1、 中山市高一级中山市高一级 2021-2022 学年度第一学期期末统一考试学年度第一学期期末统一考试 数学试卷数学试卷 本试卷满分本试卷满分 150 分考试时间分考试时间 120 分钟分钟 注意事项：注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号写在答题卡上答卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号写在答题卡上 2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上 3不可以使用计算器不可以使用计算器 4
2、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交 第第卷（选择题卷（选择题 共共 60 分）分）一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的项中，只有一项是符合题目要求的 1.设xR，则“230 xx”是“12x”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法，结合充分性、必要性的定义进行判断即可.【详解】由23003xxx，由03x不一定能推出12x，但是由
3、12x一定能推出03x，所以“230 xx”是“12x，则acbc B.若ab，则11ab，则ab D.若ab，则22ab【答案】C【解析】【分析】根据不等式的性质，对四个选项一一验证：对于 A：利用不等式的可乘性的性质进行判断；对于 B：取1,1ab=进行否定；对于 C：利用不等式的可乘性的性质进行证明；对于 D：取1,1ab=进行否定.【详解】对于 A：当ab时，若取0c，则有acbc.故 A不正确；对于 B：当ab时，取1,1ab=时，有11ab.故 B 不正确；对于 C：当22acbc，两边同乘以21c，则ab.故 C 正确；对于 D：当ab，取1,1ab=时，有22=ab.故 D不正
4、确.故选：C.【点睛】（1）多项选择题是 2020年高考新题型，需要要对选项一一验证；（2）判断不等式成立的解题思路：取特殊值进行否定；利用不等式的性质直接判断.3.函数()e2xf xx=+的零点所在的区间为（）A.()0,1 B.()1,2 C.()2,3 D.()3,4【答案】A【解析】【分析】结合函数的单调性、零点存在性定理确定正确选项.【详解】()f x在R上递增，()()01 0210,1e 1 2e 10ff=+=，()()010ff，所以()f x的零点在区间()0,1.故选：A 4.已知定义在R上的偶函数()f x，在(,0上为减函数，且(3)0f=，则不等式(3)()0 x
5、f x+的解集是（）A.(,3)(3,)+B.(,3)(0,3)C.(3,0)(0,3)D.(,3)(3,3)【答案】D【解析】【分析】根据函数的性质，画出函数的图象，数形结合求出解集【详解】由题意，画出()f x的图象如图，(3)()0 xf x+等价于30()0 xf x+，或30()0 xf x+，在区间0,3上单调递增，在区间,3 2 上单调递减，则=（）A.1 B.32 C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】根据13f=以及周期性求得.【详解】依题意函数()()sin0f xx=，在区间0,3上单调递增，在区间,3 2 上单调递减，则sin13323fT=，即2,3203kkZ=+
6、，解得32=.故选：B 6.已知函数()2212xxf x=的值域是（）A.(,2 B.(0,2 C.)2,+D.10,2【答案】B【解析】【分析】由于()222111xxx=，进而得221110222xx=，即函数()2212xxf x=的值域是(0,2【详解】解：因为()222111xxx=,所以221110222xx=所以函数()2212xxf x=的值域是(0,2 故选：B 7.已知函数()f x与()g x的部分图象如图 1（粗线为()f x部分图象，细线为()g x部分图象）所示，则图 2 可能是下列哪个函数的部分图象（）A.()()yf g x=B.()()yf x g x=C.
7、()()yg f x=D.()()f xyg x=【答案】B【解析】【分析】结合函数的奇偶性、特殊点的函数值确定正确选项.【详解】由图 1 可知()f x为偶函数，()g x为奇函数，A选项，()()()()()()f gxfg xf g x=，所以()()yf g x=偶函数，不符合图2.A 错.C选项，()()()()g fxg f x=，所以()()yg f x=是偶函数，不符合图 2.C错.D选项，()00g=，所以()()f xyg x=的定义域不包括0，不符合图 2.D错.是 B选项，()()()()fx gxf x g x=，所以()()yf x g x=是奇函数，符合图 2，所
8、以B符合.故选：B 8.设2log 3a=，3log 4b=，5log 8c=，则（）A.bac B.abc C.cba D.bca【答案】D【解析】【分析】利用对数的换底公式，得到2lg23lg2,lg3lg5bc=，化简lg2(lg25lg27)0lg3 lg5bc=，得到bc，再由对数函数的单调性，求得312c，即可求解.【详解】因为35lg42lg2lg83lg2log 4,log 8lg3lg3lg5lg5bc=，则2lg23lg22lg2 lg5 3lg2 lg3lg2(2lg5 3lg3)lg2(lg25lg27)0lg3lg5lg3 lg5lg3 lg5lg3 lg5bc=，所
9、以bc，又因为3255553log 5log 8log125log 52=，所以312c=，所以32a，所以bca.故选：D.二、选择题：本大题共二、选择题：本大题共 4小题，每小题小题，每小题 5分在每小题给出的选项中，有多项分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得符合题目要求全部选对的得 5分，部分选对的得分，部分选对的得 2分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9.图中矩形表示集合U，A，B是U的两个子集，则阴影部分可以表示为（）A.()UAB B.()BAB C.()()UUAB D.ABA【答案】ABD【解析】【分析】根据 Ven 图，分 U 为全集，B 为全集，AB
10、为全集时，讨论求解.【详解】由图知：当 U 为全集时，表示集合 A 的补集与集合 B 的交集，当 B 为全集时，表示AB的补集，当AB为全集时，表示 A 的补集，故选：ABD 10.已知不等式20axbxc+的解集是21xx，则（）A.0a C.0c D.0ab+=【答案】ABC【解析】【分析】根据已知条件，利用二次不等式的解集与二次函数的的图象的对应关系，借助韦达定理和不等式的基本性质作出判断.【详解】由已知得20,0aaxbxc+=的两根为2和 1，()()211,212bcaa=+=，,2=ba ca，0a，0,0bc，0abcc+=，20aba+=的图象对称轴与对称中心的最小距离为4，
11、则下列结论正确的是（）A.()f x的最小正周期为2 B.()f x的图象关于(,0)6对称 C.()f x在5(,)12 12上单调递减 D.()f x的图象关于直线712x=对称【答案】BD【解析】【分析】先利用()f x的图象对称轴与对称中心的最小距离和周期的关系求出值，再利用整体思想求其周期、单调性和对称轴.【详解】因为()f x的图象对称轴与对称中心的最小距离为4，所以44T=，即T=，即选项 A错误；由2T=，得2=，即()3sin(2)3f xx=+，因为()3sin()3sin00633f=+=，所以()f x的图象关于(,0)6对称，即选项 B正确；当51212x时，则223
12、2x+，所以()3sin(2)3f xx=+在5(,)12 12上单调递增，即选项 C 错误；因为773()3sin()3sin312632f=+=，所以()f x的图象关于直线712x=对称，即选项 D 正确.故选:BD.12.若1201nxxx，则下列结论正确的有（）A.()()112122loglogloglogxxxxxx C.()()()()112211231loglogloglogloglogloglog0nnnnxxxxxxnxxxxxx+D.()()()()112211231loglogloglogloglogloglog0nnnnxxxxxxnxxxxxx+【答案】AD 【解
13、析】【分析】先利用对数函数的单调性，证明()()loglogloglogcadabb，赋值1acx=，2bdx=，判断 AB，再由所证性质判断 CD.【详解】先证明：对任意01ab，01cd有()()loglogloglogcadabb.证明如下：因为01ab，即0log1ab.记logatb=，则01t，即0loglogttdc，故0loglogcdtt，代入logatb=，即()()loglogloglogcadabb.取1acx=，2bdx=时，可得选项 A正确，选项 B 错误.应用上述证明可得:()()()1122231loglogloglogloglognnxxxxxxxxx+()(
14、)()()()()1212231231logloglogloglogloglogloglogloglog 10nnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxx，()112xf x=为R上的增函数，且()1112xf x=+=，则2xyxy+的最大值为_【答案】19【解析】【分析】化简1122xyxyxy=+，根据题意结合基本不等式，取得1212()(2)9xyxyxy+=+，即可求解.【详解】由题意，实数0,0 xy，且112122xyxyxyxyxy=+，又由12122222()(2)5529yxyxxyxyxyxyxy+=+=+=，当且仅当22yxxy=时，即13xy=时，等号成立，所以1
15、29xyxy+，即2xyxy+的最大值为19.故答案为：19.四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6个小题，共个小题，共 70分解答应写出文字说明、证明过程或分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤演算步骤 17.（1）计算：()221212log0log 334143312e+（2）已知tan2=，求()()cos2sincos 2+的值【答案】（1）3；（2）2【解析】【分析】（1）根据指数的运算性质及对数的运算性质计算即可得解；（2）利用诱导公式化简，再化弦为切即可得解.详解】解：（1）原式222211log 3 loglog 2032222312311 3 13+=+=+=+=；
16、（2）原式()()cossin2sincos 2sincos+=+sincossincoscoscos=+tantan1=+22 1=+2=.18.对于等式()0,1bac aa=，如果将a视为自变量x，b视为常数，c为关于a（即x）的函数，记为y，那么byx=，是幂函数；如果将a视为常数，b视为自变量x，c为关于b（即x）的函数，记为y，那么xya=，是指数函数；如果将a视为常数，c视为自变量,x b为关于c（即x）的函数，记为y，那么logayx=，是对数函数事实上，由这个等式还可以得到更多的函数模型例如，如果c为常数e（e为自然对数的底数），将a视为自变量()0,1x xx，则b为x的函
17、数，记为y（1）试将y表示成x的函数()f x；（2）函数的性质通常指函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等，请根据你学习到的函数知识直接写出该函数()f x的性质，不必证明并尝试在所给坐标系中画出函数的图象【答案】（1）()1lnf xx=，（0 x，1x）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）结合对数运算的知识求得()f x.（2）根据()f x的解析式写出()f x的性质，并画出图象.【小问 1 详解】依题意因为eyx=，0,1xx，两边取以e为底的对数得lnlne,ln1yxyx=，所以将 y表示为 x的函数，则1lnyx=，（0 x，1x），即()1lnf xx=，（0 x，1x）；【
18、小问 2 详解】函数性质：函数()f x的定义域为()()0,11,+，函数()f x的值域()(),00,+，函数()f x是非奇非偶函数，函数()f x的在()0,1上单调递减，在()1,+上单调递减 函数的图象：19.中国茶文化博大精深，小明在茶艺选修课中了解到，不同类型的茶叶由于在水中溶解性的差别，达到最佳口感的水温不同.为了方便控制水温，小明联想到牛顿提出的物体在常温环境下温度变化的冷却模型：如果物体的初始温度是1，环境温度是0，则经过时间t（单位：分）后物体温度将满足：()010kte=+，其中k为正的常数.小明与同学一起通过多次测量求平均值的方法得到200ml初始温度为 98的水
19、在 19室温中温度下降到相应温度所需时间如表所示：从 98下降到 90所用时间 1 分 58秒 从 98下降到 85所用时间 3 分 24秒 从 98下降到 80所用时间 4 分 57秒 （1）请依照牛顿冷却模型写出冷却时间t（单位：分）关于冷却水温（单位：）的函数关系，并选取一组数据求出相应的k值（精确到 0.01）.（2）“碧螺春”用 75左右的水冲泡可使茶汤清澈明亮，口感最佳.在（1）的条件下，200ml水煮沸后在 19室温下为获得最佳口感大约冷却_分钟左右冲泡，请在下列选项中选择一个最接近的时间填在横线上，并说明理由.A.5 B.7 C.10（参考数据：ln794.369=，ln714
20、.263=，ln664.190=，ln614.111=，ln564.025=）【答案】（1）()()100lnlntk=；0.05k （2）大约冷却7分钟，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据()010kte=+求得冷却时间t（单位：分）关于冷却水温（单位：）的函数关系，结合对数运算求得k.（2）根据（1）中的函数关系式列方程，由此求得冷却时间.【小问 1 详解】依题意()010kte=+，()010kte=，()()010lnlnkte=，()()010lnlnlnkte=+，()()010lnlnkt=，()()100lnlnkt=，()()100lnlntk=.()()100lnlnk
21、t=，依题意1098 C,19 C=，则()()()ln 9819ln19ln79ln19ktt=.若选：从 98下降到 90所用时间：1分 58 秒，即5930分，则()()()ln79ln 90193030ln79ln714.3694.2630.0559595930k=若选：从 98下降到 85所用时间：3分 24 秒，即175分，()()()ln79ln 851955ln79ln664.3694.1900.051717175k=若选：从 98下降到 80所用时间：4分 57 秒，即29760分，()()()ln79ln 80196060ln79ln614.3694.1110.052972
22、9729760k=所以0.05k.【小问 2 详解】结合（1）可知：()()100lnlntk=，依题意10100 C,19 C,75 C=，()()()()ln 9819ln 7519ln79ln56204.3694.0252070.05t=.所以大约冷却7分钟.20.已知的数()2cossinf xxxa=+（1）()0f x=有解时，求实数a的取值范围；（2）当xR时，总有()1714f x，求定a的取值范围【答案】（1）5,14；（2）2,3【解析】【分析】（1）通过分离参数法得2sinsin1axx=+，再通过配方法求最值即可（2）由已知得()1714f x恒成立，化简后只需满足2m
23、ax11sin24ax+且min1sin32ax+，求解即可.【详解】（1）由已知得，()2cossin0f xxxa=+=所以222155sincossinsin1sin,1244axxxxx=+=（2）由已知得()2171cossin4f xxxa=+恒成立，则2222max1111sincos1sinsinsin122424axxxxx+=+=+=+=22min17131sincossinsinsin33442axxxxx+=+=+=所以实数a的取值范围为2,3 21.已知函数()12f xxx=，()0,x+.（1）用函数单调性的定义证明：()f x是增函数；（2）若()()223lo
24、glogfxxxg=+，则当x为何值时，()g x取得最小值？并求出其最小值.【答案】证明详见解析；（2）12x=时，()g x的最小值是4.【解析】【分析】（1）根据函数单调性定义法证明，定义域内任取12,x x，且12xx，在作差()()12f xf x，变形后判断符号，证明函数的单调性；（2）首先根据函数的定义域求x的范围，再根据基本不等式求最小值.【详解】（1）证明：在区间()0,+任取12,x x，设12xx，()()1212121122f xf xxxxx=()()12121212121122xxxxxxxxx x=+()121212xxx x=+，120 xx，12120,0 x
25、xx x-，()()120f xf x，即()()12f xf x ()()222221312log2 loglogloglogg xxxxxx=+=+，设2log xt=，01x时，0t，当0t 时，()()11244ytttt=+=，当1tt=，即1t=时，等号成立，即21log12xx=时，函数取得最小值 4.【点睛】易错点睛：本题的易错点是第二问容易忽略函数的定义域，换元时，也要注意中 间变量的取值范围.22.如果一个函数的值域与其定义域相同，则称该函数为“同域函数”.已知函数()21f xaxbxa=+的定义域为2|10 x axbxa+且0 x.（）若2a=，3b=，求()f x的
26、定义域；（）当1a=时，若()f x为“同域函数”，求实数b的值；（）若存在实数0a 且1a ，使得()f x为“同域函数”，求实数b取值范围.【答案】（）1,12；（）2 2；（）()1,0.【解析】【分析】（）当2a=，3b=时，解出不等式组223100 xxx+即可；（）当1a=时，2()2(0)f xxbxx=+，分0b、0b 两种情况讨论即可；（）分10a、10a 且0b、10a 三种情况讨论即可.【详解】（）当2a=，3b=时，由题意知：223100 xxx+，解得：112x.()f x的定义域为1,12；（）当1a=时，2()2(0)f xxbxx=+，（1）当02b，即0b 时
27、，()f x的定义域为)0,+，值域为)2,+，0b 时，()f x不是“同域函数”.（2）当02b，即0b 时，当且仅当280b=时，()f x为“同域函数”.2 2b=.综上所述，b的值为2 2.（）设()f x的定义域为A，值域为B.（1）当1a 时，10a+，此时，0A，0B，从而AB，()f x不是“同域函数”.（2）当10a，的 设204(1)2bba axa+=，则()f x的定义域00,Ax=.当02ba，即0b 时，()f x的值域0,1Ba=+.若()f x为“同域函数”，则01xa=+，从而，()31ba=+，又10a，即0b 时，()f x值域24(1)0,4a abBa+=.若()f x为“同域函数”，则204(1)4a abxa+=，从而，24(1)(1)bba aa=+()*此时，由10a 可知()*不成立.的
