1、初等数论与中学数学竞赛数学与统计学院数学与统计学院 陈国慧陈国慧一、数论概述n 人类从学会计数开始就一直和自然数打交道人类从学会计数开始就一直和自然数打交道了，后来由于实践的需要，数的概念进一步扩充，了，后来由于实践的需要，数的概念进一步扩充，自然数被叫做正整数，而把它们的相反数叫做负自然数被叫做正整数，而把它们的相反数叫做负整数，介于正整数和负整数中间的中性数叫做整数，介于正整数和负整数中间的中性数叫做0 0。它们合起来叫做整数。（注：现在，自然数的概它们合起来叫做整数。（注：现在，自然数的概念有了改变，包括正整数和念有了改变，包括正整数和0 0）。）。n 对于整数可以施行加、减、乘、除四种
2、运算，对于整数可以施行加、减、乘、除四种运算，叫做四则运算。其中加法、减法和乘法这三种运叫做四则运算。其中加法、减法和乘法这三种运算，在整数范围内可以毫无阻碍地进行。算，在整数范围内可以毫无阻碍地进行。数论概述n 也就是说，任意两个或两个以上的整数相加、相也就是说，任意两个或两个以上的整数相加、相减、相乘的时候，它们的和、差、积仍然是一个减、相乘的时候，它们的和、差、积仍然是一个整数。但整数之间的除法在整数范围内并不一定整数。但整数之间的除法在整数范围内并不一定能够无阻碍地进行。能够无阻碍地进行。n 人们在对整数进行运算的应用和研究中，逐步熟人们在对整数进行运算的应用和研究中，逐步熟悉了整数的
3、特性。比如，整数肤浅地划分可分为悉了整数的特性。比如，整数肤浅地划分可分为两大类两大类奇数和偶数（通常被称为单数、双数）；奇数和偶数（通常被称为单数、双数）；深刻地划分可以分为素数，合数，深刻地划分可以分为素数，合数，“1”“1”等。等。数论概述n 数论这门学科最初就是从研究整数开始的，数论这门学科最初就是从研究整数开始的，所以叫做整数论。后来整数论又进一步发展，就所以叫做整数论。后来整数论又进一步发展，就叫做数论了。确切的说，数论就是一门研究整数叫做数论了。确切的说，数论就是一门研究整数性质的学科。性质的学科。n 数论这一数学分支，历史悠久，而且有着强数论这一数学分支，历史悠久，而且有着强大
4、的生命力。数论问题叙述简明，大的生命力。数论问题叙述简明，“很多数论问很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事事”.数论的发展简况n 自古以来，数学家对于整数性质的研究一直十分自古以来，数学家对于整数性质的研究一直十分重视，但是直到十九世纪，这些研究成果还只是重视，但是直到十九世纪，这些研究成果还只是孤立地记载在各个时期的算术著作中，也就是说孤立地记载在各个时期的算术著作中，也就是说还没有形成完整统一的学科。还没有形成完整统一的学科。n 我国古代，许多著名
5、的数学著作中都有关于数我国古代，许多著名的数学著作中都有关于数论内容的论述，比如求最大公约数、勾股数组、论内容的论述，比如求最大公约数、勾股数组、某些不定方程整数解的问题等等。在国外，古希某些不定方程整数解的问题等等。在国外，古希腊时代的数学家对于数论中一个最基本的问题腊时代的数学家对于数论中一个最基本的问题整除性问题就有系统的研究，关于质数、合数、整除性问题就有系统的研究，关于质数、合数、因数、倍数等一系列概念也已经被提出来应用了。因数、倍数等一系列概念也已经被提出来应用了。n 后来的各个时代的数学家也都对整数性质的研究后来的各个时代的数学家也都对整数性质的研究做出过重大的贡献，使数论的基本
6、理论逐步得到做出过重大的贡献，使数论的基本理论逐步得到完善。完善。n 在整数性质的研究中，人们发现质数是构成正整在整数性质的研究中，人们发现质数是构成正整数的基本数的基本“材料材料”，要深入研究整数的性质就必，要深入研究整数的性质就必须研究质数的性质。因此关于质数性质的有关问须研究质数的性质。因此关于质数性质的有关问题，一直受到数学家的关注。题，一直受到数学家的关注。n 到了十八世纪末，历代数学家积累的关于整数性到了十八世纪末，历代数学家积累的关于整数性质零散的知识已经十分丰富了，把它们整理加工质零散的知识已经十分丰富了，把它们整理加工成为一门系统的学科的条件已经完全成熟了。成为一门系统的学科
7、的条件已经完全成熟了。n德国数学家高斯集中前人的大成，写了一本德国数学家高斯集中前人的大成，写了一本书叫做算术探讨，书叫做算术探讨，18001800年寄给了法国科学院，年寄给了法国科学院，但是法国科学院拒绝了高斯的这部杰作，高斯只但是法国科学院拒绝了高斯的这部杰作，高斯只好在好在18011801年自己发表了这部著作。这部书开始了年自己发表了这部著作。这部书开始了现代数论的新纪元。现代数论的新纪元。n 在算术探讨中，高斯把过去研究整数性质所在算术探讨中，高斯把过去研究整数性质所用的符号标准化了，把当时现存的定理系统化并用的符号标准化了，把当时现存的定理系统化并进行了推广，把要研究的问题和已知的方
8、法进行进行了推广，把要研究的问题和已知的方法进行了分类，还引进了新的方法。了分类，还引进了新的方法。数论的基本内容n 数论形成了一门独立的学科后，随着数学其他分数论形成了一门独立的学科后，随着数学其他分支的发展，研究数论的方法也在不断发展。如果支的发展，研究数论的方法也在不断发展。如果按照研究方法来说，可以分成初等数论、解析数按照研究方法来说，可以分成初等数论、解析数论、代数数论和几何数论四个部分。论、代数数论和几何数论四个部分。n 初等数论是数论中不求助于其他数学学科的帮助，初等数论是数论中不求助于其他数学学科的帮助，只依靠初等的方法来研究整数性质的分支。比如只依靠初等的方法来研究整数性质的
9、分支。比如中国古代有名的中国古代有名的“中国剩余定理中国剩余定理”，就是初等数，就是初等数论中很重要的内容。论中很重要的内容。n 关于关于“中国剩余定理中国剩余定理”:n公元公元4-54-5世纪之交的世纪之交的孙子算经孙子算经中有一个有中有一个有趣的问题：趣的问题：“今有物不知其数，三三数之剩二；今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二。问：物几何？五五数之剩三；七七数之剩二。问：物几何？”秦九韶对同余方程组进行了系统的理论研究，在秦九韶对同余方程组进行了系统的理论研究，在数书九章数书九章中创立了称之为大衍求一术的一整中创立了称之为大衍求一术的一整套算法，即把上述问题的解法推广
10、至盛誉中外的套算法，即把上述问题的解法推广至盛誉中外的“中国剩余定理中国剩余定理”-孙子定理。孙子定理。n 解析数论是使用数学分析作为工具来解决数解析数论是使用数学分析作为工具来解决数论问题的分支。数学分析是以函数作为研究对象论问题的分支。数学分析是以函数作为研究对象的、在极限概念的基础上建立起来的数学学科。的、在极限概念的基础上建立起来的数学学科。用数学分析来解决数论问题是由欧拉奠基的，俄用数学分析来解决数论问题是由欧拉奠基的，俄国数学家车比雪夫等也对它的发展做出过贡献。国数学家车比雪夫等也对它的发展做出过贡献。解析数论是解决数论中艰深问题的强有力的工具。解析数论是解决数论中艰深问题的强有力
11、的工具。比如，对于比如，对于“质数有无限多个质数有无限多个”这个命题，欧拉这个命题，欧拉给出了解析方法的证明，其中利用了数学分析中给出了解析方法的证明，其中利用了数学分析中有关无穷级数的若干知识。有关无穷级数的若干知识。n二十世纪三十年代，苏联数学家维诺格拉多二十世纪三十年代，苏联数学家维诺格拉多夫创造性的提出了夫创造性的提出了“三角和方法三角和方法”，这个方法对，这个方法对于解决某些数论难题有着重要的作用。我国数学于解决某些数论难题有着重要的作用。我国数学家陈景润在解决家陈景润在解决“哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想”问题中使用的问题中使用的是解析数论中的筛法。是解析数论中的筛法。n 代数数论是把整
12、数的概念推广到代数整数的一个代数数论是把整数的概念推广到代数整数的一个分支。数学家把整数概念推广到一般代数数域上分支。数学家把整数概念推广到一般代数数域上去，相应地也建立了素整数、可除性等概念。去，相应地也建立了素整数、可除性等概念。n 几何数论是由德国数学家、物理学家闵可夫斯基几何数论是由德国数学家、物理学家闵可夫斯基等人开创和奠基的。几何数论研究的基本对象是等人开创和奠基的。几何数论研究的基本对象是“空间格网空间格网”。什么是空间格网呢？在给定的直。什么是空间格网呢？在给定的直角坐标系上，坐标全是整数的点，叫做整点；全角坐标系上，坐标全是整数的点，叫做整点；全部整点构成的组就叫做空间格网。
13、空间格网对几部整点构成的组就叫做空间格网。空间格网对几何学和结晶学有着重大的意义。由于几何数论涉何学和结晶学有着重大的意义。由于几何数论涉及的问题比较复杂，必须具有相当的数学基础才及的问题比较复杂，必须具有相当的数学基础才能深入研究。能深入研究。n 数论是一门高度抽象的数学学科，长期以来，它数论是一门高度抽象的数学学科，长期以来，它的发展处于纯理论的研究状态，它对数学理论的的发展处于纯理论的研究状态，它对数学理论的发展起到了积极的作用。但对于大多数人来讲并发展起到了积极的作用。但对于大多数人来讲并不清楚它的实际意义。不清楚它的实际意义。n 由于近代计算机科学和应用数学的发展，数论得由于近代计算
14、机科学和应用数学的发展，数论得到了广泛的应用。比如在计算方法、代数编码、到了广泛的应用。比如在计算方法、代数编码、组合论等方面都广泛使用了初等数论范围内的许组合论等方面都广泛使用了初等数论范围内的许多研究成果；有文献报道，现在有些国家应用多研究成果；有文献报道，现在有些国家应用“孙子定理孙子定理”来进行测距，用原根和指数来计算来进行测距，用原根和指数来计算离散傅立叶变换等。离散傅立叶变换等。n 此外，数论的许多比较深刻的研究成果也在近似此外，数论的许多比较深刻的研究成果也在近似分析、差集合、快速变换等方面得到了应用。特分析、差集合、快速变换等方面得到了应用。特别是现在由于计算机的发展，用离散量
15、的计算去别是现在由于计算机的发展，用离散量的计算去逼近连续量而达到所要求的精度已成为可能。逼近连续量而达到所要求的精度已成为可能。n 数论在数学中的地位是独特的，高斯曾经说过数论在数学中的地位是独特的，高斯曾经说过“数学是科学的皇后，数论是数学中的皇冠数学是科学的皇后，数论是数学中的皇冠”。因此，数学家都喜欢把数论中一些悬而未决的疑因此，数学家都喜欢把数论中一些悬而未决的疑难问题，叫做难问题，叫做“皇冠上的明珠皇冠上的明珠”，以鼓励人们去，以鼓励人们去“摘取摘取”。下面简要列出几颗。下面简要列出几颗“明珠明珠”：费尔马：费尔马大定理、孪生素数问题、歌德巴赫猜想、圆内整大定理、孪生素数问题、歌德
16、巴赫猜想、圆内整点问题、完全数问题点问题、完全数问题n 费尔马大定理：起源于三百多年前，挑战人类费尔马大定理：起源于三百多年前，挑战人类3 3个世纪，多次震惊全世界，耗尽人类众多最杰出个世纪，多次震惊全世界，耗尽人类众多最杰出大脑的精力，也让千千万万业余者痴迷。终于在大脑的精力，也让千千万万业余者痴迷。终于在19941994年被安德鲁年被安德鲁怀尔斯攻克。古希腊的丢番图怀尔斯攻克。古希腊的丢番图写过一本著名的写过一本著名的“算术算术”，经历中世纪的愚昧黑，经历中世纪的愚昧黑暗到文艺复兴的时候，暗到文艺复兴的时候，“算术算术”的残本重新被发的残本重新被发现研究。现研究。16371637年，法国业
17、余大数学家费尔马年，法国业余大数学家费尔马（Pierre de FrematPierre de Fremat）在）在“算术算术”的关于勾股数的关于勾股数问题的页边上，写下猜想：问题的页边上，写下猜想：an+bn=cnan+bn=cn是不可是不可能的（这里能的（这里n n大于大于2 2；a a，b b，c c，n n都是非零整数都是非零整数)。此猜想后来就称为费尔马大定理。此猜想后来就称为费尔马大定理。n费尔马还写道费尔马还写道“我对此有绝妙的证明，但此我对此有绝妙的证明，但此页边太窄写不下页边太窄写不下”。一般公认，他当时不可能有。一般公认，他当时不可能有正确的证明。猜想提出后，经欧拉等数代天
18、才努正确的证明。猜想提出后，经欧拉等数代天才努力，力，200200年间只解决了年间只解决了n n3,4,5,73,4,5,7四种情形。四种情形。18471847年，库木尔创立年，库木尔创立“代数数论代数数论”这一现代重要这一现代重要学科，对许多学科，对许多n n（例如（例如100100以内）证明了费尔马大以内）证明了费尔马大定理，是一次大飞跃。定理，是一次大飞跃。n历史上费尔马大定理高潮迭起，传奇不断。历史上费尔马大定理高潮迭起，传奇不断。其惊人的魅力，曾在最后时刻挽救自杀青年于不其惊人的魅力，曾在最后时刻挽救自杀青年于不死。他就是德国的沃尔夫斯克勒，他后来为费尔死。他就是德国的沃尔夫斯克勒，
19、他后来为费尔马大定理设悬赏马大定理设悬赏1010万马克（相当于现在万马克（相当于现在160160万美万美元多），期限元多），期限1908190820072007年。无数人耗尽心力，年。无数人耗尽心力，空留浩叹。最现代的电脑加数学技巧，验证了空留浩叹。最现代的电脑加数学技巧，验证了400400万以内的万以内的N N，但这对最终证明无济于事。，但这对最终证明无济于事。19831983年德国的法尔廷斯证明了：对任一固定的年德国的法尔廷斯证明了：对任一固定的n n，最，最多只有有限多个多只有有限多个a a，b b，c c振动了世界，获得费尔振动了世界，获得费尔兹奖（数学界最高奖）。兹奖（数学界最高奖）
20、。n 历史的新转机发生在历史的新转机发生在19861986年夏，贝克莱年夏，贝克莱瑞波特瑞波特证明了证明了:费尔马大定理包含在费尔马大定理包含在“谷山丰谷山丰志村五志村五朗猜想朗猜想”之中。童年就痴迷于此的怀尔斯，闻之中。童年就痴迷于此的怀尔斯，闻此立刻潜心于顶楼书房此立刻潜心于顶楼书房7 7年，曲折卓绝，汇集了年，曲折卓绝，汇集了2020世纪数论所有的突破性成果。终于在世纪数论所有的突破性成果。终于在19931993年年6 6月月2323日剑桥大学牛顿研究所的日剑桥大学牛顿研究所的“世纪演讲世纪演讲”最后，最后，宣布证明了费尔马大定理。立刻震动世界，普天宣布证明了费尔马大定理。立刻震动世界，
21、普天同庆。不幸的是，数月后逐渐发现此证明有漏洞，同庆。不幸的是，数月后逐渐发现此证明有漏洞，一时更成世界焦点。一时更成世界焦点。n 这个证明体系是千万个深奥数学推理连接成千个最现代的这个证明体系是千万个深奥数学推理连接成千个最现代的定理、事实和计算所组成的千百回转的逻辑网络，任何一定理、事实和计算所组成的千百回转的逻辑网络，任何一环节的问题都会导致前功尽弃。怀尔斯绝境搏斗，毫无出环节的问题都会导致前功尽弃。怀尔斯绝境搏斗，毫无出路。路。19941994年年9 9月月1919日，星期一的早晨，怀尔斯在思维的闪日，星期一的早晨，怀尔斯在思维的闪电中突然找到了迷失的钥匙：解答原来就在废墟中！他热电中
22、突然找到了迷失的钥匙：解答原来就在废墟中！他热泪夺眶而出。怀尔斯的历史性长文泪夺眶而出。怀尔斯的历史性长文“模椭圆曲线和费尔马模椭圆曲线和费尔马大定理大定理”19951995年年5 5月发表在美国月发表在美国数学年刊数学年刊第第142142卷，实卷，实际占满了全卷，共五章，际占满了全卷，共五章，130130页。页。19971997年年6 6月月2727日，怀尔斯日，怀尔斯获得沃尔夫斯克勒获得沃尔夫斯克勒1010万马克悬赏大奖。离截止期万马克悬赏大奖。离截止期1010年，圆年，圆了历史的梦。他还获得沃尔夫奖了历史的梦。他还获得沃尔夫奖(1996.3(1996.3），美国国家科），美国国家科学家院
23、奖（学家院奖（1996.61996.6），费尔兹特别奖（），费尔兹特别奖（1998.81998.8）。）。孪生素数问题：n孪生素数是指一对素数，它们之间相差孪生素数是指一对素数，它们之间相差2 2。例如。例如3 3和和5 5，5 5和和7 7，1111和和1313，1001695710016957和和1001695910016959等等都是孪生素数。等等都是孪生素数。n 孪生素数猜想，即是否存在无穷多对孪生素数，是数论中孪生素数猜想，即是否存在无穷多对孪生素数，是数论中未解决的一个重要问题。未解决的一个重要问题。n哈代哈代-李特尔伍德猜想（李特尔伍德猜想（Hardy-Littlewood Ha
24、rdy-Littlewood conjectureconjecture）是孪生素数猜想的一个增强形式，猜测孪生）是孪生素数猜想的一个增强形式，猜测孪生素数的分布与素数定理中描述的素数分布规律相类似。素数的分布与素数定理中描述的素数分布规律相类似。19001900年希尔伯特在国际数学家大会上说有了素数公式，哥年希尔伯特在国际数学家大会上说有了素数公式，哥德巴赫猜想和孪生素数猜想都可以得到解决。德巴赫猜想和孪生素数猜想都可以得到解决。素数定理n 素数定理描述素数的大致分布情况。素数定理描述素数的大致分布情况。素数的出素数的出现规律一直困惑著数学家。一个个地看，素数在现规律一直困惑著数学家。一个个地
25、看，素数在正整数中的出现没有什么规律。可是总体地看，正整数中的出现没有什么规律。可是总体地看，素数的个数竟然有规可循。对正实数素数的个数竟然有规可循。对正实数x x，定义，定义(x)(x)为不大于为不大于x x的素数个数。数学家找到了的素数个数。数学家找到了一些函数来估计一些函数来估计(x)(x)的增长。以下是第一个这的增长。以下是第一个这样的估计。样的估计。(x)x/ln x(x)x/ln x 其中其中ln xln x为为x x的自然的自然对数。上式的意思是当对数。上式的意思是当x x趋近趋近，(x)(x)和和x/ln x/ln x x的比趋近的比趋近1.1.（注：该结果为高斯所发现）。（注
26、：该结果为高斯所发现）。歌德巴赫猜想：n 哥德巴赫猜想的由来哥德巴赫猜想的由来n 17291729年年17641764年，哥德巴赫与欧拉保持了长达三年，哥德巴赫与欧拉保持了长达三十五年的书信往来。在十五年的书信往来。在17421742年年6 6月月7 7日给欧拉的信日给欧拉的信中，哥德巴赫提出了一个命题。他写道：中，哥德巴赫提出了一个命题。他写道：我的我的问题是这样的：随便取某一个奇数，比如问题是这样的：随便取某一个奇数，比如7777，可，可以把它写成三个素数之和：以把它写成三个素数之和：77=53+17+777=53+17+7；再任取；再任取一个奇数，比如一个奇数，比如461461，461=
27、449+7+5461=449+7+5，也是三个素，也是三个素数之和，数之和，461461还可以写成还可以写成257+199+5257+199+5，仍然是三个，仍然是三个素数之和。这样，我发现：任何大于素数之和。这样，我发现：任何大于5 5的奇数都的奇数都是三个素数之和。是三个素数之和。歌德巴赫猜想：n 但这怎样证明呢？虽然做过的每一次试验都得到但这怎样证明呢？虽然做过的每一次试验都得到了上述结果，但是不可能把所有的奇数都拿来检了上述结果，但是不可能把所有的奇数都拿来检验，需要的是一般的证明，而不是个别的检验。验，需要的是一般的证明，而不是个别的检验。欧拉回信说：欧拉回信说：“这个命题看来是正确
28、的这个命题看来是正确的”。但。但是他也给不出严格的证明。同时欧拉又提出了另是他也给不出严格的证明。同时欧拉又提出了另一个命题：任何一个大于一个命题：任何一个大于2 2的偶数都是两个素数的偶数都是两个素数之和，但是这个命题他也没能给予证明。不难看之和，但是这个命题他也没能给予证明。不难看出，哥德巴赫的命题是欧拉命题的推论。出，哥德巴赫的命题是欧拉命题的推论。歌德巴赫猜想n 事实上，任何一个大于事实上，任何一个大于5 5的奇数都可以写成如下形式：的奇数都可以写成如下形式：2N+1=3+2(N-1)2N+1=3+2(N-1)，其中，其中2(N-1)42(N-1)4。若欧拉的命题成立，。若欧拉的命题成
29、立，则偶数则偶数2N2N可以写成两个素数之和，于是奇数可以写成两个素数之和，于是奇数2N+12N+1可以可以写成三个素数之和，从而，对于大于写成三个素数之和，从而，对于大于5 5的奇数，哥德巴赫的奇数，哥德巴赫的猜想成立。的猜想成立。n 但是哥德巴赫的命题成立并不能保证欧拉命题的成立。因但是哥德巴赫的命题成立并不能保证欧拉命题的成立。因而欧拉的命题比哥德巴赫的命题要求更高。而欧拉的命题比哥德巴赫的命题要求更高。n现在通常把这两个命题统称为哥德巴赫猜想。即现在通常把这两个命题统称为哥德巴赫猜想。即1.1.每每个不小于个不小于6 6的偶数都可以表示为两个奇素数之和；的偶数都可以表示为两个奇素数之和
30、；2.2.每个每个不小于不小于9 9的奇数都可以表示为三个奇素数之和。的奇数都可以表示为三个奇素数之和。中国数学家的贡献n华罗庚是中国最早从事哥德巴赫猜想的数学华罗庚是中国最早从事哥德巴赫猜想的数学家。家。1936193619381938年，他赴英国剑桥大学留学，在年，他赴英国剑桥大学留学，在哈代的指导下从事数论研究，并开始研究哥德巴哈代的指导下从事数论研究，并开始研究哥德巴赫猜想，取得了很好的成果，证明了对于赫猜想，取得了很好的成果，证明了对于“几乎几乎所有所有”的偶数，猜想（的偶数，猜想（1 1）都是正确的。）都是正确的。19501950年，年，华罗庚从美国回国，在中科院数学研究所组织数华
31、罗庚从美国回国，在中科院数学研究所组织数论研究讨论班，选择哥德巴赫猜想作为讨论的主论研究讨论班，选择哥德巴赫猜想作为讨论的主题，倡议并指导他的一些学生研究这一问题。题，倡议并指导他的一些学生研究这一问题。n他曾对学生们说：他曾对学生们说：“我并不是要你们在这个我并不是要你们在这个问题上作出成果来。我的着眼点是哥德巴赫猜想问题上作出成果来。我的着眼点是哥德巴赫猜想跟解析数论中所有的重要方法都有联系，以哥德跟解析数论中所有的重要方法都有联系，以哥德巴赫猜想为主题来学习，将可以学会解析数论中巴赫猜想为主题来学习，将可以学会解析数论中所有的重要方法所有的重要方法哥德巴赫猜想真是美极了，哥德巴赫猜想真是
32、美极了，现在还没有一个方法可以解决它。现在还没有一个方法可以解决它。”参加这个参加这个数论讨论班的学生有王元、潘承洞和陈景润等。数论讨论班的学生有王元、潘承洞和陈景润等。n 出乎华罗庚的意料，学生们在哥德巴赫猜想的证出乎华罗庚的意料，学生们在哥德巴赫猜想的证明上取得了相当好的成绩。明上取得了相当好的成绩。19561956年，王元证明了年，王元证明了“3 34”4”；同年，原苏联数学家阿；同年，原苏联数学家阿维诺格拉朵维诺格拉朵夫证明了夫证明了“3 33”3”；19571957年，王元又证明了年，王元又证明了“2 23”3”；潘承洞于；潘承洞于19621962年证明了年证明了“1 15”5”；1
33、9631963年，潘承洞、巴尔巴恩与王元又都证明了年，潘承洞、巴尔巴恩与王元又都证明了“1 14”4”；19661966年，陈景润在对筛法作了新的重要改年，陈景润在对筛法作了新的重要改进后，证明了进后，证明了“1 12”2”。n19741974年，由英国数学家哈勃斯坦和西德数学年，由英国数学家哈勃斯坦和西德数学家李希特合著的家李希特合著的筛法筛法一书出版，书中以一书出版，书中以“陈陈氏定理氏定理”作为最后一章的标题。书中写道：作为最后一章的标题。书中写道：“我我们本章的目的是为了证明陈景润下面的惊人定理，们本章的目的是为了证明陈景润下面的惊人定理，我们在前我们在前1010章已经付印时才注意到这
34、一结果。从章已经付印时才注意到这一结果。从筛法的任何方面来说，它都是光辉的顶点。筛法的任何方面来说，它都是光辉的顶点。”华罗庚曾对王元说：华罗庚曾对王元说：“在我的学生的工作中，最在我的学生的工作中，最使我感动的是使我感动的是1 122。初等数论与中学教学n 在中学数学学习过程中，初等数论的知识和思想方法在中学数学学习过程中，初等数论的知识和思想方法是常见的。在普通高中是常见的。在普通高中数学课程标准中，初等数论数学课程标准中，初等数论初步是作为选修课程系列初步是作为选修课程系列4 4的一个专题，教师在日常教学的一个专题，教师在日常教学中要给予足够的重视。随着新课程改革的逐步深入，初等中要给予
35、足够的重视。随着新课程改革的逐步深入，初等数论知识和思想方法，一方面出现在日常教学中，另一方数论知识和思想方法，一方面出现在日常教学中，另一方面是以竞赛的形式出现的，后者更为突出。面是以竞赛的形式出现的，后者更为突出。n 对于前者课标是这样要求的，该专题是为对数学对于前者课标是这样要求的，该专题是为对数学有兴趣和希望进一步提高数学素养的学生而设置的，所涉有兴趣和希望进一步提高数学素养的学生而设置的，所涉及的内容反映了某些重要的数学思想方法，有助于学生进及的内容反映了某些重要的数学思想方法，有助于学生进一步打好数学基础，提高应用意识，有助于学生终身的发一步打好数学基础，提高应用意识，有助于学生终
36、身的发展，有助于扩展学生的数学视野，有助于提高学生对数学展，有助于扩展学生的数学视野，有助于提高学生对数学的科学价值、应用价值、文化价值的认识。的科学价值、应用价值、文化价值的认识。初等数论与中学教学n 对于后者，初等数论在奥林匹克竞赛中占有愈来对于后者，初等数论在奥林匹克竞赛中占有愈来愈重要的地位，对提高中学生的数学素养很有帮愈重要的地位，对提高中学生的数学素养很有帮助。助。有人说：有人说：“用以发现天才，在初等数学中再用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。任何学生，如能把也没有比数论更好的课程了。任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受当今任何一本数论教材
37、中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作。到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作。”所所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重。是占有相当大的比重。初等数论与中学教学n 致力于数学竞赛的教师而言，必须明确数论的基本结致力于数学竞赛的教师而言，必须明确数论的基本结构，它包括整除理论，同余理论和不定方程。构，它包括整除理论，同余理论和不定方程。n 整除理论是初等数论的基础，它是在带余除法的基础整除理论是初等数论的基础，它是在带余除法的基础上建立起来的，整除理论的中心内容是算术基本定理和最上建立起来的，整除理论的中心内容
38、是算术基本定理和最大公因数理论。同余理论是初等数论的核心，它是数论所大公因数理论。同余理论是初等数论的核心，它是数论所特有的思想、概念与方法。从历史来看，求解不定方程是特有的思想、概念与方法。从历史来看，求解不定方程是推进数论发展的最重要的课题，它是建立在整除理论和同推进数论发展的最重要的课题，它是建立在整除理论和同余理论上来进行求解的。余理论上来进行求解的。整除理论因数和倍数定义 设 a,b为整数，a0.若有一整数q,使得 b=aq,则称 a是b的因数为是a的倍数;并称a整除b,记为a|b,可形式地表示为:a|b:=(q)(b=aq)n 若若a a不能整除不能整除b b，记为记为ab.ab.
39、n 若若b=aq,b=aq,而而a a既非既非b b又非又非1,1,则称则称a a是是b b的真因数的真因数.因数和倍数n 关于整除，显然有下列定理：关于整除，显然有下列定理：定理 对所有a,1|a.对所有a,a|0.对所有 a,a|a.若a|b且b|c,则a|c.若a|b,则对任意的c,有ac|bc.若ac|bc且c0,则a|b.因数和倍数若 a|b且a|c,则对任意的 m,n,有 a|(bm+cn).若a|b,则b=0或|a|b|,其中|a|是a的绝对值,当a0时|a|=a;当a0时|a|=-a.若a|b,则(-a)|b,a|(-b),(-a)|(-b),|a|b|.证明 只证明只证明,余
40、下不难证明余下不难证明.因为因为a|ba|b且且a|c,a|c,故故b=aqb=aq1 1和和c=aqc=aq2 2.于是于是,bm+cn=a(qbm+cn=a(q1 1m+qm+q2 2n),n),所以所以,a|(bm+cn).a|(bm+cn).因数和倍数定理 若 a是b的真因数,则 1|a|b|.定理 若a为是整数,且|a|b|,|b|a|,则 a=0.证明 因为因为|b|a|,b|a|,故有整数故有整数q,q,使得使得|a|=|b|q.a|=|b|q.若若|a|=0,a|=0,则则a=0.a=0.若若|a|0,a|0,则由于则由于 0|0|a|b|a|0,q0,则由则由 q q是整数而
41、有是整数而有q1.q1.由由|a|=|b|a|=|b|和和q1q1有有|a|b|,a|b|,这与这与|a|b|a|b|矛盾矛盾,故故q=q=0;0;若若q=q=0 0和和|a|=|b|qa|=|b|q有有a=0.a=0.因数和倍数定理(带余除法)若a为是二个整数,b0,则唯一存在两个整数q和r,使得下式成立:a=bq+r,0rb,a=bq+r 0rbn 其中q和r都是正整数.则:a和b的任一公因数也是b和r的公因数；b和r的任一公因数也是a和b的公因数；(a,b)=(b,r);若(a,b)=d,则(a|d,b|d)=1.整数分解唯一性定理定理(整数分解唯一性定理)每个大于1的正整数a均可分解成
42、有限个素数之积,并且若不计素因数的次序,其分解是唯一的.证明 先证分解式的存在性先证分解式的存在性.若若a=a=2,2,则则2 2为素数为素数,从而从而2 2即所求分解式即所求分解式.n 现在假设小于现在假设小于a a的每个正整数均可分解成有限的每个正整数均可分解成有限个素数之积个素数之积.考虑考虑a,a,若若a a是素数是素数,则证毕则证毕.否则否则a a便有真因数便有真因数d,d,而而a=cd,a=cd,其中其中c c和和d d均是均是大于大于1 1的正整数的正整数,并且并且c c和和 d d均小于均小于a.a.由归纳由归纳假设假设,c c和和 d d均有分解式均有分解式c=pc=p1 1
43、p p2 2ppk k和和d=qd=q1 1q q2 2qql,其中其中p p1 1,p,p2 2,p,pk k,q ql l,q,q2 2,q,ql均是素数均是素数.因此因此a=cd=pa=cd=p1 1p p2 2,p,pk kq ql lqql;即为即为所求的分解式所求的分解式整数分解唯一性定理n 再证唯一性再证唯一性.当当a=a=2 2时时,分解式显然是唯一的分解式显然是唯一的.现设比现设比a a小的正整数其分解式均是唯一的小的正整数其分解式均是唯一的.考虑考虑正整数正整数 a,a,假设假设 a a有两个分解式有两个分解式 a=pa=pl lp p2 2ppk k和和a=qa=q1 1
44、q q2 2qql,其中其中p pl l,p,p2 2,p,pk k和和q q1 1,q,q2 2,q,ql都是素都是素数数.于是于是p p1 1|q|q1 1q q2 2qql,根据定理根据定理7.4.77.4.7知必有一知必有一q qi i,使得使得p p1 1|q|qi i.不妨令不妨令i=1,i=1,即即p p1 1|q|q1 1,显然显然p p1 1=q=q1 1.令令a=a/pa=a/p1 1,则则a=pa=p2 2p p3 3ppk k,a,aq q2 2q q2 2qql.若若a=1,a=1,则则a=pa=p1 1=q=q1 1,即即aa的分解式的分解式唯一唯一.若若aa1,1
45、,注意到注意到aa,aa,从而由归纳假从而由归纳假设知设知,aa的分解式是唯一的的分解式是唯一的.因此因此k=k=l,并且并且 p p1 1=q=q1 1,p,pk k=q=qk k,再由再由p p1 1=q=ql l,知知a a分解式也是唯一分解式也是唯一的的.整数分解唯一性定理）（）（）（的正因数个数为：注：此时，11121nannpppa.)1(2121n 若将若将n n的分解式中相同素因数合并为它的幂数的分解式中相同素因数合并为它的幂数,则任意大于则任意大于1 1的整数的整数a a只能分解成一种形只能分解成一种形式式:,n1,n1,其中其中p p1 1,p,p2 2,p,pn n是互不
46、相同的素数是互不相同的素数,a al l,a,a2 2,a,an n是正整数是正整数.并称并称(1)(1)是是 a a的标准分解式的标准分解式.函数x与xn 定义定义 设设x x是实数，以是实数，以xx表示不超过表示不超过x x的最大整的最大整数，称它为数，称它为x x的整数部分，又称的整数部分，又称x=x-xx=x-x为为x x的小数部分。的小数部分。函数x与x111)010);)(;)yxyxyxyxyxivxxiiixmxmmiiyxyxiyx若若（；，则若（是整数，则若（是实数，则与设定理：函数x与xZxxZxxviZxxZxxxv若若（若若10)1)(不定方程n 不定方程不定方程：n
47、 未知数个数多于方程个数，且对解有一定限制未知数个数多于方程个数，且对解有一定限制（比如要求解为正整数等）的方程。是数论中最（比如要求解为正整数等）的方程。是数论中最古老的分支之一。古希腊的丢番图早在公元古老的分支之一。古希腊的丢番图早在公元3 3世世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程。番图方程。n 研究不定方程要解决三个问题：判断何时有解。研究不定方程要解决三个问题：判断何时有解。有解时决定解的个数。求出所有的解。中国是研究不定有解时决定解的个数。求出所有的解。中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方方程最早的
48、国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元程组问题，公元5 5世纪的世纪的 张丘建算经中的百鸡问题标张丘建算经中的百鸡问题标志中国对不定方程理论有了系统研究。秦九韶的大衍求一志中国对不定方程理论有了系统研究。秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来。百鸡问题说：术将不定方程与同余理论联系起来。百鸡问题说：“鸡翁鸡翁一，直钱五，鸡母一，直钱三，鸡雏三，直钱一。百钱买一，直钱五，鸡母一，直钱三，鸡雏三，直钱一。百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何？百鸡，问鸡翁、母、雏各几何？”。设。设x x，y y，z z分别表鸡分别表鸡翁、母、雏的个数，则此问题即为不定方程组的非负整数翁、母、雏的
49、个数，则此问题即为不定方程组的非负整数解解x x，y y，z z，这是一个三元不定方程组问题。，这是一个三元不定方程组问题。n不定方程问题的常见类型不定方程问题的常见类型n（1 1）求不定方程的解；）求不定方程的解；n（2 2）判定不定方程是否有解；）判定不定方程是否有解；n（3 3）判定不定方程的解的个数（有限个）判定不定方程的解的个数（有限个还是无限个）。还是无限个）。n解不定方程问题常用的解法解不定方程问题常用的解法n（1 1）代数恒等变形：如因式分解、配方、换元等；）代数恒等变形：如因式分解、配方、换元等；n（2 2）不等式估算法：利用不等式等方法，确定出方程中）不等式估算法：利用不等
50、式等方法，确定出方程中某些变量的范围，进而求解；某些变量的范围，进而求解；n（3 3）同余法：对等式两边取特殊的模（如奇偶分析），）同余法：对等式两边取特殊的模（如奇偶分析），缩小变量的范围或性质，得出不定方程的整数解或判定其缩小变量的范围或性质，得出不定方程的整数解或判定其无解；无解；n（4 4）构造法：构造出符合要求的特解，或构造一个求解）构造法：构造出符合要求的特解，或构造一个求解的递推式，证明方程有无穷多解；的递推式，证明方程有无穷多解；n（5 5）无穷递推法。）无穷递推法。n一些特殊方程的求解方法一些特殊方程的求解方法同余理论定义 给定一正整数m,若用m去除两个整数a和b所得余数相同
