1、1/26._),(,2,),(),(DDdyxfyxDdyxfayxf 则则围围成成与与直直线线由由坐坐标标轴轴其其中中若若kdyxfD ),(设设kayxf ),(:则已知化为则已知化为 DDdkadyxf )(),(Ddka)(Ddkak)(故故a322221)(ka)(2ka ak32 2 yx2Dxyo2 Calculation of double integral 微微积积分分电电子子教教案案三、二重积分的应用三、二重积分的应用一、利用直角坐标计算二重积分一、利用直角坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分3/26X型区域型区域D：)()(:21xyyxy
2、bxaD积分区域表示法：积分区域表示法：Y型区域型区域D：)()(:21yxxyxdycD4/26abxyzo0 x为顶的曲顶柱体体积为顶的曲顶柱体体积为底，以曲面为底，以曲面的值等于以的值等于以),(),(yxfzDdyxfD ),(yxfz)(1xyy )(2xyy )()(000201),()(xyxydyyxfxS截面（曲边梯形）的面积截面（曲边梯形）的面积用区间用区间a，b内任一点内任一点x处的截面面积：处的截面面积：)()(21),()(xyxydyyxfxS1、积分区域为、积分区域为X型：型：1.21.2、直角坐标系下二重积分的计算公式、直角坐标系下二重积分的计算公式)(0 xS
3、),(0yxfz Dx5/26abxyzodxxdxdyyxfdxxSdVxyxy),()()()(21 区间区间x，x+dx上对应的体积微元：上对应的体积微元：整个曲顶柱体的体积：整个曲顶柱体的体积：baxyxybadxdyyxfdVV),()()(21)(1xyy ),(yxfz)(2xyy )(xS6/26 Ddxdyyxf),(baxyxydxdyyxf),()()(21X型区域对应的二重积分计算公式。型区域对应的二重积分计算公式。二重积分的计算可以通过计算二重积分的计算可以通过计算两次两次定积分来完成：定积分来完成：在先进行的定积分在先进行的定积分 中，中，y是是积分变量，而积分变量
4、，而x是作为常数对待，计算的结果一般是作为常数对待，计算的结果一般是是x的函数；然后以第一次积分的结果作为被积函的函数；然后以第一次积分的结果作为被积函数，在区间数，在区间a，b上进行第二次积分。上进行第二次积分。二重积分化成二重积分化成“二次积分二次积分”或或“累次积分累次积分”。)()(21),(xyxydyyxf7/26 )()(21),(),(xyxybaDdyyxfdxdxdyyxfX型区域对应的二重积分计算公式通常记为：型区域对应的二重积分计算公式通常记为：)(2xyy ab)(1xyy Dxyo8/262、积分区域为、积分区域为Y型：型：类似可得类似可得Y型区域的二重积分计算公式
5、：型区域的二重积分计算公式：)()(21),(),(yxyxdcDdxyxfdydxdyyxf )()(:21yxxyxdycD)(2yxx dc)(1yxx Dxyo9/26 )()(21),(),(xyxybaDdyyxfdxdxdyyxfX型区域对应的二重积分计算公式为：型区域对应的二重积分计算公式为：Y型区域对应的二重积分计算公式为：型区域对应的二重积分计算公式为：)()(21),(),(yxyxdcDdxyxfdydxdyyxf计算二重积分要先计算二重积分要先:定区域类型定区域类型,定积分次序定积分次序,定上下限定上下限.10/26例例1 1 化二重积分化二重积分 DdyxfI),(
6、其中其中D是由是由x=0、y=1及及y=x围成的平面区域。围成的平面区域。解：解：(1)将将D表示为表示为 X型区域型区域:110:yxxD 101),(),(xDdyyxfdxdyxfI xy 11 yDxyo1为两种次序的二次积分为两种次序的二次积分(2)将将D表示为表示为 Y型区域型区域:yxyD010:100),(),(yDdxyxfdydyxfI 11/26 例例2 2._),(2042 xdyyxfdx解：解：420:2yxxD 400204),(),(2yxdxyxfdydyyxfdx2xy 24 yDxyo4交换积分次序后交换积分次序后 yxy04012/26又又例例._),(
7、10202 xxdyyxfdx解：解：22010:xxyxD 10111102022),(),(yxxdxyxfdydyyxfdx22xxy 1Dxyo1交换积分次序交换积分次序 111102xyy13/26例例3 3.),(2),()2 ;2),()1 DdyxfIxyyxfyxyxf 计计算算二二重重积积分分解：解：xyxxDX210:型型积分区域为积分区域为 102)2()1(xxdyyxdxID是由是由 y=x2及及y=x 围成围成,分别对分别对2xy 1Dxyo1xy 1022)212(dxyxyxx 10432)21225(dxxxx10543)1012165(xxx 307 14
8、/26例例3 3.),(2),()2 ;2),()1 DdyxfIxyyxfyxyxf 计计算算二二重重积积分分解：解：xyxxDX210:型型积分区域为积分区域为 1022)2(xxxydydxID是由是由 y=x2及及y=x 围成围成,分别对分别对2xy 1Dxyo1xy 1022)(dxxyxx 1053)(dxxx1064)6141(xx 121 15/26解：解：xyxxXD/121:型型为为 21/12222xxDdyyxdxdxdyyx例例4 4，计计算算 Ddxdyyx22D由由y=x、y=1/x及及x=2围成围成.21/12)(dxyxxx 213)(dxxx2124)214
9、1(xx 49 xy1 1Dxyo2xy 16/26解：解：如图如图 1021:yxD 2110dyedxdxdyeyxDyx练习练习:，计计算算 DyxdxdyeD由由x=1,x=2,y=0,y=1围成围成.2110dyeedxyx 2110)(dxeeyx 211)1(dxeex211)()1(xee 1Dxyo21)(1(21eee 2)1(e矩形区域矩形区域 dycbxa17/26例例5 5 证明：若积分区域证明：若积分区域D为矩形区域，且被积函为矩形区域，且被积函数可以分离为数可以分离为x与与y两个单一变量函数的乘积，即两个单一变量函数的乘积，即 f(x,y)=f 1(x)f2(y)
10、,),则有：则有：dcbaDdyyfdxxfdxdyyxf)()(),(21abcdoxyD证明：证明：Ddxdyyxf),(badcdxdyyfxf)()(21 badcdxdyyfxf)()(21 badcdyyfdxxf)()(2118/26例如例如 已知已知adyyxdx 02210sin 0221002210sinsindyyxdxdyyxdx 022102sin21dyyx,则则._sin02 dtt 02sin81dyya adyy8sin02 a819/26解：解：110:yxxXD型型表示为表示为 10122xydyexdxI例例6 6.22 DydxdyexI计计算算设设D
11、由由y=x,y=1及及x=0围成围成,10022yydxexdyI 103231dyeyyxy 11 yDxyo1 yxyYD010:型型表示为表示为 1003)31(2dyxeyy 1022261dyeyy 1061dttet 1061ttde20/26 1061ttde)(611010 dtetett16110tee 11161 ee)21(61e 21/2611 yxyo11 解：解：积分区域如图积分区域如图 22222 xyyxxyxyxy例例7 7,2 Ddxdyxy计计算算D由由 x=1,y=0 及及y=1围成围成.21)()(222DDDdxdyyxdxdyxydxdyxy2xy
12、 1D2D 222121011:,111:xyxDyxxDDDD22/26 21)()(222DDDdxdyyxdxdyxydxdyxy 2202111211)()(xxdyyxdxdyxydx 110221112222)21()21(dxyyxdxyxyxx 114411424)21()2121(dxxxdxxxx 114112421)2121(dxxdxxx 1124)21(dxxx1035)315121(2xxx 1511 23/262.12.1、极坐标系的建立极坐标系的建立直角坐标系的建立直角坐标系的建立,是用是用两组坐标线构造网络两组坐标线构造网络xyo极坐标系的建立极坐标系的建立,
13、是用是用一组同心圆一组同心圆,一组射线一组射线构造网络构造网络),(rMroO极点极点 Or极轴极轴 极角极角 r极径极径24/262.12.1、极坐标与直角坐标的关系：、极坐标与直角坐标的关系：rx=rcos y=rsin 从从(x,y)到到(r,)变换公式为变换公式为:r2=x2+y2从从(r,)到到(x,y)变换公式为变换公式为:xy tan(r,)xyP(x,y).xyO25/262.32.3、平面曲线的极坐标表示法、平面曲线的极坐标表示法圆的方程圆的方程 x2+y2=a2(a是常数是常数)即即x2+y2=2ax 即即圆心圆心(a,0),半径半径a圆心圆心(0,0),半径半径a.xyO raxyO r2a(a,0)x2+y2=2ay 即即圆心圆心(0,a)，半径，半径axyO r2a(0,a)ar cos2ar sin2ar 26/26作业：作业：习题习题9-2（P365）1（2,3），），2（1，2），），5（1，2，3，4）
