1、3.2.23.2.2导数的导数的 几何意义几何意义高二数学高二数学 选修选修1-1 1-1 第三章第三章 导导数及其应用数及其应用xxfxxflimxylimxf0 x0 x0即：000 xxyf xxxfxy函数 在 处的导数，记作：或表示“平均变化率”xy 附近的变化情况。反映了函数在处的瞬时变化率，在表示函数000 x0 xxxxxfxylimxf2 一、复习一、复习导数的定义导数的定义 函数函数y=f(x)y=f(x)在在x=xx=x0 0处的瞬时变化率是函数处的瞬时变化率是函数 y=f(x)y=f(x)在在x=xx=x0 0 处的导数处的导数其中：其中：其几何意义是其几何意义是 表示
2、曲线上两点连线（就是曲线的割线）的斜率。表示曲线上两点连线（就是曲线的割线）的斜率。OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=xf(x2)-f(x1)=yPQoxyy=f(x)割割线线切线切线T二、曲线上一点的切线的定义二、曲线上一点的切线的定义结论结论:当当Q Q点无限逼近点无限逼近P P点时点时,此时此时直线直线PQPQ就是就是P P点处的切线点处的切线PT.PT.点点P P处的割线与切线存在什么关系？处的割线与切线存在什么关系？新授新授.动画演示割线变化趋势动画演示割线变化趋势QQQxoyy=f(x)设曲线设曲线C C是函数是函数y=f(x)y=f(x)的图象，的图象
3、，在曲线在曲线C C上取一点上取一点P(xP(x0 0,y,y0 0)及邻近一及邻近一点点Q(xQ(x0 0+x,yx,y0 0+y)y),过过P,QP,Q两点作割两点作割线，线，当点当点Q Q沿着曲线无限接近于点沿着曲线无限接近于点P P点点P P处的切线。处的切线。即即x0 x0时时,如果割线如果割线PQPQ有一个极有一个极限位置限位置PT,PT,那么直线那么直线PTPT叫做曲线在叫做曲线在曲线在某一点处的切线的定义曲线在某一点处的切线的定义xyPQT T此处切线定义与以前圆的切线的定义有何不同？此处切线定义与以前圆的切线的定义有何不同？圆的切线定义并不适圆的切线定义并不适用于一般的曲线。
4、用于一般的曲线。通过逼近的方法，通过逼近的方法，将割线趋于的确定位置将割线趋于的确定位置的直线定义为切线（交的直线定义为切线（交点可能不惟一）适用于点可能不惟一）适用于各种曲线。所以，这种各种曲线。所以，这种定义才真正反映了切线定义才真正反映了切线的直观本质。的直观本质。2l1lxyABCxoyy=f(x)P(x0,y0)Q(x1,y1)M Mx xy y割线与切线的斜率有何关系呢？割线与切线的斜率有何关系呢？xxfxxfkPQ)()(xy 即：当即：当x0 x0时，时，割线割线PQPQ的斜率的极限，就是的斜率的极限，就是曲线在点曲线在点P P处的切线的斜率，处的切线的斜率，xxfxxfxyx
5、x)()(k0000limlim所以：xoyy=f(x)PQ1Q Q2 2Q Q3 3Q Q4 4T T 想方法以直代曲！中的重要思近似代替。这是微积分的切线就可以用过点曲线附近，。因此，在点附近的曲线最贴紧点的切线过点，更贴紧曲线比，更贴紧曲线比，更贴紧曲线比附近，在点观察图像，可以发现，PTPxfPxfPPTPxfPQPQxfPQPQxfPQPQP342312继续观察图像的运动过程，还有什么发现？继续观察图像的运动过程，还有什么发现？.,.,.以直代曲以直代曲想方法想方法这是微积分中重要的思这是微积分中重要的思附近的曲线附近的曲线点点这这替替近似代近似代切线切线我们用曲线上某点处的我们用曲
6、线上某点处的这里这里近似代替无理数近似代替无理数用有理数用有理数如如例例刻画复杂的对象刻画复杂的对象数学上常用简单的对象数学上常用简单的对象14163当点当点Q Q沿着曲线无限接近点沿着曲线无限接近点P P即即x0 x0时时,割线割线PQPQ有一个极有一个极限位置限位置PT.PT.则我们把直线则我们把直线PTPT称为曲线在点称为曲线在点P P处的切线处的切线.设切线的倾斜角为设切线的倾斜角为,那么当那么当x0 x0时时,割线割线PQPQ的斜的斜率率,称为曲线在点称为曲线在点P P处的切线的斜率处的切线的斜率.即即:xxfxxfxykxx )()(limlimtan0000 切线切线 这个概念这
7、个概念:提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法法;切线斜率的本质切线斜率的本质函数平均变化率的极限函数平均变化率的极限.要注意要注意,曲线在某点处的切线曲线在某点处的切线:1)1)与该点的位置有关与该点的位置有关;2)2)要根据割线是否有极限来判断与求解要根据割线是否有极限来判断与求解.如有极限如有极限,则在此则在此点有切线点有切线,且切线是唯一的且切线是唯一的;如不存在如不存在,则在此点处无切线则在此点处无切线;3)3)曲线的切线曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个可以有多个,甚至可以无穷多个甚至可以无穷多个.例例1
8、:1:（1 1）求函数）求函数y=3xy=3x2 2在点在点(1,3)(1,3)处的导处的导数数.22103(1)3 1|limxxxyx 解：2210(1)1(11)|limxxxyx 解：22(1)yx切线方程：20 xy即：（2 2）求曲线）求曲线y=f(x)=xy=f(x)=x2 2+1+1在点在点P(1,2)P(1,2)处的切线方程处的切线方程.三：导数的几何意义的应用三：导数的几何意义的应用2036limxxxx 0lim 3(2)xx 6202lim2xxxx 函数函数 y=f(x)在点在点x0处的导数的几何意义，就是曲处的导数的几何意义，就是曲线线 y=f(x)在点在点P(x0
9、,f(x0)处的切线的斜率，即曲线处的切线的斜率，即曲线y=f(x)在点在点P(x0,f(x0)处的切线的斜率是处的切线的斜率是 .)(0 xf 故曲线故曲线y=f(x)在点在点P(x0,f(x0)处的切线方程是处的切线方程是:)()(000 xxxfxfy 三：导数的几何意义的应用三：导数的几何意义的应用练习练习1 1已知曲线已知曲线y=2xy=2x2 2上的一点上的一点A(2A(2，8)8)，则点，则点A A处的切线斜率为（处的切线斜率为（）A A4 B4 B16 16 C C8 D8 D2 2C C2 2已知曲线已知曲线y=xy=x3 3上过点上过点(2(2，8)8)的切线方程为的切线方
10、程为12x12xayay16=016=0，则实数，则实数a a的值为的值为（）A A1 B1 B1 1 C C2 D2 D2 2B B .,.,.附近的变化情况附近的变化情况在在述、比较曲线述、比较曲线请描请描据图象据图象根根图象图象的的数数时间变化的函时间变化的函示跳水运动中高度随示跳水运动中高度随它表它表如图如图例例21021056943112tttthttth 0l1l2lthO0t1t2t311.图图.,的变化情况的变化情况刻画曲线在动点附近刻画曲线在动点附近利用曲线在动点的切线利用曲线在动点的切线 .,变化情况在上述三个时刻附近的线刻画曲处的切线在我们用曲线解thtttxh210 .,.,几乎没有升降较平坦附近曲线比在所以轴平行于处的切线在曲线时当00001ttxltthtt .,.,附近单调递减在即函数降附近曲线下在所以的斜率处的切线在曲线时当11111102ttthttthltthtt .,.,单调递减附近也在即函数附近曲线下降在所以的斜率处的切线在曲线时当12222203ttthttthltthtt .,.附近下降得缓慢附近比在在这说明曲线程度的倾斜的倾斜程度小于直线直线可见从图2121311ttthll 0l1l2lthO0t1t2t311.图图感谢下感谢下载载
