1、专题（二）实际应用题题型解读实际应用题在湖南的各地中考中,一般都呈现在第3大题或第4大题中,所占的分值在812 分之间,考查的形式多与方程(组)、不等式、函数及图象、最值相结合,利用二次函数的最值的考查也是中考常结合的考查内容.例1 2020济宁“绿水青山就是金山银山”,为了保护生态环境,A,B两村准备各自清理所属区域养鱼网箱和捕鱼网箱,每村参加清理人数及总开支如下表:(1)若两村清理同类渔具的人均支出费用一样,求清理养鱼网箱和捕鱼网箱的人均支出费用分别是多少元.(2)在人均支出费用不变的情况下,为了节约开支,两村准备抽调40人共同清理养鱼网箱和捕鱼网箱,要使总支出不超过102000 元,且清
2、理养鱼网箱人数小于清理捕鱼网箱人数,则有哪几种分配清理人员的方案?题型一购买分配类问题村庄清理养鱼网箱人数清理捕鱼网箱人数总支出/元A15957000B101668000题型一根据实际问题判断函数图象【分层分析】(1)设清理养鱼网箱的人均支出费用为x元,清理捕鱼网箱的人均支出费用为y元,根据A,B两村庄的总支出列出关于x,y的方程组,解之可得;(2)设m人清理养鱼网箱,则(40-m)人清理捕鱼网箱,根据“总支出不超过102 000 元,且清理养鱼网箱人数小于清理捕鱼网箱人数”列不等式组求解可得.题型一根据实际问题判断函数图象解:(1)设清理养鱼网箱的人均支出费用为 x 元,清理捕鱼网箱的人均支
3、出费用为 y 元.根据题意列方程组,得 15?+9?=57000,10?+16?=68000,解得?=2000,?=3000.答:清理养鱼网箱的人均支出费用为 2000元,清理捕鱼网箱的人均支出费用为 3000元.例1 2020济宁“绿水青山就是金山银山”,为了保护生态环境,A,B两村准备各自清理所属区域养鱼网箱和捕鱼网箱,每村参加清理人数及总开支如下表:(2)在人均支出费用不变的情况下,为了节约开支,两村准备抽调40 人共同清理养鱼网箱和捕鱼网箱,要使总支出不超过102000 元,且清理养鱼网箱人数小于清理捕鱼网箱人数,则有哪几种分配清理人员的方案?题型一购买分配类问题村庄清理养鱼网箱人数清
4、理捕鱼网箱人数总支出/元A15957000B101668000题型一根据实际问题判断函数图象(2)设清理养鱼网箱人数为 m,则清理捕鱼网箱人数为(40-m).根据题意,得:2000?+3000(40-?)102000,?40-?,解得 18m25);收费方式B:y=50(0 x50),y=50+3(x-50)=3x-100(x50);收费方式C:y=120(x0).题型一根据实际问题判断函数图象(1)当月上网时间不超过 25 h时,收费方式 A 收费 30元,收费方式 B 收费 50元,收费方式 C 收费 120元,故若月上网时间不超过 25 h,则选择 A 方式更划算.(2)若月上网时间超过
5、 25 h,但不超过 50 h,则当 y=3x-45=50时,解得 x=953,故当月上网时间超过 25 h,但不超过953h时,选择方式 A 划算;若月上网时间超过953h,但不超过 50 h,则选择方式 B 更划算.(3)当 y=3x-100120时,解得 x2203,故当月上网时间超过2203时,选择方式 C 更划算.题型二工程、行程类问题例2 某工程队承包了某标段全长1800 米的过江隧道施工任务,甲、乙两个组分别从东、西两端同时掘进.已知甲组比乙组平均每天多掘进2米,经过5天施工,两组共掘进了60米.(1)求甲、乙两组平均每天分别掘进多少米.(2)为了加快工程进度,通过改进施工技术,
6、在剩余的工程中,甲组平均每天能比原来多掘进2米,乙组平均每天能比原来多掘进1米.按此施工进度,能够比原来少用多少天完成任务?解:(1)设甲组平均每天掘进 x米,乙组平均每天掘进 y 米.根据题意,得?-?=2,5(?+?)=60,解得?=7,?=5.答:甲组平均每天掘进 7米,乙组平均每天掘进 5 米.题型二工程、行程类问题例2 某工程队承包了某标段全长1800 米的过江隧道施工任务,甲、乙两个组分别从东、西两端同时掘进.已知甲组比乙组平均每天多掘进2米,经过5天施工,两组共掘进了60米.(2)为了加快工程进度,通过改进施工技术,在剩余的工程中,甲组平均每天能比原来多掘进2米,乙组平均每天能比
7、原来多掘进1米.按此施工进度,能够比原来少用多少天完成任务?(2)按原来的施工进程需要的时间为(1800-60)(7+5)=145(天),改进施工技术后还需要的时间为(1800-60)(7+2+5+1)=116(天),节省时间为145-116=29(天).答:改进施工技术后,能够比原来少用29天完成任务.题型二根据函数性质判断函数图象【分层分析】(1)设甲组平均每天掘进x米,乙组平均每天掘进y米,根据“甲组比乙组平均每天多掘进2米,经过5天施工,两组共掘进了60米”,即可得出关于x,y的二元一次方程组,解之即可得出结论;(2)根据工作时间=工作总量工作效率,分别求出按原来施工进程及改进施工技术
8、后完成剩余工程所需时间,作差后即可得出结论.【方法点析】解决工程、行程类问题时,我们一般采用方程的思想,重点通过列方程去解决问题,在解方程中要用到“工程总量”与“工作效率”两个公式,通过对应的等量关系(等式或差值)去正确列出方程是解题的关键.题型二根据函数性质判断函数图象【分层分析】(1)设甲组平均每天掘进x米,乙组平均每天掘进y米,根据“甲组比乙组平均每天多掘进2米,经过5天施工,两组共掘进了60米”,即可得出关于x,y的二元一次方程组,解之即可得出结论;(2)根据工作时间=工作总量工作效率,分别求出按原来施工进程及改进施工技术后完成剩余工程所需时间,作差后即可得出结论.【方法点析】解决工程
9、、行程类问题时,我们一般采用方程的思想,重点通过列方程去解决问题,在解方程中要用到“工程总量”与“工作效率”两个公式,通过对应的等量关系(等式或差值)去正确列出方程是解题的关键.题型二根据函数性质判断函数图象拓展1 2020徐州 徐州至北京的高铁里程约为700 km,甲、乙两人从徐州出发,分别乘坐“徐州号”高铁A与“复兴号”高铁B前往北京.已知A车的平均速度比B车的平均速度慢80 km/h,A 车的行驶时间比B车的行驶时间多40%,两车的行驶时间分别为多少?解:设 B 车行驶的时间为 x h,则 A 车行驶的时间为(1+40%)x h.根据题意,得700(1+40%)?+80=700?,解得
10、x=2.5.经检验 x=2.5 是分式方程的解.所以(1+40%)x=3.5.答:A 车,B 车的行驶时间分别为 3.5 h和 2.5 h.题型二根据函数性质判断函数图象拓展 2 一辆汽车从 A 地驶往 B 地,前13路段为普通公路,其余路段为高速公路,已知汽车在普通公路上行驶的速度为 60 km/h,在高速公路上行驶的速度为 100 km/h,汽车从 A 地到B 地一共行驶了 2.2 h,普通公路和高速公路分别是多少千米?解:设普通公路的长为 x km,高速公路的长为y km.根据题意,得?=2?,?60+?100=2.2,解得?=60,?=120,答:普通公路的长为 60 km,高速公路的
11、长为120 km.题型三增长率问题例3 2020安顺 某地2015 年为了做好“精准扶贫”,投入资金1280 万元用于异地安置,并规划投入资金逐年增加,2020 年在2015 年的基础上增加投入资金1600 万元.(1)从2015 年到2020 年,该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少?(2)在2020 年异地安置的具体实施中,该地计划投入资金不低于500 万元用于优先搬迁租房奖励,规定前1000 户(含第1000 户)每户每天奖励8元,1000 户以后每户每天奖励5元,按租房400 天计算,求2020 年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励.解:(1)设该地投入异地安置资金的年平均增长
12、率为x.根据题意,得1280(1+x)2=1280+1600,解得x=0.5 或x=-2.5(舍去).答:从2015 年到2020 年,该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%.(2)设2020 年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励.81000 400=32000001000.根据题意,得1000 8400+(a-1000)54005000000,解得a1900.答:2020 年该地至少有1900 户享受到优先搬迁租房奖励.题型三增长率问题【分层分析】(1)设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x,根据2015 年及2020 年该地投入异地安置资金,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其正值即
13、可得出结论;(2)设2020 年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励,根据投入的总资金=前1000 户奖励的资金+超出1000 户奖励的资金,结合该地投入的奖励资金不低于500 万元,即可得出关于a的一元一次不等式,解之取其中的最小值即可得出结论.【方法点析】在列方程中找准等量关系,正确使用“a(1x)2=p”列方程和解方程即可.题型三增长率问题拓展1 2020眉山 我市某楼盘准备以每平方米6000 元的均价对外销售,由于国务院有关房地产的新政策出台后,购房者持币观望,为了加快资金周转,房地产开发商对价格经过连续两次下调,决定以每平方米4860 元的均价开盘销售,则平均每次下调的百分率是()A.8
14、%B.9%C.10%D.11%拓展2 某文具店10月份销售铅笔100 支,11,12 两个月销售量连续增长,若月平均增长率为x,则该文具店12月份销售铅笔的支数是()A.100(1+x)B.100(1+x)2C.100(1+x2)D.100(1+2x)CB题型三增长率问题拓展3 2020沈阳 某公司今年1月份的生产成本是400 万元,由于改进技术,生产成本逐月下降,3月份的生产成本是361 万元.假设该公司2,3,4 月每个月生产成本的下降率都相同.(1)求每个月生产成本的下降率;(2)请你预测4月份该公司的生产成本.解:(1)设每个月生产成本的下降率为x.根据题意,得400(1-x)2=36
15、1,解得x1=0.05=5%,x2=1.95(不合题意,舍去).答:每个月生产成本的下降率为5%.(2)361(1-5%)=342.95(万元).答:预测4月份该公司的生产成本为342.95 万元.题型四利润最值问题例4 2020 毕节 某商店销售一款进价为每件40元的护肤品,调查发现,当销售单价不低于40元且不高于80元时,该商品的日销售量y(件)与销售单价x(元/件)之间存在一次函数关系,当销售单价为44元/件时,日销售量为72件;当销售单价为48元/件时,日销售量为64件.(1)求y与x之间的函数关系式.(2)设该护肤品的日销售利润为w(元),当销售单价x为多少时,日销售利润w最大,最大
16、日销售利润是多少?解:(1)设 y 与 x之间的函数关系式为 y=kx+b(k0).由题意,得 44?+?=72,48?+?=64,解得?=-2,?=160.所以 y与 x 之间的函数关系式是 y=-2x+160(40 x80).(2)由题意,得 w 与 x之间的函数关系式为 w=(x-40)(-2x+160)=-2x2+240 x-6400=-2(x-60)2+800,当 x=60元时,利润 w最大,最大是 800元.所以当销售单价 x为 60元/件时,日销售利润 w最大,最大日销售利润是 800元.题型四利润最值问题【分层分析】(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k0),将(44
17、,72),(48,64)代入,利用待定系数法即可求出一次函数的表达式;(2)根据(1)的函数关系式,利用求二次函数最值的方法便可解出答案.【方法点析】最值的应用关键在于将所列的式子转化为不等式或二次函数的形式,再通过求满足条件的不等式的整数解去求最值,或通过二次函数图象的顶点坐标公式(或函数图象)去求最值.题型四利润最值问题拓展1 2020曲靖 某公司计划购买A,B两种型号的电脑,已知购买一台A型电脑需0.6 万元,购买一台B型电脑需0.4万元,该公司准备投入资金y万元,全部用于购进35台这两种型号的电脑,设购进A型电脑x台.(1)求y关于x的函数表达式.(2)若购进B型电脑的数量不超过A型电
18、脑数量的2倍,则该公司至少需要投入资金多少万元?解:(1)由题意,得 0.6x+0.4(35-x)=y,整理得,y=0.2x+14(0 x0,y随 x的增大而增大,当 x=12时,y有最小值,最小值为 16.4.答:该公司至少需要投入资金 16.4万元.题型四利润最值问题拓展 2 2018仙桃 绿色生态农场生产并销售某种有机产品,假设生产出的产品能全部售出.如图 Z2-1,线段 EF,折线 ABCD 分别表示该有机产品每千克的销售价y1(元)、生产成本 y2(元)与产量 x(kg)之间的函数关系.(1)求该产品销售价 y1(元)与产量 x(kg)之间的函数关系式.(2)直接写出生产成本 y2(
19、元)与产量 x(kg)之间的函数关系式.(3)当产量为多少时,这种产品获得的利润最大?最大利润为多少?图 Z2-1 解:(1)设该产品的销售价 y1(元)与产量 x(kg)之间的函数关系式为 y1=kx+b.将E(0,168),F(180,60)分别代入,得?=168,180?+?=60,解得?=-0.6,?=168.y1=-0.6x+168(0 x180).题型四利润最值问题拓展 2 2018仙桃 绿色生态农场生产并销售某种有机产品,假设生产出的产品能全部售出.如图 Z2-1,线段 EF,折线 ABCD 分别表示该有机产品每千克的销售价y1(元)、生产成本 y2(元)与产量 x(kg)之间的
20、函数关系.(2)直接写出生产成本 y2(元)与产量 x(kg)之间的函数关系式.图 Z2-1(2)生产成本 y2(元)与产量 x(kg)之间的函数关系式为 y2=70(0?50),-0.2?+80(50?130),54(130?180).题型四利润最值问题拓展 2 2018仙桃 绿色生态农场生产并销售某种有机产品,假设生产出的产品能全部售出.如图 Z2-1,线段 EF,折线 ABCD 分别表示该有机产品每千克的销售价y1(元)、生产成本 y2(元)与产量 x(kg)之间的函数关系.(3)当产量为多少时,这种产品获得的利润最大?最大利润为多少?图 Z2-1 题型四利润最值问题(3)设当产量为 x
21、 kg时,这种产品获得的利润为 w元.当 0 x50时,w1=(-0.6x+168-70)x=-0.6x2+98x.对称轴为直线 x=2453,当 0 x50时,w1随着 x 的增大而增大,当 x=50时,w1有最大值,最大值为 3400元.当 50 x130时,w2=(-0.6x+168+0.2x-80)x=-0.4(x-110)2+4840,当 x=110时,w2有最大值,最大值为 4840元,当 130 x180时,w3=(-0.6x+168-54)x=-0.6x2+114 x.对称轴为直线 x=95,当 130 x180时,w3随 x的增大而减小,当 x=130时,w3有最大值,最大值
22、为 4680元.答:当产量为 110 kg时,有最大利润,最大利润为 4840元.题型五函数图象类问题例5 2020黔西南州 某种蔬菜的销售单价y1与销售月份x之间的关系如图Z2-2,成本y2与销售月份x之间的关系如图(图的图象是线段,图的图象是抛物线).(1)已知6月份这种蔬菜的成本最低,此时出售每千克的收益是多少元?(收益=售价-成本)(2)哪个月出售这种蔬菜,每千克的收益最大?简单说明理由.(3)已知市场部销售该种蔬菜4,5两个月的总收益为22万元,且5月份的销售量比4月份的销售量多2万千克,求4,5两个月的销售量分别是多少万千克.图 Z2-2 解:(1)当 x=6 时,y1=3,y2=
23、1.y1-y2=3-1=2,6 月份出售这种蔬菜每千克的收益是 2元.题型五函数图象类问题例5 2020黔西南州 某种蔬菜的销售单价y1与销售月份x之间的关系如图Z2-2,成本y2与销售月份x之间的关系如图(图的图象是线段,图的图象是抛物线).(2)哪个月出售这种蔬菜,每千克的收益最大?简单说明理由.图 Z2-2(2)设 y1=mx+n,y2=a(x-6)2+1.将(3,5),(6,3)分别代入 y1=mx+n,得 3?+?=5,6?+?=3,解得?=-23,?=7.y1=-23x+7.将(3,4)代入 y2=a(x-6)2+1,得 4=a(3-6)2+1,解得 a=13,y2=13(x-6)
24、2+1=13x2-4x+13.y1-y2=-23x+7-13x2-4x+13=-13x2+103x-6=-13(x-5)2+73.-130,当 x=5 时,y1-y2取最大值,最大值为73,即 5 月份出售这种蔬菜,每千克的收益最大.题型五函数图象类问题例5 2020黔西南州 某种蔬菜的销售单价y1与销售月份x之间的关系如图Z2-2,成本y2与销售月份x之间的关系如图(图的图象是线段,图的图象是抛物线).(3)已知市场部销售该种蔬菜4,5两个月的总收益为22万元,且5月份的销售量比4月份的销售量多2万千克,求4,5两个月的销售量分别是多少万千克.图 Z2-2(3)当 x=4 时,y1-y2=-
25、1316+1034-6=2.设 4月份的销售量为 t万千克,则 5月份的销售量为(t+2)万千克.根据题意,得 2t+73(t+2)=22,解得 t=4,t+2=6.答:4 月份的销售量为 4 万千克,5月份的销售量为 6万千克.题型五函数图象类问题【分层分析】(1)找出当x=6 时,y1,y2 的值,二者作差即可得出结论;(2)观察图象找出点的坐标,利用待定系数法即可求出y1,y2 关于x的函数关系式,二者作差后利用二次函数的性质即可解决最值问题;(3)求出当x=4 时,y1-y2 的值,设4月份的销售量为t万千克,则5月份的销售量为(t+2)万千克,根据总利润=每千克利润销售数量,即可得出
26、关于t的一元一次方程,解之即可得出结论.【方法点析】解函数图象题的关键:(1)观察函数图象,找出特殊点的坐标;(2)通过特殊点的坐标和函数表达式得出等量关系然后去解决问题.题型五函数图象类问题拓展1 2020上海 一辆汽车在某次行驶过程中,油箱中的剩余油量y(升)与行驶路程x(千米)之间是一次函数关系,其部分图象如图Z2-3 所示.(1)求y关于x的函数关系式(不需要写自变量的取值范围).(2)已知当油箱中的剩余油量为8升时,该汽车会开始提示加油.在此行驶过程中,行驶了500 千米时,司机发现离前方最近的加油站有30千米的路程,在开往加油站的途中,汽车开始提示加油,这时离加油站的路程是多少千米
27、?图 Z2-3 解:(1)设一次函数的关系式是 y=kx+b.由图象知,点(0,60)与点(150,45)在一次函数的图象上,将其坐标代入,得?=60,150?+?=45,解得?=60,?=-110.故 y=-110 x+60.题型五函数图象类问题拓展1 2020上海 一辆汽车在某次行驶过程中,油箱中的剩余油量y(升)与行驶路程x(千米)之间是一次函数关系,其部分图象如图Z2-3 所示.(2)已知当油箱中的剩余油量为8升时,该汽车会开始提示加油.在此行驶过程中,行驶了500 千米时,司机发现离前方最近的加油站有30千米的路程,在开往加油站的途中,汽车开始提示加油,这时离加油站的路程是多少千米?
28、图 Z2-3(2)当y=8 时,-x+60=8,解得x=520.30-(520-500)=10(千米).汽车开始提示加油时,离加油站的路程是10千米.题型五函数图象类问题拓展2 2020日照“低碳生活,绿色出行”的理念已深入人心,现在越来越多的人选择骑自行车上下班或外出旅游.周末,小红到郊外游玩,她从家出发0.5 h 后到达甲地,游玩一段时间后按照原速前往乙地,刚到达乙地,接到妈妈电话,快速返回家中.小红从家出发到返回家中,行进路程y(km)随时间x(h)变化的函数图象大致如图Z2-4.(1)小红从甲地到乙地骑车的速度为km/h;(2)当1.5x2.5时,求出路程y(km)关于时间x(h)的函
29、数解析式,并求乙地离小红家多少千米.图 Z2-4 解:(1)100.5=20(km/h).所以小红从甲地到乙地骑车的速度为20 km/h.题型五函数图象类问题拓展2 2020日照“低碳生活,绿色出行”的理念已深入人心,现在越来越多的人选择骑自行车上下班或外出旅游.周末,小红到郊外游玩,她从家出发0.5 h 后到达甲地,游玩一段时间后按照原速前往乙地,刚到达乙地,接到妈妈电话,快速返回家中.小红从家出发到返回家中,行进路程y(km)随时间x(h)变化的函数图象大致如图Z2-4.(2)当1.5x2.5时,求出路程y(km)关于时间x(h)的函数解析式,并求乙地离小红家多少千米.图 Z2-4 题型五函数图象类问题(2)20(2.5-1.5)=20,20+10=30,点 C 的坐标为(2.5,30).当 1.5x2.5 时,设路程 y(km)关于时间 x(h)的函数解析式为 y=kx+b.把点 B(1.5,10),点 C(2.5,30)的坐标分别代入 y=kx+b,得 1.5?+?=10,2.5?+?=30,解得?=20,?=-20.当 1.5x2.5时,路程 y(km)关于时间 x(h)的函数解析式为 y=20 x-20,乙地离小红家 30千米.
