1、教案六l教学内容教学内容：极限存在准则与两个重要极限；无穷小的比较.l教学要求教学要求：l(1)了解两个极限存在准则。l(2)会用两个重要极限求一般简单未定式的极限，对于未定式求极限不必做过多的练习。l(3)掌握无穷小的比较的有关概念（特别是高阶无穷小与等价无穷小）。极限存在准则与两个重要极限azynnnnlimlim)2(),2,1()1(nzxynnnaxnnlim证证:由条件(2),0,1N当1Nn 时,ayn当2Nn 时,azn令,max21NNN 则当Nn 时,有,ayan,azan由条件(1)nnnzxya a即,axn故.limaxnn,2N定理定理1.11211lim222nn
2、nnnn证证:利用夹逼准则.nnnnn2221211nnn2222nn且nnnn22limnn11lim122limnnn211limnn1nnlimnnnn22212111由定理定理2.,),(0时当xxAxhxgxxxx)(lim)(lim00,)()(xhxg)(xfAxfxx)(lim0)0(Xx)(x)(x)(x且(利用定理1及数列的夹逼准则可证)1sincosxxx圆扇形AOB的面积1sinlim0 xxx证证:当即xsin21x21xtan21亦即)0(tansin2xxxx),0(2x时，)0(2 x,1coslim0 xx1sinlim0 xxx显然有AOB 的面积AOD的面
3、积DCBAx1oxxxcos1sin1故有.tanlim0 xxx解解:xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0 xxxsinlim0 xxcos1lim01例例3.求.arcsinlim0 xxx解解:令,arcsin xt 则,sintx 因此原式tttsinlim0 1lim0tttsin1nnnRcossinlim2Rn.cos1lim20 xxx解解:原式=2220sin2limxxx212121例例5.已知圆内接正 n 边形面积为证明:.lim2RAnn证证:nnAlimnnnnRnAcossin22R说明说明:计算中注意利用1)()(sinlim0)(xxx20sin
4、limx2x2x21Mxxxxnn121mxxxxnn121)(limMaxnn)(limmbxnnnx1nxM1x2xxmnx1nx1x2xx(证明略)ab,),2,1()1(1nxnnn证明数列nx极限存在.证证:利用二项式公式,有nnnx)1(11nn 1!121!2)1(nnn31!3)2)(1(nnnnnnnnnnn1!)1()1(11)1(1!1nn)1(2n)1(1nn)1(1!21n)1(1!31n)1(2n11nx)1(1!1nn)1(2n)1(1nn)1(1!21n)1(1!31n)1(2n111nx)1(11!21n)1)(1(1211!31nn)1()1)(1(1121
5、1!)1(1nnnnn大大 大大 正正),2,1(1nxxnn11)1(1nnnx!21!31!1n又比较可知nx记此极限为 e,ennn)1(lim1 e 为无理数,其值为590457182818284.2e即有极限.11)1(1nnnx!21!31!1n1121221121n又32121111n1213nexxx)1(lim1证证:当0 x时,设,1nxn则xx)1(111)1(nnnn)1(11nnn)1(lim11 limn111)1(nn111ne11)1(limnnn1)1(lim11）（nnnneexxx)1(lim1当x,)1(tx则,t从而有xxx)1(lim1)1(11)1
6、(limttt)1(1)(limtttt11)1(limttt)1()1(lim11tttte故exxx)1(lim1说明说明:此极限也可写为ezzz1)1(lim0时,令.)1(lim1xxx解解:令,xt则xxx)1(lim1ttt)1(lim1 1limttt)1(1e1说明说明：若利用,)1(lim)()(1)(exxx则 原式111)1(limexxxlimx.)cos(sinlim11xxxx解解:原式=2)cos(sinlim211xxxx2)sin1(lim2xxx)sin1(2xexx22sinx2sin1数列nx极限存在的充要条件是:,0存在正整数 N,使当NnNm,时,m
7、nxx证证:“必要性”.设,limaxnn则,0NnNm,时,有 使当,2axn2axm因此mnxx)()(axaxmnaxnaxm“充分性”证明从略.,N有的不同数列1.函数极限与数列极限关系的应用(1)利用数列极限判别函数极限不存在(2)数列极限存在的夹逼准则法法1 找一个数列:nx,0 xxn)(0nxxn且使)(limnnxf法法2 找两个趋于0 xnx及,nx使)(limnnxf)(limnnxf不存在.函数极限存在的夹逼准则1.如何判断极限不存在?方法1.找一个趋于的子数列;方法2.找两个收敛于不同极限的子数列.2.已知),2,1(21,111nxxxnn,求nnxlim时,下述作
8、法是否正确?说明理由.设,limaxnn由递推式两边取极限得aa211a不对不对!此处nnxlim故极限存在，1.1.设)(211nnnxaxx),2,1(n,0a,01x,且求.limnnx解：解：设Axnnlim则由递推公式有)(21AaAAaA)(211nnnxaxxnxnxaannxx1)1(212nxa)1(21aa1数列单调递减有下界，,01x故axnnlim利用极限存在准则,0nx,),2,1(0iai证证:显然,1nnxx证明下述数列有极限.)1()1)(1()1)(1(12121211nnaaaaaaaaanx),2,1(n即nx单调增,又nkkknaaax11)1()1(1
9、111a1(1)nkkaa211)1()1(1)1()1(11kaa)1()1(111naa1nnx lim存在“拆项相消拆项相消”法法1sinlim)1(0e)11(lim)2(或e1)1(lim0注注:代表相同的表达式无穷小的比较,0时xxxxsin,32都是无穷小,但 xxx3lim20,0 xxx3sinlim0,3120sinlimxxx,可见无穷小趋于 0 的速度是多样的.,0limCk,0lim若则称 是比 高阶高阶的无穷小,)(o,lim若若若,1lim若,0limC或,设是自变量同一变化过程中的无穷小,记作则称 是比 低阶低阶的无穷小;则称 是 的同阶同阶无穷小;则称 是关于
10、 的 k 阶阶无穷小;则称 是 的等价等价无穷小,记作)(o0 x时3x26xxsin;xxtan;xxarcsinx20cos1limxxx220sin2limxx又如又如，22)(4x21故0 x时xcos1是关于 x 的二阶无穷小,xcos1221x且0 x时,11nxxn1证证:lim0 x11nxxn10limx11nnxxn111nnx21nnx11,0时当 x11nxxn1nnba)(ba1(naban 2)1nb)(o证证:1lim,0)1lim(0lim即,)(o即)(o例如例如,0 时x,sinxx,tanxx故,0 时x,)(sinxoxx)(tanxoxx,且lim存在
11、,则lim lim证证:limlim limlimlim lim例如例如,xxx5sin2tanlim0 xxx52lim052设对同一变化过程,为无穷小,无穷小的性质,(1)和差取大规则和差取大规则:由等价可得简化某些极限运算的下述规则.若 =o(),(2)和差代替规则和差代替规则:,不等价与且若,则例如,xxxx3sinlim30 xxx3lim031则,limlim且.时此结论未必成立但例如,11sin2tanlim0 xxxxxxxx2102lim2极限存在或有且若)(,x界,则)(limx)(limx例如,.sintanlim30 xxxx30limxxxx原式30)cos1(tanlimxxxx2132210limxxxx例例1.求01sinlim1sinarcsinlim00 xxxxxx解解:原式 231x221x.1cos1)1(lim3120 xxx解解:,0时当x1)1(312 x231x1cosx221x0limx原式320lim,0,)0(C,1,0lim Ck1.无穷小的比较设 ,对同一自变量的变化过程为无穷小,且 是 的高阶无穷小 是 的低阶无穷小 是 的同阶无穷小 是 的等价无穷小 是 的 k 阶无穷小,0时当 xxsinxtanxarcsin,x,x,xxcos1,221x11nxxn1 作业作业 检测题1-6 常用等价无穷小:
