1、2022年12月24日星期六第第05章时间序列模型章时间序列模型(自自相关性和协整检验相关性和协整检验)2 在时间序列模型的发展过程中，一个重要的特征是在时间序列模型的发展过程中，一个重要的特征是对统计均衡关系做某种形式的假设，其中一种非常特殊对统计均衡关系做某种形式的假设，其中一种非常特殊的假设就是平稳性的假设。通常一个平稳时间序列能够的假设就是平稳性的假设。通常一个平稳时间序列能够有效地用其均值、方差和自相关函数加以描述。本章首有效地用其均值、方差和自相关函数加以描述。本章首先通过讨论先通过讨论回归方程扰动项通常会存在的序列相关性问回归方程扰动项通常会存在的序列相关性问题题，介绍如何应用时
2、间序列数据的建模方法，介绍如何应用时间序列数据的建模方法，修正扰动修正扰动项序列的自相关性项序列的自相关性。进一步讨论时间序列的自回归移动。进一步讨论时间序列的自回归移动平均模型（平均模型（ARMA模型），并且讨论它们的具体形式、模型），并且讨论它们的具体形式、估计及识别方法。估计及识别方法。3 由于传统的时间序列模型只能描述平稳时间序由于传统的时间序列模型只能描述平稳时间序列的变化规律，而大多数经济时间序列都是非平稳列的变化规律，而大多数经济时间序列都是非平稳的，因此，由的，因此，由20世纪世纪80年代初年代初Granger提出的协整概提出的协整概念，引发了非平稳时间序列建模从理论到实践的飞
3、念，引发了非平稳时间序列建模从理论到实践的飞速发展。本章还介绍了速发展。本章还介绍了非平稳时间序列的单位根检非平稳时间序列的单位根检验方法、验方法、ARIMA模型的建模方法、协整理论的基本模型的建模方法、协整理论的基本思想及误差修正模型思想及误差修正模型。4 对于线性回归模型对于线性回归模型 (5.1.1)随机扰动项之间不相关，即无序列相关的基本假设为随机扰动项之间不相关，即无序列相关的基本假设为 (5.1.2)如果扰动项序列如果扰动项序列 ut 表现为：表现为：(5.1.3)即对于不同的样本点，即对于不同的样本点，随机扰动项之间不再是完全相互独立的，随机扰动项之间不再是完全相互独立的，而是存
4、在某种相关性而是存在某种相关性，则认为出现了，则认为出现了序列相关性序列相关性(serial correlation)。tktktttuxxxy22110Ttsuustt,2,1,00),cov(Ttsuustt,2,1,00),cov(5 由于通常假设随机扰动项都服从均值为由于通常假设随机扰动项都服从均值为0，同方差，同方差的正态分布，则序列相关性也可以表示为：的正态分布，则序列相关性也可以表示为：(5.1.4)特别的，如果仅存在特别的，如果仅存在 (5.1.5)称为称为，这是一种最为常见的序列相关问这是一种最为常见的序列相关问题。题。TtsuuEstt,2,1,00)(TtuuEtt,2,
5、10)(16 如果回归方程的扰动项存在序列相关，那么应用如果回归方程的扰动项存在序列相关，那么应用最小二乘法得到的最小二乘法得到的参数估计量的方差将被高估或者低参数估计量的方差将被高估或者低估估。因此，检验参数显著性水平的。因此，检验参数显著性水平的 t 统计量将不再可信。统计量将不再可信。可以将序列相关可以将序列相关可能引起的后果归纳可能引起的后果归纳为：为：使用使用OLS公式计算出的标准差不正确公式计算出的标准差不正确；回归得到的参数估计量的显著性水平的检验不回归得到的参数估计量的显著性水平的检验不再可信。再可信。在线性估计中在线性估计中OLS估计量不再是有效的；估计量不再是有效的；7 E
6、Views提供了检测序列相关和估计方法的工具。但提供了检测序列相关和估计方法的工具。但首先必须排除虚假序列相关。首先必须排除虚假序列相关。例如，例如，在生产函数模型中，如果省略了资本这个重要的解释变在生产函数模型中，如果省略了资本这个重要的解释变量，资本对产出的影响就被归入随机误差项。由于资本量，资本对产出的影响就被归入随机误差项。由于资本在时间上的连续性，以及对产出影响的连续性，必然导在时间上的连续性，以及对产出影响的连续性，必然导致随机误差项的序列相关。所以在这种情况下，要把显致随机误差项的序列相关。所以在这种情况下，要把显著的变量引入到解释变量中。著的变量引入到解释变量中。8 EView
7、s提供了以下提供了以下3种检测序列相关种检测序列相关的方法。的方法。Durbin-Watson 统计量（简称统计量（简称D_W统计量）用于检统计量）用于检验一阶序列相关，还可估算回归模型邻近残差的线性联验一阶序列相关，还可估算回归模型邻近残差的线性联系。对于扰动项系。对于扰动项 ut 建立一阶自回归方程：建立一阶自回归方程：(5.1.6)D_W统计量检验的统计量检验的 tttuu19 正序列相关最为普遍，根据经验，对于有大于正序列相关最为普遍，根据经验，对于有大于50个观测个观测值和较少解释变量的方程，值和较少解释变量的方程，D.W.值小于值小于1.5的情况，说明残差的情况，说明残差序列存在强
8、的正一阶序列相关。序列存在强的正一阶序列相关。)1(2)(.12221TttTtttuuuWD10 1D-W统计量的扰动项在原假设下依赖于数据矩阵统计量的扰动项在原假设下依赖于数据矩阵X。2回归方程右边如果回归方程右边如果存在滞后因变量存在滞后因变量，D-W检验不检验不再有效。再有效。3仅仅检验是否存在一阶序列相关。仅仅检验是否存在一阶序列相关。其他两种检验序列相关方法：相关图和其他两种检验序列相关方法：相关图和Q-统计量、统计量、Breush-Godfrey LM检验克服了上述不足，应用于大多数检验克服了上述不足，应用于大多数场合。场合。11 我们还可以应用所估计回归方程残差序列的自相关系数
9、我们还可以应用所估计回归方程残差序列的自相关系数和偏自相关系数来检验序列相关。时间序列和偏自相关系数来检验序列相关。时间序列 ut 滞后滞后 k 阶的阶的自相关系数由下式估计自相关系数由下式估计 （5.2.26）其中其中 是序列的样本均值，这是相距是序列的样本均值，这是相距 k 期值的相关系数。期值的相关系数。称称 rk 为时间序列为时间序列 ut 的自相关系数，自相关系数可以部分的的自相关系数，自相关系数可以部分的刻画一个随机过程的性质。刻画一个随机过程的性质。它告诉我们在序列它告诉我们在序列 ut 的邻近数的邻近数据之间存在多大程度的相关性据之间存在多大程度的相关性。TttTktkttku
10、uuuuur121u12 偏自相关系数是指在给定偏自相关系数是指在给定ut-1，ut-2，ut-k-1的条件下，的条件下，ut 与与ut-k 之间的条件相关性。其相关程度用偏自相关系数之间的条件相关性。其相关程度用偏自相关系数 k,k 度量。在度量。在 k 阶滞后下估计偏自相关系数的计算公式如下阶滞后下估计偏自相关系数的计算公式如下 （5.2.27）其中：其中：rk 是在是在 k 阶滞后时的自相关系数估计值。阶滞后时的自相关系数估计值。（5.2.28）这是偏自相关系数的一致估计。这是偏自相关系数的一致估计。11111,111,11,krrrkrkjjkjkkjjkjkkkkjkkkkjkjk,
11、1,1,13 要得到要得到 k,k的更确切的估计，需要进行回归的更确切的估计，需要进行回归 t=1,2,T （5.2.29）因此，滞后因此，滞后 k 阶的偏自相关系数是当阶的偏自相关系数是当 ut 对对 ut-1，ut-k 作回归时作回归时 ut-k 的系数。称之为的系数。称之为偏相关是因为它度量了偏相关是因为它度量了k 期期间距的相关而不考虑间距的相关而不考虑 k-1 期的相关期的相关。tktkkktkttuuuu,1111014 我们还可以应用所估计回归方程残差序列的自相关我们还可以应用所估计回归方程残差序列的自相关和偏自相关系数，以及和偏自相关系数，以及Ljung-Box Q-统计量来检
12、验序列统计量来检验序列相关。相关。Q-统计量的表达式为：统计量的表达式为：pjjLBjTrTTQ122 (5.1.7)其中：其中：rj 是残差序列的是残差序列的 j 阶自相关系数，阶自相关系数，T 是观测值的个是观测值的个数，数，p是设定的滞后阶数是设定的滞后阶数。15 p 阶滞后的阶滞后的Q-统计量的统计量的 如果如果Q-统计量在某一滞后阶数显著不为零，则说统计量在某一滞后阶数显著不为零，则说明序列存在某种程度上的序列相关。在实际的检验中，明序列存在某种程度上的序列相关。在实际的检验中，通常会计算出不同滞后阶数的通常会计算出不同滞后阶数的Q-统计量、自相关系数统计量、自相关系数和偏自相关系数
13、。如果，和偏自相关系数。如果，各阶各阶Q-统计量都没有超过由统计量都没有超过由设定的显著性水平决定的临界值，则接受原假设，即设定的显著性水平决定的临界值，则接受原假设，即不存在序列相关，并且此时，各阶的自相关和偏自相不存在序列相关，并且此时，各阶的自相关和偏自相关系数都接近于关系数都接近于0。16 反之，如果，反之，如果，在某一滞后阶数在某一滞后阶数 p，Q-统计量超过设定统计量超过设定的显著性水平的临界值，则拒绝原假设，说明残差序列存的显著性水平的临界值，则拒绝原假设，说明残差序列存在在 p 阶自相关。阶自相关。由于由于Q-统计量的统计量的 P 值要根据自由度值要根据自由度 p 来来估算，因
14、此，一个较大的样本容量是保证估算，因此，一个较大的样本容量是保证Q-统计量有效统计量有效的重要因素。的重要因素。在方程工具栏选择在方程工具栏选择View/Residual Tests/correlogram-Q-statistics。EViews将显示残差的自相关和偏自相关函数将显示残差的自相关和偏自相关函数以及对应于高阶序列相关的以及对应于高阶序列相关的Ljung-Box Q统计量。统计量。17 考虑美国的一个投资方程。美国的考虑美国的一个投资方程。美国的GNP和国内私人总投和国内私人总投资资INV是单位为是单位为10亿美元的名义值，价格指数亿美元的名义值，价格指数P为为GNP的平的平减指数
15、减指数（1972=100），），利息率利息率R为半年期商业票据利息。回为半年期商业票据利息。回归方程所采用的变量都是实际归方程所采用的变量都是实际GNP和实际投资；它们是通和实际投资；它们是通过将名义变量除以价格指数得到的，分别用小写字母过将名义变量除以价格指数得到的，分别用小写字母gnp，inv表示。实际利息率的近似值表示。实际利息率的近似值 r 则是通过贴现率则是通过贴现率R减去价减去价格指数变化率格指数变化率 p 得到的。样本区间：得到的。样本区间：1963年年1984年，建年，建立如下线性回归方程：立如下线性回归方程：t=1,2,T ttttugnprinv)ln()ln(21118应
16、用最小二乘法得到的估计方程如下应用最小二乘法得到的估计方程如下：t=（-1.32）（154.25）R2=0.80 D.W.=0.94 ttttugnprinv)ln(734.0016.0)ln(119 虚线之间的区域是自相关中正负两倍于估计标准差所夹成的。如虚线之间的区域是自相关中正负两倍于估计标准差所夹成的。如果自相关值在这个区域内，则在显著水平为果自相关值在这个区域内，则在显著水平为5%的情形下与零没有显的情形下与零没有显著区别。著区别。本例本例 1 阶的自相关系数和偏自相关系数都超出了虚线，说明阶的自相关系数和偏自相关系数都超出了虚线，说明存在存在1阶序列相关阶序列相关。1 阶滞后的阶滞
17、后的Q-统计量的统计量的 P 值很小值很小，拒绝原假设，残差序，拒绝原假设，残差序列存在一阶序列相关。列存在一阶序列相关。选择选择View/Residual test/Correlogram-Q-statistice会产生如下结果：会产生如下结果：20 与与D.W.统计量仅检验扰动项是否存在一阶自相关不同，统计量仅检验扰动项是否存在一阶自相关不同，Breush-Godfrey LM检验（检验（Lagrange multiplier，即拉格，即拉格朗日乘数检验）也可应用于检验回归方程的残差序列是朗日乘数检验）也可应用于检验回归方程的残差序列是否存在高阶自相关，而且在方程中存在滞后因变量的情否存在
18、高阶自相关，而且在方程中存在滞后因变量的情况下，况下，LM检验仍然有效。检验仍然有效。检验统计量由如下辅助回归计算。检验统计量由如下辅助回归计算。21 （1）估计回归方程，并求出残差）估计回归方程，并求出残差et (5.1.8)（2）检验统计量可以基于如下回归得到）检验统计量可以基于如下回归得到 (5.1.9)这是对原始回归因子这是对原始回归因子Xt 和直到和直到 p 阶的滞后残差的回归。阶的滞后残差的回归。F统计量是对式（统计量是对式（5.1.9）所有滞后残差联合显著性的一种检）所有滞后残差联合显著性的一种检验。验。TR2统计量是统计量是LM检验统计量，是观测值个数检验统计量，是观测值个数
19、T 乘以乘以回归方程（回归方程（5.1.9）的）的 R2。一般情况下，。一般情况下，TR2统计量服从统计量服从渐进的渐进的 2(p)分布。分布。ktkttttxxxye22110tptptttveee11X22 在给定的显著性水平下，如果这两个统计量小于设在给定的显著性水平下，如果这两个统计量小于设定显著性水平下的临界值，说明序列在设定的显著性水定显著性水平下的临界值，说明序列在设定的显著性水平下不存在序列相关；反之，如果这两个统计量大于设平下不存在序列相关；反之，如果这两个统计量大于设定显著性水平下的临界值，则说明序列存在序列相关性。定显著性水平下的临界值，则说明序列存在序列相关性。选择选择
20、View/Residual Tests/Serial correlation LM Test，一般地对高阶的，含有一般地对高阶的，含有ARMA误差项的情况执行误差项的情况执行Breush-Godfrey LM。在滞后定义对话框，输入要检验。在滞后定义对话框，输入要检验序列的最高阶数。序列的最高阶数。23 LM统计量显统计量显示，在示，在5%的显的显著性水平拒绝原著性水平拒绝原假设，回归方程假设，回归方程的残差序列存在的残差序列存在序列相关性。因序列相关性。因此，回归方程的此，回归方程的估计结果不再有估计结果不再有效，必须采取相效，必须采取相应的方式修正残应的方式修正残差的自相关性。差的自相关性
21、。24 考虑美国消费考虑美国消费CS 和和GDP及前期消费之间的关系，数据及前期消费之间的关系，数据期间：期间：1947年第年第1季度季度1995年第年第1季度，数据中已消除了季度，数据中已消除了季节要素，建立如下线性回归方程：季节要素，建立如下线性回归方程：t=1,2,T 应用最小二乘法得到的估计方程如下：应用最小二乘法得到的估计方程如下：t=(1.93)(3.23)(41.24)R2=0.999 D.W.=1.605 tttuGDPcCSccCS21t10ttttuGDP.CS.CS0509301510125 如果单纯从显著性水平、拟合优度及如果单纯从显著性水平、拟合优度及D.W.值来看，
22、值来看，这个模型是一个很理想的模型。但是，由于方程的解释这个模型是一个很理想的模型。但是，由于方程的解释变量存在被解释变量的一阶滞后项，那么变量存在被解释变量的一阶滞后项，那么 D.W.值就不能值就不能作为判断回归方程的残差是否存在序列相关的标准，如作为判断回归方程的残差是否存在序列相关的标准，如果残差序列存在序列相关，那么，显著性水平、拟合优果残差序列存在序列相关，那么，显著性水平、拟合优度和度和F统计量将不再可信。所以，必须采取本节中介绍统计量将不再可信。所以，必须采取本节中介绍的其他检验序列相关的方法检验残差序列的自相关性。的其他检验序列相关的方法检验残差序列的自相关性。这里采用这里采用
23、 LM 统计量进行检验统计量进行检验(p=2)，得到结果如下得到结果如下：LM统计量显示，回归方程的残差序列存在明显的统计量显示，回归方程的残差序列存在明显的序列相关性。序列相关性。26 下面给出残差序列的自相关系数和偏自相关系数，相关图如下：下面给出残差序列的自相关系数和偏自相关系数，相关图如下：本例本例13阶的自相关系数都超出了虚线，说明存在阶的自相关系数都超出了虚线，说明存在3阶序列相关。阶序列相关。各阶滞后的各阶滞后的Q-统计量的统计量的P值都小于值都小于1%，说明在，说明在1%的显著性水平下，的显著性水平下，拒绝原假设，残差序列存在序列相关。拒绝原假设，残差序列存在序列相关。27 线
24、性回归模型扰动项序列相关的存在，会导致模型线性回归模型扰动项序列相关的存在，会导致模型估计结果的失真。因此，必须对扰动项序列的结构给予估计结果的失真。因此，必须对扰动项序列的结构给予正确的描述，以期消除序列相关对模型估计结果带来的正确的描述，以期消除序列相关对模型估计结果带来的不利影响。不利影响。通常可以用通常可以用AR(p)模型来描述一个平稳序列的自相模型来描述一个平稳序列的自相关的结构，定义如下：关的结构，定义如下：(5.1.10)(5.1.11)tktktttuxxxy22110tptptttuuuu221128 其中：其中：ut 是无条件扰动项，它是回归方程（是无条件扰动项，它是回归方
25、程（5.1.10）的扰动项，参数的扰动项，参数 0，1，2，k 是回归模型的系数。是回归模型的系数。式（式（5.1.11）是扰动项）是扰动项 ut 的的 p 阶自回归模型，参数阶自回归模型，参数 1，2，p 是是 p 阶自回归模型的系数，阶自回归模型的系数，t 是无条件扰动项是无条件扰动项ut自自回归模型的误差项，并且是均值为回归模型的误差项，并且是均值为0，方差为常数的白噪，方差为常数的白噪声序列，它是因变量真实值和以解释变量及以前预测误声序列，它是因变量真实值和以解释变量及以前预测误差为基础的预测值之差。差为基础的预测值之差。下面将讨论如何利用下面将讨论如何利用AR(p)模型修正扰动项的序
26、列模型修正扰动项的序列相关，以及用什么方法来估计消除扰动项后方程的未知相关，以及用什么方法来估计消除扰动项后方程的未知参数。参数。29 最简单且最常用的序列相关模型是一阶自回归最简单且最常用的序列相关模型是一阶自回归AR(1)模模型。为了便于理解，先讨论一元线性回归模型，并且具有一型。为了便于理解，先讨论一元线性回归模型，并且具有一阶序列相关的情形，即阶序列相关的情形，即p=1的情形：的情形：(5.1.12)(5.1.13)tttuxy10tttuu1把式（把式（5.1.13）带入式（）带入式（5.1.12）中得到）中得到 (5.1.14)ttttuxy11030然而，由式（然而，由式（5.1
27、.12）可得）可得 (5.1.15)再把式（再把式（5.1.15）代入式（）代入式（5.1.14）中，）中，并整理并整理 (5.1.16)令令 ，代入式（，代入式（5.1.16）中有）中有 (5.1.17)如果已知如果已知 的具体值，可以直接使用的具体值，可以直接使用OLS方法进行估计。方法进行估计。如果如果 的值未知，通常可以采用的值未知，通常可以采用GaussNewton迭代法求解，迭代法求解，同时得到同时得到 ，0，1的估计量。的估计量。11011tttxyutttttxxyy)()1(11011*1*,ttttttxxxyyytttxy*10*)1(tttttxyxy)(1101103
28、1 通常如果残差序列存在通常如果残差序列存在 p 阶序列相关，误差形式可以阶序列相关，误差形式可以由由AR(p)过程给出。对于高阶自回归过程，可以采取与一过程给出。对于高阶自回归过程，可以采取与一阶序列相关类似的方法，把滞后误差逐项代入，最终得到阶序列相关类似的方法，把滞后误差逐项代入，最终得到一个误差项为白噪声序列，参数为非线性的回归方程，并一个误差项为白噪声序列，参数为非线性的回归方程，并且采用且采用Gauss-Newton迭代法求得非线性回归方程的参数。迭代法求得非线性回归方程的参数。例如，仍讨论一元线性回归模型，并且扰动项序列具例如，仍讨论一元线性回归模型，并且扰动项序列具有有3阶序列
29、相关的情形，即阶序列相关的情形，即p=3的情形：的情形：32tttuxy10tttttuuuu332211(5.1.18)(5.1.19)按照上面处理按照上面处理AR(1)的方法，把扰动项的滞后项代入原的方法，把扰动项的滞后项代入原方程中去，得到如下表达式：方程中去，得到如下表达式：tttttttttxyxyxyxy)()()(31033210221101110(5.1.20)通过一系列的化简后，仍然可以得到参数为非线性，误通过一系列的化简后，仍然可以得到参数为非线性，误差项差项 t 为白噪声序列的回归方程。运用非线性最小二乘法，为白噪声序列的回归方程。运用非线性最小二乘法，可以估计出回归方程
30、的未知参数可以估计出回归方程的未知参数 0,1,1,2,3。33 我们可以将上述讨论引申到更一般的情形：对于非线我们可以将上述讨论引申到更一般的情形：对于非线性形式为性形式为 f(xt,)的非线性模型，的非线性模型，xt=1,x1t,x2t,xkt，=0,1,k，若扰动项序列存在，若扰动项序列存在p阶序列相关，阶序列相关，(5.1.21)(5.1.22)也可用类似方法转换成误差项也可用类似方法转换成误差项 t为白噪声序列的非线为白噪声序列的非线性回归方程，以性回归方程，以p=1为例，为例，(5.1.23)使用使用Gauss-Newton算法来估计参数。算法来估计参数。tttufy),(xtpt
31、ptttuuuu2211tttttffyy),(),(1111xx34 打开一个方程估计窗口，输入方程变量，最后输入打开一个方程估计窗口，输入方程变量，最后输入ar(1)ar(2)ar(3)。针对例。针对例5.2定义方程为：定义方程为：35 需要注意的是，需要注意的是，输入的输入的ar(1)ar(2)ar(3)分别代表分别代表3个个滞后项的系数滞后项的系数，因此，如果我们认为扰动项仅仅在滞后，因此，如果我们认为扰动项仅仅在滞后2阶和滞后阶和滞后4阶存在自相关，其他滞后项不存在自相关，即阶存在自相关，其他滞后项不存在自相关，即则估计时应输入：则估计时应输入：cs c gdp cs(-1)ar(2
32、)ar(4)EViews在消除序列相关时给予很大灵活性，可以输在消除序列相关时给予很大灵活性，可以输入模型中想包括的各个自回归项。例如，如果有季度数据入模型中想包括的各个自回归项。例如，如果有季度数据而且想用一个单项来消除季节自回归，可以输入：而且想用一个单项来消除季节自回归，可以输入：cs c gdp cs(-1)ar(4)。ttttuuu442236 例例5.1中检验到美国投资方程的残差序列存在一阶序列相中检验到美国投资方程的残差序列存在一阶序列相关。这里将采用关。这里将采用AR(1)模型来修正投资方程的自相关性：模型来修正投资方程的自相关性：t=1,2,T 回归估计的结果如下：回归估计的
33、结果如下：t=(1.79)（55.36）t=(4.45)R2=0.86 D.W.=1.47 ttttugnprinv)ln()ln(21tttuu11)ln(72.0027.0)ln(tttgnprvn i174.0ttuu37 再对新的残差序列进行再对新的残差序列进行LM检验检验(p=2)，最终得到的检，最终得到的检验结果如下：验结果如下：检验结果不能拒绝原假设，即修正后的回归方程的残检验结果不能拒绝原假设，即修正后的回归方程的残差序列不存在序列相关性。因此，用差序列不存在序列相关性。因此，用AR(1)模型修正后的回模型修正后的回归方程的估计结果是有效的。归方程的估计结果是有效的。38 例例
34、5.2中检验到带有滞后因变量的回归方程的残差序中检验到带有滞后因变量的回归方程的残差序列存在明显的序列自相关。而且从相关图看到，可以采列存在明显的序列自相关。而且从相关图看到，可以采用用AR(3)模型来修正回归方程的自相关性。模型来修正回归方程的自相关性。ttttuGDPcCSccCS2110tttttuuuu332211回归估计的结果如下：回归估计的结果如下：39 模型建立如下：模型建立如下：t=(-3.9)(7.29)（13.54）t=(4.85)(3.07)（3.03）R2=0.999 D.W=1.94 ttttuGDP.CS.CS25065086651tttttuuuu32122.02
35、3.037.040 再对新的残差序列再对新的残差序列 进行进行LM检验，最终得到的检验结果如下：检验，最终得到的检验结果如下：t 给出纠正后的残差序列的给出纠正后的残差序列的Q-统计量和序列相关图，在直观上认识统计量和序列相关图，在直观上认识到消除序列相关后的残差序列是一个随机扰动序列。到消除序列相关后的残差序列是一个随机扰动序列。41 当估计某个含有当估计某个含有AR项的模型时，在解释结果时一项的模型时，在解释结果时一定要小心。在用通常的方法解释估计系数、系数标准误定要小心。在用通常的方法解释估计系数、系数标准误差和差和t-统计量时，涉及残差的结果会不同于统计量时，涉及残差的结果会不同于OL
36、S的估计的估计结果。结果。要理解这些差别，记住一个含有要理解这些差别，记住一个含有AR项的模型有两项的模型有两种残差：种残差：第一种是第一种是 bxyuttt 通过原始变量以及估计参数通过原始变量以及估计参数 算出。在用同期信息算出。在用同期信息对对 yt 值进行预测时，这些残差是可以观测出的误差，但值进行预测时，这些残差是可以观测出的误差，但要忽略滞后残差中包含的信息。要忽略滞后残差中包含的信息。42 第二种残差是估计的第二种残差是估计的 。如。如名所示，这种残差代表预测误差。名所示，这种残差代表预测误差。对于含有对于含有AR项的模型，基于残差的回归统计项的模型，基于残差的回归统计量，如量，
37、如R2(回归标准误差回归标准误差)和和D-W值都是以一期向前值都是以一期向前预测误差预测误差 为基础的。含有为基础的。含有AR项的模型独有的统项的模型独有的统计量是估计的计量是估计的AR系数系数 。i43 对于简单对于简单AR(1)模型，模型，是无条件残差是无条件残差 t 的序列的序列相关系数。对于平稳相关系数。对于平稳AR(1)模型，模型，1 在在-1（极端负序（极端负序列相关）和列相关）和+1（极端正序列相关）之间。（极端正序列相关）之间。EViews在回归输出的底部给出这些根：在回归输出的底部给出这些根：Inverted AR Roots。如果存在虚根，根的模应该小于。如果存在虚根，根的
38、模应该小于1。101221ppzzz44 另外：另外：EViews可以估计带有可以估计带有AR误差项的误差项的。例如：将例例如：将例5.4中的模型变为如下的非线性模型，估中的模型变为如下的非线性模型，估计如下带有附加修正项计如下带有附加修正项AR(3)的非线性方程：的非线性方程：tctttuGDPCSccCS2110 用公式法输入：用公式法输入：cs=c(1)+gdpc(2)+c(3)*cs(-1)+tttttuuuu33221145 输出结果显示为：输出结果显示为：46 像前述像前述 yt 这种非平稳序列，可以通过差分运算，得这种非平稳序列，可以通过差分运算，得到平稳性的序列称为到平稳性的序
39、列称为。定义如下：。定义如下：如果序列如果序列 yt，通过，通过 d 次差分成为一个平稳序次差分成为一个平稳序列，而这个序列差分列，而这个序列差分 d 1 次时却不平稳，那么称序列次时却不平稳，那么称序列 yt为为 d 阶单整序列，记为阶单整序列，记为 yt I(d)。特别地，如果序列。特别地，如果序列 yt本身是平稳的，则为零阶单整序列，记为本身是平稳的，则为零阶单整序列，记为 yt I(0)。47 单整阶数是使序列平稳而差分的次数单整阶数是使序列平稳而差分的次数。对于上面。对于上面的随机游走过程，有一个单位根，所以是的随机游走过程，有一个单位根，所以是I(1)，同样，同样，平稳序列是平稳序
40、列是I(0)。一般而言，表示存量的数据，如以不。一般而言，表示存量的数据，如以不变价格资产总值、储蓄余额等存量数据经常表现为变价格资产总值、储蓄余额等存量数据经常表现为2阶阶单整单整I(2)；以不变价格表示的消费额、收入等流量数据；以不变价格表示的消费额、收入等流量数据经常表现为经常表现为1阶单整阶单整I(1)；而像利率、收益率等变化率；而像利率、收益率等变化率的数据则经常表现为的数据则经常表现为0阶单整阶单整I(0)。48 检查序列平稳性的标准方法是单位根检验检查序列平稳性的标准方法是单位根检验。有。有6种单种单位根检验方法：位根检验方法：ADF检验检验、DFGLS检验、检验、PP检验、检验
41、、KPSS检验、检验、ERS检验和检验和NP检验，本节将介绍检验，本节将介绍DF检验、检验、ADF检验。检验。ADF检验和检验和PP检验方法出现的比较早，在实际应用检验方法出现的比较早，在实际应用中较为常见中较为常见，但是，由于这，但是，由于这2种方法均需要对被检验序列种方法均需要对被检验序列作可能包含常数项和趋势变量项的假设，因此，应用起作可能包含常数项和趋势变量项的假设，因此，应用起来带有一定的不便；其它几种方法克服了前来带有一定的不便；其它几种方法克服了前2种方法带来种方法带来的不便，在剔除原序列趋势的基础上，构造统计量检验的不便，在剔除原序列趋势的基础上，构造统计量检验序列是否存在单位
42、根，应用起来较为方便。序列是否存在单位根，应用起来较为方便。49 其中其中 a 是常数，是常数，t 是线性趋势函数，是线性趋势函数，ut i.i.d.N(0,2)。tttuyy1tttuayy1tttutayy1(5.3.5)(5.3.6)(5.3.7)为说明为说明DF检验的使用，先考虑检验的使用，先考虑3种形式的回归模型种形式的回归模型 50 (1)如果如果-1 1，则，则 yt 平稳（或趋势平稳）。平稳（或趋势平稳）。(2)如果如果 =1，yt 序列是非平稳序列。序列是非平稳序列。(5.3.4)式可写成：式可写成：显然显然 yt 的差分序列是平稳的。的差分序列是平稳的。(3)如果如果 的绝
43、对值大于的绝对值大于1，序列发散，且其差分序列，序列发散，且其差分序列是非平稳的。是非平稳的。ttttuyyy1tttuyy)1(51 因此，判断一个序列是否平稳，可以通过检验因此，判断一个序列是否平稳，可以通过检验 是是否严格小于否严格小于1 1来实现。也就是说：来实现。也就是说：tttuyy1 tttuayy1 tttutayy1(5.3.8)(5.3.9)(5.3.10)从方程两边同时减去从方程两边同时减去 yt-1 得得，其中其中：=-1。52 其中：其中：=-1-1，所以原假设和备选假设可以改写为，所以原假设和备选假设可以改写为 可以通过最小二乘法得到可以通过最小二乘法得到 的估计值
44、的估计值 ，并对其进行，并对其进行显著性检验的方法，构造检验显著性检验的方法，构造检验 显著性的显著性的 t 统计量。统计量。但是，但是，Dickey-Fuller研究了这个研究了这个t 统计量在原假设下统计量在原假设下已经不再服从已经不再服从 t 分布，它依赖于分布，它依赖于。0:0:10HH53 Mackinnon进行了大规模的模拟，给出了不同回归模进行了大规模的模拟，给出了不同回归模型、不同样本数以及不同显著性水平下的临界值。这样，型、不同样本数以及不同显著性水平下的临界值。这样，就可以根据需要，选择适当的显著性水平，通过就可以根据需要，选择适当的显著性水平，通过 t 统计量统计量来决定
45、能否拒绝原假设。这一检验被称为来决定能否拒绝原假设。这一检验被称为Dickey-Fuller检检验验(DF检验检验)。上面描述的单位根检验只有当序列为上面描述的单位根检验只有当序列为AR(1)时才有效。时才有效。如果序列存在高阶滞后相关，这就违背了扰动项是独立同如果序列存在高阶滞后相关，这就违背了扰动项是独立同分布的假设。分布的假设。在这种情况下，可以使用增广的在这种情况下，可以使用增广的DF检验方检验方法（法（augmented Dickey-Fuller test）来检验含有高阶序列）来检验含有高阶序列相关的序列的单位根相关的序列的单位根。54 考虑考虑 yt 存在存在p阶序列相关，用阶序
46、列相关，用p阶自回归过程来修正，阶自回归过程来修正，在上式两端减去在上式两端减去 yt-1，通过添项和减项的方法，可得通过添项和减项的方法，可得其中其中 tptptttuyyyay2211tpiitittuyyay11111piipijji155 ADF检验方法通过在回归方程右边加入因变量检验方法通过在回归方程右边加入因变量 yt 的滞的滞后差分项来控制高阶序列相关后差分项来控制高阶序列相关 tpiitittuyyy11 tpiitittuyayy11 tpiitittuytayy11 (5.3.11)(5.3.12)(5.3.13)56 扩展定义将检验扩展定义将检验(5.3.14)序列序列
47、yt可能还包含常数项和时间趋势项。可能还包含常数项和时间趋势项。判断判断 的估计值的估计值 是接受原假设或者接受备选假设，进而是接受原假设或者接受备选假设，进而判断一个高阶自相关序列判断一个高阶自相关序列AR(p)过程是否存在单位根。过程是否存在单位根。类似于类似于DF检验，检验，Mackinnon通过模拟也得出在不同回通过模拟也得出在不同回归模型及不同样本容量下检验归模型及不同样本容量下检验 不同显著性水平的不同显著性水平的 t 统计统计量的临界值。这使我们能够很方便的在设定的显著性水平量的临界值。这使我们能够很方便的在设定的显著性水平下判断高阶自相关序列是否存在单位根。下判断高阶自相关序列
48、是否存在单位根。0:0:10HH57 但是，在进行但是，在进行ADF检验时，必须注意以下两个实际检验时，必须注意以下两个实际问题：问题：通常采用通常采用AIC准则来确定给定时间序列模型的滞后阶数。在实际准则来确定给定时间序列模型的滞后阶数。在实际应用中，还需要兼顾其他的因素，如系统的稳定性、模应用中，还需要兼顾其他的因素，如系统的稳定性、模型的拟合优度等。型的拟合优度等。选择哪种形选择哪种形式很重要，因为检验显著性水平的式很重要，因为检验显著性水平的 t 统计量在原假设下统计量在原假设下的渐近分布依赖于关于这些项的定义。的渐近分布依赖于关于这些项的定义。58 双击序列名，打开序列窗口，选择双击
49、序列名，打开序列窗口，选择View/unit Root Test，得到下图得到下图：59 进行单位根检验必须定义进行单位根检验必须定义4项：项：在在Test type的下拉列表中，选择检验方法。的下拉列表中，选择检验方法。EViews5提供提供了了6种单位根检验的方法：种单位根检验的方法：Augmented Dickey-Fuller(ADF)Test Dickey-Fuller GLS Test Phillips-Perron(PP)Test Kwiatkowski,Phillips,Schmidt and Shin(KPSS)Test Elliot,Rothenberg,and Stock
50、 Point Optimal(ERS)Test Ng and Perron(NP)Test60 在在Test for unit root in中确定序列在中确定序列在下进行单位根检验。可以使用这个选项决下进行单位根检验。可以使用这个选项决定序列中单位根的个数。如果检验水平值未拒绝，而在定序列中单位根的个数。如果检验水平值未拒绝，而在一阶差分拒绝原假设，序列中含有一个单位根，是一阶一阶差分拒绝原假设，序列中含有一个单位根，是一阶单整单整I(1)；如果一阶差分后的序列仍然未拒绝原假设，则；如果一阶差分后的序列仍然未拒绝原假设，则需要选择需要选择2阶差分。一般而言，一个序列经过两次差分以阶差分。一般
