1、1创新设计创新设计拓展深化拓展深化5数列新定义及子数列问题数列新定义及子数列问题2创新设计创新设计数列是中学数学的重要内容之一，除了传统的等差数列和等比数列之外，近几年各地高考和模拟试题中频频出现“新定义”数列问题，成为高考命题中一道亮丽的风景线.这类题型的特点是先给出数列的“新定义”，然后要求利用短时间的阅读理解，对新概念进行即时性的学习，并能独立地从不同角度运用它们作进一步的运算、推理、提炼、加工，进而解决相关的新问题.主要考查学生等价转换和分析推理的思想，即利用已学过的知识分析和解决新问题，要求学生有较高的分析和解决问题的能力.3创新设计创新设计一、新定义数列问题【例11】(2019南通
2、期末)若数列an中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称an为“等比源数列”.已知数列an中，a12，an12an1.(1)求an的通项公式；(2)试判断an是否为“等比源数列”，并证明你的结论.解(1)由an12an1，得an112(an1)，且a111，所以数列an1是首项为1，公比为2的等比数列.所以an12n1.所以数列an的通项公式为an2n11.4创新设计创新设计(2)数列an不是“等比源数列”.用反证法证明如下：假设数列an是“等比源数列”，则存在三项am，an，ak(mnk)按一定次序排列构成等比数列.因为an2n11，所以amanak.又mnk，m，n，kN*，所以2nm
3、11，nm11，k11，km1.所以22nm12nm12k12km为偶数，与22nm12nm12k12km1矛盾.所以数列an中不存在任何三项，按一定次序排列构成等比数列.综上，可得数列an不是“等比源数列”.5创新设计创新设计【例12】(2017江苏卷)对于给定的正整数k，若数列an满足ankank1an1an1ank1ank2kan对任意正整数n(nk)总成立，则称数列an是“P(k)数列”.(1)证明：等差数列an是“P(3)数列”；(2)若数列an既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，证明：an是等差数列.证明(1)因为an是等差数列，设其公差为d，则ana1(n1)d，从而，当
4、n4时，ankanka1(nk1)da1(nk1)d2a12(n1)d2an，k1,2,3,所以an3an2an1an1an2an36an，因此等差数列an是“P(3)数列”.6创新设计创新设计(2)数列an既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，因此，当n3时，an2an1an1an24an，当n4时，an3an2an1an1an2an36an.由知，an3an24an1(anan1)，an2an34an1(an1an).将代入，得an1an12an，其中n4，所以a3，a4，a5，是等差数列，设其公差为d.在中，取n4，则a2a3a5a64a4，所以a2a3d(利用a3，a4，a5，成
5、等差)，在中，取n3，则a1a2a4a54a3，所以a1a32d，所以数列an是等差数列.7创新设计创新设计二、子数列问题【例21】已知在等差数列an中，a25，前10项和S10120，若从数列an中依次取出第2项、第4项、第8项、第2n项，按原顺序组成新数列bn，求数列bn的前n项和Tn.所以an3(n1)22n1，bna2n22n1.8创新设计创新设计【例22】设等差数列an的前n项和为Sn，已知a12，S622.(1)求Sn；(2)若从an中抽取一个公比为q的等比数列akn，其中k11，且k1k2kn1.10创新设计创新设计同理，k23.所以最小的公比q2，此时kn32n12.11创新设
6、计创新设计(1)是否存在实数，使得数列a2n是等比数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.(2)若Sn是数列an的前n项和，求满足Sn0的所有正整数n.解(1)设bna2n，12创新设计创新设计13创新设计创新设计14创新设计创新设计显然，当nN*时，S2n单调递减.所以当n2时，S2n0.综上，满足Sn0的所有正整数n为1和2.15创新设计创新设计探究提高数列解答题是高考中的压轴题，跟新定义相关问题也是高考中的常考问题.主要有以下几类问题：(1)新定义问题通常以“新性质”赋予一种数列，证明或处理与该定义有关的若干问题；(2)子数列是从一个数列中抽取几个数，按照它们在原数列中的顺序所组成
7、的新的数列.此类问题的处理关键是认清原数列和子数列的关系.(3)数列的奇偶项问题的处理类似分段函数的处理，分别对奇数项和偶数项进行处理.如：对于通项公式分奇偶不同的数列an求Sn时，我们可以分别求出奇数项的和及偶数项的和，也可以把a2k1a2k看做一项，求出S2k，再由S2k1S2ka2k，求S2k1.16创新设计创新设计深化训练1.已知实数q0，数列an的前n项和为Sn，a10，对任意正整数m，n，且nm，SnSmqmSnm恒成立.(1)求证：数列an为等比数列；(2)若正整数i，j，k成公差为3的等差数列，Si，Sj，Sk按一定顺序排列成等差数列，求q的值.(1)证明令m1，Sna1qSn
8、1，Sn1a1qSn，两式相减得an1qan(n2)，在Sna1qSn1中令n2，a2qa1，所以数列an是等比数列.17创新设计创新设计(2)解不妨设公差为3的等差数列为i，i3，i6，若Si，Si3，Si6成等差数列，则ai1ai2ai3ai4ai5ai6(ai1ai2ai3)q3，即q31，解得q1；若Si3，Si，Si6成等差数列，则(ai1ai2ai3)(ai1ai2ai6)，2(ai1ai2ai3)(ai1ai2ai3)q30，18创新设计创新设计若Si3，Si6，Si成等差数列，则有(ai4ai5ai6)(ai1ai2ai6)，2(ai1ai2ai3)q3(ai1ai2ai3)0
9、.19创新设计创新设计2.(2019常州期末)已知等差数列an的公差d为整数，且akk22，a2k(k2)2，其中k为常数且kN*.(1)求k及an；20创新设计创新设计因为kN*且d为整数，所以k1或k2.当k1时，d6，代入，解得a13，所以an6n3.当k2时，d5，代入，解得a11，所以an5n4.(2)因为a11，所以an6n3，从而Sn3n2.21创新设计创新设计3.(2018南通、泰州调研)若数列an同时满足：对于任意的正整数n，an1an恒成立；对于给定的正整数k，ankank2an对于任意的正整数n(nk)恒成立，则称数列an是“R(k)数列”.(2)已知数列bn是“R(3)
10、数列”，且存在整数p(p1)，使得b3p3，b3p1，b3p1，b3p3成等差数列，证明：bn是等差数列.(1)解当n为奇数时，an1an2(n1)(2n1)30，所以an1an.22创新设计创新设计当n2时，an2an22(n2)12(n2)12(2n1)2an.当n为偶数时，an1an(2n1)2n10，所以an1an.当n2时，an2an22(n2)2(n2)4n2an.所以数列an是“R(2)数列”.(2)证明由题意可得当n3时，bn3bn32bn，则数列b1，b4，b7，是等差数列，设其公差为d1，数列b2，b5，b8，是等差数列，设其公差为d2，数列b3，b6，b9，是等差数列，设
11、其公差为d3，23创新设计创新设计因为bnbn1，所以b3n1b3n2b3n4，所以b1nd1b2nd2b1(n1)d1，所以n(d2d1)b1b2，n(d2d1)b1b2d1.若d2d10，则和都成立，所以d1d2.24创新设计创新设计同理得d1d3，所以d1d2d3.设d1d2d3d，b3p1b3p3b3p1b3p1b3p3b3p1.b3n1b3n2b3p1(np)db3p1(np1)db3p1b3p1dd.同理可得b3nb3n1b3n1b3nd，所以bn1bnd，所以bn是等差数列.25创新设计创新设计26创新设计创新设计(2)解由(1)知ann2，所以cn2an52n1.当p1时，cpc11，cq2q1，cr2r1，27创新设计创新设计欲满足题设条件，只需q2p1，此时r4p25p2，因为p2，所以q2p1p，rq4p27p34(p1)2p10，即rq.综上所述，当p1时，不存在q，r满足题设条件；当p2时，存在q2p1，r4p25p2，满足题设条件.28本讲内容结束
