1、 利用图象求功之方法适用于当力对位移的关利用图象求功之方法适用于当力对位移的关系为线性时系为线性时;或在表示力对位移关系的或在表示力对位移关系的F-s示功图示功图中中F(s)图线与图线与s轴围成的图形轴围成的图形“面积面积”有公式可有公式可依时依时;因为在因为在F-s示功图中，这种示功图中，这种“面积面积”的物理的物理意义就是功的大小意义就是功的大小 方法方法 A AsF0 xW 锤子打木桩，锤每次从同一高度落下，每次均有锤子打木桩，锤每次从同一高度落下，每次均有80%的能的能量传给木桩，且木桩所受阻力量传给木桩，且木桩所受阻力f与插入深度与插入深度x成正比，试求木桩每次打入的深度成正比，试求
2、木桩每次打入的深度比若第一次打击使木桩插入了全长的比若第一次打击使木桩插入了全长的1/3，全部插入须锤击多少次？，全部插入须锤击多少次？本题中的阻力本题中的阻力f为一与位移为一与位移x成正比的变力，即成正比的变力，即f=kx示功图示功图xF0 x1x2x3lW0W0W0图中各阴影图中各阴影“面积面积”表示第表示第1、2、3次锤击中，木桩克服阻力做次锤击中，木桩克服阻力做的功，数值上等于锤传给木桩的的功，数值上等于锤传给木桩的能量，设为能量，设为W0 由图由图2222123000023nxxxxWWWnW:123123nxxxxn:12312321nnxxxnx :-:1 1当当xn=l时，由时
3、，由11nxxn:13lln 9n 次次 某质点受到某质点受到F=6x2的力的作用，从的力的作用，从x=0处移处移到到x=2.0 m处，试求力处，试求力F做了多少功？做了多少功？本题中的变力力本题中的变力力F与位移与位移x成成F=6x2关系，关系，F-x图线为抛物线图线为抛物线示功图示功图24x/mF/N02W图中图中 “面积面积”表示表示F力做的功力做的功“面积面积”由阿基米德公式由阿基米德公式23S 弓弓底底高高由示功图得由示功图得F力做的功力做的功12WSS 矩矩弓弓12224424J23 16 J J 如图所示，一质量为如图所示，一质量为m，长为，长为l的柔软绳索，一部分平直地放在的柔
4、软绳索，一部分平直地放在桌面上，另一部分跨过桌面边缘的光滑定滑轮下垂，柔绳与桌面间的摩擦因数为桌面上，另一部分跨过桌面边缘的光滑定滑轮下垂，柔绳与桌面间的摩擦因数为柔绳能由静止开始下滑，求下垂部分长度至少多长？柔绳能由静止开始下滑，求下垂部分长度至少多长？由这一位置开始运动，由这一位置开始运动，柔绳刚离开桌面时的速度多大？柔绳刚离开桌面时的速度多大？设柔绳恰由静止开始下滑时下垂部分长度为设柔绳恰由静止开始下滑时下垂部分长度为x0，则由，则由 00mmxglxgll 0min1lx 柔绳恰由静止开始下滑至以柔绳恰由静止开始下滑至以v离开桌面，由动能定理离开桌面，由动能定理212GfWWmv 其中
5、，重力功等于绳重力势能减少其中，重力功等于绳重力势能减少0022GxmlmWlgx gll 2202mg lxl 摩擦力为线性变力：摩擦力为线性变力：fmFxgl 示功图示功图xFf0l-x0 0mlxgl Wfx 202fmglxlW 222002g lxg lxvll 1vgl 一质点的质量为一质点的质量为m，被固定中心排斥，斥力的大小，被固定中心排斥，斥力的大小F=mr，其中，其中r为质点离开此中心的距离在开始时，为质点离开此中心的距离在开始时，r0=a，v=0，求，求质点经过位移质点经过位移a时所达到的速度大小时所达到的速度大小 斥力为线性变化力！斥力为线性变化力！ma 示功图示功图r
6、F0aa2ma WF对示功图求梯形阴影对示功图求梯形阴影“面积面积”232122Wm aamaa 对质点经过位移对质点经过位移a的过程，由动能定理的过程，由动能定理223122mamv 3va 跳水运动员从高于水面跳水运动员从高于水面H10 m的跳台自由落下，运动员的质的跳台自由落下，运动员的质量量m60 kg，其体形可等效为长度，其体形可等效为长度l1.0 m、直径、直径d0.30 m的圆柱体，略去空气的圆柱体，略去空气阻力，运动员入水后水的等效阻力阻力，运动员入水后水的等效阻力F作用于圆柱体下端面，作用于圆柱体下端面，F量值随入水深度量值随入水深度y变变化如图，该曲线近似为椭圆的一部分，长
7、轴和短轴分别与化如图，该曲线近似为椭圆的一部分，长轴和短轴分别与OY和和OF重合，为了确保重合，为了确保运动员绝对安全，试计算水池中水的运动员绝对安全，试计算水池中水的h至少应等于多少？至少应等于多少？5mg/2YF0h对全过程运用动能定理对全过程运用动能定理:00mg HhWW浮浮阻阻其中阻力功根据示功图为四分之一个椭圆其中阻力功根据示功图为四分之一个椭圆“面积面积”:示功图示功图W阻阻1542mgWh 阻阻入水过程中，浮力随入水深度入水过程中，浮力随入水深度y作线性变化作线性变化24dFgy 浮浮示功图示功图YF浮浮0l24gld 2124gl dWl 浮浮242dlWglhl 浮浮 21
8、5100428dmhlhmh 1603m161h 4.9 m 如果在某一位移区间，力随位移变化的关系如果在某一位移区间，力随位移变化的关系为为F=f(s)，求该变力的功通常用微元法，即将位，求该变力的功通常用微元法，即将位移区间分成移区间分成n（n）个小区间）个小区间s/n，在每个小，在每个小区间内将力视为恒定，求其元功区间内将力视为恒定，求其元功Fi s/n，由于功，由于功是标量，具有是标量，具有“可加性可加性”，那么总功等于每个，那么总功等于每个小区间内元功之代数和的极限，即变力在这段小区间内元功之代数和的极限，即变力在这段位移中所做的功为：位移中所做的功为：方法方法 B B1limnin
9、iWW 在数学上，确定元功相当于给出数列通项在数学上，确定元功相当于给出数列通项式，求总功即求数列式，求总功即求数列n项和当项和当n时的极限时的极限 半径等于半径等于r的半球形水池，其中充满了水，把池内的半球形水池，其中充满了水，把池内的水完全吸尽，至少要做多少功？的水完全吸尽，至少要做多少功？rri沿着容器的竖直直径，我们将水池内的水均匀细分成沿着容器的竖直直径，我们将水池内的水均匀细分成n层，每一元层水的高度层，每一元层水的高度 rhn r1i2每一层水均可看作一个薄圆柱，水面下第每一层水均可看作一个薄圆柱，水面下第i层层水柱底面的半径水柱底面的半径这层水的质量这层水的质量22irrrin
10、 22irrmrinn 将这层水吸出至少应做的元功是将这层水吸出至少应做的元功是 22irrrWrig innn 将池水吸尽至少要做的功是将池水吸尽至少要做的功是 34241limniniiiWWg rnn 433332411lim1 2 3123ng rnnnn 224241111lim24nn nnngrnn 41g4r 一个质量为一个质量为m的机动小车，以恒定速度的机动小车，以恒定速度v在半径为在半径为R的竖直圆轨道绕的竖直圆轨道绕“死圈死圈”运动已知动摩擦因数为运动已知动摩擦因数为，问在小车从，问在小车从最低点运动到最高点过程中，摩擦力做了多少功？最低点运动到最高点过程中，摩擦力做了多
11、少功？小车沿竖直圆内轨匀速率运动到最小车沿竖直圆内轨匀速率运动到最高点的过程中，由于轨道支持力是变力，高点的过程中，由于轨道支持力是变力，故而摩擦力为一随位置变化的力！故而摩擦力为一随位置变化的力！xyOAB当小车运动在当小车运动在A A处元圆弧段时处元圆弧段时 n mgNAA 2sinAAvNmgmR AAfN 2sinAvmgR 摩擦力在摩擦力在A A处元功为处元功为2sinAAvRWm gRn 当小车运动在与当小车运动在与A A关于关于x轴对称的轴对称的B B处元圆弧段时处元圆弧段时 B A mgNBB 2sinBBvNmgmR n 续解续解iin BBfN 2sinBvmgR 摩擦力在
12、摩擦力在B B处元功为处元功为2sinBBvRWmgRn 小车在关于水平直径对称的轨道两元段上摩擦力元功之和为小车在关于水平直径对称的轨道两元段上摩擦力元功之和为22iABvRWWWmRn 查阅查阅摩擦力在半圆周轨道上的总功摩擦力在半圆周轨道上的总功/2211lim2nniWmvn 2mv 计算水平直径以下段摩擦力的功：计算水平直径以下段摩擦力的功：2/21limsinnnivRWmgiRnn 下下续解续解2/2/211limsinnnniivRRmmgiRnnn2/2/211limsinnnniivRRWmmgiRnnn下下2/21lims2innnimgRinnnmvn 2lim sins
13、in2sin22nnmvnmgRnnnnn sin1sinsin22sin2nnannnnS 三三角角 列列前前和和数数项项22sinsin44limsin22nnnnnmgRnnnmvn 222sinsin44limsin222nnnmvnnnnmgRnn 22WmvmgR 下下水平直径以上段摩擦力的功：水平直径以上段摩擦力的功：22WmvmgR 上上将板沿板长均分为将板沿板长均分为n（n）等份等份fiMFgn 将木板在水平地面上绕其一端转动角将木板在水平地面上绕其一端转动角，求所需，求所需要做的功木板长度为要做的功木板长度为L，质量为，质量为M，木板与地面之间的动摩擦因，木板与地面之间的动
14、摩擦因数为数为 Lin元摩擦力做功的位移为元摩擦力做功的位移为1 2iiLxin 摩擦力对摩擦力对i段做的元功为段做的元功为iMg innWL 则对木板的功则对木板的功 1limnniMLWg inn 211limnniMgLin 211lim2nn nMgLn 12MgL 各元段摩擦力为各元段摩擦力为ix 从一个容器里向外抽空气，直到压强为从一个容器里向外抽空气，直到压强为p容器上容器上有一小孔，用塞子塞着现把塞子拔掉，问空气最初以多大速率冲有一小孔，用塞子塞着现把塞子拔掉，问空气最初以多大速率冲进容器？设外界大气压强为进容器？设外界大气压强为p0，大气密度为，大气密度为 pp0 xs 设小
15、孔截面积为设小孔截面积为s，打开塞子，打开塞子后孔外侧厚度为后孔外侧厚度为 x的一薄层空气的一薄层空气在内、外压强差作用下冲入容器，在内、外压强差作用下冲入容器，获得速度获得速度v0，由动能定理由动能定理:2012PP SxSx v 002 pvp 这种求功方法依据功对能量变化的量度关系，这种求功方法依据功对能量变化的量度关系，只须了解初、未能量状态，得到能量的增量便只须了解初、未能量状态，得到能量的增量便是相应的功量是相应的功量 方法方法 C CWE 如图所示如图所示,一质量分布均匀的粗绳长一质量分布均匀的粗绳长2a，质量为，质量为2m，两端悬于水平天花板上相距为两端悬于水平天花板上相距为a
16、的两点而悬垂静止，其重心位于的两点而悬垂静止，其重心位于天花板下方天花板下方b处处.现施一力于绳之最低点现施一力于绳之最低点C并将绳拉直至并将绳拉直至D点，求拉点，求拉力所做的功力所做的功 D3cos3024aha 3224pEmg bhmg ba由几何关系拉直后两段绳的重心位置距天花由几何关系拉直后两段绳的重心位置距天花 重力势能增加了重力势能增加了 由功能原理，拉力功为由功能原理，拉力功为324pWmg baE 由于拉力做功，使绳之重心高度变化因而重力势由于拉力做功，使绳之重心高度变化因而重力势能变化，重力势能的增量即为所求拉力功量能变化，重力势能的增量即为所求拉力功量 Chh 一质量为一
17、质量为m的皮球，从高为的皮球，从高为h处自由下落（不计空气处自由下落（不计空气阻力），反弹起来的高度为原来的阻力），反弹起来的高度为原来的3/4，要皮球反弹回，要皮球反弹回h高处，求高处，求每次拍球需对球做的功每次拍球需对球做的功 在球与地面接触期间，地面对球的弹力对球做负功，在球与地面接触期间，地面对球的弹力对球做负功，使球的动能减少地面对球的弹力功是变力功使球的动能减少地面对球的弹力功是变力功!牛顿碰撞定律：牛顿碰撞定律：若两球碰撞前速度依次为若两球碰撞前速度依次为v10、v20，碰，碰撞后速度为撞后速度为v1、v2，则碰撞后两者的分离速度，则碰撞后两者的分离速度v2 v1与与碰撞前两者的
18、接近速度碰撞前两者的接近速度v20 v10成正比，比值成正比，比值e称恢复称恢复系数（或反弹系数），比值由两者的质料决定，即系数（或反弹系数），比值由两者的质料决定，即212010vvevv 从从h高度自由下落再反弹高度自由下落再反弹的全过程的全过程,地面弹力功地面弹力功W1:13144Wmghmghmgh 从从h高度拍下再反弹原高高度拍下再反弹原高的全过程的全过程,地面弹力功地面弹力功W2:2WWmghmgWh 拍拍拍拍续解续解从从h高下落未速度即与地接近速度高下落未速度即与地接近速度:212mghmv 自自接接近近由由2vgh 自自接接近近212Wmghmv 拍拍拍拍接接近近由由22Wgh
19、mv 拍拍拍拍接接近近从地面反弹的起跳速度即与地分离速度从地面反弹的起跳速度即与地分离速度:23142hmgmv 自自分分离离由由32ghv 自自分分离离212mghmv 拍拍分分离离由由2vgh 拍拍分分离离同一球与同一地面碰撞同一球与同一地面碰撞,恢复系数相同恢复系数相同:vvvve 自自接接近近拍拍分分离离自自分分离离拍拍接接近近222322ghWghhhggm 拍拍13Wmgh 拍拍 如图所示，有两个薄壁圆筒半径为如图所示，有两个薄壁圆筒半径为R的圆筒绕自己的轴以角的圆筒绕自己的轴以角速度速度转动，而另一个圆筒静止使两圆筒相接触并且它们的转轴平行，过一会儿，转动，而另一个圆筒静止使两圆
20、筒相接触并且它们的转轴平行，过一会儿，由于摩擦两圆筒开始做无滑动的转动问有多少机械能转换成内能？（两圆筒的由于摩擦两圆筒开始做无滑动的转动问有多少机械能转换成内能？（两圆筒的质量分别为质量分别为m1、m2）m1Rm21根据题意，一段时间内根据题意，一段时间内m1线速度从线速度从R 1R,而而m2线速度从线速度从0 2r=1R 这种变化是因为两者间有大小这种变化是因为两者间有大小相等的一对力作用，这对力做功使相等的一对力作用，这对力做功使系统机械能系统机械能(动能动能)转换成内能转换成内能 !对系统对系统,由动能定理由动能定理:2211211122QmRmmR 又又,由牛顿第二、三定律由牛顿第二
21、、三定律,一对力大小相等一对力大小相等:11211122RRRFmFmtt 1112mmm 2212122mmRmm 功是力的空间积累作用，能是对物体运动的一种量功是力的空间积累作用，能是对物体运动的一种量度功的作用效应是使物体的能量状态发生变化，做功度功的作用效应是使物体的能量状态发生变化，做功的过程就是物体能量转化的过程，转化了的能量都可以的过程就是物体能量转化的过程，转化了的能量都可以由做功的多少来量度，这是我们对功与能之间关系的基由做功的多少来量度，这是我们对功与能之间关系的基本认识，是我们从能量角度解决运动问题的依据本认识，是我们从能量角度解决运动问题的依据 功能关系基本认识功能关系
22、基本认识 功能关系的具体认识功能关系的具体认识 功能对应功能对应规律规律借助功与能的具体对应关系，对运借助功与能的具体对应关系，对运动的功的量度问题作出正确的操作动的功的量度问题作出正确的操作.确定有哪些力对研究对象做了正功或负功，以代数确定有哪些力对研究对象做了正功或负功，以代数和的形式完成定理中等号左边对合外力的功的表述；和的形式完成定理中等号左边对合外力的功的表述；分析所研究过程的初、未两状态的动能，完分析所研究过程的初、未两状态的动能，完成等号右边对动能变化的表述成等号右边对动能变化的表述；选定研究的对象与过程选定研究的对象与过程;示例示例0ktkWEE 0gpgpgtWEE 0Qpq
23、pqtWEE 重力功量度重力势能的变化：重力功量度重力势能的变化：外力外力（可以是重力、弹力、摩擦力、电场力、磁场力或其它可以是重力、弹力、摩擦力、电场力、磁场力或其它力力）做的总功量度动能的变化：做的总功量度动能的变化：弹力弹力功量度弹性势能的变化：功量度弹性势能的变化：动能定理动能定理引力引力功量度引力势能的变化：功量度引力势能的变化：0GpGpGtWEE 0tWEE 非非非重力弹力功量度机械能的变化：非重力弹力功量度机械能的变化：势能定理势能定理功能原理功能原理电场力功量度电势能的变化：电场力功量度电势能的变化：0QpepetWEE （W非非可以是摩擦力功、电场力功、安培可以是摩擦力功、
24、电场力功、安培力功或其它非重力、弹簧弹力的功力功或其它非重力、弹簧弹力的功）返回返回 如图示，一水塔的蓄水箱底离地面的高度如图示，一水塔的蓄水箱底离地面的高度H0=20 m，其横断面是半径其横断面是半径R=2 m的圆储水深的圆储水深h=1 m，如果用装在高，如果用装在高H1=5 m处、截面积为处、截面积为2 cm2的水龙头放水，问需要多久才能将水放完？的水龙头放水，问需要多久才能将水放完？11nniiiiiQttSv 根据题意，水箱中的水从底部截面积为根据题意，水箱中的水从底部截面积为s的的小孔流出，若流速为小孔流出，若流速为vi，则时间，则时间ti内的水流内的水流量量Qi=vi ti S；总
25、储水全部流尽的时间应为；总储水全部流尽的时间应为iQ2hRn iv2igh ih012hgHhHin 每层水放出时间的通项式为每层水放出时间的通项式为 2012R hnhgHhHiSn 2101lim2nniR hnthg HhHiSn 全部水箱储水放尽的总需时为全部水箱储水放尽的总需时为小孔流小孔流速速续解续解1i2n210111lim2nniR hnSghHhHin 21010111lim21nniR hnSg HhHhin HhH 12111lim1162nniinnSg 1111xxx 1111lim12162nniinnSg 21111lim12322nninnSg 12nn 116
26、42Sg 465642 1020 33.6 10 s 示例示例P0+P水水P0设小孔处一小片厚设小孔处一小片厚x、面积面积S的液的液片片,在内外压力之合力作用下获得在内外压力之合力作用下获得速度速度v v而离开小孔，而离开小孔，由动能定理由动能定理:212P SxSx v 水水水水PgH 水水水水2vgH P0 2012PP SxgH SxSx v 水水水水2012P PgHv 水水水水02P PvgH 水水返回返回PP+P水水 质量为质量为m的小球以某一初速度竖直上抛，若运动中所的小球以某一初速度竖直上抛，若运动中所受阻力受阻力Ff=kv2，最大阻力为重力的，最大阻力为重力的0.44倍，试求
27、小球上升的最大高度倍，试求小球上升的最大高度H及落回抛出点时的速度及落回抛出点时的速度vt 本题通过元过程的动能定理本题通过元过程的动能定理,用微元法求得终解用微元法求得终解!本题研究过程中有重力功与阻力功本题研究过程中有重力功与阻力功,其中阻力功其中阻力功为耗散功为耗散功,且为一按指数规律变化的力且为一按指数规律变化的力!1lim1xxex 取上升过程中的某一元过程：该过程小球上升了高度H/n(n)，速度从vi减少为vi+1，各元过程中的阻力可视为不变为2fiiFkv 2iiFmgkv 合外力根据动能定理，对该元过程有即 222112iiiHmgkvm vvn 对该式变形有 22122iii
28、mgkvmgkvkHnmmgkv 21imgkv 22122iiivvHnmm gkv 21221iimgkvkHnmmgkv 续解续解21221iimgkvkHnmmgkv 21221iimgkvkHnmmgkv 由由知知在各相同的上升高度在各相同的上升高度H/n微元中，合外微元中，合外力大小成等比数列递减、因而动能的增力大小成等比数列递减、因而动能的增量是成等比数列递减的，其公比为量是成等比数列递减的，其公比为则则21221nniimgkvkHnmmgkv 2221nmkHkHmkHnm 对上式两边取极限:222122limlim1nmkHnkHminnimgkvkHnmmgkv 0.44
29、mg0211.44kHme ln1.442kHm 同理,对下落过程由 222112iiiHmgkvm vvn 21221iimgkvkHnmmgkv 对此式两边取n次方当n极限:续解续解222122limlim1nmkHnkHminnimgkvkHnmmgkv 02tkv6ln5mk 22kHmtmgemgkv 2ln2tmmgHkmgkv 21.44tmgmgkv 0.441.44tmgvk 200.44vgkm 由题给条件056tvv 小球落回抛出点时的速度是抛出时速度的六分之五小球落回抛出点时的速度是抛出时速度的六分之五 查阅查阅R 一质点在光滑的固定半球面上距球心高度为一质点在光滑的固
30、定半球面上距球心高度为H的任意的任意点点P，在重力作用下由静止开始往下滑，从，在重力作用下由静止开始往下滑，从Q点离开球面，求点离开球面，求PQ两两点的高度差点的高度差h 本题除重力外无非保守力的功本题除重力外无非保守力的功,机械能守恒机械能守恒!设球半径为设球半径为R RPQHmgv h 由机械能守恒:212mghmv Q点动力学方程为:2sinvmgmR 由几何关系:sinHhR 3hH 2HRmghmgRR 若质点从球顶部无初速滑下，则可沿球面滑下若质点从球顶部无初速滑下，则可沿球面滑下R/3的高度，释放高的高度，释放高度度H越小，沿球面滑下的高度越短这是一个有趣又有用的模型越小，沿球面
31、滑下的高度越短这是一个有趣又有用的模型 xy 如图甲所示，把质量均为如图甲所示，把质量均为m的两个小钢球用长为的两个小钢球用长为2L的线连接，的线连接，放在光滑的水平面上在线的中央放在光滑的水平面上在线的中央O作用一个恒定的拉力，其大小为作用一个恒定的拉力，其大小为F，其方向沿，其方向沿水平方向且与开始时连线的方向垂直，连线是非常柔软且不会伸缩的，质量可忽水平方向且与开始时连线的方向垂直，连线是非常柔软且不会伸缩的，质量可忽略不计试求：略不计试求：当两连线的张角为当两连线的张角为2时，如图乙所示，在与力时，如图乙所示，在与力垂直的方向上垂直的方向上钢球所受的作用力是多少？钢球所受的作用力是多少
32、？钢球第一次碰撞时，在与力钢球第一次碰撞时，在与力垂直的方向上，钢球垂直的方向上，钢球的对地速度为多少？的对地速度为多少？经过若干次碰撞，最后两个钢球一直处于接触状态下运动，经过若干次碰撞，最后两个钢球一直处于接触状态下运动，试求由于碰撞而失去的总能量为多少？试求由于碰撞而失去的总能量为多少？OFO甲甲F乙乙在如示坐标中分解力在如示坐标中分解力F FF在与在与F F垂直方向上线对钢球的力大小为垂直方向上线对钢球的力大小为tan2yFF 设钢球第一次碰撞时沿设钢球第一次碰撞时沿F方向速度为方向速度为vx，垂直于垂直于F方向速度为方向速度为vy，设力，设力F的位移为的位移为x，由动能定理由动能定理
33、 2222122xyxyFxm vvmvmv 在x方向上:2222xvFmamxL 2xF xLvm yvFLm 达到终态时，两球达到终态时，两球vy=0=0，F F总位移总位移X，有，有 2122XFXmvE 22FFXmXLEm FEL yF 军训中，战士距墙军训中，战士距墙S0以速度以速度v0起跳，如图所示，再用脚蹬墙面起跳，如图所示，再用脚蹬墙面一次使身体变为竖直向上的运动以继续升高，墙面与鞋底之间的静摩擦因数为一次使身体变为竖直向上的运动以继续升高，墙面与鞋底之间的静摩擦因数为求能使人体重心有最大总升高求能使人体重心有最大总升高Hmax的起跳角的起跳角 S0v0 设抵达墙时战士速度为
34、设抵达墙时战士速度为v，蹬墙后速，蹬墙后速度为度为v,各矢量间关系如示，各矢量间关系如示，vgt1tan v0v vv 从起跳至上升至最高从起跳至上升至最高H H处，由机械能守恒处，由机械能守恒:221012mghm vv2212mghmv 22202Hvvvg 22200cossinvvvgt 由矢量图所示关系由矢量图所示关系:00cossinvvvgt 00cosstv 其其中中 22001sincos22Hvgsg 222100111costan22vgsg 当当时时11tan 2200max12vHsg 质量为质量为M、长为、长为l的板放在冰面上，在板的一端坐着质量为的板放在冰面上，在
35、板的一端坐着质量为m的的小猫它要跳到板的另一端，问小猫对冰面的最小速度小猫它要跳到板的另一端，问小猫对冰面的最小速度v0min应为多少？小猫为使跳应为多少？小猫为使跳到板的另一端所消耗的能量最少，到板的另一端所消耗的能量最少，问它的初速度问它的初速度v0应该与水平面成多大角应该与水平面成多大角？猫消耗能量猫消耗能量E，使猫及木板获得初动能：使猫及木板获得初动能：2201122EmvMV耗耗起跳时间t内m与M间水平方向相互作用力大小相等，故有0cosvVmMtt 0cosmVvM 猫从跳离板一端到落至板另一端历时由竖直方向分运动得 02sinvtg 这段时间内猫对板的位移应满足 0coslvV
36、t 00cos2sinMmvvMg 202sincosMglvMm 2222cos2sincosmMglVMMm cottan2mglEMmMMm 耗耗利用基本不利用基本不等式性质等式性质：当当时时tanMmM min4mgMElMm 耗耗 如图所示，厚度不计的圆环套在粗细均匀、长度为如图所示，厚度不计的圆环套在粗细均匀、长度为L的棒的上端，的棒的上端，两者质量均为两者质量均为m，圆环与棒间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，大小为一常数，圆环与棒间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，大小为一常数，为为kmg（k1）棒能沿光滑的竖直细杆）棒能沿光滑的竖直细杆AB上下滑动，棒与地碰撞时触地时间极上下滑动，棒
37、与地碰撞时触地时间极短，且无动能损失设棒从其下端距地高度为短，且无动能损失设棒从其下端距地高度为H处由静止自由下落，与地经处由静止自由下落，与地经n次碰次碰撞后圆环从棒上脱落撞后圆环从棒上脱落分析棒第二次碰地以前的过程中，环与棒的运动情况，求分析棒第二次碰地以前的过程中，环与棒的运动情况，求出棒与环刚达到相对静止时，棒下端距地高度出棒与环刚达到相对静止时，棒下端距地高度h；求出求出n、k、L、H四个量应满四个量应满足的关系足的关系 由机械能守恒，棒第一次碰地以前速度由机械能守恒，棒第一次碰地以前速度ABLH2gH棒与地相碰后瞬时速度大小不变、方向向上，棒与地相碰后瞬时速度大小不变、方向向上，1
38、kg 向向下下2gH 1kmg 加速度为加速度为环速度 2gH2gH环加速度 1kg 向向上上mgkmg棒与环相对初速度 2 2vgH 相相向向下下相对加速度 2akg 相相向向上上棒与环相对静止时棒与环相对静止时 2122vHxak相相相相相相位位移移对对历历时时 22vHtak g相相相相环与棒的共同速度环与棒的共同速度 1122VgHkgHgtk从棒从地面向上到与环相对静止的过程中，一对摩擦从棒从地面向上到与环相对静止的过程中，一对摩擦力做负功，重力分别对环、棒做负功，力做负功，重力分别对环、棒做负功，由动能定理：由动能定理：221111122222kmg xmgh mg h xmVmg
39、H 续解续解21hkHk 222221122222gHHHkmgmghmg hmmgHkkk 棒与环一起以棒与环一起以V1自由下自由下落落h至第二次落地至第二次落地时速度仍由机械能守恒时速度仍由机械能守恒 221222111222222kgHmVmgHmvvkk 此后棒与环相对滑动 222222222222gHHvxakkgk 相相则若在碰则若在碰n次后环脱离棒，次后环脱离棒，n、k、L、H四个量应满足的关系：四个量应满足的关系：231231111111122nnHLHkkkkkkkk 111112nnnnnnkLkHkkkk 2iixHk 查阅查阅 钢球沿着光滑的长梯弹跳，在每一级台阶上仅跳
40、一次，如图所钢球沿着光滑的长梯弹跳，在每一级台阶上仅跳一次，如图所示每次与台阶碰撞时，球要损失示每次与台阶碰撞时，球要损失50的机械能试求小球抛出时的初速度的机械能试求小球抛出时的初速度v及其与竖直线的夹角及其与竖直线的夹角（梯子台阶的高度（梯子台阶的高度h10cm，宽，宽l20cm）lh 根据题意，第一次与平台碰撞前后有 221150%22mvmv起起22vv 起起v v v落落v起起v v每次跳起到落到下一台阶的过程中,有 2212mghm vv落落起起221150%22mvmv落落起起v起起v起起22vgh 起起4vgh m m/s s2 v落落 由水平方向的匀速运动得钢球每一次飞行时间
41、 sinltv 落落coscosvvgt落落起起21cos2hv tgt 起起22cos20gtv th 落落23tan4tan10代入数据整理后得11tan3 1tan 1 另另说明起跳速度说明起跳速度变为水平，除变为水平，除钢球落在拐点钢球落在拐点情况外，应舍情况外，应舍去此解去此解 取元功作微元，以功能原理为基本依据求取元功作微元，以功能原理为基本依据求得一类物理问题解答的方法，我们称之为得一类物理问题解答的方法，我们称之为“元元功法功法”.这种解法所循基本原理是分析力学中这种解法所循基本原理是分析力学中的的“虚功原理虚功原理”，由伯努利首先提出的用元，由伯努利首先提出的用元功法可以处理
42、某些平衡问题，且颇为简单功法可以处理某些平衡问题，且颇为简单 元功法元功法 元功法处理平衡问题基本思路元功法处理平衡问题基本思路 取与原平衡状态逼近的另一平衡状态，从取与原平衡状态逼近的另一平衡状态，从而虚设一个元过程，此过程中所有元功之和为而虚设一个元过程，此过程中所有元功之和为零，以此为基本关系列出方程，通过极限处理，零，以此为基本关系列出方程，通过极限处理，求得终解求得终解 如图所示，质量为如图所示，质量为m、长度为、长度为l的均匀柔软粗绳，的均匀柔软粗绳，穿过半径穿过半径R的滑轮，绳的两端吊在天花板上的两个钉子上，两钩间的滑轮，绳的两端吊在天花板上的两个钉子上，两钩间距离为距离为2R，
43、滑轮轴上挂一重物，重物与滑轮总质量为，滑轮轴上挂一重物，重物与滑轮总质量为M，且相互间，且相互间无摩擦，求绳上最低点无摩擦，求绳上最低点C处的张力处的张力 本题用元功法求解本题用元功法求解!分析粗绳、滑轮和重物构成的系统的受力情况分析粗绳、滑轮和重物构成的系统的受力情况AOCRBTA(M+m)g 12ATmM g分析绳之一半的受力情况分析绳之一半的受力情况TC设想在设想在A处以力处以力TA将将ABC段绳竖直向上拉过一极小距离段绳竖直向上拉过一极小距离xAAWTx CCWTx 2mlRExgRl 由功能原理由功能原理 122cmlRmM gxTxxg Rl 2lR 22cMlmRglT xaba
44、 b 如图示，一轻三足支架每边长度均为如图示，一轻三足支架每边长度均为l,每边与竖直线成同一角度，每边与竖直线成同一角度，三足置于一光滑水平面上三足置于一光滑水平面上,且恒成一正三角形，现用一绳圈套在三足支架的三足上且恒成一正三角形，现用一绳圈套在三足支架的三足上,使其不能改变与竖直线间的夹角，设三足支架负重为使其不能改变与竖直线间的夹角，设三足支架负重为G，试求绳中张力，试求绳中张力FT 本题用元功法求解本题用元功法求解!分析支架的受力情况分析支架的受力情况GFTFN3TF设想支架各边足部在绳合力作用下向正设想支架各边足部在绳合力作用下向正三角形中心移动一极小位移三角形中心移动一极小位移 x
45、:3TTWFx xy支架每个足部绳合力元功支架每个足部绳合力元功负重重力势能增量负重重力势能增量pEGy x与与y几何关系如示几何关系如示:xa 3TFyb 当当x0,0,a bab sincosxy 由功能原理由功能原理33tanTFxGx tanyx tan3 3TFG BAC 如图如图,所示的曲柄连杆机构中，设曲柄端所示的曲柄连杆机构中，设曲柄端A A上所受的上所受的竖直力为竖直力为Q Q，由活塞，由活塞D D上所受的水平力上所受的水平力P P维持平衡，试用元功法求维持平衡，试用元功法求P P与与Q Q的比值图中的比值图中、为已知为已知 CBAPD设想设活塞设想设活塞D（即连杆的（即连杆
46、的B端）端）以速度以速度v通过一微小位移通过一微小位移x，与此同时，连杆与此同时，连杆A端以速度端以速度vA绕绕C点通过一小段弧点通过一小段弧vnvvAvAvv-90 xvA 与与v杆约束相关关系如示杆约束相关关系如示 vA方向与曲柄方向与曲柄CA垂直，且是与垂直，且是与B相同的水平速度相同的水平速度v及对及对B点的转动速点的转动速度度vn的矢量和的矢量和 sin 90sinAvv 由由 cossinAvv 得得Qy在力P发生水平位移x的时间内,力Q发生的竖直位移为cosAyvt cossiosncv t coscossinyx x 由元功法得由元功法得PxQy 1tantan coscoss
47、inPQ 如图所示，均匀杆如图所示，均匀杆OA重重G1，能在竖直面内绕固定轴，能在竖直面内绕固定轴O转动，转动，此杆的此杆的A端用铰链连住另一重端用铰链连住另一重G2的均匀杆的均匀杆AB，在，在AB杆的杆的B端施一水平力端施一水平力F，试用元，试用元功法求二杆平衡时各杆与水平所成的角度功法求二杆平衡时各杆与水平所成的角度及及 FO AB分析连杆的受力情况分析连杆的受力情况G1G2xy 11,xy 22,xy 33,xy1111cossin22llxy 222121cossincossin22llxlyl 312312coscossinsinxllyll 设想水平力使设想水平力使AB杆的杆的B端
48、移动极小位移端移动极小位移x3 则则312coscoscoscosxll 12sinsinll 111sinsincos22lly 21coscos2ll 221sinsinsinsin2lyl 续解续解同时，同时，G1、G2力沿力方力沿力方向的极小位向的极小位移各为：移各为：31122FxGyGy 由元功法得由元功法得将各力的微小位移代入将各力的微小位移代入:12sinsinlFl 查阅查阅12211coscosco22sllGGl 12112 122sincoscoscossin22llFlGG lGFl 该等式成立须该等式成立须1112 1sincoscos02lFlGG l 222cossin02lGFl 1222tan2tan2GGFGF
