1、第第7章章 数学公理化方法数学公理化方法1 1 数学公理化方法的意义数学公理化方法的意义一、数学公理化方法的含义一、数学公理化方法的含义 所谓公理化方法就是从尽可能少的不加定义的所谓公理化方法就是从尽可能少的不加定义的原始原始概念概念和不加证明的和不加证明的原始命题原始命题（公理、公设）出发，按照（公理、公设）出发，按照逻辑规则逻辑规则推到出其他命题，建立起一个推到出其他命题，建立起一个演绎系统演绎系统的方法。的方法。其中，我们把由公理化方法最后得到的知识结构，其中，我们把由公理化方法最后得到的知识结构，称之为称之为公理体系公理体系，而由不加证明的原始命题（公理或公，而由不加证明的原始命题（公
2、理或公设）形成的结构，称之为设）形成的结构，称之为公理系统公理系统。如如:的公理系统的公理系统二、意义：二、意义：1 1、总结性、总结性 2 2、示范性、示范性(牛顿牛顿)3 3、简洁性、简洁性 4 4、系统性、系统性 5 5、可比较性、可比较性2 2 数学公理化方法的产生与发展数学公理化方法的产生与发展一、公理化方法的萌芽一、公理化方法的萌芽-亚里士多德的三段论体系亚里士多德的三段论体系o 大约在公元前大约在公元前3 3世纪，希腊哲学家和逻辑学家亚里士多世纪，希腊哲学家和逻辑学家亚里士多德德(公元前公元前384322384322年年)总结了古代积累起来的逻辑知总结了古代积累起来的逻辑知识，在
3、其专事探讨演绎证明理论的巨著识，在其专事探讨演绎证明理论的巨著分析篇分析篇中，中，以演绎证明的科学（主要是数学）为实例，把完全三段以演绎证明的科学（主要是数学）为实例，把完全三段论作为公理，在历史上提出了第一个公理体系论作为公理，在历史上提出了第一个公理体系三段三段论体系，这就为公理方法的产生奠定了基础。论体系，这就为公理方法的产生奠定了基础。二、实质公理化方法的产生二、实质公理化方法的产生-欧几里得的几何公理欧几里得的几何公理体系体系（1 1）由于欧几里得的公理系统具有特定的对象（或者说，）由于欧几里得的公理系统具有特定的对象（或者说，这一公理系统被认为是从属于这些特定对象的），又由这一公理
4、系统被认为是从属于这些特定对象的），又由于这些对象具有明显的直观背景于这些对象具有明显的直观背景现实空间（从而人现实空间（从而人们就可以用所谓的直观性来作为公理的判断依据），因们就可以用所谓的直观性来作为公理的判断依据），因此这种公理系统就被称为实质的公理系统。此这种公理系统就被称为实质的公理系统。对象对象-公理公理-演绎演绎（2 2）实质公理系统的特点：）实质公理系统的特点：研究对象先于公理给出。研究对象先于公理给出。公理和公设对自明性有不同的要求公理和公设对自明性有不同的要求 用构造作为存在性的证明。用构造作为存在性的证明。三、潜形式公理化阶段三、潜形式公理化阶段-非欧几何体系非欧几何体系
5、（1）改变了几何公理借助直感达到自明的传统观念，）改变了几何公理借助直感达到自明的传统观念，使人们认识到对公理进行科学抽象的重要性，为形使人们认识到对公理进行科学抽象的重要性，为形式公理系统的诞生铺平了道路。式公理系统的诞生铺平了道路。（2）几种几何理论同时并存的局面事实上已表明几）几种几何理论同时并存的局面事实上已表明几何理论不再从属于某种特定的研究对象，人们开始何理论不再从属于某种特定的研究对象，人们开始认识到舍弃特定的实质性的对象，仅从形式上认识到舍弃特定的实质性的对象，仅从形式上“自自由地由地”建立几何理论的可能，这正是我们把这一阶建立几何理论的可能，这正是我们把这一阶段称之为潜形式公
6、理化阶段的原因。段称之为潜形式公理化阶段的原因。四、形式公理化阶段四、形式公理化阶段-希尔伯特公理体系德国数学希尔伯特公理体系德国数学（希尔伯特于（希尔伯特于18991899年出版的年出版的几何基础几何基础就是形式化公理就是形式化公理方法的典型体现。希氏认为公理系统中所涉及的对象可方法的典型体现。希氏认为公理系统中所涉及的对象可以是任何事物，只要它们满足公理所表述的事实，那么，以是任何事物，只要它们满足公理所表述的事实，那么，由这些公理出发经由演绎而得出的定理对它们来说就是由这些公理出发经由演绎而得出的定理对它们来说就是成立的。）成立的。）特点：（特点：（1 1）公理）公理-对象对象-演绎演绎
7、（2 2）形式公理排除直观默认，不再区分公理和公设，整个）形式公理排除直观默认，不再区分公理和公设，整个系统具有严格的逻辑性系统具有严格的逻辑性（3 3）形式公理系统由于具有更高的抽象性，因此也就具有）形式公理系统由于具有更高的抽象性，因此也就具有更高的概括性。更高的概括性。o 五、纯形式公理化阶段五、纯形式公理化阶段-元数学的建立元数学的建立o 所谓元数学，笼统地讲，就是指把某种数学理所谓元数学，笼统地讲，就是指把某种数学理论（如自然数理论，几何理论等）作为一个整论（如自然数理论，几何理论等）作为一个整体来加以研究，研究系统的相容性、完备性及体来加以研究，研究系统的相容性、完备性及公理的独立
8、性等问题。公理的独立性等问题。3 公理化方法的特点与基本问题公理化方法的特点与基本问题一、特点：一、特点：1、纯粹的演绎系统；、纯粹的演绎系统；2、有序的整体；、有序的整体；3、系统是形式化的、系统是形式化的二、基本问题：二、基本问题：1、关键：选择基本概念与公理、关键：选择基本概念与公理2、选择公理的基本问题：相容性；独立性、完备性、选择公理的基本问题：相容性；独立性、完备性三、对公理系统的检验三、对公理系统的检验(检验的方法检验的方法:直接证法和间接证法直接证法和间接证法)1、相容性的证明、相容性的证明欧氏几何的相容性的证明欧氏几何的相容性的证明(实数模型实数模型)罗氏几何的相容性证明：罗
9、氏几何的相容性证明：欧氏几何相容性欧氏几何相容性“模型模型”：庞加莱模型庞加莱模型 罗氏几何罗氏几何-欧氏几何欧氏几何 点点 -直线直线a上方的点上方的点 线线 -以以a上的点为圆心作圆，上的点为圆心作圆，a以上的半圆以上的半圆 面面 -直线直线a以上的欧氏平面以上的欧氏平面 F克莱因模型克莱因模型 罗氏几何罗氏几何-欧氏几何欧氏几何 点点 -欧氏圆的内点欧氏圆的内点 线线 -圆的弦（不包括两端点）圆的弦（不包括两端点）面面 -圆的内部圆的内部2、独立性的证明、独立性的证明(转化为转化为“相容性的证明相容性的证明”）3、系统完备性的证明、系统完备性的证明（如果某一公理体系的所有模型都是同构的，
10、则这个（如果某一公理体系的所有模型都是同构的，则这个公理体系是完备的。公理体系是完备的。）哥德尔不完备性定理：哥德尔不完备性定理：如果形式算术系统是如果形式算术系统是无矛盾的，无矛盾的，则存在着这样一个命题，该命题及其否定在该系统中都不则存在着这样一个命题，该命题及其否定在该系统中都不能证明，即它是不完备的。能证明，即它是不完备的。o系统内构造了这样一个命题系统内构造了这样一个命题G G，GG为为G G的映射的映射 ，G=“GG=“G是不能是不能证明的证明的”o前提：前提：（）凡是可证明的命题必然是真的（从直观上看，这是）凡是可证明的命题必然是真的（从直观上看，这是任何一公理系统的必然要求）。
11、任何一公理系统的必然要求）。（）命题的真理性在映射下保持不变（特别是这里的）命题的真理性在映射下保持不变（特别是这里的G G和和GG是同真假的）。是同真假的）。o结论结论1 1：G G是不能证明的。是不能证明的。证明：用反证法证明：用反证法 设设G G是可以证明的（是可以证明的（）GG为真，（为真，（）GG为真；由为真；由GG的意义的意义GG是不能证明的。矛盾，证毕。是不能证明的。矛盾，证毕。o结论结论2 2：|G|G也是不能证明的。也是不能证明的。证明：由结论证明：由结论1 1可知，可知，G G是不能证明的，由是不能证明的，由GG的意义的意义GG为真；为真；（）GG为真，为真，DfDf|G|
12、G为假，（为假，（）|G|G是不能证明的，是不能证明的，证毕。证毕。思考：思考：中学几何体系的特点中学几何体系的特点 诡辩题：诡辩题：“任何三角形都是等腰三角形任何三角形都是等腰三角形”为什么为什么?4公理化方法的作用公理化方法的作用o 公理化方法举例（公理化方法举例（布尔代数公理体系布尔代数公理体系、正余弦函数正余弦函数公理体系公理体系）o 作用：作用：1、公理化方法是加工、整理知识，建立科学理论的、公理化方法是加工、整理知识，建立科学理论的工具，公理系统的形成是数学分支发展的新起点；工具，公理系统的形成是数学分支发展的新起点；2、公理化方法有助于发现新的数学成果，可以探索、公理化方法有助于
13、发现新的数学成果，可以探索各个数学分支的逻辑结构，发现新问题，促进和推各个数学分支的逻辑结构，发现新问题，促进和推动新理论的创立和发展；动新理论的创立和发展；3、公理化方法是建立某些抽象学科的基础；、公理化方法是建立某些抽象学科的基础；4、公理化方法对各门自然科学的表述具有积极的借、公理化方法对各门自然科学的表述具有积极的借鉴作用；鉴作用；5、公理化方法对培养和熏陶人们的逻辑思维能力具、公理化方法对培养和熏陶人们的逻辑思维能力具有重要作用。有重要作用。思考：思考：o 思考一：如何认识对同一对象的不同形式的公思考一：如何认识对同一对象的不同形式的公理描述？理描述？o 它正好体现了辩证唯物论的能动
14、反映论。纯数它正好体现了辩证唯物论的能动反映论。纯数学是以现实作为自己的客观基础，它源于现实，学是以现实作为自己的客观基础，它源于现实，同时又以极度抽象的形式能动地反映现实，正同时又以极度抽象的形式能动地反映现实，正因为如此，才有可能选取因为如此，才有可能选取不同的抽象方式不同的抽象方式，从，从不同角度不同角度来反映，研究同一现实对象，取得殊来反映，研究同一现实对象，取得殊途同归的结果。途同归的结果。o 思考二：公理化方法是思维的思考二：公理化方法是思维的“自由产物自由产物”呢还是建立呢还是建立在一定的客观基础之上的东西？在一定的客观基础之上的东西？o 如果基本概念和命题本身就是没有内容、没有
15、任何解释如果基本概念和命题本身就是没有内容、没有任何解释的空洞符号，形式系统也就无意义了。所以，当一门科的空洞符号，形式系统也就无意义了。所以，当一门科学的基本概念尚未明确，其内在关系尚未弄清楚，普遍学的基本概念尚未明确，其内在关系尚未弄清楚，普遍方法尚未发展起来时，是不能建立起公理化系统的，从方法尚未发展起来时，是不能建立起公理化系统的，从这个意义上讲，这个意义上讲，公理化系统的建立就离不开数学活动实公理化系统的建立就离不开数学活动实践。践。o 此外，从公理系统相对相容性的证明过程中已清楚地看此外，从公理系统相对相容性的证明过程中已清楚地看到，将此相对证明过程进行下去，总有一个公理系统的到，
16、将此相对证明过程进行下去，总有一个公理系统的相容性不能建立于别的公理系统之上，而是在数学外面相容性不能建立于别的公理系统之上，而是在数学外面经由实践检验的，经由实践检验的，公理只是一个阶段上人们认识的成果，公理只是一个阶段上人们认识的成果，客观实践才是人们认识的基础客观实践才是人们认识的基础。o 思考三：公理化方法是万能的呢还是带有某思考三：公理化方法是万能的呢还是带有某种局限的方法？种局限的方法？o 公理化方法虽然对于数学研究具有重要意义公理化方法虽然对于数学研究具有重要意义和作用，但它却和作用，但它却不能取代不能取代具体数学学科的一具体数学学科的一些特殊研究方法。些特殊研究方法。o“希尔伯
17、特规划希尔伯特规划”的失败，表明公理化方的失败，表明公理化方法自身的某种法自身的某种局限局限。o 思考四：如何正确的认识实质公理化方法与形思考四：如何正确的认识实质公理化方法与形式公理化方法？式公理化方法？o 一方面，由于形式公理化较之实质公理化有更一方面，由于形式公理化较之实质公理化有更高层次的科学抽象，因此，能更深刻地突出反高层次的科学抽象，因此，能更深刻地突出反映事物的某些本质特征，才必然带来映事物的某些本质特征，才必然带来高度的概高度的概括性和应用广泛性。括性和应用广泛性。o 另一方面，这种形式化的抽象过程又必然舍弃另一方面，这种形式化的抽象过程又必然舍弃了事物客体的种种次要环节，因此
18、，最后反而了事物客体的种种次要环节，因此，最后反而不能较细致地逼真地描绘出事物内在本质中相不能较细致地逼真地描绘出事物内在本质中相互联结在一起的诸环节互联结在一起的诸环节，就这一点来说，实质，就这一点来说，实质公理化却比形式公理化更加贴近实体对象的本公理化却比形式公理化更加贴近实体对象的本性和体貌。这是形式公理化方法难以取代的。性和体貌。这是形式公理化方法难以取代的。的公理体系的公理体系:o（1）从一些概念（）从一些概念（23个）的定义开始：个）的定义开始：定义定义1 点没有部分。点没有部分。定义定义2 线有长度没有宽度。线有长度没有宽度。定义定义3 线的界限是点。线的界限是点。定义定义4 直
19、线是这样的线，它对于它的所有各个直线是这样的线，它对于它的所有各个点都有同样的位置。点都有同样的位置。定义定义5 面只有长度和宽度。面只有长度和宽度。几何原本几何原本中的公理系统中的公理系统（2 2）引进公设和公理，即不加证明而采用的命题：）引进公设和公理，即不加证明而采用的命题：5 5条公设：条公设：o 公设公设 由任意一点到另一任意点可以画直线；由任意一点到另一任意点可以画直线；o 公设公设 一条有限直线可以无限延长；一条有限直线可以无限延长；o 公设公设 以任意点为心及任意的距离可以画圆；以任意点为心及任意的距离可以画圆；o 公设公设 凡直角都彼此相等；凡直角都彼此相等；o 公设公设 同
20、平面内一条直线和另外两条直线相交，同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于二直角的和，则若在某一侧的两个内角的和小于二直角的和，则这二直线经无限延长后在这一侧相交。这二直线经无限延长后在这一侧相交。5 5条公理：条公理：o 公理公理 等于同量的量彼此相等；等于同量的量彼此相等；o 公理公理 等量加等量，其和仍相等；等量加等量，其和仍相等；o 公理公理 等量减等量，其差仍相等；等量减等量，其差仍相等；o 公理公理 彼此能重合的物体是全等的；彼此能重合的物体是全等的；o 公理公理 整体大于部分。整体大于部分。（3 3）根据公设和公理进行证明：（）根据公设和公理进行证明：（4
21、65465个定理）个定理）Hilbert的公理系统：的公理系统：（1）结合公理结合公理（共（共8条）条）（2）顺序公理顺序公理（共（共4条）条）（3）合同公理合同公理（共（共5条）条）（4）连续公理（共）连续公理（共2条）条）（5）平行公理）平行公理结合公理：结合公理：o 过两点有一直线；过两点有一直线；o 过两点至多有一直线；过两点至多有一直线；o 直线上至少有两点，又至少有三点不在同一直线上；直线上至少有两点，又至少有三点不在同一直线上；o 过不在同一直线上的三点必有一平面，每一平面上过不在同一直线上的三点必有一平面，每一平面上至少有三点；至少有三点；o 过不在同一直线上的三点至多有一平面
22、；过不在同一直线上的三点至多有一平面；o 如果一直线的两点在某平面上，则该直线的所有点如果一直线的两点在某平面上，则该直线的所有点均在此平面上；均在此平面上；o 如果两平面有一公共点，则它们至少还有另一公共如果两平面有一公共点，则它们至少还有另一公共点；点；o 至少有四点不在同一平面上。至少有四点不在同一平面上。顺序公理：顺序公理：1、若点、若点B位于点位于点A、C之间，则之间，则A、B、C是同一直线是同一直线上的三点，且上的三点，且B位于位于C、A之间；之间；2、对于两给定点、对于两给定点A与与C，则至少存在一点，则至少存在一点B，使，使C在在A、B之间；之间；3、直线上的任意三点中，至多有
23、一点位于其它两点、直线上的任意三点中，至多有一点位于其它两点之间；之间；4、（巴士公理）、（巴士公理）A、B、C是不共线三点，直线是不共线三点，直线L在在A、B、C三点的平面上，但不过三点的平面上，但不过A、B、C三点，如果三点，如果L穿过穿过AB截段中的一个点，则截段中的一个点，则L必穿过截段必穿过截段AC或或BC中的某点。中的某点。o 合同公理合同公理1、如果、如果A、B为直线为直线L上的两点，上的两点，为直线为直线L上或另一直线上或另一直线 的点，则在的点，则在 的给定一侧的给定一侧必可在必可在L或或 上找到一点上找到一点 ，使得截段，使得截段 合同于合同于AB，记为，记为 。o 连续公
24、理连续公理1、阿基米德公理、阿基米德公理2、康托公理、康托公理o 平行公理平行公理ALALBBAABBA中学几何公理系统：中学几何公理系统：o 结合公理选取了一部分：结合公理选取了一部分：1、两点确定一条直线；、两点确定一条直线；2、三个不共线的点确定一个平面；、三个不共线的点确定一个平面；3、一条直线上的两个点如果都在一个平面内，则这、一条直线上的两个点如果都在一个平面内，则这条直线上所有点都在这个平面内；条直线上所有点都在这个平面内；4、如果两个平面内有一个公共点，这两个平面就有、如果两个平面内有一个公共点，这两个平面就有一条公共线。一条公共线。o 顺序公理、合同公理和连续公理没有提出而凭
25、直观顺序公理、合同公理和连续公理没有提出而凭直观默认。默认。o 平行公理进行了强化：过直线外一点，有且仅有一平行公理进行了强化：过直线外一点，有且仅有一条一条直线与该直线平行。条一条直线与该直线平行。新增的新增的“公理公理”：1、平行线判定定理：同位角相等，两直线平行；、平行线判定定理：同位角相等，两直线平行；2、平行线的性质定理：两直线平行，同位角相等；、平行线的性质定理：两直线平行，同位角相等；3、三角形全等的判定：、三角形全等的判定：SAS、ASA、SSS4、不共面的三条直线中，如果有两条都和第三条、不共面的三条直线中，如果有两条都和第三条直线平行，这两条直线也平行；直线平行，这两条直线
26、也平行；5、两点间的直线段最短；、两点间的直线段最短；6、长方形的体积等于它的长、宽、高的乘积。、长方形的体积等于它的长、宽、高的乘积。.中学几何体系的特点：中学几何体系的特点：o 不明确指出哪些是原始概念不明确指出哪些是原始概念,对基本对象通对基本对象通过直观进行描述；过直观进行描述；o 对一些理应严格定义的概念，也采用直观描对一些理应严格定义的概念，也采用直观描述的方法；述的方法；o 扩大公理体系，降低教学难度，把原来在严扩大公理体系，降低教学难度，把原来在严格公理系统中可以证明的定理，也列为公理，格公理系统中可以证明的定理，也列为公理，不加证明地去使用；不加证明地去使用；o 尽管扩大公理
27、体系，公理仍不完备。尽管扩大公理体系，公理仍不完备。自然哲学的数学原理自然哲学的数学原理的结构的结构:o 定义定义1 1 物质的量是用它的密度和体积一起来量度的。物质的量是用它的密度和体积一起来量度的。o 定义定义2 2 运动的量是用它的速度和质量一起来运动的量是用它的速度和质量一起来o 定义定义3 3 o 定义定义4 4 外加力是一种为了改变一个物体的静止或等速外加力是一种为了改变一个物体的静止或等速直线运动状态而加于其上的作用力。直线运动状态而加于其上的作用力。o 规律规律1 1 每个物体继续保持其静止或沿一直线作等速运每个物体继续保持其静止或沿一直线作等速运动的状态，除非有力加于其上迫使
28、它改变这种状态。动的状态，除非有力加于其上迫使它改变这种状态。o 规律规律2 2 运动的改变和所加的动力成正比，并且发生在运动的改变和所加的动力成正比，并且发生在所加的力的那个直线方向上。所加的力的那个直线方向上。o 规律规律3 3 每一个作用力总是有一个相等的反作用和它相每一个作用力总是有一个相等的反作用和它相对抗。对抗。o 定理定理1 1 亚里士多德的亚里士多德的分析篇分析篇：o 分析篇分析篇分前、后两部分，分前、后两部分，前分析篇前分析篇主要论述关主要论述关于如何进行演绎证明的问题，在该篇中系统地研究了三于如何进行演绎证明的问题，在该篇中系统地研究了三段论式。段论式。o 后分析篇后分析篇
29、主要研究按照演绎证明建立起来的学科本主要研究按照演绎证明建立起来的学科本身的逻辑结构与逻辑要求的问题。按照亚里士多德的观身的逻辑结构与逻辑要求的问题。按照亚里士多德的观点，演绎证明的科学（他指的是数学）是关于某一个确点，演绎证明的科学（他指的是数学）是关于某一个确定的领域的全部真命题，这些命题分为二类，一类是基定的领域的全部真命题，这些命题分为二类，一类是基本命题（即公理）再一类是从基本命题引申出来的命题；本命题（即公理）再一类是从基本命题引申出来的命题；相应地，概念也分为二类，一类是基本概念，再一类是相应地，概念也分为二类，一类是基本概念，再一类是从基本概念派生出的来的概念。根据上面这个结构
30、，亚从基本概念派生出的来的概念。根据上面这个结构，亚里士多德提出了两个逻辑要求，第一，公理必须是明显里士多德提出了两个逻辑要求，第一，公理必须是明显的。因而无需证明的，同样，基本概念必须是直接可以的。因而无需证明的，同样，基本概念必须是直接可以理解、无需加以定义的；第二，由公理证明定理时，必理解、无需加以定义的；第二，由公理证明定理时，必须遵守逻辑规律和逻辑规则，通过基本概念直接或间接须遵守逻辑规律和逻辑规则，通过基本概念直接或间接地对派生概念下定义时，也必须遵守下定义的逻辑规则。地对派生概念下定义时，也必须遵守下定义的逻辑规则。布尔代数公理体系：布尔代数公理体系：o布尔代数的公理系统：布尔代
31、数的公理系统：o逻辑代数逻辑代数L L是一个封闭的代数系统，它由一个逻辑变量集是一个封闭的代数系统，它由一个逻辑变量集K K，常量，常量0 0和和1 1以及以及“或或”、“与与”、“非非”三种基本运算所构成，记为三种基本运算所构成，记为L=K,+,-,0,1 L=K,+,-,0,1 ，称是一个布尔代数，它有下列公理：称是一个布尔代数，它有下列公理：开关电路：开关电路：o 假定开关断开用假定开关断开用0 0表示，开关闭合用表示，开关闭合用1 1表示；灯灭用表示；灯灭用0 0表表示，灯亮用示，灯亮用1 1表示，则灯表示，则灯F F与开关与开关A A、B B的关系如下表所示。的关系如下表所示。即：即
32、：A A、B B中只要有一个为中只要有一个为1 1，则，则F F为为1 1；仅当；仅当A A、B B均为均为0 0时，时，F F才为才为0 0。ABF 并联开关电路并联开关电路 0+0=00+1=11+0=11+1=1ABF 串联开关电路串联开关电路 11=110=001=000=0 开关与灯并联电路 AF10 01 根据布尔代数的公理，可以推导出逻辑代数的基本定根据布尔代数的公理，可以推导出逻辑代数的基本定理：。理：。由公理系统推出的基本定理：由公理系统推出的基本定理：定理定理1 0+0=0 1+0=1 0 0=0 1 0=0 0+1=1 1+1=1 0 1=0 1 1=1 证明证明：在公理
33、4中，A表示集合K中的任意元素，因而可以是0或1。用0和1代入公理4中的A，即可得到上述关系。如果以如果以1和和0代替公理代替公理5中的中的A，则可得到如下推论：，则可得到如下推论：0110 定理定理2 A+A=A ；A A=A (幂等律)证明证明 A+A=(A+A)1 公理4 =(A+A)公理5 =A+公理3 =A+0 公理5 =A 公理4)A(A)A(A定理定理3 A+A B=A ；A (A+B)=A(吸收律)定理定理4 A+B=A+B ;A (+B)=A B AA 证明证明 A+B=(A+)(A+B)公理3 =1(A+B)公理5 =A+B 公理4 AA定理定理5 =A A证明证明 令 =
34、X 因而 X=0 +X=1 公理5 但是 A=0 +A=1 公理5 由于X和A都满足公理5。因此，根据公理5的唯一性，得到A=X。AAAAA定理定理6(德莫根公式德莫根公式)BABABABA证明证明 由于()+(A+B)=(+A)+B 公理2 =(+A)+B 定理4 =A+(B+)公理1,2 =A+1 公理5 =1 公理4 而且()(A+B)=A+B 公理3 =0+0 公理1,5 =0 定理1 所以，根据公理5的唯一性可得BABABABABABABABB正余弦函数的公理系统的建立正余弦函数的公理系统的建立:o 正余弦函数有哪些性质公式正余弦函数有哪些性质公式?o 应将满足什么样的基本条件的函数
35、叫正应将满足什么样的基本条件的函数叫正(余余)弦函数弦函数?o 满足下列公理的函数满足下列公理的函数C(xC(x)叫余弦函数，函数叫余弦函数，函数S(xS(x)叫正叫正弦函数：弦函数：（1 1）对）对x x的任何实数值有定义；的任何实数值有定义；（2 2）满足函数方程）满足函数方程C(x-y)=C(x)C(y)+S(x)S(yC(x-y)=C(x)C(y)+S(x)S(y)（3 3）当）当0 xa0 x0)0，S(xS(x)0;)0;（4 4）在（）在（0 0，a a）的端点，有）的端点，有C(0)=S(aC(0)=S(a)=1.)=1.求证：求证：S(0)=C(aS(0)=C(a)=0)=01)()(22xSxC)()()2(22xSxCxC)()(2)2(xCxSxS)()()()()(ySxSyCxCyxC)()()()()(ySxSyCxCyxC)()()()()(ySxCyCxSyxS)()()()()(ySxCyCxSyxS
