1、Thursday,December 22,20221第二节 控制系统的传递函数Thursday,December 22,20222传递函数的基本概念 传递函数是经典控制理论中最重要的数学模型之一。利用传递函数，在系统的分析和综合中可解决如下问题：不必求解微分方程就可以研究初始条件为零的系统在输入信号作用下的动态过程。可以研究系统参数变化或结构变化对系统动态过程的影响，因而使分析系统的问题大为简化。可以把对系统性能的要求转化为对系统传递函数的要求，使综合问题易于实现。Thursday,December 22,20223系统或环节的微分方程为：式中：x（t）输入，y（t）输出 为常系数)()()(
2、)()()(0)1(1)(0)1(1)(txbtxbtxbtyatyatyammmmnnnn)0,0(,mjnibaji一、传递函数的基本概念将上式求拉氏变化，得(令初始值为零）)()(0011bsbsXasasasYmmnnnn011011)()()(asasabsbsbsXsYsGnnnnmmmm)()()(sXsYsG 称为系统或环节的传递函数，即：环节的传递函数是它的微分方程在零初始条件下输出量的拉氏变换与输入量拉氏变换之比。也可写成：Y(s)=G(s)X(s)。通过拉氏反变换可求出时域表达式y(t)。传递函数的基本概念Thursday,December 22,20224传递函数的基本
3、概念总结:传递函数是由线性微分方程（线性系统）当初始值为零时进行拉氏变化得到的。已知传递函数G(s)和输入函数X(s)，可得出输出Y(s)。通过反变换可求出时域表达式y(t)。可以由环节的微分方程直接得出传递函数，只要将各阶导数用各阶s代替即可。即：nnnsdtdsdtd,.,Thursday,December 22,20225传递函数的基本概念|例2-8运放：11111)()()(),()(ksUsUsGtuktuee运放：)1()()()(),()()(21221122sksUsUsGtutuktu功放：32323)()()(),()(ksUsUsGtuktuaa例2-8求速度控制系统的传
4、递函数。解各环节的微分方程和传递函数分别为：直流电动机：)1)()()1)(2sTsMksUksTsTTsacmaummaThursday,December 22,20226传递函数的基本概念|例2-8 上式有两个输入量，而传递函数只能处理单输入-单输出系统。对于线性系统，可以将多个输入分别独立处理，然后叠加起来。下面分别讨论两个输入单独作用时的传递函数。令 ，得转速对电枢电压的传递函数：0)(sMc1)()()(2sTsTTksUssGmmauau令 ，得转速对负载力矩的传递函数：0)(sUa1)1()()()(2sTsTTsTksMssGmmaamcm最后利用叠加原理得转速表示为：)()(
5、)()()()()()()(sMsUsGsGsMsGsUsGscgmucmau 反馈环节：fffffkssUsGtktu)()()(),()(Thursday,December 22,202278求下图系统的传递函数。RLCouiui方法1：见例2-1 求上式的拉氏变换，得：)()()()(tututRCutLCuiooo11)()(2RCsLCssUsUIO传递函数为：12111)()(0RCsCLsCsCsLsRsUsUi传递函数的基本概念|例2-8a 方法2：复阻抗（电阻、电容和电感）分别为 。则：)()(1)()()1(0sUsICssUsICsLsRiLsCsR、1Thursday,
6、December 22,20228传递函数的基本概念|例2-9例2-9 求下图的传递函数：)(tuii1R0RB2i2R2C)(0tuB为虚地点，所以 ,0BV21iiSCRsURsUi22011)()(所以：SCRSCRRSCRsUsUsGi2122122011)()()(Thursday,December 22,20229传递函数的概念适用于线性定常系统，它与线性常系数微分方程一一对应。且与系统的动态特性一一对应。传递函数不能反映系统或元件的学科属性和物理性质。物理性质和学科类别截然不同的系统可能具有完全相同的传递函数。而研究某传递函数所得结论可适用于具有这种传递函数的各种系统。传递函数仅
7、与系统的结构和参数有关，与系统的输入无关。只反映了输入和输出之间的关系，不反映中间变量的关系。传递函数的概念主要适用于单输入单输出系统。若系统有多个输入信号，在求传递函数时，除了一个有关的输入外，其它的输入量一概视为零。传递函数忽略了初始条件的影响。传递函数传递函数是s的有理分式，对于大多数实际系统，分母的阶次n大于分子的阶次m，此时称为n阶系统。传递函数的基本概念关于传递函数的几点说明Thursday,December 22,202210传递函数的表现形式传递函数的表现形式传递函数的几种表现形式：表示为有理分式形式：011011)()()(asasabsbsbsXsYsGnnnnmmmm式中
8、：为实常数，一般nm上式称为n阶传递函数，相应的系统为n阶系统。jiba,表示成零点、极点形式：)()()()()()()(11jnjimignmpszsKsPsQabsXsYsGizjp式中：称为传递函数的零点，称为传递函数的极点。nmgabK 传递系数（零极点形式传递函数增益）Thursday,December 22,202211传递函数的表现形式传递函数的表现形式 写成时间常数形式：njjmiisTsKsPsQabsG1100)1()1()()()(jiT,分别称为时间常数，K称为放大系数显然：,1iiz,1jipT jnjimigpzKK11Thursday,December 22,2
9、02212传递函数的表现形式传递函数的表现形式若零点或极点为共轭复数，则一般用2阶项来表示。若 为共轭复极点，则：21,pp 222121)(1nnsspsps或：121)1)(1(12221TssTsTsT21pp、其中系数 由 或 求得。、n21TT、同样，共轭复零点可表示如下：22212)(nnsszszs12)1)(1(2221TssTsTsT或：Thursday,December 22,202213传递函数的表现形式传递函数的表现形式若再考虑有n个零值极点，则传递函数的通式可以写成：从上式可以看出：传递函数是一些基本因子的乘积。这些基本因子就是典型环节所对应的传递函数，是一些最简单、
10、最基本的一些形式。)2()()2()()(221122112121lllnljnjkkkmkimigspssszssKsG,221mmmnnn212式中：)12()1()12()1()(221122112121lllnljnjkkkmkimiTsTsTssssKsG或：比例环节积分环节惯性环节二阶微分振荡环节一阶微分Thursday,December 22,202214比例环节比例环节二、典型环节及其传递函数 典型环节有比例、积分、惯性、振荡、微分和延迟环节等多种。以下分别讨论典型环节的时域特征和复域（s域）特征。时域特征包括微分方程和单位阶跃输入下的输出响应。s域特性研究系统的零、极点分布。
11、比例环节又称为放大环节。k为放大系数。实例：分压器，放大器，无间隙无变形齿轮传动等。（一）比例环节：0),()(ttkxtyksXsYsG)()()(时域方程：传递函数：Thursday,December 22,202215积分环节积分环节 有一个零值极点。在图中极点用 表示，零点用“”表示。k表示比例系数，T称为时间常数。（二）积分环节：ttdttxkty00,)()(TssksXsYsG1)()()(时域方程：传递函数：0S平面j0)(1)(ttxkty)(tytReThursday,December 22,202216积分环节实例积分环节实例积分环节实例：RCiuouCsoisuRsu1
12、)()(RCssusuio1)()(图中，为转角，为角速度。ikutidttku0)(可见，为比例环节，为积分环节。iuiu电动机（忽略惯性和摩擦）iu齿轮组Thursday,December 22,202217（三）惯性环节时域方程：0),()()(ttkxtytTy传递函数：1)()()(TsksXsYsG 当输入为单位阶跃函数时,有 ，可解得：，式中：k为放大系数，T为时间常数。ktytTy)()()1()(Ttekty惯性环节惯性环节 当k=1时，输入为单位阶跃函数时,时域响应曲线和零极点分布图如下：通过原点的 斜率为1/T。只有一个极点（-1/T）。jRe0S平面T100.20.40
13、.60.81)(tytT0.632原点处斜率为1/TThursday,December 22,202218 求单位阶跃输入的输出响应的方法：,1)(,11)()(ssXTssXsY)11()1()(1TsskTssksY)1()()(1TteksYLty 可见：y(t)是非周期单调升的，所以惯性环节又叫作非周期环节。惯性环节的惯性环节的单位阶跃响应单位阶跃响应Thursday,December 22,202219R2Ciuou-+R1CsRRZRCsRCsRZRZ2222222111,111,而CsRsUsUZUsZsURRioi22011)()(,)()(12RCiuou11)()(,)()
14、(11RCssususuRsuioCsoCsi两个实例：惯性环节实例惯性环节实例Thursday,December 22,202220振荡环节振荡环节（四）振荡环节：时域方程：)()()()(001 2txbtyatyatya传递函数：121)(220122001220TssTkasasaakasasabsG上述传递函数有两种情况：当 时，可分解为两个惯性环节相乘。即：)1(,)1)(1()(22,121TTsTsTksG)1(122,1Tp1传递函数有两个实数极点：Thursday,December 22,202221振荡环节分析振荡环节分析分析：y(t)的响应过程是振幅按指数曲线衰减的的正
15、弦运动。与 有关。反映系统的阻尼程度，称为阻尼系数，称为无阻尼振荡圆频率。当 时，曲线单调上升,无振荡。当 时，曲线衰减振荡。越小，振荡越厉害。n110若 ，传递函数有一对共轭复数极点。传函可写成：2222)(nnnsssG10)2()()()(222nnnssssXsGsY对阶跃输入：0),11sin(11)(2122ttgtetynt单位阶跃响应曲线mIeR0n21nj21nj极点分布图Thursday,December 22,202222解：当 时，有一对共轭复数极点。所以：,FkxfxmxkfsmssFsXsG21)()()(042 mkf,1)(2mksmfsmkksG,2,2mfm
16、knn解得：mkfmkn2,例：求质量-弹簧-阻尼系统的 和 。（见例2-2，p11）n振荡环节例子振荡环节例子Thursday,December 22,202223微分环节微分环节（五）微分环节：微分环节的时域形式有三种形式：)()(tkxty)()()(txtxkty)()(2)()(2txtxtxkty相应的传递函数为：kssG)()1()(sksG)12()(22ssksG分别称为：纯微分，一阶微分和二阶微分环节。微分环节没有极点，只有零点。分别是零、实数和一对共轭零点（若 ）。在实际系统中，由于存在惯性，单纯的微分环节是不存在的，一般都是微分环节加惯性环节。10Thursday,De
17、cember 22,202224CsRRRZRZsZsYsZsX1121,22211,)()()()(1)1()1()()()(212112kTsTskCsRRRRCsRRsXsYsGCRTRRRk1212,式中：y(t)x(t)R1R2C实例微分环节实例微分环节实例Thursday,December 22,202225延迟环节延迟环节（六）延迟环节：又称时滞，时延环节。它的输出是经过一个延迟时间后，完全复现输入信号。如右图所示。其传递函数为：)()(txtysesG)(延迟环节是一个非线性的超越函数，所以有延迟的系统是很难分析和控制的。为简单起见，化简如下：sseess11.111或ses12/12/12/2/sseeesssx(t)ty(t)tThursday,December 22,202226（七）其他环节：还有一些环节如 等，它们的极点在s平面的右半平面，我们以后会看到，这种环节是不稳定的。称为不稳定环节。121,1122sTsTTs其他环节其他环节Thursday,December 22,202227小结传递函数的基本概念传递函数的列写（由微分方程和系统原理图出发）传递函数的适用范围和局限性典型环节及其传递函数（单位阶跃响应及其零极点分布）
