1、一一元元二二次次方方程程一元二次方程的定义一元二次方程的定义一元二次方程的解法一元二次方程的解法一元二次方程的应用一元二次方程的应用方程两边都是整式方程两边都是整式ax+bx+c=0ax+bx+c=0（a a 0 0）只含有一个未知数只含有一个未知数求知数的最高次数是求知数的最高次数是2 2配配 方方 法法求求 根根 公式法公式法直接开平方法直接开平方法因因 式式 分解法分解法224204bbacbxcaa当时,0 00ABAB化 成或20 xm mxm 化成二次项系数为二次项系数为1，而一次项系数为偶数，而一次项系数为偶数20 0axbxca化 成 一 般 形 式判断下列方程是不是一元二次方
2、程，若不是一元二判断下列方程是不是一元二次方程，若不是一元二次方程，请说明理由？次方程，请说明理由？1、(x1)、x22x=8、xy+、xx、xx、xx、x（x）+x23、x2+x11)2x-1=3-x 1)2x-1=3-x 2)+x=12)+x=13)x-3y=-2 3)x-3y=-2 4)x4)x2 2-2x-3=0-2x-3=0 x2下面方程中你能找出哪些是一元二次方程？下面方程中你能找出哪些是一元二次方程？一元二次方程的一般式一元二次方程的一般式0 0c cb bx xa ax x2 2（a0a0）一元二次方程一元二次方程（关于（关于x x）一般形式一般形式二次项二次项系数系数一次项一
3、次项系数系数常数常数项项3x3x-1=0-1=03x3x（x-2x-2）=2=2（x-2x-2）3x-1=03x-1=03x-8x+4=03x-8x+4=03 33 3-8-8-1-14 40 01 1 2-1 10.50.51 1、若、若 是关于是关于x x的一元二次的一元二次方程则方程则m m 。02222xmxm0121122mxmxm2 2、已知关于、已知关于x x的方程的方程 ，当当m m 时是一元二次方程，当时是一元二次方程，当m=m=时是时是一元一次方程，当一元一次方程，当m=m=时，时，x=0 x=0。填一填：填一填：1.1.关于关于y y的一元二次方程的一元二次方程2y(y-
4、3)=-42y(y-3)=-4的一般形式是的一般形式是_,_,它的二次项系数是它的二次项系数是_,_,一次项是一次项是_,_,常数项是常数项是_2y2y2 2-6y+4=0-6y+4=02 2-6y-6y4 4B B3.3.若若x=2x=2是方程是方程x x2 2+ax-8=0+ax-8=0的解，则的解，则a=a=;2 2（）2.请判断下列哪个方程是一元二次方程 21A xy 250B x 238C xx3862Dxx做一做做一做C C4.4.下面是某同学在一次数学测验中解答的填空题，下面是某同学在一次数学测验中解答的填空题，其中答对的是（其中答对的是（）A A、若、若x x2 2=4=4，则
5、，则x=2 Bx=2 B、若、若3x3x2 2=6x=6x，则，则x=2x=2C C、若、若x x2 2+x-k=0+x-k=0的一个根是的一个根是1 1，则，则k=2k=223222xxxxD、若的值为零，则（方程一边是方程一边是0，另一边整式容易因式分解，另一边整式容易因式分解）（(x+m)(x+m)2 2=k k0=k k0）(化方程为一般式）化方程为一般式）（二次项系数为（二次项系数为1 1，而一次项系数为偶数），而一次项系数为偶数）解一元二次方程的方法解一元二次方程的方法配方法配方法公式法公式法直接开平方法直接开平方法因式分解法因式分解法1.1.用因式分解法的用因式分解法的条件条件是
6、是:方程左边能够方程左边能够 分解分解,而右边等于零而右边等于零;2.2.理论理论依据依据是是:如果两个因式的积等于零如果两个因式的积等于零 那么至少有一个因式等于零那么至少有一个因式等于零.因式分解法解一元二次方程的一般因式分解法解一元二次方程的一般步骤步骤:一移一移-方程的右边方程的右边=0;=0;二分二分-方程的左边因式分解方程的左边因式分解;三化三化-方程化为两个一元一次方程方程化为两个一元一次方程;四解四解-写出方程两个解写出方程两个解;方程的左边是完全平方式方程的左边是完全平方式,右边是非负数右边是非负数;即形如即形如x x2 2=a=a(a0a0)a ax x,a ax x2 2
7、1 1本章主要方法和公式本章主要方法和公式开平方法：开平方法：a ac c，x，xx x 0）的方程，得0）的方程，得0（ac0（ac对于形如ax对于形如ax2 21 12 2acc例：027)2(3)2(2x0273)1(2x1.1.化化1:1:把二次项系数化为把二次项系数化为1 1;2.2.移项移项:把常数项移到方程的右边把常数项移到方程的右边;3.3.配方配方:方程两边同加方程两边同加一次项系数一半的平方一次项系数一半的平方;4.4.变形变形:化成化成5.5.开平方开平方，求解求解(x xm m)a a+=2 2“配方法配方法”解方程的基本步骤：解方程的基本步骤：一除、二移、三配、四化、
8、五解一除、二移、三配、四化、五解.用用公式法公式法解一元二次方程的解一元二次方程的前提前提是是:1.1.必需是一般形式的一元二次方程必需是一般形式的一元二次方程:ax ax2 2+bx+c=0(a0).+bx+c=0(a0).2.b2.b2 2-4ac0.-4ac0.0 04ac4acb b.2a2a4ac4acb bb bx x2 22 2 填空：填空：x x2 2-3x+1=0 -3x+1=0 3x 3x2 2-1=0 -1=0 -3t -3t2 2+t=0+t=0 x x2 2-4x=2 -4x=2 2x 2x2 2x=0 x=0 5(m+2)5(m+2)2 2=8=8 3y 3y2 2
9、-y-1=0 -y-1=0 2x 2x2 2+4x-1=0 +4x-1=0 (x-2)(x-2)2 2=2(x-2)=2(x-2)适合运用直接开平方法适合运用直接开平方法 适合运用因式分解法适合运用因式分解法 适合运用公式法适合运用公式法 适合运用配方法适合运用配方法 3x 3x2 2-1=0-1=0 5(m+2)5(m+2)2 2=8=8-3t-3t2 2+t=0+t=0 2x 2x2 2x=0 x=0 (x-2)(x-2)2 2=2(x-2)=2(x-2)x x2 2-3x+1=0-3x+1=0 3y 3y2 2-y-1=0-y-1=0 2x 2x2 2+4x-1=0+4x-1=0 x x
10、2 2-4x=2-4x=2 2532 xx解方程用两种不同的方法例例1 1、2532 xx方法二：方法二：用配方法解用配方法解.3649652x32352xx.3625323625352xx.364965x.31,221xx解：解：两边同时除以两边同时除以3 3，得，得:开平方，得开平方，得:左右两边同时加上左右两边同时加上 ，得，得:2)65(方法三：方法三：用公式法解用公式法解242bbacxa 2532 xx解解:移项移项,得得 02532 xx)2(345422acb=49=496753249)5(x.31,221xx这里这里a=3,b=-5,c=-2a=3,b=-5,c=-23.公式
11、法公式法：221.222.530 xx xxx按要求解下列方程：因式分解法：3配方法：2 2112112 2xxyyy练一练练一练 9)2(2x542 tt0)52(4)32(922mm先考虑开平方法先考虑开平方法,再用因式分解法再用因式分解法;最后才用公式法和配方法最后才用公式法和配方法.例例2 2、选择适当的方法解下列方程：、选择适当的方法解下列方程：1、用最好的方法求解下列方程、用最好的方法求解下列方程1)（3x-2）-49=0 2)（3x-4）=（4x-3）3)4y=1 y23 解解:（3x-2）=49 3x-2=7 x=x1=3，x2=35372解：解：法一法一:3x-4=（4x-3
12、）3x-4=4x-3或或3x-4=-4x+3-x=1或或 7x=7 x1=-1，x2=1法二法二:(3x-4)(4x-3)2=0 (3x-4+4x-3)(3x-4x+3)=0 (7x-7)(-x-1)=0 7x-7=0或或-x-1=0 x1=-1，x2=1解：解：3y8y 2=0 b 4ac=64 4 3(-2)=88x=68883224,322421xx做一做做一做解一元二次方程恰当方法的选择解一元二次方程恰当方法的选择开平方法解一元二次方程开平方法解一元二次方程 x xa a=2 2()m m x xn nb b+=2 2 当方程的一边为当方程的一边为0 0时，另一边容易分解成两个一次时，
13、另一边容易分解成两个一次因式的积时，则用因式分解法解方程比较方便因式的积时，则用因式分解法解方程比较方便.因式分解法解一元二次方程因式分解法解一元二次方程解一元二次方程的万能法解一元二次方程的万能法（公式法解一元二次方程）（公式法解一元二次方程）求根公式求根公式 :2 2a a4 4a ac cb bb bx x2 2)0,0,4ac4ac(b(b2 20a 共同归纳共同归纳(y+)(y-)=2(2y-3)(y+)(y-)=2(2y-3)3t(t+2)=2(t+2)3t(t+2)=2(t+2)x x2 2=4 x-11=4 x-11(x+101)(x+101)2 2-10(x+101)+9=0
14、-10(x+101)+9=0223y y1 1=y=y2 2=2=2强化训练强化训练2 2、比一比，看谁做得快：、比一比，看谁做得快：x x1 1=-92,x=-92,x2 2=-100=-100132 132x x2 2=x x1 1=t t1 1=-2,t=-2,t2 2=2/3=2/3axax2 2+c=0+c=0=axax2 2+bx=0=+bx=0=axax2 2+bx+c=0=+bx+c=0=因式分解法因式分解法公式法（配方法）公式法（配方法）2 2、公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但、公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但不一定是最简单的，因此在解方程时我
15、们首先考虑能否应不一定是最简单的，因此在解方程时我们首先考虑能否应用用“直接开平方法直接开平方法”、“因式分解法因式分解法”等简单方法，若不等简单方法，若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法）行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法）3 3、方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单、方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单方法，若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理方法，若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理为一般形式再选取合理的方法。为一般形式再选取合理的方法。1 1、直接开平方法直接开平方法因式分解法因式分解法2 2、用配方法证明：、用配方法证明：关于关于x x的方程的方程（m
16、m -12m+37-12m+37）x x +3mx+1=0+3mx+1=0，无论无论m m取何值，此方程都是一元二次方程取何值，此方程都是一元二次方程拓展训练拓展训练4、当、当k取什么值时，已知关于取什么值时，已知关于x的方程：的方程：（1）方程有两个不相等的实根；（）方程有两个不相等的实根；（2）方程有两个相等的实根；（）方程有两个相等的实根；（3）方程无实根；方程无实根；01214222kxkx解：解：=9881618161224142222kkkkkk(1).当当0，方程有两个不相等的实根方程有两个不相等的实根,8k+9 0,即即 89k(2).当当=0，方程有两个相等的实根方程有两个相
17、等的实根,8k+9=0,即即 89k89k(3).当当 0，方程有没有实数根方程有没有实数根,8k+9 0,即即 k解：设方程的另一个根为解：设方程的另一个根为x1，那么，那么1162535325535275375xxkkk 又所 以，方 程 的 另 一 根 是，的 值 是。,求它的另一个根及 的值的一个根是2，已知方程：kxx0652考点一：一元二次方程解的定义考点一：一元二次方程解的定义1.已知x2是一元二次方程x2(m1)x 4m=0的一个根，则m=12.已知关于x的方程（k1)x26x+k2+k2=0的一个根为0，则k=2考点二：一元二次方程的解法考点二：一元二次方程的解法1.若（x+
18、1)210，则x的值等于（）A.1或1 B.2或2 C.0或2 D.0或2D2.解方程：(1)x2+3=3(x+1)(2)x24x1=0 (3)x2x1=0考点三：求代数式的值考点三：求代数式的值1.已知x是一元二次方程x23x1=0的实数根，那么代数式 的值为2352362xxxxx132.当代数式x23x+4的值为6时，代数式3x2+9x+10的值为 16考点四：考点四：“新定义新定义”一元二次方程的解一元二次方程的解法法将4个数a、b、c、d排成2行2列，两边各加一条竖线记成 ,2 ababadbccdcd定义，这个式子叫做 阶行列式。x+1 x-1若=6则x=1-x x+12考点五：一
19、元二次方程的应用考点五：一元二次方程的应用 1.求图形的宽度问题求图形的宽度问题 某校团委准备举办学生绘画展览，为美化画面，在长为某校团委准备举办学生绘画展览，为美化画面，在长为30cm,宽为宽为20cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面的面积相等（如图），求彩纸的使彩纸的面积恰好与原画面的面积相等（如图），求彩纸的宽度。宽度。考点五：一元二次方程的应用考点五：一元二次方程的应用 2.求增长（降低）率问题求增长（降低）率问题 为抗震救灾奉献一份力量，四川某商场决定将某种商品为抗震救灾奉献一份力量，四川某商场决定将某种商品的售价从原来
20、的的售价从原来的40元经两次调价后调至元经两次调价后调至32.4元。若该商场两元。若该商场两次降价率相同，求这个降价率次降价率相同，求这个降价率 3.利润问题利润问题 某商店从厂家以每件某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价。若每件商品的售价为品可以自行定价。若每件商品的售价为a元时，则可卖出元时，则可卖出（35010a）件，但物价局限定每件商品的加价不能超过）件，但物价局限定每件商品的加价不能超过进价的进价的20，商店计划要赚，商店计划要赚400元，需要卖出多少件商品？元，需要卖出多少件商品？每件商品的售价是多少元？每件商品的售价是多少元？考
21、点六：动点问题考点六：动点问题 如下图，如下图，AOBO50cm，OC是一条射线，是一条射线，OCAB，一只蚂蚁由点一只蚂蚁由点A以以2cm/s的速度向点的速度向点B爬行，同时另一只蚂爬行，同时另一只蚂蚁由点蚁由点O以以3cm/s的速度沿的速度沿OC方向爬行，几秒后两只蚂蚁所方向爬行，几秒后两只蚂蚁所与点与点O组成的三角形的面积为组成的三角形的面积为450cm2?10秒、15秒、30秒2532xx解解:移项移项,得得02532 xx0)13)(2(xx31,20130221xxxx或方法一：方法一：用因式分解法解用因式分解法解方程左边因式分解方程左边因式分解,得得相关问题相关问题1:1:解方程
22、解方程:2(x-2)2+3(x-2)+1=01:应先用应先用整体思想整体思想考虑有没有简单方法考虑有没有简单方法;当方程中有括号时当方程中有括号时,思考方法是思考方法是:2:若看不出合适的方法时，则把它若看不出合适的方法时，则把它去括号去括号并整理并整理为为一般形式一般形式再选取合理的方法。再选取合理的方法。已知已知m m为非负整数，且关于为非负整数，且关于x x的一元二次方程的一元二次方程 ：有两个实数根，求有两个实数根，求m m的值。的值。02)32()2(2mxmxm说明：当二次项系数也含有待定的字母时，要注意说明：当二次项系数也含有待定的字母时，要注意二次项系数不能为二次项系数不能为0 0，还要注意题目中待定字母的取，还要注意题目中待定字母的取值范围值范围.解得：解得：解：解：方程有两个实数根方程有两个实数根21212mm且m为非负数m=0或m=10)2)(2(4)32(2mmm02m且且m为非负整数为非负整数 认真做一做认真做一做（1）有两个相等实根；（2）有两个不等实根；（3）有实根；（4）无实数根；（5）只有一个实数根；（6）有两个实数根。2123 0mxmx m m-10且且=0m-10且且00或者或者m-1=00且且m-10m-1=00且且m-10
