1、第二节第二节 二重积分的计算二重积分的计算一一.直角坐标系下二重积分的计算直角坐标系下二重积分的计算二二.极坐标系下二重积分的计算极坐标系下二重积分的计算机动 目录 上页 下页 返回 结束 教学目标教学目标1.掌握在直角坐标系下掌握在直角坐标系下 x-型区域和型区域和 y-型区域型区域的二重积分计算方法的二重积分计算方法.2.利用极坐标计算二重积分利用极坐标计算二重积分.3.掌握二重积分交换积分次序的方法掌握二重积分交换积分次序的方法.*4.二重积分的换元法二重积分的换元法.机动 目录 上页 下页 返回 结束 重积分的计算方法重积分的计算方法.正如利用定积分的定义正如利用定积分的定义计算计算定
2、积分非常困难一样定积分非常困难一样,利用二重利用二重计算二重积分难度更大计算二重积分难度更大,因此需要寻求一些更为有效的计算二因此需要寻求一些更为有效的计算二二次积分二次积分(或累次积分或累次积分),即计算两次定积分即计算两次定积分,从而得出计算从而得出计算二重积分的实用方法二重积分的实用方法机动 目录 上页 下页 返回 结束 本节将从二重积分的几何意义出发本节将从二重积分的几何意义出发,讨论如把二重积分化为讨论如把二重积分化为一一.直角坐标系下二重积分的计算直角坐标系下二重积分的计算依据积分区域形状的不同依据积分区域形状的不同,我们给出如下的定义我们给出如下的定义.12(,)()(),Dx
3、yxyx axb机动 目录 上页 下页 返回 结束 的闭区域为的闭区域为X-型区域型区域,它是由直线它是由直线称形如称形如12(),()yxyx,a b上连续上连续1()x 和和2()x 在在其中其中1()yx2()yxboDayx图图8.2.1及曲线及曲线,xa xb所围成所围成,如图如图8.2.1.(,)xa b 称形如称形如 12(,)()(),Dx yyxy cyd的闭区域为的闭区域为 Y-型区域型区域,它是由直线它是由直线,yc yd及曲线及曲线12(),()xyxy 机动 目录 上页 下页 返回 结束 所围成所围成,如图如图8.2.2.(,)yc d 1()y 和和2()y ,c
4、d在在上连续上连续其中其中 由由二重积分的二重积分的定义知定义知:若若(x,y)在在 D上可积上可积,则其和式极限的存在与区域则其和式极限的存在与区域 D 的分法无关的分法无关,也与小也与小区域区域 1 2(,)iin 的形状无关的形状无关.2()xy1()xydcxyo 图图8.2.2 D故在直角坐标系下故在直角坐标系下,我们常采用平我们常采用平行于行于坐标轴的直线网格来划分区域坐标轴的直线网格来划分区域 D(如图如图8.2.3),那么此时除了包含边那么此时除了包含边界点的一些小闭区域外界点的一些小闭区域外,其余的小闭其余的小闭ix 和和,iy 即即1 2(,)ijkxyi j kn 机动
5、目录 上页 下页 返回 结束 xyOiiyix 图图8.2.3因而面积元素因而面积元素d 也常记作也常记作d d,x yi 的形状均为小矩形的形状均为小矩形,其边长其边长区域区域分别为分别为从而在直角坐标系下从而在直角坐标系下,二重积分也可以记作二重积分也可以记作(,)(,)DDf x y df x y dxdy 下面利用二重积分的几何意义来寻求二重积分的计算方法下面利用二重积分的几何意义来寻求二重积分的计算方法.设曲顶柱体的曲顶是设曲顶柱体的曲顶是 z=f(x,y)(0),如图如图8.2.4,底是区域底是区域 D,且且D是是由由 xoy 平面上由直线平面上由直线,xa)(2xy)(1xyzx
6、yoab0 xD与曲线与曲线1(),yx ()xb ab 2()yx 所围成所围成.为了确定曲顶柱体的体积为了确定曲顶柱体的体积V,在在 x 轴上任轴上任取一点取一点 x,a b 过该过该点作一个垂直于点作一个垂直于 x 轴轴的平面去截曲顶柱的平面去截曲顶柱体体,其截面面积为其截面面积为(),S x如图如图8.2.4所示所示图图8.2.4 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2()yx1()yxzxyoabx()s x图图8.2.4 由定积分可知由定积分可知:平行截面面积已知的立体的体积为定积分平行截面面积已知的立体的体积为定积分()dbaVS xx 而对于区间而对于区间a,b上每一个固定的上
7、每一个固定的 x,()S x就是一个曲边梯形的面积就是一个曲边梯形的面积,如图如图8.2.5;图图8.2.5 zyOz=(x,y)1()x2()xS(x)此曲边此曲边梯形的曲边是由方程梯形的曲边是由方程 z=f(x,y)确定确定的关于的关于 y 的一元函数的一元函数.而底边是沿着而底边是沿着 y 轴轴1()x 到到方向从方向从2()x 的线段的线段.则由曲边梯形的面积公式得则由曲边梯形的面积公式得21()()()(,)xxS xf x y dy 从而从而(,)d d()dbaDVf x yx yS xx xbad yyxfxxd),()()(21于是得到二重积分的计算公式于是得到二重积分的计算
8、公式 21()()(,)d d(,)ddbxaxDf x yx yf x yyx yyxfxxd),()()(21dcxd上式右端的积分称为二次积分或称为先对上式右端的积分称为二次积分或称为先对 y后后 x的二次积分的二次积分.常简写为常简写为(,)Df x y d 如果去掉如果去掉 f(x,y)在在D上上是非负函数这个条件是非负函数这个条件,公式公式(8.2.1)依依然成立然成立机动 目录 上页 下页 返回 结束(8.2.1)机动 目录 上页 下页 返回 结束 注注1 当积分区域当积分区域 D 为为 X-型区域型区域时时,把二重积分化为二次定把二重积分化为二次定积分时积分时,要明确以下两点要
9、明确以下两点:(1)积分次序积分次序:先把先把 x 看成常数看成常数,把把(x,y)只看成只看成 y的函数来的函数来计算定积分计算定积分21()()(,),xxf x y dy 积分的结果是积分的结果是 x 的函数的函数;然后再对然后再对此函数在此函数在a,b上对上对 x 作定积分作定积分.(2)积分上下限积分上下限:将二重积分化为二次积分将二重积分化为二次积分,关键是确定积分关键是确定积分限限.一般先画出区域一般先画出区域D的图形的图形,用用“投影穿线法投影穿线法”确定积分限确定积分限.如图如图8.2.1,所谓所谓“投影穿线法投影穿线法”,即即先投影确定外积分限先投影确定外积分限:将积分区域
10、向将积分区域向 x 轴投影轴投影,区间若为区间若为a,b则外层上、下限分别为则外层上、下限分别为 b,a;机动 目录 上页 下页 返回 结束)(1xy)(2xyxboyDax再穿线确定内积分限再穿线确定内积分限:过过 a,b内任意一点作内任意一点作 x 轴的垂线轴的垂线21(),()yx 它们就是内层上、下限它们就是内层上、下限.与与积分区域的边界相交与与积分区域的边界相交,由上至下交点分别为由上至下交点分别为y)(1yx)(2yxxdocy 类似地类似地,当积分区域当积分区域 D为为Y-型区域型区域时时,则二重积分化为二次积分的计算公式为则二重积分化为二次积分的计算公式为 21()()(,)
11、(,)dddycyDf x y df x yxy 即把二重积分化为先对即把二重积分化为先对 x 后对后对 y 的二次积分的二次积分.机动 目录 上页 下页 返回 结束 y)(1yx)(2yxxdocyxyxfyyd),()()(21ddcy 注注 由二重积分的定义知由二重积分的定义知,二重积分取二重积分取决于被积函数决于被积函数(x,y)和积分和积分区域区域 D.而二而二元函数元函数(x,y)的结构多样的结构多样,积分积分区域区域 D的的形状各异形状各异,因此将二重积分化为因此将二重积分化为二次积分时既要虑积分二次积分时既要虑积分区域区域 D的形状的形状,又要考虑被积函数的特点又要考虑被积函数
12、的特点.(8.2.2)例例1,yx 2x 围成围成.2,Dxdxdyy 其中积分区域其中积分区域 D 由曲线由曲线 1xy 和直线和直线 计算计算 解解 如图如图8.2.6,积分区域积分区域 D 既是既是 X 型又是型又是Y 型型.曲线曲线,yx 2x 1xy 和直线和直线 两两交点分别为两两交点分别为 1(2,2),(2,),(1,1)2若将若将 D看成看成X型型,先对先对 y 后对后对 x 积分积分则积分区域为则积分区域为 1:12yxDxx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 图图8.2.6,2xyyx 1yx D(2,2)1(2,)2(1,1)o则有则有21221xxDxxdxdydx
13、dyyy 22211114()(1)3xxxdxxdxy 若将若将 D看成看成Y 型型,先对先对 x 后对后对 y 积分积分,有有 12221122212yyDxxxdxdydydxdydxyyy 2212221221121111dd22yyxyxyyy 43 机动 目录 上页 下页 返回 结束 可见可见,将将积分区域积分区域D看成看成Y型区域时积分过程要复杂些型区域时积分过程要复杂些.(,)()()bdacDf x y dxdyg x dxh y dy 如果如果当积分区域当积分区域D是一矩形是一矩形,即即 (,),Dx y axb cyd 且且函数函数(x,y)在在 D上连续上连续,则式则式
14、(8.2.1)与式与式(8.2.2)变为变为例如例如,2121210101dd(d)(d)()()xyxyxeyexeyee e(,)d d d(,)dd(,)dbddbaccaDf x yx yxf x yyyf x yx (8.2.3)时时,则则(,)()()f x yg xh y 特别地特别地,如果被积函数如果被积函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解 如图如图8.2.8所示所示,将将D看成看成X 型型区域区域,先对先对 y 再对再对 x 积分积分,0:01 yxDx 2212200ddd,yyxDexey 22d,yDe 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2,xy 例例2 计算
15、二重积分计算二重积分其中其中区域区域 D 由曲线由曲线直线直线1x 及及x 轴所围成轴所围成.故故 图图8.2.8则积分区域则积分区域 D 为为因为函数因为函数22ye 的原函数不能用初等函数表示的原函数不能用初等函数表示,所以积分所以积分22dyey 积不出来积不出来,故不能先对故不能先对先对先对 y积分积分,须将区域须将区域 D 看成看成21:,01yxDy 则则22211220dddyyyDeyex 22211122222000(1)dddyyyeyyeyy ey 机动 目录 上页 下页 返回 结束 Y-型型区域区域,先对先对 x 积分后对积分后对 y 积分积分,从而积分区域为从而积分区
16、域为 22112200dd()yyeyye 2221112222001dd0yyyeyyeeye 机动 目录 上页 下页 返回 结束 注注1 1 本例中的积分本例中的积分区域区域 D 既是既是X-型型区域区域,又是又是Y-型型区域区域,但是只能选择但是只能选择先对先对 x 积分后对积分后对 y的积分次序的积分次序.由例由例1 及例及例2可知可知:积分次序的选择不仅关系到计算繁简的问题积分次序的选择不仅关系到计算繁简的问题,还涉及能还涉及能否计算出结果的问题否计算出结果的问题注注2 2 当被积函数),(yxf2),(),(),(yxfyxfyxf2),(),(yxfyxf),(1yxf),(2y
17、xf均非负均非负DDyxyxfyxyxfdd),(dd),(1在D上变号变号时,因此上面讨论的累次积分法仍然有效.由于Dyxyxfdd),(2机动 目录 上页 下页 返回 结束 oxy注注3 3 (1)若积分区域既是X型区域又是Y 型区域,Dyxyxfdd),(为计算方便,可选择积分序选择积分序,必要时还可以交换积分序交换积分序.)(2xyxoyDba)(1yx)(2yxdc则有x)(1xyyyyxfxxd),()()(21baxdxyxfyyd),()()(21dcyd(2)若积分域较复杂,可将它分成若干1D2D3DX-型域或Y-型域,321DDDD则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 注
18、注4 4凡遇凡遇22sin,sin,cos,xdxx dxx dxx 1,lnxdxe dxx 22,xxe dxedx 等不能用初等函数表示原函数的积分，等不能用初等函数表示原函数的积分，均须更换积分次序均须更换积分次序.但在更换积分次序时，但在更换积分次序时，必须先必须先画出积分区域画出积分区域D 的图形，再根据积分次序的要求，的图形，再根据积分次序的要求，重新写出重新写出D 的边界方程的边界方程.机动 目录 上页 下页 返回 结束 14012(1)d(,)dd(,)d .xxxxxf x yyxf x yy 21202010(2)d(,)d d(,)d.yyyf x yxyf x yx
19、例例3改变下列积分的积分次序改变下列积分的积分次序.解解 因为原积分区域因为原积分区域12DDD 为为X 型型区域区域,如图如图8.2.9所示所示.其中其中 1(,)01,Dx yxxyx 2(,)14,2,Dx yxxyx交换积分次序后交换积分次序后,区域区域 D应视为应视为Y-型型区域区域,即即机动 目录 上页 下页 返回 结束 xx-2-1o2412y x 1 D2 D图图8.2.9 14012 d(,)dd(,)dxxxxxf x yyxf x yy 2(,)12,2,Dx yyyxy 故故 机动 目录 上页 下页 返回 结束(2)积分区域积分区域12DDD 为为Y-型型区域区域.10
20、2:,21xyDy 220:,10 xyDy 图图8.2.10如图如图8.2.10所示所示.其中其中 2221d(,)dyyyf x yx xx-2-1o2412y x 1 D2 D图图8.2.9 交换积分次序后交换积分次序后,将将 D 看成看成X-型型区域区域,即即21202010(2)d(,)d d(,)d.yyyf x yxyf x yx 21202010d(,)d d(,)dyyyf x yxyf x yx 则则 102d(,)dxxxf x yy 注注 选择积分次序的原则选择积分次序的原则:尽可能将区域尽可能将区域 D少分块以简化计算过程少分块以简化计算过程;第二次积分的计算第二次积
21、分的计算2:,01 xyxDx 下限表达式要简单且易求原函数下限表达式要简单且易求原函数,第一次积分的上、第一次积分的上、同时第一次积分结果便于同时第一次积分结果便于机动 目录 上页 下页 返回 结束 图图8.2.10例例4.计算,ddsinDyxxx其中D 是直线,0,yxy所围成的闭区域.oxyDxxy 解解:由被积函数可知,因此取D 为X 型域:xxyD00:Dyxxxddsinxy0d0dsinxx0cosx20dsinxxxx先对 x 积分不行,机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束(1)画出积分区域画出积分区域 D的图形的图形;(2)根据积分区域根据
22、积分区域 D和被积函数的结构来选择积分次序和被积函数的结构来选择积分次序,用不等式组表示出积分区域用不等式组表示出积分区域 D,定出二次积分的上、下限定出二次积分的上、下限;二重积分的计算可按如下步骤进行：二重积分的计算可按如下步骤进行：(3)将二重积分表示为相应的二次积分进行计算将二重积分表示为相应的二次积分进行计算例例5 计算二重积分计算二重积分(cossin)d d.DIxyxyx y 域域 D是是 xy 平面上以平面上以(1,1),(1,1)和和(1,1)为顶点的三角形为顶点的三角形解解 如图如图8.2.11所示所示.将积分区域将积分区域 D为为关于关于 y轴对称轴对称,D3与与D4关
23、于关于x轴对称轴对称,则则d dcossin d dDDIxy x yxy x y 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3Dxoy2D4D1D3D1-1 图图8.2.11其中区其中区 区域区域,D1是是 D 在第一象限的部分在第一象限的部分四个子区域四个子区域D1,D2,D3和和D4.12341234d dcossin d dDDDDDDDDxy x yxy x y 其中其中D1与与D21002cossin d d0Dxy x y 12cossin d dDxy x y 而积分区域而积分区域D1为为:11:01xyDx ，则则 1110012dcossin d2cos(cos)dxIxxy y
24、xyxx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3Dxoy2D4D1D3D1-1 图图8.2.111012cos1 sin(1cos2)d0 xxx 112cos1 sin11sin220 x 112cos1 sin11sin21sin2.22 机动 目录 上页 下页 返回 结束 102cos(cos1cos)dxxx 101cos22(cos1 cos)d2xxx 例例6.计算,dd)1ln(2yxyyxID其中D 由,42xy1,3xxy所围成.oyx124xyxy32D1D1x解解:令)1ln(),(2yyxyxf21DDD(如图所示)显然,1上在D),(),(yxfyxf,2上在D),(
25、),(yxfyxfyxyyxIDdd)1ln(120yxyyxDdd)1ln(224机动 目录 上页 下页 返回 结束 22(1),DIxydxdy 计计算算:11,22.Dxy 其其中中 为为矩矩形形练习题练习题1 1122212(1)Idxxydy 12322113x yyydx 解：解：1212864(4)33xdx 1222004(1)Idxxydy 123200143x yyy dx 或或12014644(2)33xdx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 322110.yxdxedy 计计算算解：解：因 的原函数积不出来，按先对 y 后对 x 的积分次序无法计算出结果,故须改变积分
26、次序.2ye xyO11由题意知其X型区域为：是Y型区域.1 01xyx 0 01xyy 而而22111000 yyyxdxedydyedx 则则另解:利用分部积分公式,令21,yxuedyvx 则有练习题练习题221101(1)2yyedye 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3322111100()()yyxxxedyxdedy 22111100 ()yyxxdxedyedy dx 2100 xxedx 注：当积分区域D是一矩形且:(,)()()bdacDf x y dxdyg x dxh y dy 11(1)2e ,axbcyd 时，则二重积分(,)()()f x yg xh y 机动
27、 目录 上页 下页 返回 结束 34(),(),f xg xa b设设均均为为上上的的严严格格单单增增的的连连续续函函数数:()()()()()bbbaaabaf x g x dxf x dxg x dx求求证证 C()()()()()令令bbbaaabaf x g x dxf x dxg x dx C()()()()bbbbaaaadyf x g x dxf y dyg x dx ()()()()bbbbaaaaf x g x dxdyf y g x dxdy ()()()bbaaf xf y g x dxdy 则证：练习题练习题3机动 目录 上页 下页 返回 结束 35 ()()()同同理
28、理bbaaCf yf x g y dxdy 2()()()()bbaaCf xf yg xg y dxdy (),(),f xg xa b而而均均为为上上的的严严格格单单增增的的连连续续函函数数则则()()()()0f xf yg xg y ()()()()()bbbaaabaf x g x dxf x dxg x dx 故故0C 即即机动 目录 上页 下页 返回 结束 二二.极坐标系下二重积分的计算极坐标系下二重积分的计算对于二重积分对于二重积分,如果被积函数如果被积函数f(x,y)用极坐标变量用极坐标变量 r,表示表示比较简单比较简单,而且积分区域而且积分区域 D的边界曲线用极坐标方程来表
29、示的边界曲线用极坐标方程来表示也很简单也很简单,比如比如,当积分区域当积分区域 D是圆域、环域、扇形域等是圆域、环域、扇形域等,或或被积函数为形如被积函数为形如22(),f xy yfx 等的形式时等的形式时,在极坐标系在极坐标系(,)dDf x y 较为方便较为方便将二重积分将二重积分(,)dDf x y 化为极坐标形式化为极坐标形式,有以下两个问有以下两个问题需要解决题需要解决:机动 目录 上页 下页 返回 结束(1)如何把被积函数如何把被积函数f(x,y)化为极坐标形式化为极坐标形式;(2)如何把面积元素如何把面积元素d 化为极坐标形式化为极坐标形式.因为直角坐标与极坐标的关系为因为直角
30、坐标与极坐标的关系为cossinxryr ，从而被积函数从而被积函数f(x,y)可化为可化为 r 和和的函数的函数,即即(,)(cos,sin)f x yf rr 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设通过原点的射线与区域设通过原点的射线与区域 D的边界线的交点不多于两点的边界线的交点不多于两点,如图如图8.2.12.及另一簇从极点出发的射线及另一簇从极点出发的射线将极角分别为将极角分别为与与常数常数 和半径分别为和半径分别为r与与rr 的两条圆弧的两条圆弧 的两条射线的两条射线xyo rr k 图图8.2.12 r机动 目录 上页 下页 返回 结束 在极坐标系下在极坐标系下,我们用一簇圆心在
31、极点的同心圆我们用一簇圆心在极点的同心圆r=常数常数.所围成的小区域记作所围成的小区域记作将区域将区域 D分割成许多小区域分割成许多小区域,如图如图8.2.13,则由扇形面积公式得则由扇形面积公式得 rr r r图图8.2.132211()22rrr 212r rr 当当 r 和和 充分小时充分小时,我们我们略去高阶无穷小量略去高阶无穷小量21,2 得得.此时极坐标系中的此时极坐标系中的面积元素为面积元素为 drdrd 故直角坐标系下的二重积分变为极坐故直角坐标系下的二重积分变为极坐标系下的二重积分的计算公式为标系下的二重积分的计算公式为(,)(cos,sin)DDf x y df rrrdr
32、d (8.2.4)机动 目录 上页 下页 返回 结束 rr r r图图8.2.13212r rr 怎样把二重积分的极坐标形式化为累次积分呢怎样把二重积分的极坐标形式化为累次积分呢?在极坐标系中在极坐标系中,区域区域D的边界曲线方程通常总是用的边界曲线方程通常总是用()rr (1)极点在区域极点在区域D的外部的外部积分区域积分区域D由极点出发的两条射线由极点出发的两条射线来表示来表示,所以一般是选择先对所以一般是选择先对 r 积分积分,后对后对 积分的次序积分的次序.下面下面依据积分区域依据积分区域 D 的三种情况分别讨论如下的三种情况分别讨论如下:12(),()rrrr ,和两条连续曲线和两条
33、连续曲线 12(,)()(),Drrrr 机动 目录 上页 下页 返回 结束 围成围成,如图如图8.2.14,即即则有则有21()()(cos,sin)(cos,sin)rrDf rrrdrddf rrrdr 1()rr2()rrrOD图图8.2.14 1 yx122 yx解：解：积分区域如图积分区域如图cossinxryr(,)Df x y dxdy20d例例7.写出积分(,)Df x y dxdy2(,)|11,01Dx yxyxx的极坐标二次积分形式，其中积分区域为所以圆的方程为所以圆的方程为 r=11sincosr直线的方程为直线的方程为在极坐标下在极坐标下机动 目录 上页 下页 返回
34、 结束 11sincos(cos,sin)f rrrdr(2)极点极点O在区域在区域 D 的边界上的边界上,积分区域积分区域D由极点出发的两条射线由极点出发的两条射线,和连续曲线和连续曲线()rr 围成围成,(,)0(),Drrr 则有则有()0(cos,sin)d d d(cos,sin)drDf rrr rf rrr r 机动 目录 上页 下页 返回 结束 如图如图8.2.15,即即()r r ro D 图图8.2.152222,2Dxy dDxyx 计计算算其其中中 是是由由圆圆2cosr xo222xyx 2 2 .所所围围成成的的区区域域解解:积分区域积分区域 D 如图所示如图所示,
35、cos sinxryr 令令则则 D 的边界曲线方程为的边界曲线方程为 r=2cos.02cos,:22rD 故故在在极极坐坐标标系系下下22 DDxy dr rdrd 则则2cos2202dr dr y例例8.机动 目录 上页 下页 返回 结束 D22 211002 20()()xxyyIdxfdydxfdyxx 把把积积分分xyo2 22 22 2(,)解解:在直角坐标系下积分区域在直角坐标系下积分区域 D 如图所示如图所示,101 :04rD 即即1400(tan)Idfrdr 故故显然区域显然区域 D 为扇形为扇形,则将其转换为极坐标形式则将其转换为极坐标形式.22016(1sin)s
36、in3d 3228 cos3d 例例9.化化为为极极坐坐标标形形式式的的累累次次积积分分1400=(tan)fdrdr 机动 目录 上页 下页 返回 结束 401=(tan)2fd 329(3)极点极点O在区域在区域D的内部的内部积分区域积分区域 D由连续曲线由连续曲线()rr 围成围成.(,)0(),02Drrr 则有则有 2()00(cos,sin)d d d(cos,sin)drDf rrr rf rrr r 机动 目录 上页 下页 返回 结束 图图8.2.16)(roDr如图如图8.2.16,即即若若 f 1 则可求得则可求得D 的面积的面积d)(21202Dd 22224(,).Dx
37、 yxy 22cos,Dxy dxdy 计算计算 其中区域其中区域例例10 解解 由于积分区域由于积分区域 D是圆环域是圆环域,如图如图8.2.17所示所示.且被积函数且被积函数2 Dyxo图图8.2.17含有含有 22,xy 在极坐标系下在极坐标系下,D可表为可表为故选用在极坐标系下计算故选用在极坐标系下计算.022(,),Drr 则则 22220cosd ddcos dDxyx yrr r 222sinsinrrrdr 机动 目录 上页 下页 返回 结束 224cosr 机动 目录 上页 下页 返回 结束 注注 若选用直角坐标系若选用直角坐标系,且把积分区域且把积分区域 D看成是看成是X-
38、型型,则则22224222224cosd ddcosdxxDxyx yxxyy 222224224dcosdxxxxyy 22222222422224dcosd+dcosdxxxxxxyyxxyy 2 Dyxo图图8.2.17 若积分区域若积分区域D看成是看成是Y-型型,同样把同样把D分成分成四部分四部分,由此可见由此可见 坐标系的正确选择也关坐标系的正确选择也关系到二重积分计算的繁简系到二重积分计算的繁简.例例11.计算二重积分2222sin()Dxydxdyxy其中积分区域为22(,)|14.Dx yxy解：解：积分区域如图积分区域如图.由对称性，可只考虑第一象限部分，即由对称性，可只考虑
39、第一象限部分，即2222sin()Dxydxdyxy2201sin4rdrdrr4 机动 目录 上页 下页 返回 结束 12222sin()4Dxydxdyxy 01 02(,),Drr 22 d d,xyDIex y 例例6 计算计算221xy 其中区域其中区域D由圆域由圆域所围成所围成.解解 由于由于2xe 的原函数不是初等函数的原函数不是初等函数,则此例的二重积分则此例的二重积分在直角坐标系中无法计算在直角坐标系中无法计算,现将它放在极坐标系下计算现将它放在极坐标系下计算.如图如图8.2.18所示所示,圆域圆域 D可表为可表为机动 目录 上页 下页 返回 结束 则有则有 222100d
40、ddd rrDIer rer r 21101212().ree1Dyxo图图8.2.18*三三.二重积分的换元法二重积分的换元法定理定理3 设设f(x,y)在在xy平面的闭区域平面的闭区域D上连续上连续,(,):(,)xx u vTyy u v 将将uv平面上的闭区域平面上的闭区域D变为变为xy平面上的平面上的D,如图如图8.2.19所示所示,且满足且满足0(,)(,);(,)x yJ u vu v (,),(,)x u vy u v(1)在在D上一阶导数连续上一阶导数连续;(2)在在D上雅可比行列式上雅可比行列式变换变换o vD uxyoD图图8.2.19机动 目录 上页 下页 返回 结束(
41、,)d(,),(,)(,)d dDDf x yf x u vy u vJ u vu v :TDD(3)变换变换是一一对应的是一一对应的,则则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如例如,直角坐标转化为极坐标时直角坐标转化为极坐标时,变换为变换为cos:sinxrTyr cossin(,)(,)sincosrx yJrrr 雅可比行列式为雅可比行列式为 在此略去定理的证明在此略去定理的证明,有兴趣的读者可参考其它相关资料有兴趣的读者可参考其它相关资料.则则(,)d(cos,sin)d dxyrDDf x yf rrr r 上式即为二重积分的变量从直角坐标上式即为二重积分的变量从直角坐标变换为极
42、坐标的变换公式变换为极坐标的变换公式(8.2.4).因而公因而公由由 x轴、轴、y轴和直线轴和直线2xy 所围成的所围成的解解 令令,uyx vyx 式式(8.2.4)是二重积分换元法的一种特殊是二重积分换元法的一种特殊如图如图8.2.20所示所示,则变换为则变换为2xy DxoyD 2v uv uv uov 图图8.2.20 情形情形.d d,y xy xDex y 例例7 计算计算其中区域其中区域 D是是闭区域闭区域机动 目录 上页 下页 返回 结束 22:()vuxTDDvuy 1112211222(,)(,)x yJu v 雅可比行列式为雅可比行列式为故故 12d dd dy xuy
43、xvDDex yeu v 2012dduvvvveu 2xy DxoyD 2v uv uv uov 图图8.2.20 211012()deevvee 机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.曲顶柱体体积的计算曲顶柱体体积的计算二次积分法二次积分法2.二重积分化为累次积分的方法二重积分化为累次积分的方法直角坐标系情形直角坐标系情形:若积分区域为若积分区域为)()(,),(21xyyxybxayxD则则)()(21d),(dd),(xyxybaDyyxfxyxf)(1xyy)(2xyy xybaD机动 目录 上页 下页 返回 结束 若积分区域为若积分区域为)()(,),(21yxx
44、yxdycyxD则则xy)(1yxx Ddc)(2yxx)()(21d),(dd),(yxyxdcDxyxfyyxf)()(,),(21rrDDDrrfyxf)sin,cos(d),(则则极坐标系情形极坐标系情形:若积分区域为若积分区域为ddrrDo)(1r)(2r机动 目录 上页 下页 返回 结束)()(21d)sin,cos(drrrrf(3)计算步骤及注意事项计算步骤及注意事项 画出积分域 选择坐标系 确定积分序 写出积分限 计算要简便区域边界应尽量多为坐标线被积函数关于坐标变量易分离积分域分块要少累次积好算为妙图示法不等式充分利用对称性应用换元公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 思
45、考练习思考练习1.计算计算.dd)(sin2200yxyxI解解)cos(yx 0220yd20dcossinyyyyysincos2xyxyId)(sind220002机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2.设设,1,0)(Cxf且且,d)(10Axxf求求.d)()(d110yyfxfxIx提示：提示：交换积分顺序后交换积分顺序后,x,y互换互换oyx1xy 1yxIxyfxfyd)()(010d yyyfxfxd)()(010d xI2yyfxfxxd)()(d110yyfxfxd)()(010d x10d xyyfxfd)()(101010d)(d)(yyfxx
46、f2A机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 所围成的平面区域所围成的平面区域.3.求求，其中其中D是由圆是由圆22()Dxyy dxdy 22224(1)1xyxy 与与解解 如图如图 221(,)4,Dx y xy 由对称性，得由对称性，得0Dydxdy 12222222DDDxy dxdyxy dxdyxy dxdy3222cos2220002dr drdr dr 163216(32)399 222(,)(1)1Dx yxy 令平面区域令平面区域 D=DD=D1 1 D D2 2,其中其中x xy yo oD D1 1D D2 2xyoD r=t=0=2cos sinxryr 令令0:02rtD 则则区区域域222()(,)xytF tf x y dxdy 200(cos,sin)tdf rrrdr 200(cos,sin)tf rrrddr 20()(cos,sin).F tf tttd 故故222 ,()(,)(0),().xytfF tf x y dxdy tF t 已已知知函函数数连连续续 且且求求4.4.解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业：作业：P79 1(单单),2(2)(3),3(双双),4(1)(3),5,6(2)(3),7,8(1)
