其中：DDe e 为弹性矩阵。为弹性矩阵。e(12-47)(12-47)塑性变形不是唯一确定的，对应于同一应力增量塑性变形不是唯一确定的，对应于同一应力增量，可以有不同的塑性变形增量。若采用相关联的流，可以有不同的塑性变形增量。若采用相关联的流动法则，塑性变形大小虽然不能断定，但其流动方动法则，塑性变形大小虽然不能断定，但其流动方向与屈服面正交。用数学公式表示这一假定，即可向与屈服面正交。用数学公式表示这一假定，即可得：得：?F?p(12-48)(12-48)d?4.3 4.3 弹塑性本构矩阵的增量表达式弹塑性本构矩阵的增量表达式(续续)将将(12-
41、47)(12-47)、(12-48)(12-48)式代入式代入(12-46)(12-46)式，则可得：式，则可得：?F?d?De d?对式对式(12-45)(12-45)全微分得：全微分得：?1(12-49)(12-49)?F?F?FdF?d?1?d?2?dK?0?1?2?K(12-50)(12-50)或或?F?d?A?0?T(12-51)(12-51)?F1其中：其中：A?dK?K?(12-52)(12-52)4.3 4.3 弹塑性本构矩阵的增量表达式弹塑性本构矩阵的增量表达式(续续)?F?将将?d?De前乘前乘(12-49)(12-49)式，并利用式，并利用(12-51)(12-51)式消
42、去式消去?T可得：可得：T?F?F?F?A?De?Ded?T(12-53)(12-53)?F?De?由此可得：由此可得：?d?T?F?F?A?De?T(12-54)(12-54)用用DDe e 前乘前乘(12-49)(12-49)式，移项后得式，移项后得?F?d?Ded?De?(12-55)(12-55)4.3 4.3 弹塑性本构矩阵的增量表达式弹塑性本构矩阵的增量表达式(续续)将将(12-54)(12-54)式代入式代入(12-55)(12-55)式，即可得：式，即可得：T?F?F?De?De?d?(D?D)d?Dd?d?De?ePepT?F?F?A?De?(12-56)(12-56)T?F
43、?F?De?De?D?D?其中其中:ep?eT?F?F?A?De?(12-57)(12-57)此即为此即为 增量理论的弹塑性矩阵通式增量理论的弹塑性矩阵通式。其具体的数。其具体的数学表达式将由曲服函数确定。学表达式将由曲服函数确定。4.4 4.4 弹塑性问题的有限元法弹塑性问题的有限元法 在弹塑性增量理论中，讨论仍限于小变形情况。在弹塑性增量理论中，讨论仍限于小变形情况。其应变位移几何运动方程和平衡方程相同于线性其应变位移几何运动方程和平衡方程相同于线性问题，不需要作任何变动。问题，不需要作任何变动。需要改变的只是在塑性需要改变的只是在塑性区范围内用塑性材料的本构关系矩阵区范围内用塑性材料的本
44、构关系矩阵DDepep 代替原来代替原来的弹性系数矩阵的弹性系数矩阵 DDe e。因此，可直接得到弹塑性分析因此，可直接得到弹塑性分析有限元平衡方程：有限元平衡方程：KT?u?R式中式中:tKT?BTDepBdvvtttttttt(12-58)(12-58)(12-59)(12-59)?R?F?T?Fc?FI(12-60)(12-60)4.4 4.4 弹塑性问题的有限元法弹塑性问题的有限元法(续续)tt?T?F其中其中,和和 分别表示与结构面荷载分别表示与结构面荷载 t t及体荷载及体荷载f f对对?tFc应的等效节点力增量；应的等效节点力增量；为节点集中外荷载增量；为节点集中外荷载增量；t?
45、FI 为初应力或初应变增量引起的外荷载增量，它为初应力或初应变增量引起的外荷载增量，它?t至至t t时间的增量为：时间的增量为：们在们在t-t-?F?N?fdvtTtv(12-61)(12-61)?T?N?tdstTtv(12-62)(12-62)对于初应力问题：对于初应力问题：tT?FI?B?Idvv(12-63)(12-63)对于初应变问题：对于初应变问题：t?FI?B De?Idv(12-64)(12-64)Tv5.5.第二类稳定和极限承载力全过程分析第二类稳定和极限承载力全过程分析?传统的传统的“强度设计强度设计”以构件最大工作应力乘以安全系数等于材以构件最大工作应力乘以安全系数等于材
46、料的屈服应力为依据；料的屈服应力为依据；?一般情况下，构件某截面开始屈服并不能代表结构完全破坏，一般情况下，构件某截面开始屈服并不能代表结构完全破坏，结构所能承受的荷载通常较构件开始屈服时的荷载为大；结构所能承受的荷载通常较构件开始屈服时的荷载为大；?桥梁结构的极限承载力是指桥梁承受外荷载的最大能力；桥梁结构的极限承载力是指桥梁承受外荷载的最大能力；?可以准确地知道桥梁结构在给定荷载下的安全贮备或超载能力可以准确地知道桥梁结构在给定荷载下的安全贮备或超载能力，为其安全施工和营运管理提供依据和保障；，为其安全施工和营运管理提供依据和保障；5.5.第二类稳定和极限承载力全过程分析第二类稳定和极限承
47、载力全过程分析(续续)?全过程分析是用于桥梁结构极限承载力分析的一种计算方全过程分析是用于桥梁结构极限承载力分析的一种计算方法，它通过逐级增加工作荷载集度来考察结构的变形和受力法，它通过逐级增加工作荷载集度来考察结构的变形和受力特征，一直计算至结构发生破坏；特征，一直计算至结构发生破坏；?桥梁结构在不断增加的外载作用下，结构刚度发生不断变桥梁结构在不断增加的外载作用下，结构刚度发生不断变化，当外载产生的应力使得结构切线刚度阵趋于奇异时，结化，当外载产生的应力使得结构切线刚度阵趋于奇异时，结构承载能力就到达了极限，此时的外荷载即为极限荷载。构承载能力就到达了极限，此时的外荷载即为极限荷载。5.1
48、 5.1 非线性方程的求解问题非线性方程的求解问题?一般结构的结构刚度阵在一般结构的结构刚度阵在p-p-?曲线上升段是正定的，在下曲线上升段是正定的，在下降段为负定的；降段为负定的；?进行进行“全过程全过程”分析过程中，当荷载接近极限值时，很小分析过程中，当荷载接近极限值时，很小的荷载增量都会引起很大的位移，可能还未找到极限荷载的荷载增量都会引起很大的位移，可能还未找到极限荷载就出现了求解失效现象；就出现了求解失效现象；?为了找到真实的极限荷载，克服下降段的不稳定现象，各为了找到真实的极限荷载，克服下降段的不稳定现象，各国学者提出了许多算法，下面就常用的两种方法作一介绍国学者提出了许多算法，下
49、面就常用的两种方法作一介绍 5.1 5.1 非线性方程的求解问题非线性方程的求解问题(续续)1)1)逐步搜索法逐步搜索法 对于只要求出极值荷载，而对对于只要求出极值荷载，而对P-P-?下降段不感趣的情况，下降段不感趣的情况，可采用逐步搜索顶点的算法，其基本思想是：可采用逐步搜索顶点的算法，其基本思想是：加一荷载增量加一荷载增量?P P，计算发散后，退回上级荷载状态并改，计算发散后，退回上级荷载状态并改用荷载步长用荷载步长?P/2P/2；若计算收敛，则再加一级荷载为若计算收敛，则再加一级荷载为?P/4P/4；若加若加?P/4P/4后计算发散，则再改用荷载步后计算发散，则再改用荷载步 长为长为?P
50、/8 P/8 如此搜索，若原步长如此搜索，若原步长?P P预计为预计为5%5%的破坏荷载，则的破坏荷载，则?P/4P/4已已接近接近1%1%的极限荷载，对桥梁结构来说，已可满足精度要求。的极限荷载，对桥梁结构来说，已可满足精度要求。当然还可向前再搜索一步到当然还可向前再搜索一步到?P/8P/8。5.1 5.1 非线性方程的求解问题非线性方程的求解问题(续续)2)2)位移控制法位移控制法 如果在分析过程中不是控制荷载增量而是控制位移增量，则P-?曲线的下降段部分便不难求得。对于一般结构，我们可将刚度矩阵重新排列，使得要控制的位移(例如=?u2)排到最后一项，同时将原刚度矩阵分块，其有限元方程变为
