1、弹性力学 第三章1Chapter 3 Solution of plane problems in rectangular coordinates 第三章第三章 平面问题直角坐标解答平面问题直角坐标解答3.1 Solution by polynomials3.1 多项式解答多项式解答弹性力学 第三章2Review:Inverse method 逆解法逆解法 Select satisfying the compatibility equation 设定设定 ，并，并 满足相容方程满足相容方程 4 =0 (2-25)find the stress components by 由下式求出应力分量由下式
2、求出应力分量 x=2/y2-fxx y=2/x2-fyy xy=-2/x y (2-24)find the surface force components by 由下式对给定坐标的物体求出面力分量由下式对给定坐标的物体求出面力分量 (l x+m yx)s=fx (m y+l xy)s=fy (2-15)Identify the problem which the selected can solve确定所确定所设定的设定的 能解决的问题能解决的问题弹性力学 第三章3A.=a+bx+cy,fx=0,fy=0 It satisfies the compatibility equation 4 =
3、0find the stress components by x=2/y2=0 y=2/x2=0 xy=-2/x y=0 find the surface force components by (l x+m yx)s=fx=0 (m y+l xy)s=fy=0 a linear stress function corresponds to the case of no surface forces and no stress.The superposition of a linear function to the stress function for any problem does n
4、ot affect the stresses.弹性力学 第三章4A.=a+bx+cy,fx=0,fy=0 满足相容方程满足相容方程 4 =0 由下式求出应力分量由下式求出应力分量 x=2/y2=0 y=2/x2=0 xy=-2/x y=0 由下式对给定坐标的物体求出面力分量由下式对给定坐标的物体求出面力分量 (l x+m yx)s=fx=0 (m y+l xy)s=fy=0 确定所确定所设定的设定的 能解决的问题为：任意物体无能解决的问题为：任意物体无体力，无面力，无应力。体力，无面力，无应力。应力函数加或减一个线性项不影响应力。应力函数加或减一个线性项不影响应力。弹性力学 第三章5B.=ax
5、2,fx=0,fy=0 It satisfies the compatibility equation 4 =0 find the stress components by x=2/y2=0 y=2/x2=2a xy=-2/x y=0 for a rectangular plate with its edges parallel to the coordinate axes,find the surface force components by (l x+m yx)s=fx (m y+l xy)s=fy the stress function =ax2 can solve the probl
6、em of uniform tension(a0)or uniform compression(a0)or uniform compression(c0)或或 均均匀压力匀压力(c0)的问题。的问题。P36 Fig.3.1(c)弹性力学 第三章9D.=bxy,fx=0,fy=0 It satisfies the compatibility equation 4 =0 find the stress components by x=2/y2=0 y=2/x2=0 xy=-2/x y=-b for a rectangular plate with its edges parallel to the
7、 coordinate axes,find the surface force components by (l x+m yx)s=fx (m y+l xy)s=fy the stress function =bxy can solve the problem of a rectangular plate in pure shear.P36 Fig.3.1(b)弹性力学 第三章10D.=bxy,fx=0,fy=0 满足相容方程满足相容方程 4 =0 由下式求出应力分量由下式求出应力分量 x=2/y2=0 y=2/x2=0 xy=-2/x y=-b 对和坐标轴平行的矩形板求出面力分量知对和坐标轴
8、平行的矩形板求出面力分量知 =bxy 能解决矩形板受能解决矩形板受纯剪作用。纯剪作用。P36 Fig.3.1(b)弹性力学 第三章11E.=ay3,fx=0,fy=0 It satisfies the compatibility equation 满足相容方程满足相容方程 4 =0 Find the stress components by 由下式求出应力分量由下式求出应力分量 x=2/y2=6ay y=2/x2=0 xy=-2/x y=0 For a rectangular plate shown in fig.3-2,find the surface force components sh
9、own in fig.3-2对对矩形板求出面力分量，如图矩形板求出面力分量，如图1所示。所示。Solve the problem of pure bending of a rectangular beam.矩形板纯弯曲问题矩形板纯弯曲问题3223dycxyybxax其中其中:a、b、c、d 为待定系数。为待定系数。弹性力学 第三章12 x=2/y2=6aystatically equivalent systems 静力等效静力等效 a=2M/h3 x=6ay=12My/h3=My/I I=h3/12 y=0 xy=0矩形板纯弯曲问题矩形板纯弯曲问题弹性力学 第三章13讨论：讨论：,3ay 取)
10、0(yxff可算得：可算得：0 xyayx60yxy12h2hll图示梁对应的边界条件：图示梁对应的边界条件：:2hy0,0 xyy:lx0,6xyxayah3minah3maxMM3ay 可见：可见：对应于矩形截面梁的纯弯曲问题应力分布。对应于矩形截面梁的纯弯曲问题应力分布。常数常数 a 与弯矩与弯矩 M 的关系：的关系：220hhxdy(1)由梁端部的边界条件：由梁端部的边界条件：0622hhdyay(2)Mdyyhhx222226hhMdyayMha32)2(3hMa 或yIMxyhMx312yhMx)12/(3可见：此结果与材力中结果相同，可见：此结果与材力中结果相同，说明材力中纯弯曲
11、梁的应力结果是正确的。说明材力中纯弯曲梁的应力结果是正确的。弹性力学 第三章140 xyayx60yy12h2hllMMyIMxah3minah3max说明：说明：(1)组成梁端力偶组成梁端力偶 M 的面力须线性的面力须线性分布，且中心处为零，结果才分布，且中心处为零，结果才是精确的。是精确的。(2)若按其它形式分布，如：若按其它形式分布，如：则此结果不精确，有误差；则此结果不精确，有误差；但按圣维南原理，仅在两端误差较但按圣维南原理，仅在两端误差较大，离端部较远处误差较小。大，离端部较远处误差较小。(3)当当 l 远大于远大于 h 时，误差较小；反之误差较大。时，误差较小；反之误差较大。弹性
12、力学 第三章153.三次多项式三次多项式（1）3223dycxyybxax其中其中:a、b、c、d 为待定系数。为待定系数。检验检验(x,y)是否满足双调和方程，显然有是否满足双调和方程，显然有（2）0,0,02244444yxyx04(可作为应力函数可作为应力函数)(假定：假定：fx=fy=0)（3）由式（由式（2-24）计算应力分量：）计算应力分量：cybxyxxy222dycxyx6222axbyxy6222结论结论3：三次多项式对应于线性应力分布。三次多项式对应于线性应力分布。弹性力学 第三章164.四次多项式四次多项式（1）432234eydxyycxybxax检验检验(x,y)是否
13、满足双调和方程是否满足双调和方程（2）cyx82224ax2444ey2444代入：代入：04 得得033eca024824eca弹性力学 第三章17432234eydxyycxybxax可见，对于函数：可见，对于函数：其待定系数，须满足下述关系才能作为应力函数：其待定系数，须满足下述关系才能作为应力函数：033eca（3）应力分量：应力分量：yxxy222343dycxybx22yx22xy221262eydxycx221262axbxycy 应力分量为应力分量为 x、y 的二次函数。的二次函数。（4）特例：特例：44eyax212eyx0 xy212axy（须满足：（须满足：a+e=0）弹
14、性力学 第三章18总结：总结：（多项式应力函数（多项式应力函数 的性质）的性质）（1）多项式次数多项式次数 n 4 时，则系数可以任意选取，总可满足时，则系数可以任意选取，总可满足 。04 多项式次数多项式次数 n 4 时，则系数须满足一定条件，才能满足时，则系数须满足一定条件，才能满足 。04 多项式次数多项式次数 n 越高，则系数间需满足的条件越多。越高，则系数间需满足的条件越多。（2）一次多项式，对应于无体力和无应力状态；任意应力函数一次多项式，对应于无体力和无应力状态；任意应力函数(x,y)上加上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响。上或减去一个一次多项式，对应力无影响。二次多项式，
15、对应均匀应力状态，即全部应力为常量；三次多项式，二次多项式，对应均匀应力状态，即全部应力为常量；三次多项式，对应于线性分布应力。对应于线性分布应力。（3）（4）用多项式构造应力函数用多项式构造应力函数(x,y)的方法的方法 逆解法（只能解决简单直逆解法（只能解决简单直线应力边界问题）。线应力边界问题）。按应力求解平面问题，其基本未知量为：按应力求解平面问题，其基本未知量为：，本节说明，本节说明如何由如何由 求出形变分量、位移分量？求出形变分量、位移分量？xyyx,xyyx,问题：问题：弹性力学 第三章193.2 Determination of displacements when x=My/
16、I y=0 xy=0 位移的确定位移的确定 In the case of plane stress,substitution of stresses into the physical equations(2-12)yields 平面应力问题，将应力代入物理方程得平面应力问题，将应力代入物理方程得应变应变 x=x-y/E=My/(EI)y=y-x/E=-My/(EI)rxy=xy/G=0弹性力学 第三章20Integration of geometrical equations x=u/x y=v/y rxy=u/y+v/x几何方程的积分几何方程的积分 substitution of stra
17、ins into the geometrical equations(2-8)yields 将应变代入几何方程将应变代入几何方程 u/x=My/(EI)u=Mxy/(EI)+f1(y)v/y=-My/(EI)v=-My2/(2EI)+f2(x)u/y+v/x=0 -df1(y)/dy=df2(x)/dx+Mx/(EI)弹性力学 第三章21 -df1(y)/dy=df2(x)/dx+Mx/(EI)=-df1(y)/dy=f1(y)=-y+u0 df2(x)/dx+Mx/(EI)=f2(x)=-Mx2/(2EI)+x+v0 u=Mxy/(EI)-y+u0 v=-My2/(2EI)-Mx2/(2EI
18、)+x+v0弹性力学 第三章22（1）讨论：讨论：式中：式中：u0、v0、由位移边界条件确定。由位移边界条件确定。常数00 xEIMyuxx当当 x=x0=常数常数xEIMyu（2）位移分量）位移分量0uyxyEIMuxyl1hMM u 关于铅垂方向的变化率，即铅垂方向线段的转角。关于铅垂方向的变化率，即铅垂方向线段的转角。常数00 xEIMyuxxyu0|xx说明：说明：the cross section remains plane after bending。横截面保持平面横截面保持平面 材力中材力中“平面保持平面平面保持平面”的假设成立的假设成立。弹性力学 第三章23（2）常数EIMxv
19、22102222vxxEIMyEIMv将下式中的第二式对将下式中的第二式对 x 求二阶导数：求二阶导数：说明：说明：all the longitudinal lines will have the same curvatureEIMxv221 材料力学中挠曲线微分方程材料力学中挠曲线微分方程弹性力学 第三章24Review:Rigid-body displacements-displacements corresponding to zero strains刚体位移刚体位移-应变为零时的位移应变为零时的位移 u=-y+u0 v=x+v0 u0-the rigid-body translatio
20、n in the x direction x向刚体平动向刚体平动 v0-the rigid-body translation in the y direction y向刚体平动向刚体平动 -the rigid-body rotation of the body about z axis.绕绕z 轴的刚体转动轴的刚体转动弹性力学 第三章25弹性力学 第三章26Simply supported beam 简支梁简支梁 u=Mxy/(EI)-y+u0 v=-My2/(2EI)-Mx2/(2EI)+x+v0 u(0,0)=0 u0=0 v(0,0)=0 v0=0 v(l,0)=0 =Ml/(2EI)u
21、=Mxy/(EI)-Mly/(2EI)v=-My2/(2EI)-Mx2/(2EI)+Mlx/(2EI)梁的挠曲线方程：梁的挠曲线方程：xxlEIMvy)(20 与材力中结果相同与材力中结果相同弹性力学 第三章27（2）悬臂梁）悬臂梁02222vxxEIMyEIMv0uyxyEIMu边界条件边界条件0lxv0lxu22hyhh/2h/2由式（由式（f）可知，此边界条件无法满足。）可知，此边界条件无法满足。边界条件改写为：边界条件改写为：0,000ylxylxvu（中点不动）（中点不动）00ylxxv（轴线在端部不转动）（轴线在端部不转动）代入有代入有00u0202vllEIM0lEIM可求得：可
22、求得：00uEIMlv220EIMlyxlEIMu)(222)(2yEIMxlEIMv弹性力学 第三章28yxlEIMu)(222)(2yEIMxlEIMv(3-4)h/2h/2挠曲线方程：挠曲线方程：20)(2|xlEIMvy与材料力学中结果相同与材料力学中结果相同说明：说明：（1）求位移的过程：求位移的过程：（a）将应力分量代入物理方程）将应力分量代入物理方程)(1xyyE)(1yxxEGxyxy（b）再将应变分量代入几何方程）再将应变分量代入几何方程xvyuxyxuxyvy（c）再利用位移边界条件，确定常数。）再利用位移边界条件，确定常数。弹性力学 第三章29（2）若为平面应变问题，则将
23、材料常数若为平面应变问题，则将材料常数E、作相应替换。作相应替换。（3）若取固定端边界条件为：若取固定端边界条件为：h/2h/20,000ylxylxvu（中点不动）（中点不动）00ylxyu（中点处竖向线段转角为零）（中点处竖向线段转角为零）00u得到：得到：0202vlEIMl0EIMl02222vxxEIMyEIMv0uyxyEIMu求得：求得：00uEIMlv220EIMl此结果与前面情形相同。此结果与前面情形相同。弹性力学 第三章30例：例：图示矩形板，长为图示矩形板，长为 l，高为，高为 h，体力不计，体力不计，试证以下函数是应力函数，并指出能解决什试证以下函数是应力函数，并指出能
24、解决什么问题。式中么问题。式中k、q为常数。为常数。xyOlhhkxyhkxy23233解：解：(1)应力分量：应力分量：32212hkxyx022xyhkhkyyxxy236322边界条件：边界条件：02326322hkhhkhyxy02hyy显然，上下边界无面力作用。显然，上下边界无面力作用。上下边界上下边界(2)弹性力学 第三章31xyOlh:0 x01222322hhhhxdyhkxydy012223222hhhhxdyhkxyydy左边界左边界223222236hhhhxydyhkhkydykhkyhkyhh2233232k右边界右边界:lx 01222322hhhhxdyhklyd
25、y22322212hhhhxdyhklyydy2233312hhhklykl223222236hhhhxydyhkhkydykhkyhkyhh2233232kkl结论：可解决悬臂梁自由结论：可解决悬臂梁自由端受集中力问题。端受集中力问题。弹性力学 第三章32hyhyqyhyhyqx3323322101344 3-2 试证：试证：下式下式 能满足相容方程，并考察它在图能满足相容方程，并考察它在图3-9所示矩形所示矩形板和坐标系中能解决什么问题（设矩形板的板和坐标系中能解决什么问题（设矩形板的长为长为l，深度为，深度为h，体力不计）。，体力不计）。xyOlh弹性力学 第三章33证明：因为34424
26、hqyy 能满足相容方程3224242hqyyx024242332244424hqyhqyyxyxhqyhqyhyqxyx534633322222323322qhqyhqyxyhqxhqxyyxxy236322044x弹性力学 第三章34 y=h/2:(y)y=h/2=0 (y)y=-h/2=-q (xy)y=h/2=0即上边界受均布压力为q，下边界没有面力 x=0:(xy)x=0=0 左边界y向面力为0,x向面力的合力和合力矩为022323322qhqyhqyxyhqxhqxyyxxy236322hqyhqyhyqxyx53463332220)(02/2/dyxhhx0)(02/2/ydyx
27、hhxxyOlh弹性力学 第三章35 x=l:右边界y向面力为-ql,x向面力的合力为0,合力矩为-0.5ql2 能解决悬臂架在上边界受均布荷载能解决悬臂架在上边界受均布荷载q的问题的问题22323322qhqyhqyxyhqxhqxyyxxy236322hqyhqyhyqxyx53463332220)(2/2/dylxxhh22/2/5.0)(qlydylxxhhqldylxxyhh)(2/2/弹性力学 第三章36弹性力学 第三章373-4 Bending of a simple beam under uniform load简支梁在均布荷载作用下的弯曲简支梁在均布荷载作用下的弯曲 A si
28、mple beam,length 2l,depth h,uniform load q.P41 fig.3-5Fig.3-5弹性力学 第三章38xyllqlql1yzh/2h/2q1.Stress functionStress function(1)analyzing：y yielded by bendingx yielded by shearing stressxyyielded by q(compression)and q=contant，图示坐标系和几何对称，图示坐标系和几何对称，不随不随 x 变变化。化。y推得：推得：)(yfy由由 上部单元的平衡，可以看到上部单元的平衡，可以看到 只与
29、只与q有关。有关。yqy弹性力学 第三章39 assume 假定假定 y=2/x2=f(y)Successive integration with respect to x yields 对对x连续连续积分二次得积分二次得 /x=xf(y)+f1(y)=x2f(y)/2+xf1(y)+f2(y)substitution of into compatibility equation(4/x4+2 4/x2 y2+4/y4)=0 (2-25)yields 将将 代入相代入相容方程得：容方程得：0)(2)()()(2)2()4(2)4(1)4(2yfyfyxfyfx弹性力学 第三章400)(2)()
30、()(2)2()4(2)4(1)4(2yfyfyxfyfx在一元二次方程在一元二次方程 ax2+bx+c=0中，若有实根，只有两个满足中，若有实根，只有两个满足方程，欲使其对无穷个方程，欲使其对无穷个x均成立，必须有均成立，必须有a=0;b=0;c=0此为此为 x的二次方程，相容方程要求它对全梁的的二次方程，相容方程要求它对全梁的x值均满足上值均满足上式，故各项系数、自由项均为式，故各项系数、自由项均为00)()4(yf0)(2)()2()4(2yfyf0)()4(1yf方程的特点：方程的特点：弹性力学 第三章41 x2:f(4)(y)=0 f(y)=Ay3+By2+Cy+D x1:f1(4)
31、(y)=0 f1(y)=Ey3+Fy2+Gy 省略常数项省略常数项 x0:f2(4)(y)+2f(2)(y)=0 f2(4)(y)=-2f(2)(y)=-12Ay-4B f2(y)=-A/10 y5-B/6 y4+Hy3+Ky2省略常数项和一次项省略常数项和一次项=x2 f(y)/2+xf1(y)+f2(y)=x2/2(Ay3+By2+Cy+D)+x(Ey3+Fy2+Gy)+(-Ay5/10 -By4/6+Hy3+Ky2)(e)0)(2)()()(2)2()4(2)4(1)4(2yfyfyxfyfx式中含有式中含有9个待定常数。个待定常数。弹性力学 第三章42find the stress c
32、omponents by following formulas由下式求应力由下式求应力 x=2/y2 y=2/x2 xy=-2/xy x=0.5x2(6Ay+2B)+x(6Ey+2F)+(-2Ay3-2By2+6Hy+2K)y=Ay3+By2+Cy+D xy=-x(3Ay2+2By+C)-(3Ey2+2Fy+G)弹性力学 第三章43The condition of symmetry-the stress distribution must symmetric with respect to the yz plane (a plane of symmetry)对称条件对称条件-应力对称分布应力对
33、称分布 -even function of x x的偶函数的偶函数 x y-even function of x x 的偶函数的偶函数 xy-odd function of x x的奇函数的奇函数 026 FEy0232GFyEyE=F=G=0弹性力学 第三章44;0,2xyhy;,2qhyy;0,2yhy024823DChBhAhqDChBhAh248230432CBhhA0432CBhhAyields：,23hqA,0B2qDhqC23Substitution into stress componentsBoundary conditions on y=h/2弹性力学 第三章45KHyyh
34、qyxhqx26463323223233qyhqyhqyxhqxyhqxy23623(i)(j)(k)Boundary conditions on x=l due to symmetry,we we are only required to consider either of the two ends.x=l的的 边界条件，考虑对称性后只需考虑任一端边界条件，考虑对称性后只需考虑任一端弹性力学 第三章46(b)左右边界（次要边界）：左右边界（次要边界）：（由于对称，只考虑右边界即可。）（由于对称，只考虑右边界即可。）,lx 未知22hyhlxxy022hyhlxx 难以满足，需借助于圣维南原
35、理。难以满足，需借助于圣维南原理。静力等效条件：静力等效条件：轴力轴力 N=0；弯矩弯矩 M=0；剪力剪力 Q=ql；qldyQhhlxxy22022dyNhhlxx022dyyMhhlxx弹性力学 第三章470K02Kh0)2646(223323hhdyKHyyhqylhqqllyhqyhqlhy2232323620)646(24322232dyHyyhqyhqlhhhqhqlH1032qldylhqyhqlhh)236(2223satisfied automatically 自动满足。自动满足。qldyQhhlxxy22022dyNhhlxx022dyyMhhlxx弹性力学 第三章48xy
36、llqlql1yzh/2h/2q)534()(622223hyhyqyxlhqx截面上的应力分布：截面上的应力分布：xyxy)()(22112hyhyqy22346yhxhqxy4.与材料力学结果比较与材料力学结果比较弹性力学 第三章494.与材料力学结果比较与材料力学结果比较材力中几个参数材力中几个参数：截面宽：截面宽：b=1,3121hI截面惯矩：截面惯矩：静矩：静矩：2822yhS弯矩：弯矩：)(222xlqM剪力：剪力：qxQ将其代入式将其代入式(p)，有，有53422hyhyqyIMx22112hyhyqybIQSxy（3-6）修正项修正项弹性力学 第三章50 xxythe firs
37、t term of x is the same as given in mechanics of materials.x 的第一项同材料力学的第一项同材料力学，为主要项。，为主要项。第二项为修正项。第二项为修正项。（2）yThe crushing stress y is only considered in elasticity and not in mechanics of materials.挤压应力挤压应力 y材料力学中不考虑材料力学中不考虑（3）当当 h/l1，该项误差很小，可略；，该项误差很小，可略；当当 h/l较大时，须修正。较大时，须修正。跨度跨度2l=2h时，修正项为主要项的时
38、，修正项为主要项的115，跨度，跨度2l=4h时，修正项为主要项的时，修正项为主要项的1/60；is the same as given in mechanics of materials（1）按式（按式（3-6），梁的左右），梁的左右边界存在水平面力：边界存在水平面力：lxxxf53422hyhyq说明式（说明式（3-6）在两端不适用。）在两端不适用。Solution of stresses 应力的解答应力的解答弹性力学 第三章51 solution of plane stress boundary problem in terms of stress function in the cas
39、e of constant body forces 常体力应力边界问题按应力函数求解的公式 4 =0 (2-25)x=2/y2-fxx y=2/x2-fyy xy=-2/xy (2-24)(lx+myx)s=fx (my+lxy)s=fy (2-15)no displacement boundary condition无位移边界条件 the condition of single-valued displacements for multiply connected body 多连体的位移单值条件弹性力学 第三章52解题步骤小结：解题步骤小结：（1）（2）（3）根据问题的条件：几何特点、受力特
40、点、约束特点（面力分布规根据问题的条件：几何特点、受力特点、约束特点（面力分布规律、对称性等），估计某个应力分量（律、对称性等），估计某个应力分量（）的变化形）的变化形式。式。xyyx,由由 与应力函数与应力函数 的关系式（的关系式（2-24），求得应），求得应力函数力函数 的具体形式（具有待定函数）。的具体形式（具有待定函数）。xyyx,),(yx),(yx（4）（5）将具有待定函数的应力函数将具有待定函数的应力函数 代入相容方程：代入相容方程：确确定定 中的待定函数形式。中的待定函数形式。),(yx04),(yx由由 与应力函数与应力函数 的关系式（的关系式（2-24），求得应），求得应力
41、分量力分量 。xyyx,),(yxxyyx,由边界条件确定由边界条件确定 中的待定常数。中的待定常数。xyyx,用半逆解法求解梁、矩形长板类弹性力学平面问题的基本步骤：用半逆解法求解梁、矩形长板类弹性力学平面问题的基本步骤：弹性力学 第三章53确定应力中常数的方法：确定应力中常数的方法：有对称条件，可用对称条件确定部分常数，也可不考虑对称条件.先考虑大边界，后考虑小边界。大边界只能用精确边界条件。小边界可先用精确边界条件，如不能满足，改用近似边界条件。也可直接用近似边界条件。所有边均满足边条后，最后的小边界自动满足，作为校合。弹性力学 第三章543.5 Triangular gravity w
42、all 三角形重力墙三角形重力墙 P46 Fig.3-7弹性力学 第三章55Dimension analysis 因次分析因次分析 The dimension of stress is forcelength-2 1g-2g-forcelength-3 x-length y-length-dimensionless The stresses must be combinations of expressions in the form of A 1gx,B 1gy,C 2gx,D 2gy.must be a polynomial of the third degree and we may a
43、ssume =ax3+bx2y+cxy2+ey3 4 =0 It is satisfied.弹性力学 第三章56Dimension analysis 因次分析因次分析 应力的因次是应力的因次是 力力长度长度-2 2g-1g-力力长度长度-3 x-长度长度 y-长度长度 影响应力所有因素影响应力所有因素-无因次无因次 应力必须是应力必须是 A 1gx,B 1gy,C 2gx,D 2gy的组合的组合.必须是纯三次多项式。故假定：必须是纯三次多项式。故假定：=ax3+bx2y+cxy2+ey3 4 =0 满足满足弹性力学 第三章57The stress components given by Eqs
44、.(2-24)will be 由式由式(2-24)从从应力函数求应力应力函数求应力 x=2/y2-fxx=2cx+6dy y=2/x2-fyy=6ax+2by-1gy (a)xy=-2/x y=-2bx-2cy =ax3+bx2y+cxy2+dy3弹性力学 第三章58 x=2cx+6dy y=6ax+2by-1gy xy=-2bx-2cy x=0:x=-2gy d=-2g/6 xy=0 c=0 x=ytan:l x+m yx=0 m y+l xy=0 in which l=cos m=-sin solution:P48 Boundary conditions:边界条件边界条件:弹性力学 第三章
45、59bxxy2gyx2gybyaxy126(b)(2)（应力边界）：（应力边界）：tanyx 0yxff0tantanxyxxyml0tantanxxyxxmlcosl其中：其中：sin将将(b)代入，有代入，有0)tan2()(2bymgyl0)2()(2bxmgyl0)26()2(1gybyaxmbxl0)2tan6()tan2(1gybyaymbyl0)2tan6(tan21gbambl0tan22bmgl)2cos(m弹性力学 第三章60321cot3cot6ggacot22gb gyx222cotgxyxxy(3-7)李维（李维（Levy）解答）解答与材力结果比较：与材力结果比较：x
46、yxy 沿水平方向不变，在材力中无法求得。沿水平方向不变，在材力中无法求得。沿水平方向线性分布，与材力中偏心受压沿水平方向线性分布，与材力中偏心受压公式算得结果相同。公式算得结果相同。沿水平方向线性分布，材力中为抛物线分布。沿水平方向线性分布，材力中为抛物线分布。yggxggy)cot()cot2cot(122321代入式（代入式（b），有：），有：弹性力学 第三章61(3-7)李维（李维（Levy）解答）解答g1g2gy2xyOxyx)(y)(沿水平方向的应力分布沿水平方向的应力分布结果的适用性：结果的适用性：（1）当坝的横截面变化时，不再当坝的横截面变化时，不再为平面应变问题，其结果误为平
47、面应变问题，其结果误差较大。差较大。（2）假定坝下端无限延伸，可自由假定坝下端无限延伸，可自由变形。而实际坝高有限，底部变形。而实际坝高有限，底部与基础相连，有地基约束，故与基础相连，有地基约束，故底部处结果误差较大。底部处结果误差较大。（3）实际坝顶非尖顶，坝顶处有其它实际坝顶非尖顶，坝顶处有其它载荷，故坝顶处结果误差较大。载荷，故坝顶处结果误差较大。三角形重力坝的精确分析，常借助于有限元数值方法求解。三角形重力坝的精确分析，常借助于有限元数值方法求解。工程应用：工程应用：求使坝稳定时的角度求使坝稳定时的角度 ，称为，称为安息角安息角。gyx2yggxggy)cot()cot2cot(122
48、32122cotgxyxxy弹性力学 第三章62Chapter three Exercise弹性力学 第三章63例例1 设有矩形截面竖柱，密度为设有矩形截面竖柱，密度为，在一，在一边侧面上受均布剪力边侧面上受均布剪力q，试求应力分量，试求应力分量弹性力学 第三章64 解：由题假设：解：由题假设：x=0=2/y2积分得：积分得：/y=f1(x)再积分得：再积分得：=yf1(x)+f2(x)将上式代入相容方程将上式代入相容方程 4/x4+2 4/y2 x2+4/y4=0 因为：因为：4/x4=yd4f1(x)/dx4+d4f2(x)/dx4 4/y4=0 4/y2 x2=0 yd4f1(x)/dx
49、4+d4f2(x)/dx4=0 y1:d4f1(x)/dx4=0 f1(x)=Ax3+Bx2+Cx y0:d4f2(x)/dx4=0 f2(x)=Dx3+Ex2弹性力学 第三章65=y(Ax3+Bx2+Cx)+Dx3+Ex2 x=2/y2 fxx=0 y=2/x2 fyy=y(6Ax+2B)+6Dx+2E-gy xy=-2/y x=-(3Ax2+2Bx+C)考虑边界条件考虑边界条件 x=0:x/x=0=0 自动满足自动满足 xy/x=0=0 C=0 x=h:x/x=h=0 自动满足自动满足 xy/x=h=q -(3Ah2+2Bh)=q (1)弹性力学 第三章66y=0的小边界的小边界:方法方法
50、1:不能精确满足时用不能精确满足时用圣维南原理圣维南原理(1)y方向方向:y/y=0=0 6Dx+2E=0 即即 D=E=0 精确满足精确满足(2)x方向方向:xy/y=0=0 3Ax2+2Bx=0 A=B=0 和式（和式（1）矛盾，）矛盾，不能精确满足，使用圣维南原理不能精确满足，使用圣维南原理 0h xy/y=0dx=0 即即 0h-(3Ax 2+2Bx+C)dx=0 Ah+B=0 (2)弹性力学 第三章67y=0的小边界的小边界:方法方法2:直接直接用用圣维南原理圣维南原理(1)y方向方向:0h y/y=0dx=0 0h(6Dx+2E)dx=0 3Dh+2E=0 (a)0h y/y=0
