1、 独立性问题第八讲简介 1.对基于符号（Kendall）的独立性自由分布检验 2.与Kendall统计量有关的一个估计 3.基于Kendall统计量一个渐进自由分布置信区间 4.基于秩（Spearman）的独立性自由分布检验P(Xx,Y)=P(Xx)P(Y)X Y yy如 果，则两 随 机 变 量和是 独 立 的数据：我们得到二元观察值：每n个主体里面有一个观察值假设：n个二元观察值 是来自连续二元总体的随机样本。也就是说，是相互独立，且与某连续的二元总体同分布。我们感兴趣的零假设是：),(),.,(11nnYXYX),(),.,(11nnYXYX),(YX?)()(),(:,0yFxFyxF
2、HYXYX对所以的 （8.1）),(yx对基于符号（Kendall）的独立性自由分布检验?),(),(0)(121212121212XXYYPXXYYPXXYYP10)(21212XXYYP41)21)(21()()(),(12121212XXPYYPXXYYP如果X与Y是独立的，则有：对（8.1）的备择假设是变量X与Y之间的相依性，这也是我们最感兴趣的。在这里，我们集中通过Kendall群体相关系数 来测量相依性类型。我们注意到事件 发生当且仅当事件 或事件 发生，所以：0)(1212XXYY),(1212XXYY),(1212XXYY41)21)(21()()(),(12121212XXP
3、YYPXXYYP类似地：（8.2）所以，在零假设成立的条件下，即：变量X与Y是独立的，则：01)4141(2但是我们注意到 并不一定表明变量X与Y是独立的。以下介绍符号（Kendall）的独立性自由分布检验。0为了计算Kendall样本相关统计量K，我们首先计算 对符号统计量 其中：),(),(jjiiYXYXQnji10)(10)(,1),(),(acbdif，acbdifYXYXQjjii?也就是说，以于每对下标 如果 是正的，我们给1分，如果 是负的，我们给-1分。因此，Kendall统计量K为：（8.6）从一对符号统计量相应地加1或减1。jiji),()(ijijXXYY)(ijijX
4、XYY 111),(),(ninijjjiiYXYXQ步骤：2/)1(nn所以：一：单边的上尾检验，相应的备择假设是：如果 ，则拒绝零假设，其中：是第一类错误概率等于 的值，反之，则接受零假设。二：单边的下尾检验，相应的备择假设是：如果 ，则拒绝零假设，反之，则接受零假设。三：双边检验，相应的备择假设是：如果 ，则拒绝零假设，反之，则接受零假设。kK k00kK02/kK 大样本逼近 在零假设下：18)52)(1()(0)(00nnnKVarKE2/12/100*18/)52)(1()(var)(nnnKKKEKK所以：一：单边的上尾检验，相应的备择假设是：如果 ，则拒绝零假设，反之，则接受零
5、假设。二：单边的下尾检验，相应的备择假设是：如果 ,则拒绝零假设，反之，则接受零假设。三：双边检验，相应的备择假设是：如果 ，则拒绝零假设，反之，则接受零假设。zK*00zK*02/*zK 当应用大样本逼近时，如果在X或Y存在结时，则在零假设下，K的方差变为：)1(2)1()1()2)(1(9)2)(1()2)(1(18)52)(1()52)(1()52)(1()(var1111110nnuuttnnnuuutttuuutttnnnKhjjjgiiihjjjjgiiiigihjjjjiii在这里 表示X组不同数的数目，表示Y组中不同数的数目，是组i 中X结的数目，是组j中Y结的数目ghitju
6、例8.1：金枪鱼罐头和质量。表8.1的数据是由Rasekh，克莱默，和芬奇（1970年）旨在确定各种因素促成的金枪鱼罐头与质量的相对重要性，并找到客观的方法来确定质量参数，以及消费者的偏爱的一项研究中获得数据的一部分。表8.1提供对9个金枪鱼罐头的猎人L明度测量与小组成绩的值。原来的消费小组分数很好，很好，很好，公平，穷人，和不能接受的是转换为数值6，5，4，3，2和1。在表8.1小组积分是80这个值的平均值。（所以Y随机变量是离散的，连续性的部分假设A是不满意。尽管如此，因为每个Y是80这个值的平均值，我们不必过度的担心偏离假设）人们怀疑，猎人L值与小组评分是正相关的。因此，我们应用单边的上
7、尾检验。(8.1)对 为了说明起见，我们考虑了显著水平 。查表我们找到 ，所以，如果 ，则拒绝零假设。14090.0k090.014K表8.1 9个金枪鱼罐头的猎人L测量与小组成绩的值标签 猎人L值（X）小组成绩（Y）1 44.4 2.62 45.9 3.13 41.9 2.5 4 53.3 5.05 44.7 3.6 6 44.1 4.07 50.7 5.28 45.2 2.89 60.1 3.8来源：Rasekh，克莱默，和芬奇（1970年）cor.test(x,y,alternative=c(two.sided,less,greater),method=c(pearson,kendall
8、,spearman),exact=NULL,conf.level=0.95,.)x,y numeric vectors of data values.x and y must have the same length.alternative indicates the alternative hypothesis and must be one of two.sided,greater or less.You can specify just the initial letter.greater corresponds to positive association,less to negat
9、ive association.method a character string indicating which correlation coefficient is to be used for the test.One of pearson,kendall,or spearman,can be abbreviated.exact a logical indicating whether an exact p-value should be computed.Used for Kendalls tau and Spearmans rho.See the Details for the m
10、eaning of NULL(the default).conf.level confidence level for the returned confidence interval.Currently only used for the Pearson product moment correlation coefficient if there are at least 4 complete pairs of observations.statistic the value of the test statistic.parameter the degrees of freedom of
11、 the test statistic in the case that it follows a t distribution.p.Value the p-value of the test.estimate the estimated measure of association,with name cor,tau,or rho corresponding to the method employed.null.value the value of the association measure under the null hypothesis,always 0.alternative
12、a character string describing the alternative hypothesis.method a character string indicating how the association was measured.data.name a character string giving the names of the data.conf.int a confidence interval for the measure of association.Currently only given for Pearsons product moment corr
13、elation coefficient in case of at least 4 complete pairs of observations.x-c(44.4,45.9,41.9,53.3,44.7,44.1,50.7,45.2,60.1)y x y cor.test(x,y,method=spearman,alternative=g)Spearmans rank correlation rhodata:x and y S=16.8,p-value=0.03996alternative hypothesis:true rho is greater than 0 sample estimates:rho 0.7 Warning message:Cannot compute exact p-values with ties in:cor.test.default(x,y,method=spearman,alternative=g)/(1)/2Kn n1321sr 与 的关系：111),(),(ninijjjiiYXYXQK)1(21211221nnnSnRrniiissr则有：
