1、13.1.2 线段的垂直平分线的性质 如果一个平面图形沿一条直线如果一个平面图形沿一条直线 ，直线两旁的部，直线两旁的部分能够分能够 ，这个图形就叫做轴对称图形，这个图形就叫做轴对称图形.折痕所在的这条直线叫做折痕所在的这条直线叫做_._.对称轴对称轴折叠折叠互相重合互相重合 把一个图形沿着某一条直线把一个图形沿着某一条直线 ,如果它能如果它能够够 ,那么就说这两个图形关于这条直那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称线（成轴）对称,这条直线叫做对称轴这条直线叫做对称轴,折叠后重合的点是折叠后重合的点是对应点对应点,叫做叫做 .AABCBC折叠折叠与另一个图形重合与另一个图形重合对称点对称点
2、 一、创设情境，温故知新一、创设情境，温故知新 1.前面我们学习了轴对称图形，线段是轴对称图形吗？前面我们学习了轴对称图形，线段是轴对称图形吗？什么是线段的垂直平分线什么是线段的垂直平分线?2.你能找出线段的对称轴吗？你能找出线段的对称轴吗？3.线段的对称轴与这条线段有什么关系？说明理由线段的对称轴与这条线段有什么关系？说明理由你能用不同的方法验证这一结论吗你能用不同的方法验证这一结论吗？探索并证明线段垂直平分线的性质探索并证明线段垂直平分线的性质如图，直线如图，直线l 垂直平分线段垂直平分线段AB，P1，P2，P3，是是l 上的点，请猜想点上的点，请猜想点P1，P2，P3，到点到点A 与点与
3、点B 的的距距离之间的数量关系离之间的数量关系相相等等 ABlP1P2P3探索并证明线段垂直平分线的性质探索并证明线段垂直平分线的性质 请在图中的直线请在图中的直线l 上任取一点，那么这一点与线段上任取一点，那么这一点与线段AB 两个端点的距离相等吗？两个端点的距离相等吗？线段垂直平分线上的点与这条线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等线段两个端点的距离相等ABlP1P2P3已知：已知：如图，直线如图，直线lAB，垂足为，垂足为C，AC=CB，点，点P 在在l 上上求证：求证：PA=PB探索并证明线段垂直平分线的性质探索并证明线段垂直平分线的性质证明：证明：“线段垂直平分线上的点到线
4、段两端点的距线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等离相等”ABPCl探索并证明线段垂直平分线的性质探索并证明线段垂直平分线的性质用几何语言表示为：用几何语言表示为：CA=CB，lAB，PA=PB证明：证明：lAB，PCA=PCB又又 AC=CB，PC=PC，PCA PCB（SAS）PA=PBABPCl线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等线段两个端点的距离相等已知：已知：如图，直线如图，直线lAB，垂足为，垂足为C，AC=CB，点点P 在在l 上上求证：求证：PA=PB8课堂练习课堂练习练习练习1如图，如图，在
5、在ABC 中中，BC=8，AB 的中垂线的中垂线 交交BC于于D，AC 的中垂线交的中垂线交BC 与与E，则则ADE 的周长等的周长等 于于_A B C D E 解：解：ADBC，BD=DC AD 是是BC 的垂直平分线的垂直平分线 AB=AC点点C 在在AE 的垂直平分线上的垂直平分线上AC=CE AB=AC=CE课堂练习课堂练习P62P622如图，如图，ADBC，BD=DC，点点C 在在AE 的垂直平的垂直平分线上，分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？的长度有什么关系？AB+BD与与DE 有什么关系有什么关系？A B C D E AB=CE，BD=DC，AB+BD=CD+CE 即即
6、AB+BD=DE 探索并证明线段垂直平分线的判定探索并证明线段垂直平分线的判定反过来，如果反过来，如果PA=PB，那么点，那么点P 是否在线段是否在线段AB 的的 垂直平分线上呢？垂直平分线上呢？点点P 在线段在线段AB 的垂直平分线上的垂直平分线上 已知：如图，已知：如图，PA=PB求证：点求证：点P 在线段在线段AB 的垂直平的垂直平分线上分线上PAB C 探索并证明线段垂直平分线的判定探索并证明线段垂直平分线的判定证明：如图证明：如图作作PCPCAB 则则PCA=PCB=90在在RtPCA 和和RtPCB 中，中，PA=PB，PC=PC，RtPCA RtPCB（HL）AC=BC又又 PC
7、AB，点点P 在线段在线段AB 的垂直平分线上的垂直平分线上PAB C 已知：如图，已知：如图，PA=PB求证：点求证：点P 在线段在线段AB 的垂直平分线上的垂直平分线上探索并证明线段垂直平分线的判定探索并证明线段垂直平分线的判定用几何符号表示为用几何符号表示为：PA=PB，点点P 在在AB 的垂直平分线上的垂直平分线上线段垂直平分线的判定线段垂直平分线的判定与一条线段两个端点距离相等的点，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上在这条线段的垂直平分线上PAB C 这些点能组成什么几何图形？这些点能组成什么几何图形？探索并证明线段垂直平分线的判定探索并证明线段垂直平分线的判定
8、你能再找一些到线段你能再找一些到线段AB 两端点的距离相等的点吗？两端点的距离相等的点吗？能找到多少个到线段能找到多少个到线段AB 两端点距离相等的点？两端点距离相等的点？在线段在线段AB 的垂直平分线的垂直平分线l 上的上的点与点与A，B 的距离都相等；反过来，的距离都相等；反过来，与与A，B 的距离相等的点都在直线的距离相等的点都在直线l上，所以上，所以直线直线l 可以看成与两点可以看成与两点A、B 的距离相等的所有点的集合的距离相等的所有点的集合PAB C 画线段画线段ABAB的垂直平分线的垂直平分线l，在，在l上任意取点上任意取点P P，量一量量一量点点P P到到A A与与B B的距离
9、，你有什么发现？再取几个点试试的距离，你有什么发现？再取几个点试试.你能你能说明理由吗？说明理由吗？结论：线段垂直平分线上的点与这条线段两个结论：线段垂直平分线上的点与这条线段两个 端点的距离相等端点的距离相等 反过来反过来,若若AP=BPAP=BP，则，则P P在线段在线段ABAB的垂直平的垂直平分线上分线上.结论：与一条线段两个端点距离相等的点，在这结论：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上条线段的垂直平分线上.线段的垂直平分线可以看成是与线段两端点的距离相线段的垂直平分线可以看成是与线段两端点的距离相等的所有点的集合等的所有点的集合.解：解：AB=AC，点点A 在在B
10、C 的垂直平分线的垂直平分线MB=MC，点点M 在在BC 的垂直平分线上的垂直平分线上直线直线AM 是线段是线段BC 的垂直的垂直 平分线平分线课堂练习课堂练习P62 2P62 2 练习练习3如图，如图，AB=AC，MB=MC直线直线AM 是线段是线段BC 的垂直平分线吗的垂直平分线吗？A B C D M 课堂练习课堂练习练习练习4如图，过点如图，过点P 画画AOB 两边的垂线，并和两边的垂线，并和 同桌交流你的作图过程同桌交流你的作图过程 A B O P 2.2.如图，如图，NMNM是线段是线段ABAB的垂直平分线的垂直平分线,下列说下列说法正确的有：法正确的有：.ABMN,ABMN,AD=
11、DBAD=DB，MNABMNAB，MD=DNMD=DN，ABAB是是MNMN的垂直平分线的垂直平分线.A AB BM MN ND D1.1.下列说法：若直线下列说法：若直线PEPE是线段是线段ABAB的垂直平分线，则的垂直平分线，则EA=EBEA=EB，PA=PBPA=PB；若；若PA=PBPA=PB，EA=EBEA=EB，则直线，则直线PEPE垂直平分垂直平分线段线段ABAB；若；若PA=PBPA=PB，则点，则点P P必是线段必是线段ABAB的垂直平分线上的垂直平分线上的点；若的点；若EA=EBEA=EB，则过点，则过点E E的直线垂直平分线段的直线垂直平分线段ABAB其其中正确的个数有（
12、）中正确的个数有（）A A1 1个个 B B2 2个个 C C3 3个个 D D4 4个个C C练一练练一练 问题思考：问题思考：既然轴对称图形的对称轴是任何既然轴对称图形的对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线，那么轴对称一对对称点所连线段的垂直平分线，那么轴对称图形的对称轴如何来作呢？图形的对称轴如何来作呢？只要我们找到一对对应只要我们找到一对对应点，作出连接它们的线段的点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴了两个图形的对称轴了如何作出线段的垂直平分线？如何作出线段的垂直平分线？由两点确定一条直线和线段垂直平分线的性质可知，由两点确定一
13、条直线和线段垂直平分线的性质可知，只要作出到线段两端点距离相等的两点并连接即可只要作出到线段两端点距离相等的两点并连接即可 作线段的垂直平分线作线段的垂直平分线.已知：线段已知：线段AB.AB.求作：线段求作：线段ABAB的垂直平分线的垂直平分线.A AB BC CD D作法：作法：（2 2）作直线）作直线CD.CD.CDCD即为所求即为所求.结论：结论：对于轴对称图形，只要对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点，作出对找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴就得到此图形的对称轴.（1 1）分别以点）分别以点A A，B B为圆心，为圆心
14、，以大于以大于 AB AB的长为半径作弧，的长为半径作弧，两弧交于两弧交于C C，D D两点两点.121.1.下图中的五角星有几条对称轴？作出下图中的五角星有几条对称轴？作出这些对称轴这些对称轴 A AB B作法：作法：（1 1）找出五角星的一对）找出五角星的一对对应点对应点A A和和B B，连接，连接ABAB（2 2）作出线段）作出线段ABAB的垂直平分线的垂直平分线n n则则n n就是这个五角星的一条对称轴就是这个五角星的一条对称轴 n n用同样的方法，可以找出五条对称轴，所以五角星有用同样的方法，可以找出五条对称轴，所以五角星有五五条条对称轴对称轴【跟踪训练跟踪训练】2.2.如图，如图，
15、ABCABC中，边中，边ABAB，BCBC的垂直的垂直平分线交于点平分线交于点P.P.（1 1）求证：）求证：PA=PB=PC.PA=PB=PC.（2 2）点）点P P是否也在边是否也在边ACAC的垂直平分线的垂直平分线上呢？由此你能得出什么结论？上呢？由此你能得出什么结论？A AP PC CB B结论：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点结论：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等到三角形三个顶点的距离相等.1.1.（临沂临沂中考）正方形中考）正方形ABCDABCD边长为边长为a a，点，点E E，F F分别是对角分别是对角线线BDBD上的两点，过点上的两
16、点，过点E E，F F分别作分别作ADAD，ABAB的平行线，如图所示，的平行线，如图所示，则图中阴影部分的面积之和等于则图中阴影部分的面积之和等于 【解析解析】运用轴对称、转化的思想，阴运用轴对称、转化的思想，阴影部分面积等于正方形面积的一半，即影部分面积等于正方形面积的一半，即 .答案：答案：21a221a22.2.有有A A，B B，C C三个村庄，现准备要建一所学校，要求学三个村庄，现准备要建一所学校，要求学校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置.A AB BC C【提示提示】学校在连接任意两学校在连接任意两点的两条线段的垂直平分线点的两条
17、线段的垂直平分线的交点处的交点处.3.3.如图，若如图，若AC=12AC=12，BC=7BC=7，ABAB的垂直平分线交的垂直平分线交ABAB于于E E，交，交ACAC于于D D，求，求BCDBCD的周长的周长.D DC CB BE EA A【解析解析】EDED是线段是线段ABAB的垂直平分线，的垂直平分线，BCDBCD的周长的周长=BD+DC+BC=BD+DC+BC BCDBCD的周长的周长=BD=ADBD=AD，AD+DC+BCAD+DC+BCAC+BCAC+BC12+7=19.12+7=19.4.4.如图，如果如图，如果ACDACD的周长为的周长为18cm18cm，ABCABC的的周长为
18、周长为28cm28cm，DEDE是是BCBC的垂直平分线的垂直平分线,根据这根据这些条件，你可以求出哪条线段的长些条件，你可以求出哪条线段的长?（1 1）ACDACD的周长的周长AD AD CDCDACAC18cm.18cm.（2 2）ABCABC的周长的周长ABABACACBCBC28cm.28cm.（3 3）由）由DEDE是是BCBC的垂直平分线得：的垂直平分线得：BDBDCDCD；所以；所以ADADCDCDADADBDBDAB.AB.（4 4）由（）由（2 2）中式子（）中式子（1 1）中式子得）中式子得BCBC10cm.10cm.EDCBA【解析解析】5.5.如图，如图，A A，B B
19、是路边两个新建小区，要在公路边增设一个是路边两个新建小区，要在公路边增设一个公共汽车站公共汽车站.使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽车站应建在什么地方？车站应建在什么地方？BA【提示提示】连接连接ABAB，作，作ABAB的垂直平分线，则与公路的的垂直平分线，则与公路的交点就是要建的公共汽车站交点就是要建的公共汽车站.通过本课时的学习，需要我们：通过本课时的学习，需要我们：1.1.了解轴对称及线段的垂直平分线的有关性质了解轴对称及线段的垂直平分线的有关性质.2.2.会灵活运用这些性质来解决问题会灵活运用这些性质来解决问题3.3.用尺规作出线段的垂直平分线并据此得到作出一个用尺规作出线段的垂直平分线并据此得到作出一个轴对称图形的一条对称轴的方法轴对称图形的一条对称轴的方法.4.4.找出轴对称图形的任意一对对应点，连接这对对应点，找出轴对称图形的任意一对对应点，连接这对对应点，作出连线的垂直平分线，该垂直平分线就是这个轴对称图形作出连线的垂直平分线，该垂直平分线就是这个轴对称图形的一条对称轴的一条对称轴 在数学的领域中在数学的领域中,提出问题的艺术比解答提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要问题的艺术更为重要.康托尔康托尔
