1、微积分微积分第第2章章 导数与微分导数与微分2.12.22.32.4导数概念函数的求导公式及求导法则微分高阶导数微积分微积分2.1 2.1 导数的概念导数的概念 第二章 微积分微积分一、一、引例引例1.变速直线运动的速度变速直线运动的速度设描述质点运动位置的函数为)(tfs 0t则 到 的平均速度为0tt v)()(0tftf0tt 而在 时刻的瞬时速度为0t lim0ttv)()(0tftf0tt 221tgs so)(0tf)(tft自由落体运动微积分微积分 xyo)(xfy C2.曲线的切线斜率曲线的切线斜率曲线)(:xfyCNT0 xM在 M 点处的切线x割线 M N 的极限位置 M
2、T(当 时)割线 M N 的斜率tan)()(0 xfxf0 xx 切线 MT 的斜率tanktanlim lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx 微积分微积分两个问题的共性共性:so0t)(0tf)(tft瞬时速度 lim0ttv)()(0tftf0tt 切线斜率xyo)(xfy CNT0 xMx lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx 所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.类似问题还有:加速度角速度线密度电流强度是速度增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限变化率问题微积分微积分二、导数的定义二、导数的
3、定义定义定义1.设函数)(xfy 在点0 x0limxx00)()(xxxfxfxyx0lim)()(0 xfxfy0 xxx存在,)(xf并称此极限为)(xfy 记作:;0 xxy;)(0 xf;dd0 xxxy0d)(dxxxxf即0 xxy)(0 xf xyx0limxxfxxfx)()(lim000hxfhxfh)()(lim000则称函数若的某邻域内有定义,在点0 x处可导可导,在点0 x的导数导数.微积分微积分运动质点的位置函数)(tfs so0t)(0tf)(tft在 时刻的瞬时速度0t lim0ttv)()(0tftf0tt 曲线)(:xfyC在 M 点处的切线斜率xyo)(x
4、fy CNT0 xMx lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx)(0tf)(0 xf 说明说明:在经济学中,边际成本率,边际劳动生产率和边际税率等从数学角度看就是导数.微积分微积分0limxx00)()(xxxfxfxyx0lim)()(0 xfxfy0 xxx若上述极限不存在,在点 不可导.0 x若,lim0 xyx也称)(xf在0 x若函数在开区间 I 内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数.记作:;y;)(xf;ddxy.d)(dxxf注意注意:)(0 xf 0)(xxxfxxfd)(d0就说函数就称函数在 I 内可导.的导数为无穷大.微积分微积分例例1.求函数Cxf)(C
5、 为常数)的导数.解解:yxCCx0lim0即0)(C例例2.求函数)N()(nxxfn.处的导数在ax 解解:axafxf)()(ax lim)(af axaxnnaxlim(limax1nx2nxa32nxa)1na1nanxxfxxf)()(0limx微积分微积分说明：说明：对一般幂函数xy(为常数)1)(xx例如，例如，)(x)(21 x2121xx21x1)(1x11x21x)1(xx)(43x4743x（以后将证明）微积分微积分hxhxhsin)sin(lim0例例3.求函数xxfsin)(的导数.解解:,xh令则)(xf hxfhxf)()(0limh0limh)2cos(2hx
6、 2sinh)2cos(lim0hxh22sinhhxcos即xxcos)(sin类似可证得xxsin)(cosh微积分微积分)1(lnxh例例4.求函数xxfln)(的导数.解解:)(xf hxfhxf)()(0limhhxhxhln)ln(lim0hh1lim0即xx1)(ln0limhh1x1xx10limh)1(lnxhhxelnx1x1xhhh1lim0或)1(lnxh微积分微积分则令,0hxt原式htfhtfh2)()2(lim0)(lim0tfh)(0 xf 是否可按下述方法作:例例5.证明函数xxf)(在 x=0 不可导.证证:hfhf)0()0(hh0h,10h,1hfhfh
7、)0()0(lim0不存在,.0不可导在即xx例例6.设)(0 xf 存在,求极限.2)()(lim000hhxfhxfh解解:原式0limhhhxf2)(0)(0 xfhhxf2)(0)(0 xf)(210 xf)(210 xf)(0 xf)(2 )(0hhxf)(0 xf微积分微积分三、三、导数的几何意义导数的几何意义xyo)(xfy CT0 xM曲线)(xfy 在点),(00yx的切线斜率为)(tan0 xf 若,0)(0 xf曲线过上升;若,0)(0 xf曲线过下降;xyo0 x),(00yx若,0)(0 xf切线与 x 轴平行,称为驻点驻点;),(00yx),(00yx0 x若,)(
8、0 xf切线与 x 轴垂直.曲线在点处的),(00yx切线方程切线方程:)(000 xxxfyy法线方程法线方程:)()(1000 xxxfyy)0)(0 xfxyo0 x,)(0时 xf微积分微积分1111例例7.问曲线3xy 哪一点有垂直切线?哪一点处的切线与直线131xy平行?写出其切线方程.解解:)(3xy3231x,13132x,0 xy0 x令,3113132x得,1x对应,1y则在点(1,1),(1,1)处与直线131xy平行的切线方程分别为),1(131xy)1(131xy即023 yx故在原点(0,0)有垂直切线微积分微积分处可导在点xxf)(四、四、函数的可导性与连续性的关
9、系函数的可导性与连续性的关系定理定理1.处连续在点xxf)(证证:设)(xfy 在点 x 处可导,)(lim0 xfxyx存在,因此必有,)(xfxy其中0lim0 x故xxxfy)(0 x0所以函数)(xfy 在点 x 连续.注意注意:函数在点 x 连续未必可导连续未必可导.反例反例:xy xyoxy 在 x=0 处连续,但不可导.即微积分微积分在点0 x的某个右右 邻域内)(xfy 若极限xxfxxfxyxx)()(limlim0000则称此极限值为)(xf在 处的右右 导数导数,0 x记作)(0 xf即)(0 xfxxfxxfx)()(lim000(左)(左左)0(x)0(x)(0 xf
10、0 x例如例如,xxf)(在 x=0 处有,1)0(f1)0(fxyoxy 定义定义2.设函数有定义,存在,微积分微积分定理定理2.函数在点0 x)(xfy,)()(00存在与xfxf且)(0 xf.)(0 xf)(0 xf 存在)(0 xf)(0 xf简写为在点处右右 导数存在0 x定理定理3.函数)(xf)(xf在点0 x必 右右 连续.(左左)(左左)若函数)(xf)(af)(bf与都存在,则称)(xf显然:)(xf在闭区间 a,b 上可导,)(baCxf在开区间 内可导,),(ba在闭区间 上可导.,ba可导的充分必要条件是且微积分微积分2.22.2函数的求导法则函数的求导法则 第二章
11、 微积分微积分思路思路:xxfxxfxfx)()(lim)(0(构造性定义)求导法则求导法则其它基本初等其它基本初等函数求导公式函数求导公式0 xcosx1)(C)sin(x)ln(x证明中利用了两个重要极限初等函数求导问题初等函数求导问题本节内容微积分微积分一、四则运算求导法则一、四则运算求导法则 定理定理1.具有导数都在及函数xxvvxuu)()()()(xvxu及的和、差、积、商(除分母为 0的点外)都在点 x 可导,且)()()()()1(xvxuxvxu)()()()()()()2(xvxuxvxuxvxu)()()()()()()()3(2xvxvxuxvxuxvxu下面分三部分加
12、以证明,并同时给出相应的推论和例题.)0)(xv微积分微积分此法则可推广到任意有限项的情形.证证:设,则vuvu)()1()()()(xvxuxfhxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0hxuhxuh)()(lim0hxvhxvh)()(lim0)()(xvxu故结论成立.wvuwvu)(,例如例如,微积分微积分(2)vuvuvu)(证证:设,)()()(xvxuxf则有hxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0故结论成立.)()()()(xvxuxvxuhhxuh )(lim0)(xu)(hxvhxv)
13、()(xu)(hxv推论推论:)()1uC)()2wvuuC wvuwvuwvu)log()3xaaxlnlnaxln1(C为常数)微积分微积分例例1.解解:xsin41(21)1sin,)1sincos4(3xxxy.1xyy 及求 y)(xx)1sincos4(213xxx23(xx)1xy1cos4)1sin43(1cos21sin2727)1sincos4(3xx)1sincos4(3xx微积分微积分)()(lim0 xvhxvh)()()()()()(xvhxvhxvxuxvhxuh)()(xvxu(3)2vvuvuvu证证:设)(xf则有hxfhxfxfh)()(lim)(0hh
14、lim0,)()(xvxu)()(hxvhxu)()(xvxuhhxu )()(xu)(xvhhxv )()(xu)(xv故结论成立.)()()()()(2xvxvxuxvxu推论推论:2vvCvC(C为常数)微积分微积分)(cscxxsin1x2sin)(sinxx2sin例例2.求证,sec)(tan2xx证证:.cotcsc)(cscxxxxxxcossin)(tan x2cosxx cos)(sin)(cossinxx x2cosx2cosx2sinx2secxcosxxcotcsc类似可证:,csc)(cot2xx.tansec)(secxxx微积分微积分 )(xf二、反函数的求导法
15、则二、反函数的求导法则 定理定理2.y 的某邻域内单调可导,证证:在 x 处给增量由反函数的单调性知且由反函数的连续性知 因此,)()(1的反函数为设yfxxfy在)(1yf0)(1yf且 ddxy或,0 x)()(xfxxfy,0 xyyx,00yx时必有xyxfx0lim)(lim0yyxyxdd 1)(1yf11)(1yf11微积分微积分1例例3.求反三角函数及指数函数的导数.解解:1)设,arcsin xy 则,sin yx,)2,2(y)(arcsinx)(sinyycos1y2sin11211x类似可求得?)(arccosx,11)(arctan2xx211)arccot(xx21
16、1xxxarcsin2arccos利用0cosy,则微积分微积分2)设,)1,0(aaayx则),0(,logyyxa)(xa)(log1ya 1ayln1aylnaaxlnxxe)e()arcsin(x211x)arccos(x211x)arctan(x211x)cotarc(x211xaaaxxln)(xxe)e(特别当ea时,小结小结:微积分微积分在点 x 可导,lim0 xxuxuuf)(xyxyx0limdd三、复合函数求导法则三、复合函数求导法则定理定理3.)(xgu)(ufy 在点)(xgu 可导复合函数 fy)(xg且)()(ddxgufxy在点 x 可导,证证:)(ufy 在
17、点 u 可导,故)(lim0ufuyuuuufy)(（当 时 )0u0故有)()(xgufuy)(uf)0()(xxuxuufxy微积分微积分例如,)(,)(,)(xvvuufyxydd)()()(xvufyuvxuyddvuddxvdd关键:搞清复合函数结构,由外向内逐层求导.推广推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.微积分微积分四、初等函数的求导问题四、初等函数的求导问题 1.常数和基本初等函数的导数(P94)(C0)(x1x)(sin xxcos)(cosxxsin)(tan xx2sec)(cot xx2csc)(secxxxtansec)(cscxxxcotcsc)(xaaaxln
18、)(xexe)(log xaaxln1)(ln xx1)(arcsin x211x)(arccosx211x)(arctan x211x)cot(arcx211x微积分微积分2.有限次四则运算的求导法则)(vuvu)(uCuC )(vuvuvuvu2vvuvu(C为常数)0(v3.复合函数求导法则)(,)(xuufyxydd)()(xuf4.初等函数在定义区间内可导初等函数在定义区间内可导,)(C0)(sin xxcos)(ln xx1由定义证,说明说明:最基本的公式uyddxudd其它公式用求导法则推出.且导数仍为初等函数且导数仍为初等函数微积分微积分2.3函数的微分 第二章 微分的概念微分
19、的概念 微分运算法则微分运算法则微分在近似计微分在近似计算中的应用算中的应用微积分微积分一、微分的概念一、微分的概念 引例引例:一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?设薄片边长为 x,面积为 A,则,2xA 0 xx面积的增量为220)(xxxA20)(2xxxxx 020 xA xx 02)(x关于x 的线性主部高阶无穷小0 x时为故xxA02称为函数在 的微分0 x当 x 在0 x取得增量x时,0 x变到,0 xx边长由其微积分微积分的微分微分,定义定义:若函数)(xfy 在点 的增量可表示为0 x)()(00 xfxxfy(A 为不依赖于x 的常数)则称函数)(xf
20、y 而 称为xA在)(xf0 x点记作yd,df或即xAyd定理定理:函数)(xfy 在点 可微的充要条件充要条件是0 x处可导，在点0)(xxfy,)(0 xfA且)(xoxA即xxfy)(d0在点0 x可微可微,微积分微积分定理定理:函数证证:“必要性必要性”已知)(xfy 在点 可微,0 x则)()(00 xfxxfy)(limlim00 xxoAxyxxA故Axf)(0)(xoxA)(xfy 在点 的可导,0 x且)(xfy 在点 可微的充要条件充要条件是0 x)(xfy 在点 处可导,0 x且,)(0 xfA即xxfy)(d0微积分微积分定理定理:函数)(xfy 在点 可微的充要条件
21、充要条件是0 x)(xfy 在点 处可导,0 x且,)(0 xfA即xxfy)(d0“充分性充分性”已知)(lim00 xfxyx)(xfy)(0 xfxy)0lim(0 xxxxfy)(0故)()(0 xoxxf 线性主部 即xxfy)(d0在点 的可导,0 x)0)(0时 xf则微积分微积分说明说明:0)(0 xf时,xxfy)(d0)()(0 xoxxfyyyxdlim0 xxfyx)(lim00 xyxfx00lim)(11所以0 x时yyd很小时,有近似公式xyyd与是等价无穷小,当故当微积分微积分微分的几何意义xxfy)(d0 xx0 xyo)(xfy 0 xyydxtan当 很小
22、时,xyyd时，当xy 则有xxfyd)(d从而)(ddxfxy导数也叫作微商切线纵坐标的增量自变量的微分自变量的微分,为称 x记作xdxyxd记微积分微积分例如例如,3xy yd02.0d2xx23xxd02.0d2xx24.0,arctanxy ydxxd112又如又如,微积分微积分二、二、微分运算法则微分运算法则设 u(x),v(x)均可微,则)(d.1vu)(d.2uC(C 为常数)(d.3vu)0()(d.4vvu分别可微,)(,)(xuufy)(xfy的微分为xyyxddxxufd)()(uduufyd)(d微分形式不变微分形式不变5.复合函数的微分则复合函数vudd uCdvuu
23、vdd 2ddvvuuv微积分微积分例例1.,)1(ln2xey求.dy解解:211dxey)1(d2xe211xe)(d2xxxeexxd21122xeexxxd12222xe微积分微积分三、三、微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用)()(0 xoxxfy当x很小时,)()(00 xfxxfyxxf)(0 xxfxfxxf)()()(000 xxx0令使用原则使用原则:;)(,)()100好算xfxf.)20靠近与xx)()()(000 xxxfxfxf得近似等式:微积分微积分特别当xx,00很小时,xffxf)0()0()(常用近似公式常用近似公式:x1)1()1(x很小)x(xx
24、xx1xsin)2(xe)3(xtan)4()1ln()5(x证明证明:令)1()(xxf得,1)0(f)0(f,很小时当 xxx1)1(微积分微积分180dx29sin的近似值.解解:设,sin)(xxf取300 x,629x则1802918029sin6sin6cos2123)0175.0(485.0)180(例例4.求29sin4848.029sin微积分微积分2.4 高阶导数微积分微积分一、高阶导数的概念一、高阶导数的概念)(tss 速度即sv加速度,ddtsv tvadd)dd(ddtst即)(sa引例引例：变速直线运动微积分微积分定义定义.若函数)(xfy 的导数)(xfy可导,或
25、,dd22xy即)(yy或)dd(dddd22xyxxy类似地,二阶导数的导数称为三阶导数,1n阶导数的导数称为 n 阶导数,y ,)4(y)(,ny或,dd33xy,dd44xynnxydd,)(xf的二阶导数二阶导数,记作y)(xf 的导数为依次类推,分别记作则称微积分微积分设,2210nnxaxaxaay求.)(ny解解:1ayxa221nnxan 212ayxa3232)1(nnxann依次类推,nnany!)(233xa例例1.思考思考:设,)(为任意常数xy?)(nynnxnx)1()2)(1()()(问可得微积分微积分nx)1(,3xaeay 例例2.设求解解:特别有:解解:!)
26、1(n规定 0!=1思考思考:,xaey.)(ny,xaeay,2xaeay xanneay)(xnxee)()(例例3.设,)1(lnxy求.)(ny,11xy,)1(12xy,)1(21)1(32xy )(ny1)1(n,)1(lnxy)(nyxy11 ynxn)1(!)1(2)1(1x,微积分微积分例例4.设,sin xy 求.)(ny解解:xycos)sin(2x)cos(2 xy)sin(22x)2sin(2x)2cos(2 xy)3sin(2x一般地,xxnsin()(sin)(类似可证:xxncos()(cos)()2n)2n微积分微积分例例5.设bxeyxasin解解:bxae
27、yxasin)cossin(xbbxbaexa求为常数,),(ba.)(nybxbexacos)cossin(222222xbbabxbbaabacossinxae)sin(22bxba)arctan(ab22bay)sin(bxaexa222)()(nnbayxaeba22)arctan(ab)2sin(22bxba)sin(nbxexa)cos(bxbexa微积分微积分例例6.设,3)(23xxxxf求使)0()(nf存在的最高分析分析:)(xf0 x,43x0 x,23xxxfx02lim)0(300 xxfx04lim)0(3000 x0 x)(xf,122x,62x)0(fxxx20
28、6lim0)0(fxxx2012lim0)(xf但是,12)0(f,24)0(f)0(f 不存在._n2又0 x,24x0 x,12x阶数微积分微积分二、高阶导数的运算法则二、高阶导数的运算法则都有 n 阶导数,则)()(.1nvu)()(nnvu)()(.2nuC)(nuC(C为常数)()(.3nvuvun)(!2)1(nn!)1()1(kknnn vun)2()()(kknvu)(nvu莱布尼兹莱布尼兹(Leibniz)公式公式)(xuu 及)(xvv 设函数vunn)1(微积分微积分vu 3)(vuvuvu)(vu)(vuvuvuvu 2vu )(vuvu vu 3vu 用数学归纳法可证
29、莱布尼兹公式莱布尼兹公式成立.微积分微积分例例7.,22xexy 求.)20(y解解:设,22xveux则xkkeu2)(2,2xv,2 v0)(kv代入莱布尼兹公式,得)20(yxe22022xxe219220 x2!219202xe2202)9520(2xxxe2182)20,2,1(k)20,3(k微积分微积分0!2)1()1(nynn)(nyn例例8.设,arctan xy 求).0()(ny解解:,112xy即1)1(2yx用莱布尼兹公式求 n 阶导数)1(2xx22令,0 x得)0()1()0()1()1(nnynny),2,1(n由,0)0(y得,0)0(y,0)0()4(y,)0()12(my)0()12(2)12(mymm)0(!)2()1(ymm0)0()2(my)1(ny12,!)2()1(2,0)0()(mnmmnymn即),2,1,0(m由,1)0(y得)0(!)2()1()0()12(ymymm
