1、动态电路分析动态电路分析 在第一章中我们已经学习了电容和电感这两种元件,由于它们的伏安关系为微分或积分关系,故常称为动态元件,含有动态元件的电路称为动态电路。前面第三章我们已经接触了由电容、电感组成的动态电路,但其中所研究的都是电路工作在稳定状态的情况,在这一章我们主要研究的是当动态电路的结构或元件的参数发生变化时,电路中各元件的电流、电压的变化规律。7.1换路定律换路定律 7.1.1换路的概念及过渡过程 当电路的结构或元件的参数发生变化所引起的电路变化,统称为换路,例如电路的接通或断开、电源的突然变化等均叫换路。换路前后电路的工作状态通常都是不一样的,在图7-1所示电路中,在开关S打向2之前
2、,电路已稳定,电容C已充有电压uC=US,没有电流流过电阻R。当开关S突然打向2,电容上储存的电压向电阻放电。在接通瞬间,由于电容的储能作用,电容电压仍为US,放电电流最大;随着放电的持续,电容电压逐渐下降,放电电流逐渐减小。当电容上的电荷释放完后,放电结束,电容电压、放电电流均为零。这是开关S切换后达到的另一个稳态过程。这种从换路前的稳定状态过渡到换路后的稳定状态所要经历的过程称为过渡过程。过渡过程中种现象在自然界中也广泛存在,例如汽车在启动前是稳定的,速度为零,启动的速度逐渐上升到某一速度即匀速行驶,在匀速行驶中速度是恒定的,这又是一种稳定的过程。过渡过程产生的根本原因主要是换路后电路的储
3、能元件储存的能量不能发生跃变,需要一个减少或增大的过程,这也是遵循了能量守恒定律。在图7-1中,电容储存的电能不可能突然减小为零,存在一个释放的过程,如果把电路中的电容用电阻代替,由于电阻不是储能元件,当开关S突然打向2时,电阻上的电压会马上变为零。综上所示,产生过渡过程必须具备两个条件:(1)电路发生换路;(2)电路中含有储能元件。过渡过程的研究对我们的实际工作是有重要的的实际意义。在电子技术中,RC电路就是利用过渡过程可以产生一些特定的波形,在计算机中的一些复位电路也是利用了这一动态特性;当然过渡过程也有其不利的一面,在换路瞬间可能会产生过电压或过电流,例如继电器在使用当中就要注意过渡过程
4、对电路的影响,一般采取二极管和继电器并联使用这样的保护措施,以防过电压出现时保护电气设备不受损坏。因此要研究和掌握电路中过渡过程的规律,在实际工作中既要利用它的特性,又要防止它可能产生的危害。7.1.2换路定律 从上面的分析中,我们已经知道电路换路时储能元件储存的能量是不能突变的,要遵循能量守恒定律。由于电感元件储 存的磁场能量 ,电容元件储存的电场能量 ,因此也就是说换路时电感电流、电容电压不能发生突变,这个规律称为换路定律。若以t=0表示换路瞬间及过渡过程的起始时间,以 t=0+表示换路前的瞬间,以t=0-表示换路后的瞬间。则换路定律可以 用数学方式表示为 (7-1)式中:uC(0+)电容
5、电压的初始值 电感电流的初始值。应当注意,换路定律仅适用于电容电压和电感电流的初始值,而电路中的其他变量有可能发生突变。221LiWL221CuWC)0()0()0()0(LLCCiiuu)0(Li7.2电路初始值与稳态值的计算电路初始值与稳态值的计算 从上一节我们知道,电路中发生的过渡过程是电路换路时从原来的稳定状态过渡到新的稳定状态所经历的过程,要分析和研究过渡过程所存在的规律,就必须要了解过渡过程开始时电路中各元件的值(即初始值)及达到新的稳定状态后电路中各元件的值(即稳态值)。本节所要介绍的就是电路初始值与稳态值的计算方法。7.2.1初始值的计算 由于换路定律仅适用于电容电压和电感电流
6、的初始值,所以电容电压和电感电流的初始值可由换路定律求得,电路中其他变量的初始值则必须根据其相应的等效电路求解。具体做法如下:(1)画 时的等效电路,求 和 。在 (即换路前),电路是稳定的,电容可看做开路,电感可看做短路。(2)根据换路定律确定 和 。(3)画 时的等效电路,求其他变量的初始值。在画 等效电路时,若 或 为零,则电容 可看做短路,电感可看做开路;若 或 不为零,则用一个端电压等于 的恒压源代替电容,用一个电流 等于的恒流源代替电感。画好等效电路后,即可利用欧姆定律、基尔霍夫定律求解电路中其它变量的初始值。0t)0(Cu)0(Li 0t)0(Cu)0(Li 0t 0t)0(Cu
7、)0(Li)0(Cu)0(Li)0(Cu 例7.1如图7-2(a)所示电路中,US=10V,R1=3,R2=2,试求S闭合瞬间i1、i2、iL和uL的初始值。(a)(b)图7-2 例7.1图 解:(1)由于S闭合前电感没有储能,所以 =0,不用画 等效电路。(2)根据换路定律有 =0(3)画 时的等效电路 由于 =0,所以电感可看做开路,得图7-2(b)。由图中可知 =A V)0(Li 0t)0(Li)0(Li 0t)0(Li)0(1i)0(2i2231021 RRUS422)0()0(22RiuL 例7.2如图7-3(a)所示电路中,US=20V,R1=5,R2=4,R3=3,试求S打开瞬间
8、i1、i2、i3的初始值。解:(1)画时的等效电路。由于S打开前电路是稳定的,所以电容可看做开路,得图7-3(b)。由图中可知 (2)根据换路定律有 =7.5V(3)画t=0+时的等效电路。由于 不为零,所以用一个端电压等于 的恒压源代替电容,得图7-3(c)。由图中可知 0 V5.720353)0(313SCURRRu)0(Cu)0(Cu)0(Cu)0(Cu)0(1iA1.1435.7)0(3i)0(2iA1.1)0(3i 7.2.2稳态值的计算 由于t=0表示换路后瞬间及过渡过程的起始时间,所以一般用t=表示换路后达到稳定状态所处的时间,因为一般情况下,t=时电路已经达到稳定,这样换路后电
9、压、电流的稳态值就可以表示为u()、i()。稳态值计算方法也和初始值相似,可按以下步骤进行:(1)画 t=的等效电路。画时要注意,由于电路达到新的稳定状态后电路已稳定,所以电容可看做开路,电感可看做短路,这样可以把电路进行简化。(2)利用欧姆定律、基尔霍夫定律求解电路各元件的稳态值。例7.3 电路如图7-4(a),US=20V,R1=100,R2=200,R3=300,试求S打开后达到稳定状态时 i1、i2、i3和uC的稳态值。(a)(b)图7-4 例7.3图 解:画t=的等效电路,由于S打开后达到稳定状态时电容可看做开路,所以可得图7-4(b)。由图中可知 0)(2i)(1iA05.0300
10、10020)(313RRUiSV1530005.0)()(33RiuC 例7.4电路如图7-5(a),IS=1A,R1=20,R2=30,R3=40,试求S闭合后达到稳定状态时 i1、i2、i3的稳态值。(a)(b)图7-5 例7.4图 解:画的等效电路,由于S闭合后达到稳定状态时电感可看做短路,所以可得图7-5(b)。由图中可知A13620140130120111111)(13211RRRRIiSA13430140130120111111)(23212RRRRIiSA13340140130120111111)(33213RRRRIiS7.3动态电路的电路方程动态电路的电路方程 动态电路方程的
11、建立与电阻电路类似,也是利用欧姆定律和基尔霍夫定律,由于动态电路电容、电感元件伏安关系是微分或积分的关系,所以建立起来的方程也将是以电流或电压为变量的微分方程。7.3.1一阶动态电路方程 图7-6所示的RC串联电路,t=0时开关S闭合,下面以 为待求变量来建立S闭合后的电路方程。根据基尔霍夫电压定律,可得 由于 ,代入上式,得 +(7-2)又如图7-7所示的RL并联电路,仍是分析S闭合后的情 况,以 为待求变量,根据基尔霍夫电流定律,可得)(tuC)()()(tututuSCRdtduCicdtduRCiRuCRdtduRCCSCuu)(tiL)()()(tititiSLR 图7-6 RC串联
12、电路 图7-7 RL并联电路 由于 ,代入上式,得 (7-3)式(7-2)和式(7-3)均为一阶常系数微分方程,因此图(7-6)和图(7-7)所示的RC串联电路和RL并联电路均称为一阶动态电路(简称一阶电路),由此可看出一阶电路中只含有一个独立动态元件。比较式(7-2)和式(7-3),我们发现可以写成如下一般形式 (7-4)这两个电路都是只含有一个储能元件(电容或电感)和一个电阻的简单电路,由于含有一个储能元件和多个电阻的复杂一阶电路均可用戴维南定理或诺顿定理等效为以上两种简单电路,因此式(7-4)也就是一阶电路方程的一般形式。dtdiLuLLRuRuiLRRSLiidtdiRLLSfydtd
13、y 式中:fS已知项,与电路的外加激励信号有关;y电路的待求变量 是一个与输入无关的量,它取决于电路的结构和非独立电源元件的参数,具有时间的量纲,因为 对于RC电路,则 欧姆法拉=欧姆 =秒 对于RL电路,由于 ,则 因此,称为一阶电路的时间常数,单位为秒(S)。RC伏特库仑安培伏特秒安培RLdtdiLuLL欧姆亨利安培秒伏特 秒伏特安培/下面来分析一阶电路时间常数 的确定。(1)对于只含有一个储能元件(电容或电感)和一个电阻的简单电路,或(2)对于含有一个储能元件和多个电阻的复杂电路,由于可利用戴维南定理或诺顿定理将电路等效为一个储能元件和一个电阻的简单电路,所以时间常数 或 R0则是从储能
14、元件两端看进去的有源或无源二端网络的等效电阻。RCRLCR00RL 例7.5求如图7-8一阶电路的时间常数。(a)(b)图7-8 例7.5图 解:对如图7-8(a)所示电路,令US=0,则将电源短 路后,从电容两端看进去的等效电阻 ,所以时间 常数 对如图7-8(b)所示电路,令IS=0,则将电源开路后,从电感两端看进去的等效电阻 ,所以时间 常数210RRRCRR)(212310/RRRR231/RRRL 7.3.2二阶动态电路方程 图7-9所示的RLC串联电路,仍是以 为待求变量,根据基尔霍夫电压定律,可得 由于 ,代入上式,得 (7-5)这是二阶常系数微分方程,图7-9所示的RLC串联电
15、路也就称为二阶电路,它含有二个独立动态元件。依此类推,当一个电路中含有n个独立动态元件时,它的电路方程就是n阶常系数微分方程,这个电路也就称为n阶电路。)(tuC)()()()(tutututuSCLRdtduCicdtduRCiRuCRdtdiLuLLdtudLCC2dtduRCCSCuu7.4直流一阶电路的全响应及三要素法直流一阶电路的全响应及三要素法 直流一阶电路的全响应就是指非零初始状态的一阶电路在直流电源激励下而在其中产生的电流、电压。直流一阶电路的全响应可由微分方程直接求得,称为经典法。本节从经典法入手,引出三要素法,并分析直流一阶电路的全响应的变化规律。由上一节分析可知,一阶电路
16、的方程形式为 (式中,fS为已知项,与电路的外加激励信号有关;y为电路的待求变量,可以是电流或电压,为电路的时间常数),所以当外加电源激励为直流激励时,一阶电路的方程形式可 写为 ,这是一个非齐次微分方程,其解由两部分组成,即 (7-6)dtdySfy SFydtdyyyy 式中,与该方程相应的齐次方程的通解,满足此非齐次微分方程的特解。先求通解,与该方程相应的齐次方程为 +y=0,可写出其特征方程为 故特征根为 于是通解 y=yy dtdy01 p1ptAe 特解的形式取决于电源激励的类型,当激励为直流激励 时,其特解为常数,令 =K,则非齐次微分方程的解为 =+K (7-7)将初始值 代入
17、上式,得 =A+K,解得 A=y(0+)-K,代入式(7-7),得 (7-8)当 时,所以 ,由前面分析可知y()即为换路后电路响应的稳态值。代入式(7-8),并整理得 (7-9)y yyy tAe)0(y)0(yt)(yK 式中:直流一阶电路的全响应 ()直流一阶电路全响应的稳态值 (0+)直流一阶电路全响应的初始值 电路时间常数 式(7-9)即为直流一阶电路全响应的计算公式。从式中可以看到,只要算出初始值y(0+)、稳态值y()和时间常数这三个要素,就可以求得电路的全响应,这种方法我们也叫三要素法,式(7-9)也称为直流一阶电路全响应的三要素公式。由式(7-9)可以看出直流一阶电路全响应是
18、按指数规律变化的,图7-10画出了y(t)随时间变化的曲线。由图中可以看出当y(0+)y()时,电流或电压就会从初始值逐渐衰减到稳态值;而当y()(b)y(0+)y()图7-10 f(t)随时间变化的曲线。例如在图7-6 RC串联电路中,若S闭合前电容没有储能,=0,S闭合后电源对电容充电,=US,。(7-10)电容C越大,电容中所要存储的电荷越多,所需的充电时间也就越长,而电阻R越大,充电电流越小,充电的时间也越长,因此过渡过程进展的速度取决于电阻R和电容C的 乘积,即时间常数 。时间常数越大,则电压uC上升得越 慢:反之时间常数 越小,则电压uC上升得越快,如图7-11所示。由图中可看出当
19、 时,电容电压uC才充到US,过渡过程才结束,但由式(7-10)可算出 当 时,uC=0.950US 当 时,uC=0.982US 当 时,uC=0.993US 所以工程上一般认为,当t=(35)时,过渡过程已基本结束。)0(Cu)(CuRCt3t4t5t Cu图7-11 不同值下图7-11 不同值下uC变化的曲线 图7-12 例7.6图 下面举例说明如何利用三要素法计算直流一阶电路的全响应。例7.6电路如图7-12所示,已知US1=20V,US2=10V,R1=10k,R2=20k,C=10F,时S由1打向2,试用三要素法求换路后的i2、iC和UC,并画出它们的响应曲线。解:(1)求初始值。
20、V (2)求稳态值。电路达到稳态后电容可看做开路,所以 uC()=US2=10V20)0()0(1SCCUuumA5.0201020)0()0(222RUuiSCmA5.0)0(2i)0(Ci0)()(2iiC(3)求时间常数。=R2C=201031010-6=0.2s(4)根据三要素公式,得 图7-13画出了i2、i3和uC随时间变化的曲线,由曲线可以看出,i2、iC和uC都是按照同样的指数规律从它们各自的初始值逐渐过渡到稳态值的。mA5.052teimA5.05tCeiV)1(105Cteu (a)uC (b)i2、iC 图7-13 uC 、i2和iC随时间变化的曲线2i (b)、例7.7电路如图7-14所示,已知IS=2A,R1=10,R2=20,L=1H。试用三要素法求S闭合后的i2、iL和uL。解:(1)求初始值(2)求稳态值。电路稳定时电感相当于短路,所以 V(3)求时间常数。(4)根据三要素公式,得0)(LuA342201020)(212SLIRRRiA32342)()(2LSiIis3012010121RRLA)1(32302tetA)323430LteiV2030Lteu
