1、20222023学年第一学期苏州市阶段性检测 2022.12 高 三 数 学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的。1设集合，则（）ABCD2六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛的用途六氟化硫分子结构为正八面体结构（每个面都是正三角形的八面体），如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点若相邻两个氟原子之间的距离为，则以六氟化硫分子中6个氟原子为顶点构成的正八面体的体积是（）（氟原子的大小可以忽略不计）ABCD3已知复数，在复平面上对应的
2、点分别为，若四边形为平行四边形（为复平面的坐标原点），则复数的模为（）AB17CD154已知点，是与方向相同的单位向量，则在直线上的投影向量为（）A B C D5已知函数，其中若在区间上单调递增，则的取值范围是（）ABCD6如图，为定圆的直径，点为半圆上的动点.过点作的垂线，垂足为，过作的垂线，垂足为.记弧的长为，线段的长为，则函数的大致图像是（）AB C D7已知，则（）ABCD8已知线段AB的端点B在直线l：y=-x+5上，端点A在圆C1：上运动，线段AB的中点M的轨迹为曲线C2，若曲线C2与圆C1有两个公共点，则点B的横坐标的取值范围是（）A（-1，0） B（1，4） C（0，6） D（
3、-1，5）二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的的0分。9如图所示，已知几何体是正方体，则（）A平面B平面C异面直线与所成的角为60D10记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，则（）AB的最小值为BCD的取值范围为11已知：的左，右焦点分别为，长轴长为6，点在椭圆外，点在椭圆上，则下列说法中正确的有（）A椭圆的离心率的取值范围是B椭圆上存在点使得C已知，当椭圆的离心率为时，的最大值为D的最小值为12设函数，则下列结论正确的是（）A的最大值为BC曲线存在对称轴D曲线存在对称
4、中心三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知是第四象限角，且，则_.14已知圆，若直线l与圆C交于A，B两点，则ABC的面积最大值为_.15已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，离心率为过且垂直于的直线与C交于D，E两点，则的周长是_16已知函数，若不等式对任意均成立，则的取值范围为_四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(10分)设数列的前项和为，若，且(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前n项和为，证明：18(12分)在中，角的对边分别为已知.(1)求角的大小；(2)边上有一点，满足，且，求周长的最小值.19(12分)已知直三棱柱
5、，(1)证明：平面；(2)当最短时，求二面角的余弦值20(12分)在平面四边形ABCD中，A120，ABAD，BC2，CD3(1)若cosCBD，求；(2)记四边形ABCD的面积为,求的最大值21(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为.点P是椭圆上的一动点，且P在第一象限.记的面积为S，当时，.(1)求椭圆E的标准方程；(2)如图，PF1，PF2的延长线分别交椭圆于点M， N，记和的面积分别为S1和S2.（i）求证：存在常数，使得成立；（ii）求S2- S1的最大值.22(12分)已知函数，其中为自然对数的底数.(1)当时，求曲线在处的
6、切线方程；(2)记，存在满足，证明：存在唯一极小值点；.参考答案：1B【分析】根据集合的意义，结合交运算即可判断和选择.【详解】因为，所以，则.故选：.2D【分析】如图，连接，设交于点，连接，令相邻两个氟原子之间的距离为，则由正四棱锥的性质结合已知条件可得的长，从而可求出其体积.【详解】如图，连接，设交于点，连接，因为，为的中点，也是的中点，所以，因为，平面，所以平面，令相邻两个氟原子之间的距离为，则，因为，所以，因为四边形为正方形，所以，所以，所以该正八面体的体积是，故选：D3A【分析】令，结合已知有，列方程求参数a、b，进而求复数的模.【详解】若，则，而，由四边形为平行四边形（为复平面的坐
7、标原点），所以，即，则，所以.故选：A4A【分析】求得的坐标，以及在方向的投影，即可求得结果.【详解】根据题意可得：，故在方向的投影为，则在直线上的投影向量为.故选：A.5D【分析】若在区间上单调递增，满足两条件：区间的长度超过； 的整体范围在正弦函数的增区间内，取合适的整数求出的取值范围.【详解】，函数在区间内单调递增，若在区间上单调递增，则解得，当时，当时，当取其它值时不满足，的取值范围为，故选：D6A【分析】，圆半径为，则，分和分别求出，得的表达式，结合正弦函数的性质可得结论【详解】设，圆半径为，则，时，时，如下图，又，所以，由正弦函数的图象知，只有A满足题意故选：A7A【分析】根据，的
8、特征，要比较二者大小，可作差，由此构造函数，利用其单调性比较大小，同理，和比较，构造函数，利用单调性比较 ，的大小.【详解】设，则，故单调递减，故，由， 设函数，则，当时，递减，当时，递增，故，即，当时取等号，由于 ，故，即，故，故选：A.【点睛】本题考查了数的大小比较问题，考查了构造函数，利用导数判断函数的单调性，解答的关键是明确解答思路，能根据数的特点构造恰当的函数，从而利用导数判断函数单调性，比较大小.8D【分析】设，AB的中点，由中点坐标公式求得，代入圆C1：得点点M的轨迹方程，再根据两圆的位置关系建立不等式，代入，求解即可得点B的横坐标的取值范围.【详解】解：设，AB的中点，则，所以
9、，又因为端点A在圆C1：上运动，所以，即，因为曲线C2与圆C1有两个公共点，所以，又因B在直线l：y=-x+5上，所以，所以，整理得，即，解得，所以点B的横坐标的取值范围是，故选：D.9BC【分析】结合线面垂直、线面平行、异面直线所成角、线线垂直等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】根据正方体的性质可知，三角形是等边三角形，所以与所成角为，所以与所成角为，所以A选项错误，C选项正确.根据正方体的性质可知平面平面，由于平面，所以平面，B选项正确.根据正方体的性质可知，三角形是等边三角形，所以与所成角为，所以与所成角为，所以D选项错误.故选：BC10BC【分析】这道题是数列结合三角函数的
10、一道综合题目，由a，b，c成等比数列，则可以求得B的取值范围，进而对选项进行逐一判断.【详解】因为a，b，c成等比数列，所以，则，A错对选项B，B对对于选项C，C对对于选项D，令，则，baq，D错故选：BC11ABD【分析】对于A，根据点在椭圆外利用离心率的公式可确定离心率的取值范围；对于B，转化为上下顶点处；对于C，根据点与椭圆的位置关系确定距离最值；对于D，利用基本不等式求解.【详解】对于A，由题意可知，所以，所以椭圆方程为，因为在椭圆外，所以解得，因为，所以，故A正确；对于B，当点位于上下顶点时，最大，此时，所以为钝角，所以椭圆上存在点使得，故B正确；对于C，由离心率，所以，所以椭圆方程
11、为，设点,则，当时有最大值为,此时,故C错误；对于D，当且仅当，即点位于上下顶点时，有最小值，故D正确；故选:ABD.12ABC【分析】根据配方法、函数对称的性质、导数、正弦函数的性质，结合不等式的性质进行判断即可.【详解】A：因为，所以，当且仅当时，故A正确；B：等价于，设，所以函数在时单调递增，因此有，即，而设函数，所以是实数集上的偶函数，因此有，即，故B正确；C：因为，所以曲线关于直线对称，故C正确；D：设曲线存在对称点，设为，则有，当时，则有，当时，则有，即，因此有，所以为整数，令，而，显然不恒成立，故D不正确.故选：ABC.13【分析】利用二倍角公式化简可得，结合同角三角函数关系式求
12、得，继而求得，从而利用诱导公式求得答案.【详解】由可得，即，所以，解得或（舍去），因为是第四象限角，故，所以，故答案为：.148【分析】设出线段的中点，由垂径定理得到，由基本不等式求出，从而得到ABC的面积最大值.【详解】圆的圆心为，半径为4，设线段的中点为，由垂径定理得：，由基本不等式可得：，所以，当且仅当时，等号成立，则，故答案为：81513【分析】利用离心率得到椭圆的方程为，根据离心率得到直线的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线的斜率，写出直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，利用弦长公式求得，得，根据对称性将的周长转化为的周长，利用椭圆的定义得到周长为.【详解】椭圆的离心率为，
13、椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，为正三角形，过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，直线的斜率为，斜率倒数为， 直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，判别式， ， 得， 为线段的垂直平分线，根据对称性，的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为.故答案为：13. 16A【分析】利用函数奇偶性的定义及导数可得函数为R上单调递增的奇函数，化简不等式，然后将分离，利用基本不等式，即可求出答案.【详解】因为的定义域为R，所以函数是奇函数，由，可知在上单调递增，所以函数为R上单调递增的奇函数，所以不等式对任意均成立等价于，即，即对任意均成立，又，当且仅当时取等号，
14、所以的取值范围为.故选：A.17(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据的关系即可得，进而根据是等比数列得，进而得，（2）根据错位相减法即可求解，进而可证明.【详解】（1）由得，当时，两式作差得：，即，即，令得，所以是以为首项，为公比的等比数列所以， 即故 （2）由（1）知两式作差得：所以18(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理和三角公式得到，即可求出角的大小；（2）利用数量积的定义得到，求出.由面积相等得到.整理出周长，令， ，得到，利用单调性法求出的周长最小值.【详解】（1），由正弦定理得：.（2），化简得：周长令，即又由复合函数单调性知在时单调递增当时，.即的周长最小值为.19(1)证
15、明见解析(2)【分析】（1）根据题意，以为正交基底如图建立空间直角坐标系，求出和平面的法向量，求两向量的数量积可得结论；（2）先求出的最小值，从而可得，然后求出两半平面的法向量，利用向量的夹角公式求解即可.【详解】（1）直三棱柱中，以为正交基底如图建立空间直角坐标系设，则，所以因为，所以，所以因为平面，所以平面的一个法向量为因为，平面，所以平面ABC（2）由（1）得，当时，最短，所以，所以，设平面的一个法向量为，则，令，则，所以平面的一个法向量为设平面的一个法向量为，则，令，则，设二面角的平面角为，则，由图可知二面角为钝角，所以二面角的余弦值为20(1)(2)【分析】（1）根据题意，利用余弦定
16、理，求出，再利用，求出，进而利用正弦定理，即可求得答案.（2）设，利用余弦定理，解得，再由，利用三角恒等变换，化简得到，进而利用三角函数的性质，即可求出的最大值.【详解】（1）如图，设，得，整理得，解得，又由，则有，故，解得，（2）在中，设，由，可得，在中，由余弦定理可得，可得，四边形ABCD的面积为，得.当且仅当时，即时，等号成立，此时的最大值为.21(1)(2)(i) 存在常数 ，使得成立；(ii) 的最大值为 .【分析】(1)求点P的坐标，再利用面积和离心率，可以求出 ，然后就可以得到椭圆的标准方程；(2)设点的坐标和直线方程，联立方程，解出 的y坐标值与P的坐标之间的关系，求以焦距为底
17、边的三角形面积；利用均值定理 当且仅当 时取等号，求最大值.【详解】（1）先求第一象限P点的坐标： ，所以P点的坐标为 ，所以 ，所以椭圆E的方程为（2）设 ，易知直线 和直线的坐标均不为零，因为 ，所以设直线的方程为 ，直线的方程为，由 所以 ，因为，所以所以同理由 所以 ，因为，所以所以，因为 ，(i)所以 所以存在常数 ，使得成立.(ii) ，当且仅当 ，时取等号，所以 的最大值为 .22(1)；(2)证明见解析；证明见解析.【分析】（1）求得以及，结合导数的几何意义，直接写出切线方程即可；（2）对参数分类讨论，且当时，构造函数，根据其与的交点个数，从而判断有且仅有一个根，即可证明；根据
18、已知条件，构造函数，从而对已知条件进行放缩后只需证明，令，再次构造函数，即可通过，证明所证不等式.【详解】（1）当时， ，故切线方程为：，即.（2）当故恒成立，在上递减，不满足且这一条件；当时，存在 ， ，下证有且仅有一根.只有一个交点.恒成立，故在上递减，仅有唯一交点.此时存在满足，且当 ， ，故存在唯一极小值点.由题意知，令 单调递增，欲证，即证，只需证：成立，两边同除，令即证，设 综上：成立，即成立.【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，以及利用导数研究函数的极值点问题，以及证明不等式；其中第二问处理的关键是构造函数进行适度的放缩，以及在证明时，令，使得双变量问题转化为单变量问题进行处理，属综合困难题.
