1、数学竞赛讲座数学竞赛讲座无穷级数无穷级数王进良王进良1.解：解：发散发散，时，时，)()!ln(0)1(nnn 发散发散，时，时，nnnnnn2ln2ln2ln)1()!ln(20)2(1 ,lnln)!ln(2)3(1 nnnnnnn时，时，收敛收敛，取取 ,11lnln1111rrrnnnnnnr 敛散性敛散性判别判别 1)!ln(nnn 判判别别级级数数的的敛敛散散性性32.解：解：敛散性敛散性判别判别 12111ln)1(nnnnn2121)1(1)1(nnnn 12)121ln(11ln nnnn211lnlim)1(lim11ln)1(lim41214521 nnnnnnnnnnn
2、nnn收敛收敛 12111ln)1(nnnnn3.解：解：为交错级数为交错级数考虑级数考虑级数,)1(1)1(11202 kkkkkjkujk)(012 0,2 kkkuk显然显然,1212111222102202kkkkkjkkjkjkukjkjk kkjkukkjku 2220211)(321)(1又又敛散性敛散性判别判别 1)1(nnn判判别别级级数数的的敛敛散散性性knkkkkn 2,1,222时时，当当:ku下证下证)0(,)()2)(,2222kjkkjkkjk 注意到注意到收敛收敛，1)1(kkkkuu的关系：的关系：的部分和的部分和与与原级数的部分和原级数的部分和1)1(nkk
3、knTuS )(01 2|-|2 nnnTSnn收敛，条件收敛收敛，条件收敛 1)1(nnn54.解：解：，判敛散：判敛散：120,)()()1(nanbnnnbabnannaxbxxbxaxxxfba )()()(10)2(2时，时，当当0)()()()(ln0)(ln2 anbnnbnannxfxfxf且且babanabanbnnnenbnabxanbnann )(2)1)(1(1)()(1)()(，收敛收敛时，时，12)()(1)1(nanbnnbnannba，条件收敛条件收敛时，时，12)()()1(10nanbnnnbnannba级数发散，级数发散，时，时，0)()()1(0)3(2
4、anbnnnbnannba/65.解：解：0)1(1ln1 pnnpn，判敛散：判敛散：)1(21)1()1(1ln22pppnpnnonnn 绝对收敛，绝对收敛，时，时，1)1(1ln1)1(npnnp条件收敛，条件收敛，时，时，1)1(1ln121)2(npnnp发散。发散。时，时，1)1(1ln210)3(npnnp76.解：解：0,sin12 ，判敛散：判敛散：nnnn0sin212 nnn时，时，当当)sin()1(sin2 nnnnn 发散。发散。12sinnnnn /nnnnnsin)1(sin212 时，时，当当条条件件收收敛敛 12sin,0sinnnnnn 87.解：解：发
5、发散散发发散散，而而 2211,11nnnnunnu但不单调。但不单调。级数为交错级数，且级数为交错级数，且),(0)1(1 nnunn考虑部分和考虑部分和 12nS0)21121()4151()2131()1()1(1222 nnkSnkkkn21221)21221()4161()2141(2 nnnSn又又.21 收收敛敛。2nS12222212limlim nnnnnnnSSuSS条条件件收收敛敛。nS条条件件收收敛敛证证明明：级级数数 2)1()1(nnnn98.解：解：)1()1(2sin111sin,10)2(11 pnnnnpnnnpnxdxdxxxap 时时，级数绝对收敛。级数
6、绝对收敛。时，时，,11|sin|1)1(1pnnpnndxxxap 1,nnpn 其其中中，证明：证明：设设,0.,.2,1,1sin1 nnpnpnndxxxa 0)1(2)1(2)1(201 pnpnpn 条件收敛。条件收敛。0nna条件收敛。条件收敛。时，时，绝对收敛；绝对收敛；00,10)2(,1)1(nnnnapap109.解：解：nennennnnn 212)2()!(12敛散性敛散性判别判别 1)!(1nnn)12/(2!nnnnennn 斯斯特特林林公公式式：时，级数发散。时，级数发散。时，级数收敛；时，级数收敛；11 1110.证明：证明：收敛收敛证明：证明：设设 1211
7、11,1nnnnnxxxxx)1(121nnnnnnxxxxxx 1111111111 nnnnnnxxxxxx1111111111 nnkkknkknxxxxS部部分分和和：011121有有下下界界又又 nnnnnnxxxxxx1211.解：解：收敛收敛 22211)1(nanaanannnn发散，试判断敛散性发散，试判断敛散性设设 1,0nnnaa 1121)2(,1)1(nnnnnnaaana发散发散，有界，有界，若若 11111,0)2(nnnnnnnnaaaMaaMaa有界有界，否则，否则无界，则无界，则若若01nnnnaaaa/发散发散 11nnnaa1312.证明：证明：阶阶导导
8、数数，且且点点的的某某邻邻域域内内有有连连续续二二为为偶偶函函数数，在在设设0)(xf)1,0(,1)(211)0()0()1(2nnfnffnf 收敛收敛证明证明 1|1)1(|,2)0(,0)0(,1)0(nnffff0)0(,2)0(,1)0(fff1|)(|21lim1|1)1(|lim|)(|21|1)1(|22 fnnffnnfnn收敛收敛 1|1)1(|nnf1413.证明：证明：收敛收敛收敛，则收敛，则若正项级数若正项级数 121)1(nannnnaa222)ln(1lnexp)1(nnnnanaaaaan 0lnlim)1(lim22 nnnnannaaaan收敛收敛 12)
9、1(nanna1514.证明：证明：证证明明：满满足足设设数数列列,)(,nnbnanneaeba 收收敛敛收收敛敛，则则且且若若则则若若 11,0)2(0,0)1(nnnnnnnnabaaba01)1(nnbnabaeaenn21lnlimlnlimlim)2(222 xxeaaeabxxnnannnnn收收敛敛 1nnnab1615.证明：证明：收敛性收敛性讨论讨论设设 1211),1(21,10nnnnnuuuuu1)1(2121 nnnuuu10 nu显然，显然，有界有界 nu收敛收敛 1nnu1lim1 uAunn设设0)1(212 AAAA21)1(21limlim21 nnnnn
10、uuu1716.解：解：收敛收敛证明：证明：设设 121)1(,0nnnnnaaaa0limlim,21 nnnnnnabnaaab则则记记0)1()()1(1211 nnaaaanbbnnnn收敛收敛 121)1(nnnnaaa1817.解：解：011lim11 nkknnnkana 收敛，试证：收敛，试证：设设AnsssAsasnnnnnkkn 1lim,lim,211则则设设1lim11lim211 nsssskannnnnkkn0 AA1918.解：解：发散，则发散，则且且设设 121,0nnnaaaa1lim1231242 nnnaaaaaa11231242 nnaaaaaa1231
11、1211231125312312421 nnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaa又又12112121 nnsaa2019.解：解：,0!)0(,11)()(2 nnfaxxxfnn，且且设设1)()1(,1)0(,1)0(2 xfxxff且且2,)!2()0()!1()0(!)0()2()1()(nnfnfnfnnnn阶导数：阶导数：求求1,1012 aaaaannn收敛，并求和收敛，并求和证明：证明：021nnnnaaa211002021111111 nnnkkknkkkknaaaaaaaaaS部分和部分和21110 aa20.解：解：120,)(nnnnbaxnbna的收敛域，其中，
12、的收敛域，其中，求求)1,1)()1()(1(1122aanabnnabnnnnnn 收敛区间：收敛区间：收敛收敛发散，发散，,2/,)1(2nnnnnnanbnanaba aRanbnannnn1,lim2 ,2/,)2(22nnnnnnbnbnanbba bRbnbnannnn1,lim2 1,1)1()()1)(1122bbnnbannbannnnn 收敛区间：收敛区间：收敛收敛，21.解：解：12)sin)1(1(nnnxnnn的收敛域的收敛域求求0)sin)1(1(1|2 nnxnnnx时，时，当当)1,1(收收敛敛区区间间：nnnxxnnn|3|)sin)1(1(|2 121)si
13、n)1(1(|31|nnnnnxnnnxx绝对收敛绝对收敛收敛收敛时，时，/22.解：解：12)11(nnxnen的收敛域的收敛域求求)1()11()11(2 xxnnnxneenen 12)11(1nnxnenx收敛收敛时，正项级数时，正项级数当当),1()11(12 nnxnen的收敛域的收敛域 12)11(1nnxnenx发散发散时，正项级数时，正项级数当当nnnnnneenux)11/()11(12 时，时，当当021)1(21)11ln(1 eeenOnnn2423.解：解：nkknnnkCnn12)1(2lim求求 nkknkC12首先计算首先计算1)1(101 nnkkknnkk
14、knxxCxC考考虑虑111)1(nnkkknxnkxC11)1(nnkkknxnxkxC21112)1()1()1(nnnkkknxxnnxnxkC2122)1(,1 nnkknnnkCx有有：令令4141lim)1(2lim12 nnkknnnkCnn2524.解：解：的系数的系数中的项中的项求求2031)(xxnn 33331)1()1()(xxxxxnn )1|(|,110 xxxnn)1|(|,)1(1112 xnxxnn)1|(|,)1()1(2223 xxnnxnn 2122331)1()1(21)(nnnnnnxnnxnnxx21819)(2031 的系数的系数中的项中的项xx
15、nn2625.解：解：11)1(sin)1(nnnnnx求和：求和：)sin()cos(nxjnxejnx )1|(|,)1()1()(11 ttnntsnnn首先计算和：首先计算和：tttnnttsnnnnnn 11)1()1()1()(111111)1ln()(ttts 21)0(,0)0(ss)1ln()1()1ln()(0tttdttttst )0(),1ln(11)(ttttts到到代入上式，比较虚部得代入上式，比较虚部得将将jxet )2cos2ln(sin)cos1(2)1(sin)1(11xxxxnnnxnn 2726.解：解：01dxexx利用级数求定积分：利用级数求定积分：
16、0000)1(11dxexedxexedxexnnxnxxxx 00)1()1(nxnndxxe6)1(1202 nn2827.解：解：1101nnxndxxdx证明：证明：)0,0ln,0(,1ln xxxxexxxxxx 00ln!1)1()ln(!1nnnnnnxxnxxn 10110ln!)1(xdxxndxxdxnnnnx110)1(!)1(ln nnnnnnxdxx 1101nnxndxxdx2928.解：解：cos1)sin(sin!sinennn 证明：证明：),(,!0 nnxnxe sincosjx 令，令，比较虚部：比较虚部：0sincos,!sincosnjnnjne
17、cos1)sin(sin!sinennn 3029.解：解：1211)(),0),2,0(,)(,2)(nxnFourierxfxexfxf级数，并求级数，并求展开成展开成将将周期为周期为设设 )1(112200 edxeax222201cos1nenxdxeaxn 222201sin1nenxdxebxn 定理，定理，由由Dirichlet212)2()0(112112122 effnen有：有：1,0 x)2,0(,sincos2111222 xnnxnnxeenx21112112212 eenn3130.解：解：为常数为常数证明：证明：实值连续，且实值连续，且设设)()2()1()()(xfxfxfxfxf ,2cos)(210 xdxnxfan 为常数。为常数。)(),0(,0 xfnbann 同理有：同理有：,2sin)(210 xdxnxfbn 21210)2(2cos)(22cos)2(2dttntfxdxnxfan 2122122sin)(22sin22cos)(22cos2tdtntfntdtntfn 10102sin)(22sin22cos)(22cos2tdtntfntdtntfn nbnann22sin22cos nanbbnnn22sin22cos
