1、 母體,群體(Population):研究者所欲研究的全部對象所成之集合 樣本(Sample):母體的部分集合 參數,母數(Parameter):描述母體的特徵量數 統計量(Statistic):描述樣本的特徵量數抽樣(Sampling)推論(inference)PopulationParameterSampleStatisticPopulation size NSample size n觀測值(Observations):X1,X2,Xn 位置量數(Location measures),集中趨勢量數(Measures of central tendency)差異量數(Dispersion m
2、easures)有序統計量(Order Statistics):X(1),X(2),X(n)位置量數:niiXnX11NiiXN112.中位數(Median)1.平均數(Mean)(統計量)(參數)evennXXoddnXMdnnn,)()()(12221213.眾數(Mode)Mo4.百分位數(Percentile)第 k 百分位數(k-th Percentile)ZiXXZiXPiiik,)()()|(1121nki100whereNote:10.Sample size n=5021)26()25(50XXP)13()112(25XXP30.四分位數(Quartile)Q1=P25 ,Q2
3、=P50=Md ,Q3=P75 40.十分位數(Deciles)D1=P10 ,D2=P20 ,D9=P9020.P50=Md 差異量數1.全距(Range)R=X(n)-X(1)2.四分位距(Interquartile-range)IQR=Q3-Q13.四分位差(Quartile deviation)Q.D.=IQR/2(=Q2-Q1=Q3-Q2,對稱資料)4.平均絕對偏差(Mean Absolute Deviation)niiXXnMAD116.標準差(Standard Deviation)niiniiXnXnXXnS122121111(統計量)NiiNiiXNXN1221211(參數)5
4、.變異數(Variance)niiXXnS12211NiiXN1221,7.變異係數(Coefficient of Variation)%.%.100100VCXSVC例1.成人 v.s.小孩之體重(統計量)(參數)樣本數 平均數 標準差 C.V.成人16057.011.019.3%小孩 18 5.6 1.425.0%例2.某一群小孩之身高、體重 如下表 平均數標準差C.V.身高 120 1512.5%體重 25 520.0%隨機變數 及 機率分配隨機變數(Random Variable,r.v.)例.丟一公正銅板 2 次HH,HT,TH,TTSample spaceHHHTTHTT210SX
5、(S)XX:numbers of “H”r.v.X 之可能值0,1,2丟一公正銅板 2 次,X:numbers of “H”HHHTTHTT210SX(S)X1/42/41/4f(x)f機率分配函數(Probability distribution function).,)()(woxifxifxXPxf01422041i.e.x012Totalf(x)=P(X=x)1/42/41/41or2.若 r.v.X 之可能值有 xi,i=1,2,k,則 f(xi)滿足iixxf,)(10kiixf11)(i)(ii)1.f(x)=P(X=x)Note:累積機率函數(Cumulative probab
6、ility function)txxftXPtF)()()(Note:If a and b are constants,ab,then)()()(afaXPaXP)()()()()(aFbFaXPbXPbXaPr.v.可分為:(i)離散型或間斷型(Discrete type)(ii)連續型(Continuous type)例:1.擲一公正骰子,r.v.X 表骰子點數2.箱子中有 6 紅、4 白球,採“取後放回”方式連續抽 5 球,r.v.Y 表紅球個數3.以 r.v.Z 表示,某路口去年發生交通事故之次數 4.以 r.v.W 表示,實驗室人員的血壓 5.以 r.v.T 表示,某廠牌日光燈壽命
7、X-1.08332-0.62423-0.59418-0.08661-0.07992 0.03189 0.39658 0.51366 1.80482 2.23829-1.5-0.50.51.52.5X00.2Density-3.5-1.50.52.5X00.10.20.3Density-3.50-1.500.502.50X00.20.4Density相對次數的平滑曲線:X 之機率密度曲線 f(x)(Probability density curve,p.d.f.)Note:0)(xf1.1dxxf)(2.3.tdxxftF)()(4.)()()()(aFbFdxxfbXaPba5.)()()()
8、(bXaPbXaPbXaPbXaP(c.d.f.)隨機變數 X 之期望值(Expected value)與變異數期望值:(Discrete type)(Continuous type)變異數:xallxxfXE)()(dxxxfXE)()(2222)()()(XEXEXVarProperties:(i)If a and b are constants,babXaEbaXE)()(ii)If g(X)is a function of r.v.X,xallxfxgXgE)()()(Properties:If a and b are constants,222aXVarabaXVar)()(例.擲一
9、公正骰子,以 r.v.X 表其出現點數,則 X 之53621616615614613612611.期望值變異數6916166156146136126112222222)(XE922123562169122222.)()()(XEXEH.W.丟一公正銅板 3 次,並以 r.v.Y 表示“T”之次數,試求1.Y 之機率分配為何2.Y 之 mean 、standard deviation3.令 132 YZ,則 Z 之 mean 、varianceNote:Let X and Y be discrete random variables,the joint probability distribut
10、ion of(X,Y)is f(x,y),g(X,Y)is a function of(X,Y),then 1.10),(yxf,x yyxf1),(2.the marginal probability distribution)(,),()(XSxyxfxfyX)(,),()(YSyyxfyfxY3.the mean of g(X,Y)is x yyxfyxgYXgE),(),(),()()()(YEXEYXE4.),()()()(YXCovYVarXVarYXVar2where)(),(YXYXEYXCov5.If X and Y are independent,then)()(),(Yf
11、xfyxfYX(i)(ii)()()(YVarXVarYXVar例.盒中有 3 藍、2 紅及 3 白球,今隨機抽 2 球,令 r.v.X 表藍球數、Y 表紅球數1.the joint probability distribution of(X,Y)20210210823223yxyxCCCCyxfyxyx;,;,),(2.P(1X+Y 2)=f(0,1)+f(0,2)+f(1,0)+f(1,1)+f(2,0)=25/283.the marginal probability distribution are.,)(woxxxxfX02283128150145.,)(woyyyyfY0228117302815例.擲一公正骰子 10 次,試求 10 次的點數和(S)之 期望值與變異數.解:令 Xi 表示第 i 次所擲出點數,則 10 i=E(Xi)=3.5 ,i2=Var(Xi)=2.92 20 E(S)=E(X1+X2+X10)=35 Var(S)=Var(X1+X2+X10)=29.2
