《应用数学基础》教案4.1 图的基本概念.docx

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1、长沙民政职业技术学院教案课程名称数学应用基础课题图的基本概念授课课时2课型新授课教案编号 4-1 教学目标(知识、技能、素质):1、知识目标:掌握图的概念及图的表示方法;掌握图论模型的构建方法;掌握连通图、母图与子图及生成子图的概念2、技能目标:分析解决问题的能力和严谨的逻辑思维能力3、素质目标:培养学生理性的思维方式和数学应用意识教学重点: 图的概念及图的表示方法;图论模型的构建方法教学难点:图论模型的构建方法主要教学方法:启发引导式、讲授法教学环节与内容一、问题引入引例1 有3个人A、B和C,3件工作D、E和F,假设A只能做工作D,B能做工作E和F, C能做工作D和E。则这种情形可用图表示

2、,在人和这个人能够做的工作之间画线,如图4-1所示。 图4-1 工作关系图 图4-2 航行线路图引例2 考虑一张航线地图,图中用点表示城市,当两个城市间有直达航班时,就用一条线将相应的点连接起来。这种航线地图的一部分如图4-2所示。当然,这两个图也可以表示其它的含义。例如,例1的图中,点A、B、C、D、E和F可以分别表示6家企业,如果某两家企业有业务往来,则其对应的点之间用线连接起来,这时的图又反映了这6家企业间的业务关系。事实上,生活中的许多问题如果用图来描述可能更加简洁清晰,这种图是由一些点以及这个点中的某些点对的连线构成。二、新课讲授定义1 图G是一个包含有限个点(称之为顶点)和连接各对

3、顶点的线段(称之为边)的图形,记作,其中分别为图的顶点集和边集。如果图中的边有方向,则称图为有向图,否则称图为无向图。在图的图形表示中,每个顶点用一个小圆点表示,每条边用顶点之间的连线段表示。图4-1便是一个图的例子,它的顶点是A、B、C、D、E、F,连接它们的5条线段就是边。一般情况下,我们用大写字母A、B、C等来标记这些顶点,如果只有一条边连接两个顶点,我们就用这两个顶点的字母连接起来表示这条边。如果能确定一个对象集合里面的关系,可以按照下面的方式建立一个图论模型。(1)用顶点代表每一个对象;(2)对于每一对有关系的对象,将相应的顶点用边连接起来。案例1 (比赛图模型)甲、乙、丙、丁、戊5

4、支球队进行比赛,各队之间的比赛胜负情况如表4-1所示,试用图表示他们的关系。 表4-1 比赛情况表解 一个顶点表示一支球队,球队之间的胜负关系用有向边表示,如,甲击败了队,则顶点对(甲,乙)之间有一条从甲到乙的有向边。图4-4表示了5支球队比赛情况的有向图模型。从图中可以很容易看出,在这项赛事里,目前丁队无胜绩。图4-4 比赛结果图模型案例2 (生态学栖息地重叠图模型)用顶点表示每一个物种,若两个物种竞争(即它们共享某些实物来源),则用无向边连接它们对应的顶点,如图4-5表示一个森林生态系统。从图4-5可以看出松鼠与浣熊竞争,但乌鸦不与臭鼬竞争。图4-5 栖息地重叠图定义2 一个图称为连通图,

5、如果可以从图中任意一个顶点开始沿着边连续地画到另外一个任意的顶点。连通图里被称为桥的边是指如果移去这条边的话,图就不再连通了。例如,图4-6就是一个连通图,图中的边CG是一条桥。图4-6 连通图定义3 图中的路是指一个连续的、没有重复边的点边序列。路中边的条数称为路的长度。起点和终点是同一个顶点的路称为回路。例如,在图4-7中,路径ABGED就是从A到D的一条长度为4的路,路径ABHEFA就是从A出发又回到A的一条长度为5的回路。 图4-7案例3 (疾病传播模型)新墨西哥州西南方的一个小镇面临着一场危机。有8个被hanta病毒感染的人已经报给镇医疗中心,政府官员把这些人隔离,并希望没有其他人也

6、感染了这种病毒。健康部门来调查病毒是如何在这组人之间传播的。他们认为病毒最初是由一个人带入小镇,然后向其他人传播。请用表4-2的信息判断是否小镇上所有被感染的人已经都已经被隔离了。表4-2 小镇上病毒传染表解 用顶点表示病人,因为Amanda将病毒传给了Dustin,所以从Amanda向Dustin画一条有向边。类似地,如果X将病毒传给了Y,就从X向Y画一条有向边。这样我们很容易利用有向图为疾病传播情况建立模型,如图4-8所示。 图4-8 疾病传播图模型图4-8中的有向边表示病毒是如何在这组人中传播的。例如,图中的路ADCF表示病毒有可能是由Amanda传给Dustin,再传给Caterina

7、,再到Frank的。因此,从图中我们可以看出病毒不可能从Amanda开始在这组人之内传播,因为图中不存在一条从Amanda到Brian的路。实际上,通过检查每一个人,我们发现病毒不可能由他们之中的某一个人开始传播,并传给其他的所有人。因此,小镇上必然有至少一人,他已经被病毒感染,但是没有被发现。有时,我们解决问题的时候只需要图的某一部分。例如,如果只关心疾病传播模型中涉及Amanda、Brian、Dustin这三个人之间的那一部分,那么,这个组中其他的人以及不连接到这3人里任何2个人的所有边都可以忽略。也就是说,在大网络的图模型里,可以删除这3人以外的所有顶点和与所删除顶点关联的边。删除后剩下的图称为原图的子图。定义5 设是两个图,若,且,则称是的子图,是的母图。特别地,如果是的子图,并且,则称是的生成子图。例如,图4-9中(2)、(3)均为(1)的子图,更进一步地,因为(3)中的顶点数和(1)的顶点数相等,所以(3)还是(1)的生成子图。类似地,(5)、(6)是(4)的子图,(6)是(4)的生成子图。图4-9因此,生成子图一定是子图,但是子图不一定是生成子图,并且每个图都是本身的子图。课后小记

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