1、第2章 逻辑函数及其化简武汉理工大学 吴友宇 教授逻辑函数与逻辑代数概述逻辑代数概述逻辑函数定义电路的输入量A、B、C和输出量Y之间的关系是一个因果关系，可以用一个逻辑表达式描述Y F(A,B,C )逻辑函数逻辑变量逻辑代数概述逻辑代数是分析和设计逻辑电路的数学基础逻辑代数=布尔代数=开关代数逻辑代数概述逻辑代数的特点1 用字母表示变量2 取值简单0和13 0和1表示对立的逻辑状态（“开”和“关”“是”和“非”等）。称为逻辑0状态和逻辑1状态。逻辑代数的基本运算逻辑代数的基本运算与运算AND三种基本逻辑运算复合逻辑运算或运算 OR非运算 NOT与非运算 NAND或非运算 NOR异或运算 XOR
2、同或运算 XNORABY000010100111逻辑代数的基本运算与运算（逻辑乘 AND）Y当决定某件事（Y）的所有条件（A，B，C）都成立，这件事（Y）才发生，否则这件事（Y）将不发生真值表 V设：开关A、B闭合为1，否则为0；灯Y亮为1，否则为0；A与运算实例真值表是一种包括逻辑函数所有情况的表格。表格有22项，指数2是逻辑变量的个数，即对一个n变量的逻辑函数，其真值表有2n项BABY000010100111YVA与运算实例B运算法则：全1出1，有0出0。逻辑符号逻辑表达式Y AgB逻辑代数的基本运算与运算（逻辑乘 AND）真值表设：开关A、B闭合为1，否则为0；灯Y亮为1，否则为0；Y=
3、ABABABY=AB与门AND gateABY000011101111真值表设：开关A、B闭合为1，否则为0；灯Y亮为1，否则为0；VABY或运算实例逻辑代数的基本运算或运算（逻辑加 OR）当决定某件事（Y）的所有条件（A，B，C）之一以上成立，这件事（Y）就发生，否则这件事（Y）将不发生ABY000011101111运算法则：有1出1，全0出0。逻辑符号逻辑表达式1ABY=A+BYVB逻辑代数的基本运算真值表设：开关A、B闭合为1，否则为0；灯Y亮为1，否则为0；AY=A+BAB或门OR gateY AB AB AB AB与或运算实例或AY0110真值表设：开关A闭合为1，否则为0；灯Y亮为
4、1，否则为0；VANCY非运算实例逻辑代数的基本运算非运算（逻辑非 NOT）当决定某件事（Y）的条件（A）成立，这件事（Y）将不发生，否则这件事（Y）将发生AY0110真值表设：开关A闭合为1，否则为0；灯Y亮为1，否则为0；逻辑表达式Y A逻辑代数的基本运算非运算（逻辑非）逻辑符号 A运算法则：1出0，0出1Y A1AY AYV非运算实例NCA非门NOT gate三种基本运算逻辑代数的基本运算小结与运算AND或运算 OR非运算 NOT第2章 逻辑函数及其化简武汉理工大学 吴友宇 教授逻辑代数基本定律X 11X 1 X逻辑代数的基本定律X Y Y XX Y Y X(X Y)Z X(Y Z)(X
5、 Y)Z X(Y Z)1 交换律2 结合律3 分配律X(Y Z)X Y X ZX Y Z (X Y)(X Z)4 0-1律5 互补律6 重叠律7 否定律X 0 0X X 0X X XX 0 XX X 1X X XX X8 反演律（摩根定律）X Y X YX Y X Y 逻辑代数的基本定律9 吸收律X X Y XX X Y X YXY XZ YZ XY XZXY XZ YZK XY XZXYXYXYXYXY00001001001001010100100110111010010010110111110110110110逻辑代数的九条基本定律基本定律的证明真值表法X Y X YX Y X Y得证例1
6、 试证明两变量的摩根定理 X Y X Y证明：列真值表X Y X Y逻辑代数的九条基本定律例2 试证明吸收律XY XZ YZK XY XZ XYZK证明：XY XZ YZK XY XZ X XY 1 ZK XZ 1YK XY XZ吸收律得证XY XZ YZK XY XZ逻辑代数的九条基本定律 X 1Y XY X X XY X Y得证 X XY X Y例3：试证明吸收律 X XY X Y证明：X XY逻辑代数的三条基本规则逻辑代数的三条规则1 代入规则在包含变量X逻辑等式中，如果用另一个函数式代入式中所有X，则等式仍然成立。例：已知等式X Y X Y用函数L=YZ代替等式中的Y，得到新的等式：X
7、 YZ X YZ X Y Z代入规则扩展了摩根定律逻辑代数的三大规则2 反演规则对于任意一个逻辑表达式Y，若将其中“”“”互换“0”“1”互换“A”“A ”互换则得到的是原函数的反函数。原式得证 X XY X YX X Y X X X Y 0 X Y X Y逻辑代数的三大规则2 反演规则例：试证明吸收律 X XY X Y可通过证明其反演式，获得原式的求证证明：X XY X Y 反演式为 X X Y X Y逻辑代数的三大规则2 反演规则注意以下两点：例如:Y AB C DC,Y (A B)CDC)（1）保持原式的优先顺序不变(先括号，再与，最后或)（2）非变量（一个变量以上）的公共非号保持不变。
8、逻辑代数的三大规则3 对偶规则对于任意一个逻辑表达式Y，若将其中“”“”互换“0”“1”互换可得到原函数的对偶函数。若一个恒等式成立，则该恒等式的对偶式也成立。逻辑代数的三大规则3 对偶规则X XY X Y原式得证X XY X Y可通过证明其对偶式，获得原式的求证证明：原式对偶式为X X Y X YX X Y 0 X Y X Y例：试证明吸收律九条基本定律三条基本规则逻辑代数逻辑代数的小结三种基本运算逻辑函数的代数化简法华剑逻辑函数的代数变换同一个逻辑函数可以有多种表达形式，比如：与或式或与式与非-与非式或非-或非式与-或-非式Y AC CD(AC)(C D)ACCD AC C D AC CD
9、逻辑函数的代数化简法最简与或式特点：-与项的个数最少。（“+”越少越好）-每个与项中变量的个数最少。逻辑函数的代数化简法逻辑函数的代数化简法-并项法-吸收法-消去法-配项法逻辑函数的代数化简法并项法提取公因子例1：将下列逻辑函数化简为最简与或式。Y 1 ABC ABC AB(C C)ABY2 A(BC BC)A(BC BC)A(BC BC BC BC)A(B(C C)B(C C)A(B B)A逻辑函数的代数化简法并项法提取公因子AB AC.A(BC).逻辑函数的代数化简法吸收法利用 X XY X例2：将下列逻辑函数化简为最简与或式。Y AB ABCD(E F)AB逻辑函数的代数化简法消去法利用
10、 X XY X Y例3：将下列逻辑函数化简为最简与或式。Y AB AC BC AB(A B)C AB ABC ABC逻辑函数的代数化简法配项法利用 X X 1,X X 0例4：将下列逻辑函数化简为最简与或式。Y AB AC BC AB AC(A A)BC AB AC ABC ABC AB AC逻辑函数的代数化简法配项法利用 X X 1,X X 0例4：将下列逻辑函数化简为最简与或式。Y AB AC BC AB(C C)AC BC ABC ABC AC BC B(AC C)(AB A)C B(AC)(B A)C AB BC BC AC AB BC AC逻辑函数的代数化简法例5：将下列逻辑函数化简
11、为最简与或式。Y AB AC BC BC BD BD ADE(F G)A(BC)BC BC BD BD ADE(F G)ABC BC BC BD BD ADE(F G)A BC BC BD BD ADE(F G)A BC BC BD BD(BCD D)逻辑函数的代数化简法例5：将下列逻辑函数化简为最简与或式。Y A BC BC BD BD A BC BC(D D)BD B(C C)D A BC BCD BC D BD BCD BCD A BC BCD BCD BD BCD BCD A BC BDCD卡诺图的结构及填图方法华剑卡诺图的结构及填图方法函数名卡诺图的结构第二变量的位置第一变量的位置第
12、三变量的位置卡诺图的结构卡诺图的结构及填图方法CBABC ABC ABC ABCA ABC ABC ABC ABC卡诺图的结构及填图方法卡诺图的结构卡诺图的结构及填图方法卡诺图的结构ABCD ABCD BCDABCD ABCD ABCD ABCD ABC ABC BC卡诺图的结构及填图方法卡诺图的结构ABCD ABCD ABCD ABCDABCD ABCD ABCD ABCD A C D AC D AC D AC DC D C D D卡诺图的结构及填图方法卡诺图的结构A BCD AB C D B(ACD AC D)A B CD ABC D A C(BD BD)卡诺图的结构及填图方法卡诺图的填图
13、方法-根据真值表填卡诺图。-根据逻辑函数表达式填卡诺图。卡诺图的结构及填图方法根据真值表填卡诺图例1：已知某逻辑函数的真值表如下，填其卡诺图00010111卡诺图的结构及填图方法根据逻辑函数表达式填卡诺图-根据最小项表达式填卡诺图L(A,B,C)(A C)(A B C)(A B C)m(1,3,4,7)11011000卡诺图的结构及填图方法根据逻辑函数表达式填卡诺图-根据与或表达式填卡诺图每一个与项表示单个变量作用范围的公共部分，在公共的方格内填1即可，不要重复填。(1)Y(A,B,C)A01010101卡诺图的结构及填图方法根据逻辑函数表达式填卡诺图-根据与或表达式填卡诺图每一个与项表示单个
14、变量作用范围的公共部分，在公共的方格内填1即可，不要重复填。11011000(2)Y(A,B,C)AB AC卡诺图的结构及填图方法根据逻辑函数表达式填卡诺图-根据与或表达式填卡诺图每一个与项表示单个变量作用范围的公共部分，在公共的方格内填1即可，不要重复填。11(3)Y(A,B,C)BC AC010000卡诺图的结构及填图方法根据逻辑函数表达式填卡诺图-根据与或表达式填卡诺图每一个与项表示单个变量作用范0111011100110001围的公共部分，在公共的方格内填1即可，不要重复填。(4)Y(A,B,C,D)AB BC D ABD ABCD无关项华剑无关项无关项的概念当逻辑函数的输入变量的某些
15、组合不可能出现，或者当这些组合对电路的输出没有任何影响时，我们把它们称为无关项（或约束项、任意项）。ABC无关项约束项水位探测器被水淹没时为1，无水时为0ABC 101水位高于A、低于B而高于C，这种情形不可能出现，这种变量取值是约束项。任意项无关项无论A、B取何值，都不影响输出的值，A、B的任意组合在这里都是任意项。Y 1 AB 1无关项无关项的表示-填写真值表或卡诺图时无关项用X或表示1 0 1 0 1 1 0 0 111无关项无关项的表示-在最小项表达式中用d或表示。Y(A,B,C,D)m(0,2,3,7,8,11,14)d(5,10,15)1011001000Y C D（AB AB）A
16、BC A CD ABC D ABC D ABC A CD1 1 1无关项无关项的表示-在表达式中用约束方程的形式表示。Y(A,B,C,D)CD(A B)ABC ACDABCD 00 01010无关项无关项的化简无关项化简时，既可以当0用，也可以当1用。但是，原则只有一个，一定要能够简化表达式。能作出更大的圈时，看作1；能少作圈时，看作0。Y(A,B,C,D)CD AC B D无关项Y(A,B,C,D)m(0,2,3,7,8,11,14)d(5,10,15)000 000无关项化简Y(A,B,C,D)CD(A B)ABC ACDABCD 000Y(A,B,C,D)B AD AC0 01111 Y(A,B,C,D)D BC BC无关项化简 Y(A,B,C,D)m(0,2,3,4,5,6,11,12)d(8,9,10,13,14,15)01 1 0 11
