1、CopyrightZhao Shuran 2009,Department of Finance,Ocean University of China12022-12-24布莱克布莱克-斯科尔斯期权定价模型斯科尔斯期权定价模型 CopyrightZhao Shuran 2009,Department of Finance,Ocean University of China22022-12-24 期权定价采用相对定价法期权定价采用相对定价法利用基础产品价格与衍生产品价格之间的内在利用基础产品价格与衍生产品价格之间的内在关系，直接根据基础产品价格求出衍生产品价关系，直接根据基础产品价格求出衍生产品价格
2、格，因此要为期权定价首先必须研究证券价格因此要为期权定价首先必须研究证券价格的变化过程。目前，学术界普遍用随机过的变化过程。目前，学术界普遍用随机过程来描述证券价格的变化过程。程来描述证券价格的变化过程。6.1证券价格的变化过程证券价格的变化过程 CopyrightZhao Shuran 2009,Department of Finance,Ocean University of China32022-12-24 弱式效率市场假说与马尔可夫过程弱式效率市场假说与马尔可夫过程 1965年，法玛（年，法玛（Fama）提出了著名的效率市）提出了著名的效率市场假说场假说,该假说认为该假说认为:投资者都
3、力图利用可获得的信息获得更高的报酬；投资者都力图利用可获得的信息获得更高的报酬；证券价格对新的市场信息的反应是迅速而准确的，证券价格对新的市场信息的反应是迅速而准确的，证券价格能完全反应全部信息；证券价格能完全反应全部信息；市场竞争使证券价格从一个均衡水平过渡到另一个市场竞争使证券价格从一个均衡水平过渡到另一个均衡水平，而与新信息相应的价格变动是均衡水平，而与新信息相应的价格变动是相互独立相互独立的。的。一、弱式效率市场假说与马尔可夫过程一、弱式效率市场假说与马尔可夫过程CopyrightZhao Shuran 2009,Department of Finance,Ocean Universi
4、ty of China42022-12-24 效率市场假说可分为三类：弱式、半强式和强式。效率市场假说可分为三类：弱式、半强式和强式。弱式效率市场假说认为，弱式效率市场假说认为，证券价格变动的历史不包含任何对预测证券价格未来证券价格变动的历史不包含任何对预测证券价格未来变动有用的信息，也就是说不能通过技术分析获得超变动有用的信息，也就是说不能通过技术分析获得超过平均收益率的收益。过平均收益率的收益。半强式效率市场假说认为，半强式效率市场假说认为，证券价格会迅速、准确地根据可获得的所有公开信息证券价格会迅速、准确地根据可获得的所有公开信息调整，因此以往的价格和成交量等技术面信息以及已调整，因此以
5、往的价格和成交量等技术面信息以及已公布的基本面信息都无助于挑选价格被高估或低估的公布的基本面信息都无助于挑选价格被高估或低估的证券。证券。强式效率市场假说认为，强式效率市场假说认为，不仅是已公布的信息，而且是可能获得的有关信息都不仅是已公布的信息，而且是可能获得的有关信息都已反映在股价中，因此任何信息（包括已反映在股价中，因此任何信息（包括“内幕信息内幕信息”）对挑选证券都没有用处。对挑选证券都没有用处。发达国家的证券市场大体符合弱式效率市场假说。发达国家的证券市场大体符合弱式效率市场假说。CopyrightZhao Shuran 2009,Department of Finance,Ocea
6、n University of China52022-12-24 弱式效率市场假说可用马尔可夫随机过程弱式效率市场假说可用马尔可夫随机过程（Markov Stochastic Process）来表述。）来表述。随机过程是指某变量的值以某种不确定的方式随机过程是指某变量的值以某种不确定的方式随时间变化的过程。随时间变化的过程。如果证券价格遵循马尔可夫过程，该过程具有如果证券价格遵循马尔可夫过程，该过程具有“无后效性无后效性”，其，其未来价格的概率分布只取决未来价格的概率分布只取决于该证券于该证券现在的价格现在的价格。也就是，通过历史数据。也就是，通过历史数据不能预测未来不能预测未来B-S模型假设
7、标的资产的价格服从几何布朗运模型假设标的资产的价格服从几何布朗运动，它是一种特殊的动，它是一种特殊的马尔可夫过程。马尔可夫过程。CopyrightZhao Shuran 2009,Department of Finance,Ocean University of China62022-12-24二、布朗运动二、布朗运动根据有效市场理论，股价、利率和汇率具根据有效市场理论，股价、利率和汇率具有随机游走性，该特性可以采用维纳过程有随机游走性，该特性可以采用维纳过程（布朗运动），它是马尔科夫过程的一种。（布朗运动），它是马尔科夫过程的一种。（一）、标准布朗运动（一）、标准布朗运动对于随机变量对于随机
8、变量w是标准布朗运动，必须具是标准布朗运动，必须具有两个条件：有两个条件：1.在某一小段时间在某一小段时间t内，它的变动内，它的变动w与时段与时段t满足满足CopyrightZhao Shuran 2009,Department of Finance,Ocean University of China72022-12-24ttwt（6.1）1,(0,1)ttttwwwiid N这里，2.在两个不重叠的时段在两个不重叠的时段t和和s,wt和和ws是独立的，是独立的，这个条件也是这个条件也是Markov过程的条件，即增量独立！过程的条件，即增量独立！11,tttssswwwwww其中，cov(,)
9、0tsww（6.2）有效市场有效市场CopyrightZhao Shuran 2009,Department of Finance,Ocean University of China82022-12-24 满足上述两个条件的随机过程，称为标准满足上述两个条件的随机过程，称为标准布朗运动，其性质有布朗运动，其性质有()0,()ttEwDwt 当时段的长度放大到当时段的长度放大到T时（从现在的时（从现在的0时刻时刻到未来的到未来的T时刻）随机变量时刻）随机变量wT的满足的满足0()0,()TTTTEwwwwDwTCopyrightZhao Shuran 2009,Department of Fin
10、ance,Ocean University of China92022-12-24 证明：证明：01111,NTTiiiiiiNNTiiiiwwwwwwwtwtt 11()()()0NNTiiiiEwtEtE1()(),()1,NTiiiDwt Dt NTD 证毕.CopyrightZhao Shuran 2009,Department of Finance,Ocean University of China102022-12-24 在连续时间下在连续时间下t 0，由（，由（6.1）和（）和（6.2）得到）得到cov(,)0tttsdwdtdw dw（6.3）（6.4）(0,)()0,()tt
11、tdwNdtE dwD dwdt 所以，所以，概率分布的性质概率分布的性质tdw以上得到的随机过程以上得到的随机过程wt，称为，称为维纳过程维纳过程。(6.1)cov(,)0 (6.2)tttswtwwCopyrightZhao Shuran 2009,Department of Finance,Ocean University of China112022-12-24（二）普通布朗运动（二）普通布朗运动 先引入两个概念：先引入两个概念：漂移率漂移率（Drift Rate）是指，单位时间内变量）是指，单位时间内变量z均值均值的变化值。的变化值。方差率方差率（Variance Rate）是指，单
12、位时间的方差。）是指，单位时间的方差。标准布朗运动的漂移率为标准布朗运动的漂移率为0 0，方差率为，方差率为1.01.0。我们令漂移率的期望值为我们令漂移率的期望值为a,方差率的期望值为方差率的期望值为b2，就可得到变量，就可得到变量xt的普通布朗运动：的普通布朗运动：（6.46.4）其中，其中，a和和b均为常数，均为常数，dw遵循标准布朗运动。遵循标准布朗运动。ttdxadtbdwCopyrightZhao Shuran 2009,Department of Finance,Ocean University of China122022-12-24 从式（从式（6.1）和（）和（6.4）可知
13、，在短时间）可知，在短时间 后，后，x值的变化值为：值的变化值为：因此，因此，xt也具有正态分布特征，其均值也具有正态分布特征，其均值为为 ，标准差为，标准差为 ，方差为，方差为 。同样，。同样，在任意时间长度在任意时间长度T后后x值的变化也具有正态值的变化也具有正态分布特征，其均值为分布特征，其均值为aT，标准差为，标准差为 ，方差为方差为b2T。ttxa tbt tatb tb 2TbCopyrightZhao Shuran 2009,Department of Finance,Ocean University of China132022-12-24 一般维纳过程仍不足以代表随机变量复杂
14、一般维纳过程仍不足以代表随机变量复杂的变动特征。的变动特征。漂移率和方差率为常数不恰当漂移率和方差率为常数不恰当ttdxadtbdw(,)(,)ttdxa x t dtb x t dw若把变量若把变量xt的漂移率的漂移率a和方差率和方差率b当作变量当作变量x和和时间时间t的函数，的函数，扩展后得到的即为扩展后得到的即为ITO过程过程三、伊藤过程三、伊藤过程CopyrightZhao Shuran 2009,Department of Finance,Ocean University of China142022-12-24 B-S 期权定价模型是根据期权定价模型是根据ITO过程的特过程的特例几
15、何布朗运动来代表股价的波动例几何布朗运动来代表股价的波动ttttdss dts dw,(,),(,)ttttttsx a s ts b s ts省略下标省略下标t，变换后得到几何布朗运动方程，变换后得到几何布朗运动方程()tttdsr tdtdws（6.6）证券的预期回报与其价格无关。证券的预期回报与其价格无关。证券在单位时间内以连续复利表示的期望收益率（又称预期收益率）证券收益率单位时间的标准差，简称波动率 四、证券价格的变化过程四、证券价格的变化过程CopyrightZhao Shuran 2009,Department of Finance,Ocean University of Chi
16、na152022-12-24 伊藤引理：假设某随机变量伊藤引理：假设某随机变量x的变动过程可由的变动过程可由ITO过程表过程表示为（省略下标示为（省略下标t）(,)(,)dxa x t dtb x t dw 令令f(x,t)为随机变量为随机变量x以及时间以及时间t的函数，即的函数，即f(x,t)可以代表以可以代表以标的资产标的资产x的衍生证券的价格，则的衍生证券的价格，则f(x,t)的变动过程可以表的变动过程可以表示为示为2221()2ffffdfab dtb dwtxxx(,),(,),(,)ff x t aa x t bb x t（6.7）五、伊藤引理五、伊藤引理CopyrightZhao
17、 Shuran 2009,Department of Finance,Ocean University of China162022-12-24证明：将（证明：将（6.7）离散化）离散化(,)(,)xa x ttb x tw wt由（由（7.1）知）知利用泰勒展开，忽略高阶项，利用泰勒展开，忽略高阶项，f(x,t)可以展开为可以展开为22222221()212ffffftxxx ttxxx tftt （6.8）CopyrightZhao Shuran 2009,Department of Finance,Ocean University of China172022-12-24在连续时间下，即
18、在连续时间下，即0tD32200limlim0ttx ta tbt 因此，（因此，（6.8）可以改写为）可以改写为（6.9）22212fffftxxtxx 20tD从而从而320tD22222221()21 (6.8)2ffffftxxx ttxxx tftt (,)(,)xa x ttb x tw CopyrightZhao Shuran 2009,Department of Finance,Ocean University of China182022-12-2422xa tbt 3222222atbtabt 22bt200,tt 且当时，有从而222220lim()()0tDxbtD即即
19、x2不呈现随机波动！不呈现随机波动！（6.10）(,)(,)xa x ttb x tw CopyrightZhao Shuran 2009,Department of Finance,Ocean University of China192022-12-2422222()()()ExE btbtE由（由（6.10）可得）可得22(0,1),()(0)()1NDEE由于则（6.11）由（由（6.11）得到）得到222 (6.10)xbt22()Exbt（6.12）CopyrightZhao Shuran 2009,Department of Finance,Ocean University of
20、 China202022-12-24 由于由于x2不呈现随机波动，所以，其期望值不呈现随机波动，所以，其期望值就收敛为真实值，即就收敛为真实值，即22xbt22212fffdfdtdxdxtxx当当t0时，时，由（由（6.9）可得）可得2221 (6.9)2fffftxxtxx 2221()2fffdtadtbdwb dttxx2221()2ffffab dtb dwtxxxCopyrightZhao Shuran 2009,Department of Finance,Ocean University of China212022-12-24ttttdSS dtS dw若股票价格服从几何布朗运
21、动若股票价格服从几何布朗运动设当前时刻为设当前时刻为t，则，则T时刻股票价格满足对时刻股票价格满足对数正态分布，即数正态分布，即22lnln(/2),TtSNS ,0,Tt tT六、几何布朗运动与对数正态分布六、几何布朗运动与对数正态分布lnST的标准差与T-t的平方根成比例 CopyrightZhao Shuran 2009,Department of Finance,Ocean University of China222022-12-24()lnttgg SS22211,0ttttgggSSSSt 令令则则这样由伊藤引理得到这样由伊藤引理得到21()2dtdw2221()2ttttttg
22、gggdgSSdtSdwtSSS(,)ttaS bS21(ln)()2tdSdtdw即即证：2221()2ffffdfab dtb dwtxxxttttdSS dtS dwCopyrightZhao Shuran 2009,Department of Finance,Ocean University of China232022-12-2421(ln)()2TTtttdSdtdw21lnln()()2TtTtSSww由（由（7.1）Ttww 21lnln()2TtSS 22lnln(/2),TtSNS 对两端积分：21(ln)()2tdSdtdwCopyrightZhao Shuran 200
23、9,Department of Finance,Ocean University of China242022-12-2422lnln(/2),TtSNS 由于则称则称ST服从对数正态分布，其期望值为服从对数正态分布，其期望值为()exp()TtE SSCopyrightZhao Shuran 2009,Department of Finance,Ocean University of China252022-12-24 例例6.2设设A股票价格的当前值为股票价格的当前值为50元元,预期收益率为预期收益率为每年每年18%,波动率为每年波动率为每年20%,该股票价格遵该股票价格遵循几何布朗运动循
24、几何布朗运动,且该股票在且该股票在6个月内不付红个月内不付红利，请问该股票利，请问该股票6个月后的价格个月后的价格ST的概率分的概率分布。布。例例6.3请问在例请问在例6.2中，中，A股票在股票在6个月后股票价格个月后股票价格的期望值和标准差等多少？的期望值和标准差等多少？CopyrightZhao Shuran 2009,Department of Finance,Ocean University of China262022-12-246.2 B-S期权定价模型期权定价模型 Black、Scholes和和Merton发现了看涨期权发现了看涨期权定价公式，定价公式，Scholes和和Mert
25、on也因此获得也因此获得1997年的诺贝尔经济学奖年的诺贝尔经济学奖 模型基本假设模型基本假设9个个无风险利率为常数，且对所有到期日均相同。无风险利率为常数，且对所有到期日均相同。在衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支在衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支付；付；期权为欧式期权期权为欧式期权证券交易是连续的，价格变动也是连续的；证券交易是连续的，价格变动也是连续的；CopyrightZhao Shuran 2009,Department of Finance,Ocean University of China272022-12-24无交易费用：证券市场、期权市场、资金借贷无交易费用：证券市
26、场、期权市场、资金借贷市场市场投资者可以自由借贷资金，且二者利率相等，投资者可以自由借贷资金，且二者利率相等，均为无风险利率均为无风险利率不存在无风险套利机会不存在无风险套利机会允许卖空标的证券允许卖空标的证券 标的资产为证券，其价格标的资产为证券，其价格S的变化为几何布朗的变化为几何布朗运动运动dsdtdwdssdtsdwsw其中，代表维纳过程CopyrightZhao Shuran 2009,Department of Finance,Ocean University of China282022-12-24B-S模型证明思路模型证明思路ITO引理引理2221()2ffffdfab dtb
27、 dwtxxxITO过程过程(,)(,)ttdxa x t dtb x t dwB-S微分方程微分方程222212fffrssrftss抖+s=抖B-S买权定价公式买权定价公式12()()rtCS N dKeN d6.2.1 B-S微分方程微分方程dssdtsdw假设标的资产价格变动过程满足假设标的资产价格变动过程满足 这里这里S为标的资产当前的价格，令为标的资产当前的价格，令f(s,t)代表衍生证代表衍生证券的价格，则券的价格，则f(s,t)的价格变动过程可由的价格变动过程可由ITO引理近引理近似为似为22221()2ffffdfssdts dwtsssCopyrightZhao Shura
28、n 2009,Department of Finance,Ocean University of China302022-12-2422221()2fffffsstswtsss 考虑组合：考虑组合：份的标的资产多头份的标的资产多头+1+1个单位的衍生证券空个单位的衍生证券空头头 由于衍生证券价格和标的证券价格都受同一种不确定性由于衍生证券价格和标的证券价格都受同一种不确定性（w）影响，若数量适当的话，标的证券多头盈利（或亏）影响，若数量适当的话，标的证券多头盈利（或亏损）总是会与衍生证券空头的亏损（或盈利）相抵消，因损）总是会与衍生证券空头的亏损（或盈利）相抵消，因此在短时间内该投资组合是无风
29、险的。此在短时间内该投资组合是无风险的。且且满足满足ffsfss=-+d=-+则该组合的价值为则该组合的价值为fsd=SS tS w CopyrightZhao Shuran 2009,Department of Finance,Ocean University of China312022-12-24 下面将证明该组合为无风险组合，在下面将证明该组合为无风险组合，在t时时间区间内价值变化为：间区间内价值变化为：ffssD =-D+D22221()2()ffffsstswtsssfs ts ws 22221()2ffstts 注意到此时注意到此时不含不含有随机项有随机项w，该该组合是无风险的，
30、组合是无风险的，设无风险收益率为设无风险收益率为r，且由于，且由于t较小（不采较小（不采用连续复利），则用连续复利），则22221()2ffssffstts=-+抖D =-+sD抖Rrt=D 兆 譊22221()2fffstfs rttss抖-+sD=-+鬃 D抖（）整理得到整理得到222212fffrssrftss抖+s=抖B-S微分方程的意义微分方程的意义222212fffrssrftss抖+s=抖衍生证券的价格衍生证券的价格f，只与当前的市价，只与当前的市价S，时间，时间t，证券，证券价格波动率价格波动率和无风险利率和无风险利率r有关，它们全都是客观有关，它们全都是客观变量。因此，无论投
31、资者的风险偏好如何，都不会变量。因此，无论投资者的风险偏好如何，都不会对对f的值产生影响。的值产生影响。在对衍生证券定价时，可以采用在对衍生证券定价时，可以采用风险中性定价风险中性定价，即，即所有证券的预期收益率都等于无风险利率所有证券的预期收益率都等于无风险利率r。只要标的资产服从几何布朗运动，都可以采用只要标的资产服从几何布朗运动，都可以采用B-S微微分方程求出价格分方程求出价格f。6.2.2 B-S买权定价公式买权定价公式122121()()ln(/)(/2)0,rtttCS N dXeN dSXrdddtTTt 其中，对于欧式不支付红利的股票期权，其看涨期权对于欧式不支付红利的股票期权
32、，其看涨期权（买权）的在定价日（买权）的在定价日t的定价公式为的定价公式为N(x)：标准正态分布变量的累计概率分布函数（小于x的概率）（6.21）CopyrightZhao Shuran 2009,Department of Finance,Ocean University of China352022-12-24pr0dN(d)例如例如:当当d1.96时时,N(d)97.5%（1）设当前时刻为）设当前时刻为t，到期时刻，到期时刻T，若股票，若股票价格服从几何布朗运动，若已经当前时刻价格服从几何布朗运动，若已经当前时刻t的股票价格为的股票价格为St，则，则T时刻的股票价格的期时刻的股票价格的期
33、望值为望值为B-S买权定价公式推导买权定价公式推导()exp()TtE SSTtexp()tS()exp()TtE SSr比较上两式，得到比较上两式，得到r 根据根据B-S微分方程可知，定价是在风险中性微分方程可知，定价是在风险中性条件下，则资产的期望回报为无风险回报，条件下，则资产的期望回报为无风险回报，则则这表明：在风险中性的世界中，任何可交易的金这表明：在风险中性的世界中，任何可交易的金融资产的回报率均为无风险利率。融资产的回报率均为无风险利率。（2）在）在风险中性的条件下风险中性的条件下，任何资产的贴现率为，任何资产的贴现率为无风险利率无风险利率r，故买权期望值的现值为，故买权期望值的
34、现值为max(,0)rtTCeESX0()()0()XrTTTTTXeSX f SdSf SdS(),0,rTTTeE SXSXSX()()rTTTXeSX f SdSCopyrightZhao Shuran 2009,Department of Finance,Ocean University of China392022-12-24B-S模型的意义模型的意义 N(d2)：在风险中性世界中：在风险中性世界中ST大于大于X的概率，或者说是欧的概率，或者说是欧式看涨期权被执行的概率。式看涨期权被执行的概率。X e-r(T-t)N(d2)：X的风险中性期望值的现值。的风险中性期望值的现值。StN(
35、d1)=e-r(T-t)EST N(d1)：是：是ST的风险中性期望值的现值。的风险中性期望值的现值。12()()()()()()rtTTTXrrTTTTTXXrtCeSX f SdSeS f SdSXef SdSS N dXeN dffsfss=-+d=-+CopyrightZhao Shuran 2009,Department of Finance,Ocean University of China402022-12-24 其次，其次，是是复制交易策略复制交易策略中股票的数量，中股票的数量，StN(d1)就是就是资产资产的市值的市值,-Xe-r(T-t)N(d2)则是复制则是复制交易策略中
36、交易策略中负债的负债的价值。价值。假设假设St x，0,则两个则两个N(d)1，看涨期权肯定会被，看涨期权肯定会被执行，此时看涨期权价值为执行，此时看涨期权价值为St-Xe-r，与远期合约的价值相似。执行后，获得了以。执行后，获得了以St为现价的股票的所为现价的股票的所有权，而承担了有权，而承担了X的债务。的债务。期权的价值关于标的资产的价格及其方差，以及期权的价值关于标的资产的价格及其方差，以及到期时间等到期时间等5个变量的非线性函数个变量的非线性函数Ct=f(St,X,r)的函数的函数。1()N d2121ln(/)(/2)tSXrddd CopyrightZhao Shuran 2009
37、,Department of Finance,Ocean University of China412022-12-24 在标的资产无收益情况下，无收益资产美式看涨期权在标的资产无收益情况下，无收益资产美式看涨期权的价值的价值C=c。根据欧式看涨期权和看跌期权之间存在平价关系，可根据欧式看涨期权和看跌期权之间存在平价关系，可得得无收益资产欧式看跌期权无收益资产欧式看跌期权的定价公式的定价公式 ：（6.22）由于美式看跌期权与看涨期权之间不存在严密的平价由于美式看跌期权与看涨期权之间不存在严密的平价关系，所以要用蒙特卡罗模拟、二叉树和有限差分三关系，所以要用蒙特卡罗模拟、二叉树和有限差分三种数值
38、方法以及解析近似方法求出。种数值方法以及解析近似方法求出。)()(12)(dSNdNXeptTr欧式看跌期权的价值欧式看跌期权的价值CopyrightZhao Shuran 2009,Department of Finance,Ocean University of China422022-12-246.2.3 有收益资产的期权定价公式有收益资产的期权定价公式（一）有收益资产欧式期权的定价公式（一）有收益资产欧式期权的定价公式 在收益已知情况下，把标的证券价格分解成两部分：在收益已知情况下，把标的证券价格分解成两部分：期权有效期内已知现金收益的现值部分期权有效期内已知现金收益的现值部分(无风险
39、部分无风险部分)一个有风险部分。一个有风险部分。当期权到期时，现值部分将由于标的资产支付现金收益当期权到期时，现值部分将由于标的资产支付现金收益而消失。因此，只要用而消失。因此，只要用S表示有风险部分的证券价格。表示有风险部分的证券价格。表示风险部分遵循随机过程的波动率，直接套用公式表示风险部分遵循随机过程的波动率，直接套用公式（6.21）和（）和（6.22）分别计算出有收益资产的欧式看涨）分别计算出有收益资产的欧式看涨期权和看跌期权的价值。期权和看跌期权的价值。从理论上说，风险部分的波动率并不完全等于整个证券从理论上说，风险部分的波动率并不完全等于整个证券价格的的波动率价格的的波动率,有风险
40、部分的波动率近似等于整个证有风险部分的波动率近似等于整个证券价格波动率乘以券价格波动率乘以S/(SI)，这里，这里I是红利现值。为方便是红利现值。为方便起见，假设两者相等。起见，假设两者相等。CopyrightZhao Shuran 2009,Department of Finance,Ocean University of China432022-12-24 当标的证券当标的证券已知收益的现值为已知收益的现值为I I时时，只要，只要用（用（S SI I）代替）代替式（式（6.216.21）和（）和（6.226.22）中的）中的S即可求出固定收益证券欧式即可求出固定收益证券欧式看涨和看跌期权的
41、价格。看涨和看跌期权的价格。当标的证券的收益为当标的证券的收益为按连续复利计算的固定收益率按连续复利计算的固定收益率q（单（单位为年）位为年）时时，我们只要将，我们只要将 代替式（代替式（6.21）和（）和（6.22）中的）中的S就可求出支付连续复利就可求出支付连续复利收益率证券的欧式看涨和看跌期权的价格。收益率证券的欧式看涨和看跌期权的价格。()q T tSeCopyrightZhao Shuran 2009,Department of Finance,Ocean University of China442022-12-24 对于欧式期货期权，其定价公式为：对于欧式期货期权，其定价公式为：
42、（6.23）（6.24）其中：其中：)()(21)(dXNdFNectTr)()(12)(dFNdXNeptTrtTdtTtTXFdtTtTXFd12221)(2)/ln()(2)/ln(CopyrightZhao Shuran 2009,Department of Finance,Ocean University of China452022-12-24例例6.4 假设当前英镑的即期汇率为假设当前英镑的即期汇率为$1.5000，美国的无风险连，美国的无风险连续复利年利率为续复利年利率为7%，英国的无风险连续复利年利率为，英国的无风险连续复利年利率为10%，英镑汇率遵循几何布朗运动，其波动率为
43、，英镑汇率遵循几何布朗运动，其波动率为10%，求求6个月期协议价格为个月期协议价格为$1.5000的英镑欧式看涨期权价的英镑欧式看涨期权价格。格。3.05美分美分。CopyrightZhao Shuran 2009,Department of Finance,Ocean University of China462022-12-24（二）有收益资产美式期权的定价（二）有收益资产美式期权的定价 1美式看涨期权美式看涨期权 当标的资产有收益时，美式看涨期权就有提前当标的资产有收益时，美式看涨期权就有提前执行的可能，用一种近似处理的方法执行的可能，用一种近似处理的方法:先确定提前执行美式看涨期权是否
44、合理。先确定提前执行美式看涨期权是否合理。若不合理，则按欧式期权处理；若不合理，则按欧式期权处理；若在若在tn提前执行有可能是合理的，则分别计算在提前执行有可能是合理的，则分别计算在T时时刻和刻和tn时刻到期的欧式看涨期权的价格，然后将二者时刻到期的欧式看涨期权的价格，然后将二者之中的较大者作为美式期权的价格。之中的较大者作为美式期权的价格。CopyrightZhao Shuran 2009,Department of Finance,Ocean University of China472022-12-24例例6.5 假设一种假设一种1年期的美式股票看涨期权，标的股票在年期的美式股票看涨期权
45、，标的股票在5个个月和月和11个月后各有一个除权日，每个除权日的红利期个月后各有一个除权日，每个除权日的红利期望值为望值为1.0元，标的股票当前的市价为元，标的股票当前的市价为50元，期权协议元，期权协议价格为价格为50元，标的股票波动率为每年元，标的股票波动率为每年30%，无风险连，无风险连续复利年利率为续复利年利率为10%，求该期权的价值。，求该期权的价值。解：解：1.看该期权是否应提前执行。不能提前执行的条件是：看该期权是否应提前执行。不能提前执行的条件是：由于由于D1=D2=1.0元，则对第一次除权日，有元，则对第一次除权日，有对第对第2次除权日，有次除权日，有1()1iir ttiD
46、Xe21()0.1 0.5150(1)2.43851r ttXee 第1次不提前执行2()0.1 0.0833150(1)0.41481r T tXee 第2次提前执行CopyrightZhao Shuran 2009,Department of Finance,Ocean University of China482022-12-24 2.比较比较1年期和年期和11个月期欧式看涨期权价格。个月期欧式看涨期权价格。对于对于1年期欧式看涨期权来说，由于红利的现值为：年期欧式看涨期权来说，由于红利的现值为：S=50-1.8716=48.1284，代入式（，代入式（6.23）得：）得：元8716.1
47、0.10.19167.01.04167.01.0ee)(2419.45)(1284.48)(50)(1284.4821211.0112dNdNdNedNc0562.013.03562.03562.013.01)2/09.01.0()50/1284.48ln(21ddN（0.3562）=0.6392，N（0.0562）=0.5224元1293.75224.02419.456392.01284.4812cCopyrightZhao Shuran 2009,Department of Finance,Ocean University of China492022-12-24对于对于11个月期的欧式看
48、涨期权来说，由于红利个月期的欧式看涨期权来说，由于红利的现值为：的现值为：元9592.00.14167.01.0eS=49.0408元)(6203.45)(0408.49)(50)(0408.492129167.01.0111dNdNdNedNc12ln(49.0408/50)(0.10.09/2)0.91670.39520.30.91670.39520.30.91670.1080dd1149.0408 0.653645.6203 0.5437.2824c 元由于c11c12，因此该美式看涨期权价值近似为7.2824元 CopyrightZhao Shuran 2009,Department
49、of Finance,Ocean University of China502022-12-242美式看跌期权美式看跌期权 由于收益虽然使美式看跌期权提前执行的由于收益虽然使美式看跌期权提前执行的可能性减小，但仍不排除提前执行的可能可能性减小，但仍不排除提前执行的可能性，因此有收益美式看跌期权的价值仍不性，因此有收益美式看跌期权的价值仍不同于欧式看跌期权，它也只能通过较复杂同于欧式看跌期权，它也只能通过较复杂的数值方法来求出。的数值方法来求出。CopyrightZhao Shuran 2009,Department of Finance,Ocean University of China512
50、022-12-24第三节第三节 布莱克布莱克舒尔斯期权定价舒尔斯期权定价公式的实证研究和应用公式的实证研究和应用 一、布莱克一、布莱克舒尔斯期权定价公式实证研究舒尔斯期权定价公式实证研究 布莱克布莱克舒尔斯期权定价公式舒尔斯期权定价公式倾向于高估方差高的期权，倾向于高估方差高的期权，低估方差低的期权；低估方差低的期权；高估实值期权的价格，高估实值期权的价格，低估虚值期权的价格。低估虚值期权的价格。CopyrightZhao Shuran 2009,Department of Finance,Ocean University of China522022-12-24 造成用布莱克造成用布莱克舒尔
