1、3.6 频率响应函数与理想滤波器频率响应函数与理想滤波器 其一是信号从一点到达另一点必须经过某其一是信号从一点到达另一点必须经过某种介质或系统；种介质或系统；其二是将信号经过专门设计的系统进行处其二是将信号经过专门设计的系统进行处理以实现特定的目的和要求。理以实现特定的目的和要求。第一种情况信号经过的介质或系统有时是第一种情况信号经过的介质或系统有时是不能避开或不能改变的，不能避开或不能改变的，第二种情况则可以根据需要对系统加以设第二种情况则可以根据需要对系统加以设计，得到所期望的系统特性。计，得到所期望的系统特性。l以单位冲激信号以单位冲激信号 作为激励时，系统产作为激励时，系统产生的零状态
2、响应，记作生的零状态响应，记作 。l任意时域信号激励时系统的响应任意时域信号激励时系统的响应)(t)(th)(tLTI()h t)(th)(tx)(*)()(thtxty1.1.时域分析法本质时域分析法本质 0()()*()tx tx ttxtd()x t()h t()()*()y tx th t()()x tt即分解限之加将为无个叠 0()()()ty tx th txh td()h t即零分解所有被激加的之加状态响应为励权叠时域方法缺点：计算复杂。时域方法缺点：计算复杂。2.2.频域分析法（是变换域分析法的一种）频域分析法（是变换域分析法的一种）()()Yy t)(jH()()()()()
3、F y tF h tx tF h tF x t()()()y th tx t YHX由时域卷积定理知：由时域卷积定理知：称为称为频响函数。频响函数。此方法称为频域分析法，另外还有复此方法称为频域分析法，另外还有复频域分析法、频域分析法、Z Z域分析法等都是属于变换域分析法。域分析法等都是属于变换域分析法。()()x tX()()()YHX)(th)(tx)(*)()(thtxty时域系统的响应频域系统的响应l 是是 的傅氏变换的傅氏变换l 是系统零状态输出和输入各自傅氏变换的比是系统零状态输出和输入各自傅氏变换的比()H系统的频域特征频率响应函数()H)(th()()()YHX)(tx()X)
4、(ty()Y)(th()H()HFFF()H频率响应函数的定义()()()YHX()()HF h t()H复函数写为如下形式：j()()()eHHH()H称为系统的幅频特性；()H称为系统的相频特性。011()|cos2j tXx tXedXtd 011()()22j tj ty tYedHXed将任意激励信号分解为无穷多项 信号的叠加（或无穷多项正弦分量的叠加）tje将无穷多项 信号分量作用于系统所得的响应取和（叠加）tje2.2.频域分析法本质频域分析法本质频域分析法：也是建立在线性系统具有叠加性、齐次性基础频域分析法：也是建立在线性系统具有叠加性、齐次性基础上，与时域分析法不同处在于信号
5、分解的单元函数不同。上，与时域分析法不同处在于信号分解的单元函数不同。总结：在线性时不变系统的分析中，无论时域、频域的方法总结：在线性时不变系统的分析中，无论时域、频域的方法都可按信号分解、求响应再叠加的原则来处理。都可按信号分解、求响应再叠加的原则来处理。()()()h tHy t设系统的冲激响应和频响函数分别为和，求解系统响应的方法：()()Yy t)(jH()()x tX1()x t（）为非周期信号，且其傅里叶变换存在。0j2()()etx tx t（）为单频周期信号0000jjj0()e()()P71 3-2e=()e,8ttty th tHH 见（）()H上式表明：系统在无始无终指数
6、信号作用下，响应也为相同频率的指数信号，其复振幅为在输入信号频率处的值。jj()jj()e()ed()edetttx txxjj()e()ettx tX0000jjj0()e()()e=()ettty th tHH P71 3-28见（）3()x t（）为一般形式的周期信号0j()ektkkx tc傅里叶级数0j0()()ektkky tc H k应用叠加原理，系统响应()()y tx t可以看出，不仅是周期的，而且与输入有相同的基波频率。-()H例3 18 已知某系统的频率响应函数为1()1jH()()x ty t求下列输入作用下的系统响应。21()e()tx tt（）2()cos(2)x
7、tt（）21()e()tx tt解：（）的傅里叶变换为1()2jX1()()()(1j)(2j)YHX则11()1j2jY上式可分解为()Y利用线性性质，取的逆变换，得2()(ee)()tty ttj2j221()cos(2)(ee)2ttx tt解：（）用指数函数表示正弦输入 j2j2j2j2j21()(2)e(2)e21Re(2)eRee1j21j2Ree51cos(2)2sin(2)5ttttty tHHHtt0000jjj()e()e()()etttx ty th tH 根据：单频周期信号 系统响应由叠加性可得 n信号传输的不失真条件信号传输的不失真条件LTI)(tx)(th)(ty)
8、(|)(|)(jeXtx)(|)(|)(jeHth)()(|)(|)(|)()()(jjeHXthtxty信号通过系统传输时，其幅度与相位都有所变化。信号通过系统传输时，其幅度与相位都有所变化。就会引起幅度失真与相位失真。就会引起幅度失真与相位失真。如果：如果：)()(0ttkxty我们就认为信号无失真。我们就认为信号无失真。n信号传输的不失真条件信号传输的不失真条件)()(0ttkxty件为即无失真传输的时域条0j,()()etYKX由时移特性可得0jm()()e,()tYHKX0(),()HHKt n信号传输的不失真条件信号传输的不失真条件0j()()e,tYKX无失真传输的频域特性0jm
9、()()e,()tYHKX表明：系统的在输入信号的有效频率范围内必须是与频率无关的常数，而则是一条通过原点并具幅频特性有斜率相频特性为的直线()HK0()Ht 无失真传输与相位失真传输示例 特别注意，不满足无失真传输条件的线性系统引起的失真仅仅是各频率分量幅度的相对比例发生变化或有不相等的时移，输出中不会有输入信号中所不具有的频率分量。它与非线性失真有着本质的不同，非线性失真的输出会出现输入中所没有的频率分量。l无失真传输时域、频域情况无失真传输时域、频域情况全通网络，信号全通网络，信号幅度不失真幅度不失真信号放大、时延，信号放大、时延，波形不失真波形不失真线性相位，波形线性相位，波形不失真不
10、失真K)(H)(tx)(0ttKx0tt)()(0ttKxty0)()(tjeKXY)(H)()()()(0ttkth时域表征时域表征l信号传输的不失真条件信号传输的不失真条件：0)(|)(|)(0tkHkeHtjk0|)(|H0通常，系统若在待传输信号的通常，系统若在待传输信号的带宽范围内满足不失真带宽范围内满足不失真条件，条件，则认为该系统对这一信号是不失真系统。则认为该系统对这一信号是不失真系统。频域表征频域表征从系统函数的意义上讲：从系统函数的意义上讲：输出仅是输入的线性放输出仅是输入的线性放大和延时，则系统不使输出波形失真大和延时，则系统不使输出波形失真)(th)(t)()(0ttk
11、ty常用冲激信号作为测试系统保真度的信号常用冲激信号作为测试系统保真度的信号n理想滤波器及其冲激响应理想滤波器及其冲激响应l理想低通滤波器理想低通滤波器频率特性为：频率特性为：时域特性为：时域特性为：)()(0ttSathcc它是非因果的，非物理可实现的。它是非因果的，非物理可实现的。)(thct/c0cothereeHHctjj01)()(0)(理想低通滤波器的冲激响应理想低通滤波器的冲激响应)()(ttx)()(tyth)(121)()(0)(10ttSadeHFTthccttj)(th0tct0理想低通滤波器的冲激响应与带宽的关系理想低通滤波器的冲激响应与带宽的关系理想低通滤波器的阶跃响
12、应理想低通滤波器的阶跃响应dxttddttdxttx0001)()()()(tte)(trdtt)(sin21210deejRFTtrtjtj)1)(21)()(10jejEHR1)()()()(t0)(121sin1210ySidxxx)(121)(ySitr2xxsin2)(sin2)(,2)(,ySixxySitySit主瓣宽度主瓣宽度上升上升)(ySi2dttttySi000)()(sin)()(t1是前面波是前面波形的延迟形的延迟)(tr2110t)(121)(ySitr例：例：理想低通滤波器对矩形方波的响应理想低通滤波器对矩形方波的响应)1)(1)(jejE0)1(1)()(tjj
13、eejR)()(1)(21)(00ttSittSidejRtrtj)(trt)()()(ttte例：例：理想低通对理想低通对 的响应的响应 可以证明理想低通对可以证明理想低通对 和对和对 的响的响 应是一样的。应是一样的。)(xSa)(tcttccsin证：证：)()(ttec)()(0ttSathcc)()(tte)()()(0ttSathtrccttteccsin)(对偶性对偶性)()()(cccE和和 有完全一样的形状，相乘的结果有完全一样的形状，相乘的结果还是还是 ,反变换回去还是反变换回去还是e(t),只是多了相移，只是多了相移，因为因为 是有线性相位的。是有线性相位的。)(E)(H)(E)(H)()(sin)(00tttttr0t)(trtn理想带通滤波器的冲激响应理想带通滤波器的冲激响应)()(sin)(0000ttttethctjc作业习题习题33-193-203-21
