1、 高考数学二轮第一讲 第 1 页共 30 页 第一讲 备考冲刺策略指导 选择填空题的解题技巧 1选择题的解题技巧选择题的解题技巧 高考数学选择题是高考考查的三大题型之一，有12题之多，总分有60分因此，研究选 择题的解答技巧就显得十分必要数学选择题有4个选项，其中仅有一个是正确的，因此， 其解答方法除了正面直接推理、计算以外，也可以采用排除法，排除3个错误选项，从而获 得正确选项采用数形结合取特值、代入验证、范围估计、等价转化等特殊方法，巧妙解答 选择题也是必须灵活掌握的，只有方法加技巧才能达到“快、巧、 准”地解答选择题的目的 选择题一般是容易题或中档题， 个别题属于较难题， 且大多数题的解
2、答过程可用特殊方 法快速解答一般来说，能定性判断的，就不再使用定量计算；能使用特殊值判断的，就不 必采用常规解法；能使用间接法解的，就不必直接解答；对于明显可以否定的选项应及早排 除，以缩小选择的范围；对于具有多种解题思路的，宜选最简解法等 从考试角度来看，解选择题只要选对就行，至于用什么“策略”“手段”都是无关紧要 的，所以有人戏称处理选择题可以“不择手段”，即解答选择题时要灵活运用非常规手段、 方法处理问题总的来说，解选择题的原则是：小题巧解 数形结合法和等效转化法这两种方法分别是以数形结合思想和转化与化归思想为指导 的一种解题策略 下面仅对直接求解法、特殊值法、排除法、估算法、推理分析法
3、作以分析 直接求解法直接求解法 直接解答型选择题可以直接从题设条件出发，利用相关概念、定理、性质、公式和法则 等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得出结论，与选项对照，选择正确选项直接 解答型选择题相对来说比较简单 【典例 1】(2019 年全国卷)已知非零向量 a，b 满足| 2|ab，且()abb，则 a 与 b 的夹角为 A 6 B 3 C 2 3 D 5 6 【解析】设 a 与 b 的夹角为，()abb，()0abb， 2 a bb， 2 | |cos|abb，又| 2|ab， 1 cos 2 ，(0, )， 3 故选 B 高考数学二轮第一讲 第 2 页共 30 页 【典例 2】(
4、2019 年全国卷)演讲比赛共有 9 位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选 手的成绩时，从 9 个原始评分中去掉 1 个最高分、1 个最低分，得到 7 个有效评分7 个有效评分与 9 个原始评分相比，不变的数字特征是 A中位数 B平均数 C方差 D极差 【解析】记 9 个原始评分分别为a，b，c，d，e，f，g，h，i(按从小到大的顺序排 列)，易知e为 7 个有效评分与 9 个原始评分的中位数，故不变的数字特征是中位数， 故选 A 【典例 3】(2019 年全国卷)已知曲线eln x yaxx在点(1,)ae处的切线方程为 2yxb，则 Aae，1b Bae，1b C 1 ae，1b D
5、 1 ae，1b 【解析】因为ln1 x yaex ，所以 1 |1 x yae ，所以曲线在点(1,)ae处的切线方程 为(1)(1)yaeaex，即(1)1yaex，所以 12 1 ae b ，解得 1 1 ae b 【典例 4】若等差数列 n a的前n项和为 n S，且 4 8S ， 8 4S ，则 16 S= A40 B 5 2 C 5 2 D40 【解析】解法一设数列 n a的公差为d，则由 4 8S ， 8 4S 得 1 1 4 3 48 2 8 7 84 2 ad ad ， 解得 1 3 4 25 8 d a ， 所以 161 16 152516 153 1616()40 282
6、4 Sad ， 故选 A 解法二 因为数列 n a是等差数列，所以数列 n S n 是等差数列，设数列 n S n 的公差 为 1 d，则 84 1 3 4 842 SS d ， 即 1 3 8 d ，又 168 1 S5 8 1682 S d ， 所以 16 5 1640 2 S ，故选 A 高考数学二轮第一讲 第 3 页共 30 页 【典例 5】(2018 年全国) 若( )cossinf xxx在, a a是减函数，则a的最大值是 A 4 B 2 C 3 4 D 【解析】( )cossin2cos() 4 f xxxx， 且函数cosyx在区间0, 上单调递减， 则由0 4 x，得 3
7、44 x 因为( )f x在, a a上是减函数，所以 4 3 4 a a ，解得 4 a， 【典例 6】(2017 全国)若2x是函数 21 ( )(1) x f xxaxe 的极值点，则 21 ( )(1) x f xxaxe 的极小值为 A1 B 3 2e C 3 5e D1 【解析】 21 ( )(2)1 x fxxaxae ，( 2)0f ，1a， 所以 21 ( )(1) x f xxxe ， 21 ( )(2) x fxxxe ， 令( )0fx，解得2x或1x ，所以当(, 2)x ，( )0fx，( )f x单调递 增；当( 2,1)x 时，( )0fx，( )f x单调递减
8、；当(1,)x，( )0fx，( )f x 单调递增，所以( )f x的极小值为 1 1 (1)(1 1 1)1fe ，选A 【典例7】 (2016全国)平面过正方体 1111 ABCDABC D的顶点A，平面 11 CB D，I 平面ABCD=m，I平面 11 ABB A=n，则m，n所成角的正弦值为 A 3 2 B 2 2 C 3 3 D 1 3 【解析】 因为过点A的平面与平面 11 CB D平行， 平面ABCD平面 1111 ABC D， 所以m 11 B DBD， 又 1 AB平面 11 CB D， 所以n 1 AB， 则BD与 1 AB所成的角为所求角， 所以m，n所成角的正弦值为
9、 3 2 ，选 A 高考数学二轮第一讲 第 4 页共 30 页 【典例 8】设(0,) 2 ，(0,) 2 ，且 1 sin tan cos ，则 A3 2 B2 2 C3 2 D2 2 【解析】由条件得 sin1 sin coscos ，即sincoscos(1 sin)， 得sin()cossin() 2 ，又因为 22 ，0 22 ， 所以 2 ，所以2 2 故选 B 【典例9】已知F为双曲线C： 22 3xmym的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距 离为 A3 B3m C3 D3m 【解析】由已知得双曲线方程为C： 22 1 33 xy m ，则 2 33cm，33cm，则可设 (
10、33,0)Fm，C的一条渐近线方程为 31 3 yxx mm ，即0xmy， 所以，焦点F到此渐近线的距离为 33 3 1 m d m 故选A 【归纳总结】直接法是解答选择题最常用的基本方法直接法适用的范围很广，只要运 算正确必能得出正确的答案平时练习中应不断提高用直接法解选择题的能力， 准确把握题 目的特点 特殊值法特殊值法 该类题目可以通过取一些特殊数值、特殊点、特殊函数、特殊数列、特殊图形、特殊位 置、特殊向量等对选项进行验证，从而否定并排除不符合题目要求的选项，间接地得到符合 题目要求的选项 【典例 1】(2019 年全国卷)若ab，则 Aln()0ab B33 ab C 33 0ab
11、 D| |ab 【解析】当0.3a，0.4b时，ln()0ab，33 ab ，| |ab，故排除 A，B，D故 选 C 高考数学二轮第一讲 第 5 页共 30 页 【典例 2】(2018 年全国)设函数 32 ( )(1)f xxaxax，若 ( )f x为奇函数，则曲线 ( )yf x 在点(0,0)处的切线方程为 A 2yx By x C2yx Dy x 【解析】因为函数 32 ( )(1)f xxaxax为奇函数，所以( 1)(1)0ff， 所以11(11)0 aaaa，解得1a，所以 3 ( ) f xxx， 所以 2 ( )31fxx，所以(0)1f，所以曲线( )yf x在点(0,
12、0)处的切线方程为 yx故选 D 【典例 3】(2017 山东) 若0ab，且1ab ，则下列不等式成立的是 A 2 1 log 2a b aab b B 2 1 log 2a b aba b C 2 1 log 2a b aab b D 2 1 log 2a b aba b 【解析】取2a， 1 2 b ，则 1 2 24a b ， 2 1 1 2 228 a b ， 22 log ()log 42ab， 所以 2 1 log 2a b aba b ， 选 B 【典例 4】(2016 浙江)已知实数 a，b，c A若 2 |abc+ 2 |abc1，则 222 abc0)的左、右焦点分别为
13、1 F， 2 F，焦距为2c若直线 3()yxc与椭圆的一个交点M满足 12 MFF=2 21 MF F， 则该椭圆的离心率 e= 【解析】直线3()yxc过点 1 F，且倾斜角为60,所以 12 MFF=60， 从而 21 MF F=30，所以 1 MF 2 MF在Rt 12 MFF中， 1 |MFc， 2 | 3MFc， 所以该椭圆的离心率 22 31 23 cc e acc 【归纳总结】从已知条件入手，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识解决问 题，得出结论用直接法解填空题，应对教材中的定义及其性质、定理及其推论、公式及其 变形熟练掌握，还要做到:快、稳、全、细、回，其中“回”是指
14、解答之后要回顾，即再审 题，这是最基本的一个环节，可以避免审题上带来的某些明显错误 特殊值法特殊值法 当已知条件中含有某些不确定的量， 但结论唯一或题设条件中提供的信息暗示结果是一 个定值时，可以从题中变化的不定量中选取符合条件的恰当的特殊值(特殊函数、特殊角、 特殊数列、特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)进行处理，从而得出探求的结论为 保证结果的正确性，一般应多取几个特例 【典例1】(2017北京)能够说明“设a，b，c是任意实数若abc，则abc”是假 命题的一组整数a，b，c的值依次为_ 【解析】 取1a，2b，3c ， 满足abc， 但3a bc ， 不满足abc， 故“设a，b
15、，c是任意实数若abc，则abc”是假命题的一组整数a，b， c的值依次为1, 2, 3 【典例2】已知函数( )f x满足： 1 (1) 4 f，4 ( ) ( )()()f x f yf xyf xy(x，yR)， 则f(2 018)= 【解析】令1x ，0y ，则4 (1) (0)(1 0)(1 0)2 (1)fffff 所以 1 (0) 2 f 高考数学二轮第一讲 第 24 页共 30 页 令1xy，则 22 111 (2)4(1)(0)4 ( ) 424 fff 用1x替换x，令1y ， 则4 (1) (1)(1 1)(1 1)(2)( )f xff xf xf xf x 整理，得(
16、1)(2)( )f xf xf x， 同理可得(2)(3)(1)f xf xf x 由+得，(3)( )f xf x ， 所以(6)(3)3)(3)( )f xfxf xf x ， 即( )f x是以6为周期的周期函数， 于是 1 (2018)(336 62)(2) 4 fff 【典例3】在ABC中，角A、B、C 所对的边分别为a、b、c，若a、b、c 成等差数列，则 coscos 1 coscos AC AC 【解析】 由题意， 所求数值是一个定值， 故可利用满足条件的直角三角形进行计算 令a=3， b=4，c=5，则ABC 为直角三角形，且 4 cos 5 A，cos0C ， 则 cosc
17、os 1 coscos AC AC 4 0 4 5 4 5 10 5 【典例4】如图，在ABC中，点M是BC的中点，过点M的直线与直线AB、AC分别 交于不同的两点P、Q，若APAB，AQAC，则 11 = P M Q C B A 高考数学二轮第一讲 第 25 页共 30 页 【解析】由题意可知， 11 的值与点P、Q 的位置无关，而当直线BC 与直线PQ重合时， 则有1，所以 11 =2 【归纳总结】 用特殊值法求解仅限于结论只有一种情况的填空题， 对开放性的问题或有 多种结论的填空题，就不能使用这种方法 构造法构造法 在立体几何中补形构造是最为常用的解题技巧， 它能将一般几何体的有关问题通
18、过补形 构造成特殊的几何体进行求解， 此种方法适用于已知几何体中的长度、 角度等部分几何度量 问题 【典例 1】(2017 天津)在ABC 中，60A，AB=3，AC=2若2BDDC， AEACAB（R） ，且4AD AE ，则的值为 【解析】以点A为坐标原点，AB的方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系，不妨假设点 C在第一象限，则(0,0)A，(3,0)B，(1, 3)C由2BDDC，得 5 2 3 ( ,) 33 D， 由AEACAB，得(3, 3 )E， 则 5 2 352 311 ( ,) (3, 3 )(3)354 33333 AD AE ，则 3 11 y x C B A 【典例
19、2】(2016 北京)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出 19 种商品， 第二天售出 13 种商品，第三天售出 18 种商品；前两天都售出的商品有 3 种，后两天都 售出的商品有 4 种，则该网店 第一天售出但第二天未售出的商品有_种； 这三天售出的商品最少有_种 【解析】设第一天售出的商品为集合 A，则 A 中有 19 个元素，第二天售出的商品为集合 B， 则 B 中有 13 个元素，第三天售出的商品为集合 C，则 C 中有 18 个元素，由于前两天 高考数学二轮第一讲 第 26 页共 30 页 都售出的商品有 3 种，则 AB 中有 3 个元素，后两天都售出的商品有 4 种
20、，则 BC 中 有 4 个元素，所以该网店第一天售出但第二天未售出的商品有 19-3=16 种，这三天售出 的商品种数最少时， 第一天和第三天售出的种类重合最多， 由于前两天都售出的商品有 3种， 后两天都售出的商品有4种， 故第一天和第三天都售出的商品可以有17种， 即AC 中有 17 个元素，如图，即这三天售出的商品最少有 2 +14 +3+1+9 =29 种 【典例3】设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，2和a，且长为a的棱与长为2的 棱异面，则a的取值范围是 【解析】依题意，构造四面体ABCD，使AB=a，CD= 2，AD=AC=BC=BD=1，如图所示， 取CD 的中点E，连接
21、AE，BE 因为AC=AD=1，CD=2，所以 222 ACADCD故ACAD 在等腰直角ACD 中，E 为斜边CD 的中点， 所以 12 22 AECD同理可得 2 2 BE ， 因为AE+BEAB，所以 22 22 a，即0a2 故a的取值范围是(0，2) 【归纳总结】 构造法实质上是转化与化归思想在解题中的应用， 需要根据已知条件和所 要解决的问题确定构造的方向，通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型，从而转化为 自己熟悉的问题 推理法推理法 高考数学二轮第一讲 第 27 页共 30 页 【典例 1】(2019 年北京)已知l，m是平面外的两条不同直线给出下列三个论断： lm； m；
22、l 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：_ 【解析】 若l，lm， 则m，显然正确；若lm，m，则l， l与相交但不垂直都可以，故不正确；若l，m，则l垂直内 所有直线，在内必存在与m平行的直线，所以可推出lm，故正确 （答 案不唯一） 【典例 2】(2018 年全国卷)记 n S为数列 n a的前n项和，若21 nn Sa，则 6 S _ 【解析】通解 因为21 nn Sa，所以当1n时， 11 21aa，解得 1 1 a； 当2n时， 122 21aaa，解得 2 2 a； 当3n时， 1233 21aaaa，解得 3 4 a； 当4n时， 12344 2
23、1aaaaa，解得 4 8 a； 当5n时， 123455 21aaaaaa，解得 5 16 a； 当6n时， 1234566 21aaaaaaa，解得 6 32 a 所以 6 1 24 8 163263 S 优解 因为21 nn Sa，所以当1n时， 11 21aa，解得 1 1 a， 当2n时， 11 21 21 nnnnn aSSaa，所以 1 2 nn aa， 所以数列 n a是以1为首项，2 为公比的等比数列，所以 1 2 n n a， 所以 6 6 1 (1 2 ) 63 1 2 S 【典例 3】(2017 北京)某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： （）男学
24、生人数多于女学生人数； （）女学生人数多于教师人数； （）教师人数的两倍多于男学生人数 若教师人数为 4，则女学生人数的最大值为_ 该小组人数的最小值为_ 高考数学二轮第一讲 第 28 页共 30 页 【解析】令男学生、女学生、教师人数分别为, ,x y z，且xyz，若教师人数为4，则 48yx，当7x时，y取得最大值6当1z 时，12zyx，不满 足条件；当2z 时，24zyx，不满足条件；当3z 时，36zyx， 4y ，5x ，满足条件所以该小组人数的最小值为3 4 5 12 【典例 4】已知( ) 1 x f x x ,0x，若 1( ) ( )f xf x, 1( ) ( ) nn
25、 fxf fx ， * nN 则 2018( ) fx 的表达式为_ 【解析】由 1( ) 1 x f x x ，得 2( ) () 112 xx fxf xx ， 可得 32 ( )( ) 1 3 x fxf fx x ，故可归纳得 2018( ) 12018 x fx x 【归纳总结】类比推理法多用于新定义型填空题，起点较高，落点低，只要能读懂题， 认真地归纳、 类比即可得出结论 但在推理的过程中要严格按照定义的法则或者相关的定理 进行，归纳推理和类比推理也要依据自身的推理法则，不能妄加推测 综合分析法综合分析法 【典例 1】已知数列 n a满足 21nnn aaa ( * nN)， 1n
26、n aa ， * n a N，数列 n b是 公比为 2 的等比数列， * n b N，若 1010 2018ab，则 11 ab的值是 【解析】因为数列 n b是公比为 2 的等比数列，所以 1 1 2n n bb ， 因为 9 101 22018bb，且 * 1 b N，所以 1 b 1，2，3 由 21nnn aaa 得 109887 2aaaaa 7621 323421aaaa 若 1 1b ，则 9 1010 2512ab，从而 21 3421512aa， 22 12 512348(1) 242 2121 aa aa ， 因为 * n a N，所以 2 121ak( * kN)， 所
27、以 1 242(211)826340akkk，不合题意， 所以 1 1b ；若 1 2b ，则 10 1010 21024ab 4， 从而 21 34211024aa， 22 12 102434168 482 2121 aa aa ， 高考数学二轮第一讲 第 29 页共 30 页 分析可取 2 19a ，得 1 18a ，符合题意； 若 1 3b ，则 9 1010 3 21536ab ，从而 21 34211536aa， 22 12 15363438 732 2121 aa aa ，分析可取 2 39a ，得 1 10a ， 符合题意综上所述， 1 1 10 3 a b 或 1 1 18 2
28、 a b ，故 11 ab=13 或 20 【典例 2】 (2018 年江苏)已知集合 * |21,Ax xnnN， * |2 , n Bx xnN 将AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列 n a记 n S为数列 n a的前n项和，则使 得 1 12 nn Sa 成立的n的最小值为 【解析】所有的正奇数和2n( * nN)按照从小到大的顺序排列构成 n a，在数列 n a 中， 5 2前面有 16 个正奇数，即 5 21 2a， 6 38 2a当1n 时， 12 1 1224Sa ，不符 合题意； 当2n时， 23 31236Sa， 不符合题意； 当3n时， 34 61248Sa， 不
29、符合题意；当4n时， 45 101260Sa，不符合题意；当26n时， 5 26 21 (1 41)2 (1 2 ) 21 2 S = 441 +62= 503 28 12a=540，符合题意故使得 1 12 nn Sa 成立的n的最小值为 27 【典例3】数列 n a满足 1 1 1 n n a a ， 8 a=2，则 1 a=_ 【解析】将 8 2a 代入 1 1 1 n n a a ，可求得 7 1 2 a ； 再将 7 1 2 a 代入 1 1 1 n n a a ，可求得 6 1a ； 再将 6 1a 代入 1 1 1 n n a a 得 5 2a ； 高考数学二轮第一讲 第 30 页共 30 页 由此可知数列 n a是一个周期数列，且周期为3，所以 17 1 2 aa 【归纳总结】 对于规律总结型与综合型的填空题， 应从题设的条件出发， 通过逐步计算、 分析与总结探究其规律性
