1、1.3 正方形的性质与判定 第一章 特殊平行四边形 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 第2课时 正方形的判定 1掌握正方形的判定方法（重点） 2会运用正方形的判定条件进行有关的论证和计算 . .(难点) 学习目标 问题1：什么是正方形？正方形有哪些性质？ A B C D 正方形：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形. 正方形性质：四个角都是直角; 四条边都相等; 对角线相等且互相垂直平分. O 导入新课导入新课 问题2：你是如何判断是矩形、菱形？ 平行四边形 矩形 菱形 四边形 三个角是直角 四条边相等 定义 三个判定定理 正方形判定的定理 一 动一动：过点A作射线AM的垂线A
2、N,分别在AM , AN上取点B , D ,使AB=AD ,作DCAB , BCAD ,得四边形ABCD. A M N B D C 问题1：上面所画四边形ABCD是正方形吗？为什么？ 讲授新课讲授新课 想一想：将矩形纸片对折两次，怎样裁剪才能使剪下的三角形 展开后是个正方形？ （1） （2） （3） （4） 菱形 问题2：满足怎样条件的矩形是正方形？ 矩形 正方形 一组邻边相等 对角线互相垂直 问题3：满足怎样条件的菱形是正方形？ 正方形 一个角是直角 对角线相等 1.对角线相等的菱形是正方形. 2.对角线垂直的矩形是正方形. 3.有一个角是直角的菱形是正方形. 定理 正方形判定的两条途径：
3、正方形 正方形 + + 先判定菱形 先判定矩形 矩形条件 菱形条件 (1) (2) 一个直角 对角线相等 一组邻边相等 对角线垂直 例1：如图,在矩形ABCD中, BE平分ABC , CE平分DCB , BFCE , CFBE. 求证：四边形BECF是正方形. 正方形判定定理的应用 二 典例精析 F A B E C D 解析：先由两组平行线得出四边形BECF平行四边形； 再由一个直角，得出是矩形；最后由一组邻边相等可 得正方形； 45 45 F A B E C D 证明: BFCE,CFBE， 四边形BECF是平行四边形. 四边形ABCD是矩形, ABC = 90, DCB = 90, BE平
4、分ABC, CE平分 DCB, EBC = 45, ECB = 45, EBC = ECB . EB=EC, BECF是菱形 . 在EBC中 EBC = 45,ECB = 45, BEC = 90, 菱形BECF是正方形. 例2：已知：如图所示,在RtABC中, C=90 , BAC , ABC的平分线于点D , DEBC于点E , DFAC于点F. 求证：四边形CEDF是正方形. 证明: 如图所示,过点D作DGAB于点G. DFAC , DEBC , DFC=DEC=90. 又C=90, 四边形CEDF是矩形 （有三个角是直角的四边形是矩形）. AD平分BAC , DFAC , DGAB.
5、DF=DG. 同理可得 DE=DG , DE=DF. 四边形CEDF是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）. C E B A F D G 例3：如图，EG,FH过正方形ABCD的对角线的交点O,且 EGFH.求证：四边形EFGH是正方形. 证明：四边形ABCD为正方形, OB=OC,ABO=BCO =45, BOC=90=COH+BOH. EGFH, BOE+BOH=90, COH=BOE, CHO BEO, ,OE=OH. 同理可证：OE=OF=OG, B A C B O E H G F OE=OF=OG=OH. 又EGFH, 四边形EFGH为菱形. EO+GO=FO+HO ,即EG=HF
6、, 四边形EFGH为正方形. B A C B O E H G F 做一做：顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形是平行四 边形.顺次连接矩形、正方形各边中点能得到怎样的特殊平行四 边形？ A B C D A B C D A B C D 矩形 正方形 任意四边形 平行四边形 菱形 正方形 E F G H E F G H E F G H 1.下列命题正确的是（ ） A.四个角都相等的四边形是正方形 B.四条边都相等的四边形是正方形 C.对角线相等的平行四边形是正方形 D.对角线互相垂直的矩形是正方形 2四个内角都相等的四边形一定是（ ） A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.平行四边形 D C 当堂
7、练习当堂练习 3.如图，在四边形ABCD中, AB=BC ,对角线BD平分ABC , P 是BD上一点,过点P作PM AD , PN CD ,垂足分别为M、N. (1) 求证： ADB= CDB; (2) 若 ADC=90,求证：四边形MPND是正方形. C A B D P M N 证明：（1）AB = BC,BD平分ABC. 1=2. ABDCBD (AAS). ADB=CDB. 1 2 C A B D P M N （2）ADC=90; 又PMAD,PNCD; PMD=PND=90. 四边形NPMD是矩形. ADB=CDB; ADB=CDB=45. MPD=NPD=45. DM=PM,DN=PN. 四边形NPMD是矩形（有一组邻边相等的矩形是正方形）. 平行四边形 矩形 菱形 正方形 一组邻边相等且一个内角为直角 （或对角线互相垂直平分且相等） 课堂小结课堂小结
