1、平面几何中的向量方法平面几何中的向量方法复习复习向量数量积的坐标表示cosbaba向量共线的等价条件ab 与与 共线共线 0,bRba平面几何简单定理平面几何简单定理（1）三角形中位线定理）三角形中位线定理ABCDE（2）勾股定理）勾股定理（3）圆周角定理）圆周角定理ABCO综合方法综合方法不使用其他工具，对几何元不使用其他工具，对几何元素及其关系直接进行讨论；素及其关系直接进行讨论；研究平面几何可以采用不同的方法研究平面几何可以采用不同的方法解析方法解析方法以数（代数式）和数（代数式）的以数（代数式）和数（代数式）的运算为工具，对几何元素及其关系进行讨论；运算为工具，对几何元素及其关系进行讨
2、论；向量方法向量方法以向量和向量的运算为工具，对以向量和向量的运算为工具，对几何元素及其关系进行讨论；几何元素及其关系进行讨论；例例1 平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型?,邻边长度之间的关系吗形对角线的长度与两条你能发现平行四边ADABBDADABACBADC分析baADAB,令,babaDBAC2222 ,baADAB涉及长度问题常常考虑向量的数量积BADC解解 babaACACAC2bbabbaaa 222bbaa 2222bbaaBD+2 2222222ADABBDACba平行四边形两条对角线的平方平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平
3、方和的两倍和等于两条邻边平方和的两倍1.建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；2.通过向量运算，研究几元素之间的关系，如距离、夹角等问题；3.把运算结果“翻译”成几何关系。“三步曲”ADCBEFRT例2 如图,连接ABCD的一个顶点至AD、DC边的中点E、F,BE、BF分别与AC交于R、T两点,你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？分析：由于AR,RT,TC在AC上,只要判断AR,RT,TC与AC的关系解:batrbaACATARADAB则设,“转化转化”“运算运算”Rnn,bar设ba21AEABEBRmmEBmER,21 ba设ERAEAR
4、 babr2121mADCBEFRT利用实数与向量的积证明共线、平行、长度问题babba2121mn0ba21mnmn0210mnmn31 mnACATACAR32 ,31“翻译翻译”TCRTARADCBEFRT利用向量的数量积可解决长度、角度、垂直等问题求证:直径上的圆周角为直角。已知:如图,AC为 O的一条直径，ABC是圆周角求证：ABC=90ABCO证明证明:则设,baOBAO 0 22bababaBCABbabaaba且,BCOCAB ABBC 即ABC=90如图如图:AD、BE、CF是是ABC的三条高的三条高.求证：求证：AD、BE、CF相交于一点相交于一点.FABCDEABCDE分
5、析分析：设AD与BE交于H，只要证CHAB，即高CF与CH重合，即CF过点H只须证CHAB 由此可设aBCbCApCH如何证？0 ABp利用ADBC，BECA，对应向量垂直。0apab0apb)(BCHA00)(bpabbpaCABH0)(0bapbpapBACHBACH0H解：解：设AD与BE交于HaBCbCApCH0(apab0ap)bBCHA0bpab0bp)(aCABH0b)(ap0bpapBACHBACH0即高CF与CH重合,CF过点H,AD、BE、CF交于一点FABCDEABCDEH（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，
6、将平面几何问题示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果）把运算结果“翻译翻译”成几何元素。成几何元素。用向量方法解决平面几何问题的用向量方法解决平面几何问题的“三步曲三步曲”：用向量方法解决平面几何问题的基本思路：几用向量方法解决平面几何问题的基本思路：几何问题向量化何问题向量化 向量运算关系化向量运算关系化 向量向量关系几何化关系几何化.用向量方法研究几何问题，需要用向量的观用向量方法研究几何问题，需要用向量的观点看问题，将几何问题化归为向量问题来解点看问题，将几何问题化归为向量问题来解决决.它既是一种数学思想，也是一种数学能力它既是一种数学思想，也是一种数学能力.其中合理设置向量，并建立向量关系，是解其中合理设置向量，并建立向量关系，是解决问题的关键决问题的关键.课本第113页习题2.5A组 第2题作业
