1、台州职业技术学院数学教研室 复习要求：n理解微分方程的概念，理解微分方程阶、解、通解、初始条件和特解的概念.n掌握变量可分离微分方程与齐次方程的解法.n会求解一阶线性微分方程.)sin)(cos)()(xxQxxPexfmnx)(xPn)(xQm其中其中，为实常数，为实常数，分别为分别为x的的n次，次，m次多项式次多项式)()，xnxPe)()(xPn()f(x)，为为x的的n次多项式次多项式,为实常数；为实常数；其中其中n理解二阶常系数线性微分方程解的结构.n会求解二阶常系数齐线性微分方程.n会求解二阶常系数非齐线性微分方程（非齐次项限定为:微分方程是精确表示自然科学中各种基本定律和各种问题
2、的基本工具之一.现代建立起来的自然科学和社会科学中的数学模型大多都是微分方程.在许多物理、力学、生物等现象中，不能直接找到联系所研究的那些量的规律，但却容易建立起这些量与它们的导数或微分间的关系.含有未知函数的导数（或微分）的关系式。第1节 微分方程的基本概念常微分方程方程的阶数线性方程、非线性方程方程的解、通解、特解、所有解初始条件（定解条件）积分曲线（解的几何意义）初值问题、初值问题的解齐次方程、非齐次方程常微分方程含有未知函数的导数（或微分）的方程，称为微分方程.未知函数可以不出现，但其导数一定要出现.未知函数为一元函数的微分方程，称为常微分方程.未知函数为多元函数的微分方程，称为偏微分
3、方程.2 d dxtx 例xcyxybxysindddd220dd2xyyx322ddtxtx常微分方程常微分方程),(222222zyxfzuyuxu偏微分方程偏微分方程常微分方程的阶数微分方程中所出现的未知函数的导数（或微分）的最高阶数，称为微分方程的阶数.2 d dxtxxcyxybxysindddd22322ddtxtx一阶二阶二阶一阶一阶线性方程、非线性方程若一个方程对未知函数及其导数的全体而言是一次的，且系数只与自变量有关（与未知函数及其导数无关），则称该方程为线性方程，否则，称之为非线性方程.2 d dxtxxcyxybxysindddd22322ddtxtx一阶一阶二阶二阶一阶
4、一阶非线性非线性线性线性非线性非线性齐次方程、非齐次方程在方程中，不含未知函数及其导数的项，称为自由项.自由项为零的方程，称为齐次方程.自由项不为零的方程，称为非齐次方程.2 d dxtxxcyxybxysindddd22322ddtxtx一阶齐次非线性方程一阶齐次非线性方程二阶非齐次线性方程二阶非齐次线性方程一阶非齐次非线性方程一阶非齐次非线性方程微分方程的一般表示形式微分方程的一般表示形式 为为阶微分方程的一般形式阶微分方程的一般形式n()(,)0 nF x y y yy22dd(,)sin0 ddyyF x y y ybcyxxx 方程的解、通解、特解、所有解方程的解、通解、特解、所有解
5、能使微分方程成为恒等式的函数，称为方程的解能使微分方程成为恒等式的函数，称为方程的解.如果如果 n 阶微分方程的解中含有阶微分方程的解中含有n 个相互独立的任意个相互独立的任意常数，则称此解为常数，则称此解为 n 阶微分方程的通解阶微分方程的通解.一般说来，不含有任意常数的解，称为方程的特解一般说来，不含有任意常数的解，称为方程的特解.通常由一定的条件出发，确定方程通解中的任意常通常由一定的条件出发，确定方程通解中的任意常数来得到特解。但有些特解不能由通解求出，必须利用数来得到特解。但有些特解不能由通解求出，必须利用其它方法直接由方程解出其它方法直接由方程解出.所有解通解不能包含在通解内的所有
6、特解所有解通解不能包含在通解内的所有特解.例 sincos 为微分方程的解：为微分方程的解：验证函数验证函数axaxy20 (0 )ya ya常 解解,cossinaxaaxay),sin(cossincos222axaxaaxaaxay 代入方程，得代入方程，得 0,)sincos()sincos(222 axaxaaxaxayay 微分方程的解不一定都能用初等函数表示出来微分方程的解不一定都能用初等函数表示出来.此时可求数值解此时可求数值解cossin yaxax为此微分方程的解.故函数故函数初始条件（定解条件）初始条件（定解条件）由自然科学、社会科学以及数学本身建立微由自然科学、社会科学
7、以及数学本身建立微分方程时，往往同时知道微分方程的解应满足某分方程时，往往同时知道微分方程的解应满足某些已知的条件。这些已知条件就称为微分方程的些已知的条件。这些已知条件就称为微分方程的初始条件或定解条件初始条件或定解条件.常微分方程常微分方程初始条件初始条件称为初值问题（柯西问题）称为初值问题（柯西问题）例解解处上任意一点的平面曲线设通过点),()2 ,1(0yxMLM.2 的方程，求此曲线的切线的斜率为Lx，则有设曲线的方程为)(xyy .2ddxxy应满足条件此外，函数)(xyy，2)(1xxy)1(积分，得式两边关于将 )1(xCxxxy2d2)2()3(，得代入将)3()2(,1C
8、故所求的曲线方程为12 xy微分方程微分方程初始条件初始条件通解通解特解特解 例解解处上任意一点的平面曲线设通过点),()2 ,1(0yxMLM .2 的方程，求此曲线的切线的斜率为Lx，则有设曲线的方程为)(xyy .2ddxxy应满足条件此外，函数)(xyy，2)(1xxy)1(积分，得式两边关于将 )1(xCxxxy2d2)2()3(，得代入将)3()2(,1C 故所求的曲线方程为12 xy微分方程微分方程初始条件初始条件通解通解特解特解Cxxxy2d212 xy有何想法？有何想法？积分曲线（解的几何意义）积分曲线（解的几何意义）常微分方程解的几何图形称为它的积分曲线常微分方程解的几何图
9、形称为它的积分曲线.通解的图形是一族积分曲线通解的图形是一族积分曲线.特解是这族积分曲线中过某已知点的那条曲线特解是这族积分曲线中过某已知点的那条曲线.12 xyxyOCxy2)2 ,1(0M常微分方程的初等方法介绍常微分方程的解法分离变量法常数变易法积分因子法变量代换法二阶线性常系数微分方程解法特征值法)()(ddygxfxy变量可分离方程变量可分离方程 0)(ddyxpxy一阶线性齐方程一阶线性齐方程)()(ddxqyxpxy一阶线性非齐方程一阶线性非齐方程第第2节节 一阶微分方程一阶微分方程d()dyyxx齐次方程齐次方程变量变量替换替换)()(ddygxfxy变量可分离方程变量可分离方
10、程 0)(ddyxpxy一阶线性齐方程一阶线性齐方程)()(ddxqyxpxy一阶线性非齐方程一阶线性非齐方程)()(ddygxfxy变量可分离方程变量可分离方程 d()dyyxx齐次方程齐次方程变量变量替换替换一、变量可分离方程一、变量可分离方程如果一阶微分方程可以化为下列形式：如果一阶微分方程可以化为下列形式：xxfyygd)(d)(则称原方程为变量可分离的方程则称原方程为变量可分离的方程.运用积分方法即可求得变量可分离方程的通解：运用积分方法即可求得变量可分离方程的通解：xxfyygd)(d)(其中其中C 为积分后出现的任意常数。为积分后出现的任意常数。(,).yy x C就是原方程的通
11、解 将一个方程化为变量分离方程并求出其通解的过程，将一个方程化为变量分离方程并求出其通解的过程，称为分离变量法。称为分离变量法。积分的结果积分的结果 例解解 ),(11 002的特解。的特解。的通解，并指出过点的通解，并指出过点求方程求方程yxxy原方程即原方程即 ,1dd2xxy对上式两边积分，得原方程的通解对上式两边积分，得原方程的通解Cxy arctan )(。x，故，故时，时，当当00 yyxx arctan00，xyC的特解为的特解为从而，过点从而，过点),(00yx arctanarctan00。xxyy 例解解 )1(21dd 2。求解微分方程求解微分方程yxy 01 2分离的方
12、程分离的方程时，该方程可化为变量时，该方程可化为变量当当y d1d22，xyy对上式两边积分，得原方程的通解对上式两边积分，得原方程的通解 11ln1。Cxyy经初等运算可得到原方程的通解为经初等运算可得到原方程的通解为1 1xxCeyCe)(1CeC 1 01 2，代入原方程可知：，代入原方程可知：，得出，得出令令yy 1 也是原方程的解。也是原方程的解。y 1 0 1，所以，所以，对应于对应于；对应于对应于由于由于CyCy原方程的解为原方程的解为 11，xxCeCey )(。为任意常数为任意常数C 例解解 0d)1(d)1(2的通解。的通解。求方程求方程yxyxy，得，得方程两边同除以方程
13、两边同除以)1)(1(2yx2dd0 11xyyxy。两边同时积分，得两边同时积分，得|ln|1|ln21|1|ln2，Cyx|1|1|2。即即Cyx故所求通解为故所求通解为 11 2。yCx 因为只因为只求通解，所求通解，所以不必再讨以不必再讨论了。论了。例解解 2dd 。的所有解的所有解求方程求方程yxy原方程即原方程即。)0(d2dyxyy两边积分，得两边积分，得 ，Cxy故通解为故通解为 )(2。Cxy 0 被被包包含含在在通通解解内内。也也是是方方程程的的解解，但但它它不不易易验验证证y 0 看，方程的奇解是积分看，方程的奇解是积分为方程的奇解，几何上为方程的奇解，几何上此时称此时称
14、y曲线族的包络。曲线族的包络。工程技术中工程技术中解决某些问题时，解决某些问题时，需要用到方程的需要用到方程的奇解。奇解。二、齐次方程二、齐次方程(,)dyf x ydx(,)()yf x yx一阶方程一阶方程 (,)f x yyx中的函数中的函数可写成可写成的函数，即的函数，即则称方程为齐次方程，则称方程为齐次方程，例如例如 22()(2)0 xyydxxxy dy是齐次方程是齐次方程()dyydxxyux,dyduyuxuxdxdx对齐次方程对齐次方程引入新的未知函数引入新的未知函数则有则有()duuxudx()duxuudx()dudxuux()dudxuux原方程化为可分离变量的方程原
15、方程化为可分离变量的方程或或分离变量，得分离变量，得两端积分，得两端积分，得yxu求出积分后，再以求出积分后，再以代替代替便得所给齐次方程的通解便得所给齐次方程的通解22dydyyxxydxdx22dyydxxyxyux,dyduyuxuxdxdx例例 解方程解方程解解 原方程写成原方程写成 令令则则21duuuxdxu1duuxdxu1(1)dxduux于是原方程为于是原方程为即即分离变量，得分离变量，得ln|ln|uuCxln|xuuCln|yyCx两端积分，得两端积分，得或或yxu以以代上式中的代上式中的得所给方程的通解为得所给方程的通解为1(1)dxduux三、一阶线性微分方程三、一阶
16、线性微分方程形如形如)()(xqyxpy的方程称为一阶线性微分方程的方程称为一阶线性微分方程.0)(时，时，当当xq方程称为一阶齐次线性方程方程称为一阶齐次线性方程.方程称为一阶非齐次线性方程方程称为一阶非齐次线性方程.0)(时，时，当当xq习惯上，称习惯上，称0)(yxpy为方程为方程)()(xqyxpy所对应的齐方程所对应的齐方程.时，方程有唯一解。时，方程有唯一解。、一般说来，当函数一般说来，当函数 )()(Cxqxp()0yp x y方程一阶齐线性方程的解一阶齐线性方程的解运用分离变量法，得 d)(d，xxpyy )0(，y两边积分，得 d)(|ln1，Cxxpy故1()d.p xxC
17、yee 1的通解为，得一阶齐线性方程记CeC d)(。xxpCey 0 对对应应于于y 0。C表示一个表示一个原函数原函数 是一变量可分离的方程是一变量可分离的方程，则一阶齐线性方程若Cxp)(0)(yxpy的解存在，且唯一，其通解为。xxpCeyd)(例解解 02 的通解。的通解。求求xyy ),()(2)(，Cxpxxp故该一阶齐线性方程的通解为故该一阶齐线性方程的通解为 2d)2(d)(。xxxxxpCeCeCey 例解解 2 0sin 2。，求解初值问题：求解初值问题：xyxyy先求此一阶齐线性方程的通解：先求此一阶齐线性方程的通解：),(sin)(，Cxxp cosdsin。xxxC
18、eCey 2 2代入通解中，得代入通解中，得将将xy)2 (2cosCe因为因为 2，C故该初值问题的解为故该初值问题的解为 2cos。xey 一阶非齐线性方程的解一阶非齐线性方程的解比较两个方程：比较两个方程：)()(。xqyxpy 0)(，yxpy 它们的解的形式应该差不多它们的解的形式应该差不多.但差了一点但差了一点 什么东西呢？什么东西呢？xxpCeyd)(xxpexCyd)()()()(xqyxpy )()(d)(可微，则可微，则，且待定函数，且待定函数令令xCexCyxxp )()()()(d)(d)(d)(，xxpxxpxxpexCxpexCexCy怎么办？怎么办？得得的表达式代
19、入方程中，的表达式代入方程中，及及将将yy )()()()()()(d)(d)(d)(，xqxpexCexCxpexCxxpxxpxxp故故 )()(d)(，xqexCxxp即即 )()(d)(，xxpexqxC上式两边积分，求出待定函数CxexqxCxxpd)()(d)()(。为任意常数C )(d)(方程的通解为中，得一阶非齐线性代入xxpexCy )d)(d)(d)(。Cxexqeyxxpxxp 以上的推导过程称为以上的推导过程称为“常数变易法常数变易法”.这种方法这种方法经常用来由齐次问题推出相应的非齐次问题、由线经常用来由齐次问题推出相应的非齐次问题、由线性问题推出相应的非线性问题性问
20、题推出相应的非线性问题.0)(yxpyxxpCeyd)()d)(d)(d)(Cxexqeyxxpxxp)()(xqyxpy 例解解 cos2 2的通解。的通解。求方程求方程xexyyx cos)(2)(2，因为因为xexqxxpx所以，方程的通解为所以，方程的通解为)dcos(d)2(d)2(2Cxxeeeyxxxxx)Cd cos(222xexeexxx)Cdcos(2xxex )sin(2。Cxex 例解解 dd 3的通解。的通解。求方程求方程yxyxy不是线性方程不是线性方程原方程可以改写为原方程可以改写为 1dd2，yxyyx这是一个以这是一个以 y 为自变量的一阶非齐线性方程，其中为
21、自变量的一阶非齐线性方程，其中 )(1)(2，yyqyyp故原方程的通解为故原方程的通解为)d(d)1(2d)1(Cyeyexyyyy 213。Cyy)sin)(cos)()(xxQxxPexfmnx)(xPn)(xQm其中其中，为实常数，为实常数，分别为分别为x的的n次，次，m次多项式次多项式)()，xnxPe)()(xPn()f(x)，为为x的的n次多项式次多项式,为实常数；为实常数；其中其中n理解二阶常系数线性微分方程解的结构.n会求解二阶常系数齐线性微分方程.n会求解二阶常系数非齐线性微分方程（非齐次项限定为:复习要求：复习要求：第第3节节 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程
22、一、高阶线性微分方程的一般理论一、高阶线性微分方程的一般理论二、二阶常系数齐次线性微分方程的解二、二阶常系数齐次线性微分方程的解三、二阶常系数非齐次线性微分方程的解三、二阶常系数非齐次线性微分方程的解一、高阶线性微分方程的一般理论一、高阶线性微分方程的一般理论 n 阶线性方程的一般形式为阶线性方程的一般形式为 )()()()(1)1(1)(。xfyxpyxpyxpynnnn 0)(阶齐线性微分方程；时，称为当nxf 0)(阶非齐线性微分方程；时，称为当nxf ),2 ,1()(数方程；均为常数时，称为常系当nixpi ),2 ,1()(系数方程。不全为常数时，称为变当nixpi二阶线性微分方程
23、的一般形式为二阶线性微分方程的一般形式为()()()yp x yq x yf x()()0 yp x yq x y)1 ()2(通常称通常称(2)为为(1)的相对应的齐次方程。的相对应的齐次方程。我们讨论二阶线性方程的一般理论，所得结论可我们讨论二阶线性方程的一般理论，所得结论可自然推广至自然推广至 n 阶线性方程中。阶线性方程中。1.二阶齐次线性微分方程的性质和解的结构二阶齐次线性微分方程的性质和解的结构(1)叠加原理是二阶齐线性微分方程和若 )()(21xyxy 0)()(yxqyxpy的解，则它们的线性组合)()(2211xycxyc也是方程(2)的解，)2()(21。不一定相互独立为任
24、意常数、其中cc你打算怎么证明这个原理？证证 )2()()()(2211中，得中，得，代入方程，代入方程令令xycxycxy)()()()()(22112211 xycxycxpxycxyc)()()(2211xycxycxq)()()()()(22112211xycxycxpxycxyc )()()(2211xycxycxq)()()()()(1111xyxqxyxpxyc)()()()()(2222xyxqxyxpxyc 000，)2()()()(2211的解。的解。为方程为方程即即xycxycxy0)()()(1)1(1)(yxpyxpyxpynnnn ).,2 ,1()(阶齐线性微分方
25、程是若nnixyi的解，则它们的线性组合niiixycxy1)()(也是方程(2)的解。)(),2 ,1(。不一定相互独立为任意常数其中nici)2(2)线性无关、线性相关线性无关、线性相关 )()(21上有定义。上有定义。在区间在区间、设函数设函数Ixyxy 21，使使得得和和若若存存在在不不全全为为零零的的常常数数cc 0)()(2211，Ixxycxyc )()(21上是线性相关的。上是线性相关的。在区间在区间与与则称函数则称函数Ixyxy )()(21上是线性无关的。上是线性无关的。在区间在区间与与否则称函数否则称函数Ixyxy时，才有时，才有当且仅当当且仅当 0 21 cc 0)()
26、(2211，Ixxycxyc )()(21上线性无关。上线性无关。在区间在区间与与则则Ixyxy 例证证 sin cos 线线性性无无关关的的。在在任任何何一一个个区区间间上上均均为为与与证证明明：xx sin cos 全全为为零零上上线线性性相相关关，则则存存在在不不在在某某区区间间与与若若Ixx )0(221，使，使不妨设不妨设，的常数的常数ccc 0sincos21，Ixxcxc tan 21。即即Ixcccx由三角函数知识可知，这是不可能的，故由三角函数知识可知，这是不可能的，故 sin cos线线性性无无关关的的。在在任任何何一一个个区区间间上上均均为为与与xx 例证证 1sin c
27、os 22线线性性相相关关的的。在在任任何何区区间间上上均均为为与与证证明明：xx ),(1 21时，有时，有，则当，则当取取xcc 01sincos)1(sincos222221，xxxcxc 1sin cos 22线线性性相相关关的的。在在任任何何区区间间上上均均为为与与故故xx(3)二阶齐线性微分方程解的结构二阶齐线性微分方程解的结构 )()(21是二阶齐线性方程、若xyxy (2)0)()(yxqyxpy的两个线性无关的解，则的两个线性无关的解，则)()()(2211xycxycxy是方程是方程(2)的通解。的通解。2.二阶非齐线性微分方程解的结构二阶非齐线性微分方程解的结构(1)解的
28、性质解的性质是方程是方程若若 )(*xy)()()(xfyxqyxpy )(1是其对应的齐方程的一个特解，而xy0)()(yxqyxpy的一个特解，则的一个特解，则)(*)(1xyxyy是原方程的一个特解。是原方程的一个特解。是方程是方程若若 )(1xy)()()(1xfyxqyxpy )(2是方程是方程的一个特解，而的一个特解，而xy)()()(2xfyxqyxpy 的一个特解，则的一个特解，则)()(21xyxyy是方程是方程)()()()(21xfxfyxqyxpy 的一个特解。的一个特解。是方程是方程与与若若)()(21xyxy)()()(xfyxqyxpy 的任意两个特解，则的任意两
29、个特解，则)()(21xyxyy是其对应的齐方程是其对应的齐方程0)()(yxqyxpy的一个特解。的一个特解。可以直接验证性质可以直接验证性质1性质性质3.是方程是方程若若 )(*xy)()()(xfyxqyxpy )(是其对应的齐方程的一个特解，而xy0)()(yxqyxpy的通解，则的通解，则)(*)(xyxyy是方程是方程(1)的通解。的通解。)1 ()2(由性质由性质1 以及通解的概念立即可以得知该定理成立。以及通解的概念立即可以得知该定理成立。二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程0 yqypy二阶常系数齐线性方程二阶常系数齐线性方程)(xfyqypy 二阶常系数非齐线性方程
30、二阶常系数非齐线性方程特征方程特征方程02qp特征根特征根 ,21 2211yCyCy通解通解*y特解特解 *yyy通解通解二、二阶常系数齐次线性微分方程二、二阶常系数齐次线性微分方程形如形如)1 (0 yqypy )(常数。常数。实实为为的方程，称为二阶常系数齐次线性微分方程，的方程，称为二阶常系数齐次线性微分方程，qp、其其中中 得得的解，则代入方程后，的解，则代入方程后，假设方程有形如假设方程有形如xey 02，xxxeqepe即即 02。qp二阶常系数齐线性微分方程二阶常系数齐线性微分方程)1 (0 yqypy的特征方程为的特征方程为 02。qp )121，则，则实根实根特征方程有两个
31、不同的特征方程有两个不同的xxeyey2121 ，是方程是方程(1)的两个线性无关的解，故方程的两个线性无关的解，故方程(1)的通解为的通解为12112212 xxyC yC yC eC e二阶常系数齐线性微分方程二阶常系数齐线性微分方程)1 (0 yqypy的特征方程为的特征方程为 02。qp )221，则，则实重根实重根特征方程有特征方程有 )1 (11的的一一个个解解。是是方方程程此此时时，xey 042，qp由求根公式由求根公式 22422,1，pqpp021p另一个解为：另一个解为：12 xyx e。于是，当特征方程有重实根时，方程于是，当特征方程有重实根时，方程(1)的通解为的通解
32、为 )(2121111。xCCeexCeCyxxx二阶常系数齐线性微分方程二阶常系数齐线性微分方程)1 (0 yqypy的特征方程为的特征方程为 02。qp3)特征方程有一对共轭复根：特征方程有一对共轭复根：i i21，则，则，)i(2)i(121xxxxeeyeey，是方程是方程(1)的两个线性无关的解，其通解为的两个线性无关的解，其通解为 )i(2)i(12211。xxeCeCyCyCy利用欧拉公式去掉表达式中虚数单位利用欧拉公式去掉表达式中虚数单位 i。欧拉公式：欧拉公式：sinicosi。e )sini(cosi)i(1，xxeeeeyxxxx(i)i2(cosisin)xxxxyee
33、eexx。由线性方程解的性质：由线性方程解的性质：cos)(21211，xeyyyx sin)(i21212xeyyyx均为方程均为方程(1)的解，且它们是线性无关的的解，且它们是线性无关的.故当特征方程有一对共轭复根故当特征方程有一对共轭复根 i i21，时，原方程的通解可表示为时，原方程的通解可表示为 )sincos(21。xCxCeyx二阶常系数齐线性微分方程二阶常系数齐线性微分方程 0 yqypy特征方程特征方程 02。qp特特 征征 根根通通 解解 形形 式式)(21实根实根xxeCeCy2121)(21实重根实重根)(211xCCeyx)(i2,1共轭复根共轭复根)sincos(2
34、1xCxCeyx 例解解 032 的通解。的通解。求方程求方程 yyy 032 2，特征方程特征方程 3 1 21，特征根特征根 321。所求通解为所求通解为xxeCeCy 例解解 052 的通解。的通解。求方程求方程 yyy 052 2，特征方程特征方程 i21 i21 21，特征根特征根 )2sin2cos(21。所求通解为所求通解为xCxCeyx 例解解 0 d d2 dd 22满足初始条件的解：满足初始条件的解：求方程求方程ststs 012 2，特征方程特征方程 1 21，特征根特征根12 s()teCC t所求通解为。2 d d 4 0 0。，tttss 2 4 2 d d 4 2
35、10 0，得得，由初始条件由初始条件CCtsstt故所求特解为故所求特解为 )24(。test二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程0 yqypy二阶常系数齐线性方程二阶常系数齐线性方程)(xfyqypy 二阶常系数非齐线性方程二阶常系数非齐线性方程特征方程特征方程02qp特征根特征根 ,21 2211yCyCy通解通解*y特解特解 *yyy通解通解复习复习二阶常系数齐线性微分方程二阶常系数齐线性微分方程 0 yqypy特征方程特征方程 02。qp特特 征征 根根通通 解解 形形 式式)(21实根实根xxeCeCy2121)(21实重根实重根)(211xCCeyx)(i2,1共轭复根共轭
36、复根)sincos(21xCxCeyx三、二阶常系数非齐线性微分方程三、二阶常系数非齐线性微分方程形如形如)2()(xfyqypy )(常数。常数。实实为为的方程，称为二阶常系数非齐线性微分方程，的方程，称为二阶常系数非齐线性微分方程，qp、其中其中它对应的齐方程为它对应的齐方程为)1 (0 。yqypy我们只讨论函数我们只讨论函数 f(x)的几种简单情形下的几种简单情形下(2)的特解。的特解。)2()(xfyqypy)1(0 。yqypy )()(.1的情形的情形xPexfnx )(1110。其中其中nnnnnaxaxaxaxP方程方程(2)对应的齐方程对应的齐方程(1)的特征方程及特征根为
37、的特征方程及特征根为 0 2；特征方程特征方程qp 21。，特征根特征根单根单根二重根二重根一对共轭复根一对共轭复根假设方程假设方程)2()(xPeyqypynx 有下列形式的特解：有下列形式的特解：)(，xueyx则则 ，ueueyxx 22，ueueueyxxx 代入方程代入方程(2)，得，得 )()()2(2，xPeuqpupuenxx 即即 )3()()()2(2。xPuqpupun 方程方程(3)的系数与方程的系数与方程(2)的特征根有关。的特征根有关。)2()(xPeyqypynx )3()()()2(2。xPuqpupun )1(不是特征根，则不是特征根，则若若 02，qp由方程
38、由方程(3)及多项式求导的特点可知，应有及多项式求导的特点可知，应有 )()(1110，nnnnnbxbxbxbxQxu )2()()(的特征根时，的特征根时，不是方程不是方程中的中的故当故当xPexfnx方程方程(2)有下列形式的特解有下列形式的特解:)(*。xQeynx)(xueyx )2(是单特征根，则是单特征根，则若若 02，qp由多项式求导的特点可知，应有由多项式求导的特点可知，应有 )()()(1110，nnnnnbxbxbxbxxQxxu )2()()(的单特征根时，的单特征根时，是方程是方程中的中的故当故当xPexfnx方程方程(2)有下列形式的特解有下列形式的特解:)(*。x
39、Qexynx )3(02 2 为为。此时，方程。此时，方程，即，即而而pp )()2(。xPupun)2()(xPeyqypynx )3()()()2(2。xPuqpupun )(xueyx )3(是二重特征根，则是二重特征根，则若若 02，qp由多项式求导的特点可知，应有由多项式求导的特点可知，应有 )()()(111022，nnnnnbxbxbxbxxQxxu )2()()(的二重特征根时，的二重特征根时，是方程是方程中的中的故当故当xPexfnx方程方程(2)有下列形式的特解有下列形式的特解:)(*2。xQexynx )3(0 2 2 为为。此时，方程。此时，方程，即，即且且pp )(。
40、xPun)2()(xPeyqypynx )3()()()2(2。xPuqpupun )(xueyx当二阶常系数非齐线性方程当二阶常系数非齐线性方程)2()(xfyqypy )()(时，时，的右端为的右端为xPexfnx它有下列形式的特解：它有下列形式的特解：*()kxnyx e Q x，其中：其中：0 ；不是特征根时，取不是特征根时，取当当k 1 ；是单特征根时，取是单特征根时，取当当k 2 。是二重特征根时，取是二重特征根时，取当当k :。可以为复数可以为复数注意注意 例1解解 2。的通解的通解求方程求方程xxyy )()(2 0 )(2xPexfnxxxfnx。，对应的齐方程的特征方程为对
41、应的齐方程的特征方程为 012，特征根为特征根为 i2,1。对应的齐方程的通解为对应的齐方程的通解为 sincos21。xCxCy 0 ，原方程有特解，原方程有特解不是特征根，故取不是特征根，故取由于由于k *2120，bxbxby将它代入原方程，得将它代入原方程，得 2221200，xxbxbxbb比较两边同类项的系数，得比较两边同类项的系数，得 10，b 11，b 0220，bb 10，b 11，b 2 2，b故原方程有一特解为故原方程有一特解为 2*2。xxy综上所述，原方程的通解为综上所述，原方程的通解为 2sincos*221。xxxCxCyyy 例2解解 32 。的通解的通解求方程
42、求方程xeyyy )()(0 1 )(xPexfnexfnxx。，对应的齐方程的特征方程为对应的齐方程的特征方程为 0322，特征根为特征根为 1 321。，对应的齐方程的通解为对应的齐方程的通解为 231。xxeCeCy 1 ，原方程有特解，原方程有特解是单特征根，故取是单特征根，故取由于由于k *0，bexyx将它代入原方程，得将它代入原方程，得 3)1(2)2(000，xxeexbxbxb上式即上式即 140，b 410，b故原方程有一特解为故原方程有一特解为 41*。xexy综上所述，原方程的通解为综上所述，原方程的通解为 41*231。xxxexeCeCyyy 例3解解 1332 。
43、的通解的通解求方程求方程 xeyyyx 1332 xeyyyx 32xeyyy 1332 xyyy 41*1xexy31*2xy对应的齐方程的通解为对应的齐方程的通解为 231。xxeCeCy综上所述，原方程的通解为综上所述，原方程的通解为 3141*231。xexeCeCyyyxxx二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程0 yqypy二阶常系数齐线性方程二阶常系数齐线性方程)(xfyqypy 二阶常系数非齐线性方程二阶常系数非齐线性方程特征方程特征方程02qp特征根特征根 ,21 2211yCyCy通解通解*y特解特解 *yyy通解通解复习复习二阶常系数齐线性微分方程二阶常系数齐线性微
44、分方程 0 yqypy特征方程特征方程 02。qp特特 征征 根根通通 解解 形形 式式)(21实根实根xxeCeCy2121)(21实重根实重根)(211xCCeyx)(i2,1共轭复根共轭复根)sincos(21xCxCeyx当二阶常系数非齐线性方程当二阶常系数非齐线性方程)2()(xfyqypy )()(时，时，的右端为的右端为xPexfnx它有下列形式的特解：它有下列形式的特解：*()kxnyx e Q x，其中：其中：0 ；不是特征根时，取不是特征根时，取当当k 1 ；是单特征根时，取是单特征根时，取当当k 2 。是二重特征根时，取是二重特征根时，取当当k :。可以为复数可以为复数注
45、意注意)2()(xfyqypy)1(0 。yqypy2.()()cos ()()sin xnxnf xeP xxf xeP xx、的情形 )(1110。其中其中nnnnnaxaxaxaxP欧拉公式：欧拉公式：sinicosi。e是方程是方程若若 )(i)(*21xyxyy)(i)()()(21xfxfyxqyxpy)()()(1xfyxqyxpy 的一个特解。的一个特解。)(1是方程是方程的一个特解，则的一个特解，则xy )(2是方程是方程的一个特解；的一个特解；xy)()()(2xfyxqyxpy *Re 1yy 实部实部 *mI 2yy 虚部虚部2.()()cos ()()sin xnxn
46、f xeP xxf xeP xx、的情形)2()(xfyqypy)1(0 。yqypy cos)(xxPeyqypynx sin)(xxPeyqypynx(i)()xnyp yq yeP x)(*)i(xQexynxk*Re*1yy*Im*2yy i不是特征根，不是特征根，0 ；取取k i是特征根，是特征根，1 ；取取k或者：如果或者：如果()()cos()sinxlnf xeP xxP xx则设则设(1)(2)()cos()sinkxmmyx eRxxRxx0 ()1 ()iorikiori不是特征方程的根是特征方程的根max,ml n(1)(2)(),(),lnmmP x P x RR,l
47、 n m分别为分别为次多项式，其中次多项式，其中 例1解解 cos 的一个特解。的一个特解。求方程求方程xyy 01 2，特征方程特征方程 i 2,1，特特征征根根 i的特解：的特解：首先求方程首先求方程xeyy 1 0 i ，且有，且有，故取，故取是特征根，是特征根，由于由于kn *i0，xexby 代入上述方程，得代入上述方程，得 2i i20ii000，即有，即有beexbxbbxx从而，原方程有一特解为从而，原方程有一特解为 sin21)cosisin(21 Re。xxxxxx)2i(Re*Re*i1xexyy 例1另解另解 cos 的一个特解。的一个特解。求方程求方程xyy 01 2
48、，特征方程特征方程 i 2,1，特特征征根根 i的特解：的特解：首先求方程首先求方程xeyy 1 0 i ，且有，且有，故取，故取是特征根，是特征根，由于由于kn12*cossin yx bxbx，代入上述方程，得代入上述方程，得从而，原方程有一特解为从而，原方程有一特解为 212cos2sincosbxbxx1210,2bb1*sin2yxx 例2解解 sin 的一个特解。的一个特解。求方程求方程xxyy 01 2，特征方程特征方程 i 2,1，特征根特征根 i的特解：的特解：首先求方程首先求方程xexyy 1 1 i ，且有，且有，故取，故取是特征根，是特征根，由于由于kn )(*i10，
49、xebxbxy代入上述方程，得代入上述方程，得 i22i4100，xbbxb比较系数，得比较系数，得 1i40，b 0i10，bb 41 4i10，bb从而，原方程有一特解为从而，原方程有一特解为221Im(sincos)(sincos)4xxxxi xxxxi2i1*Im*Im ()44xyyxxe故故 )414i()(*ii10，xxexxebxbxy )cossin(412。xxxx 例解解 sincos 的一个特解。的一个特解。求方程求方程xxxyy 由上面两个例题立即可得由上面两个例题立即可得)cossin(41sin21*221xxxxxxyyy cos41sin432。xxxx祝寒假愉快、复习顺利！祝寒假愉快、复习顺利！
