1、1 平面点集与多元函数 多元函数是一元函数的推广,它保留着一元函数的许多性质,同时又因自变量的增多而产生了许多新的性质,读者对这些新性质尤其要加以注意.下面着重讨论二元函数,由二元函数可以方便地推广到一般的多元函数中去.一、平面点集 二、R2 上的完备性定理 三、二元函数 四、n 元函数一、平 面 点 集 平面点集的一些基本概念平面点集的一些基本概念 由于二元函数的定由于二元函数的定坐标平面上满足某种条件坐标平面上满足某种条件 P 的点的集合的点的集合,称为平称为平(,)(,).Ex yx yP满足条件满足条件对对 与平面上所有点之间建立起了一一对应与平面上所有点之间建立起了一一对应.(,)x
2、 y在平面上确立了直角坐标系之后在平面上确立了直角坐标系之后,所有有序实数所有有序实数 义域是坐标平面上的点集义域是坐标平面上的点集,因此在讨论二元函数因此在讨论二元函数之前，有必要先了解平面点集的一些基本概念之前，有必要先了解平面点集的一些基本概念.面点集面点集,记作记作例如：例如：(i)全全平平面面:2R(,)|,.(1)x yxy222(ii)(,).Cx yxyr圆:圆:(2)(iii)(,),Sx yaxb cyd矩形:矩形:(3)00(iv)(,):A xy 点点的的邻邻域域00(,)|,|()x yxxyy 与与方方形形.,.Sa bc d也常记作：也常记作：22200(,)()
3、()()x yxxyy 圆形圆形图图 16 1 CSxxyyOOabcdr(a)圆圆 C (b)矩形矩形 S AA 图图 16 2 xxyyOO(a)圆邻域圆邻域 (b)方邻域方邻域 由于点由于点 A 的任意圆邻域可以包含在点的任意圆邻域可以包含在点 A 的某一的某一方邻域之内方邻域之内(反之亦然反之亦然),因此通常用因此通常用“点点 A 的的 邻邻 用记号用记号 或或 来表示来表示.(;)U A()U A点点 A 的的空心邻域空心邻域是指是指:22200(,)0()()()x yxxyy 圆圆0000(,)|,|,(,)(,)(),x yxxyyx yxy方方或或并用记号并用记号(;()()
4、UAUA 或或 来表示来表示.域域”或或“点点 A 的邻域的邻域”泛指这两种形状的邻域泛指这两种形状的邻域,并并00(,)0|,0|.x yxxyy 注意注意:不要把上面的空心方邻域错写成不要把上面的空心方邻域错写成:(请指请指出出 点和点集之间的关系点和点集之间的关系以下三种关系之一以下三种关系之一:2RA 2RE 任意一点任意一点 与任意一个点集与任意一个点集 之间必有之间必有 E 的内点的内点;由由 E 的全体内点所构成的集合称为的全体内点所构成的集合称为 E(i)内点内点若若0,(;),U AE 使使则称点则称点 A是是 的的内部内部,记作记作 int E.错在何处错在何处?)(ii)
5、外点外点 若若0,(;),U AE 使使则称点则称点 A 是是 E 的外点的外点;由由 E 的全体外点所构成的集合称的全体外点所构成的集合称 c(;)(;)U AEU AE 且且0,(iii)界点界点 若若 恒有恒有 c2R EE(其中其中 ),则称点则称点 A 是是 E 的界点由的界点由 E.E 的全体界点所构成的集合称为的全体界点所构成的集合称为 E 的的边界边界,记作记作注注 E 的内点必定属于的内点必定属于 E;E 的外点必定不属于的外点必定不属于 E;E 的界点可能属于的界点可能属于 E,也可能不属于也可能不属于 E.并请注意并请注意:为为 E 的的外部外部.EE 2R cEE 只有
6、当只有当时时,E 的外部与的外部与 才是两才是两 个相同的集合个相同的集合.22(,)14.(4)Dx yxy图图 16 3xyO12例例1 设平面点集（见图设平面点集（见图 16 3）于于D;满足满足 的一切点也的一切点也224xy 221xy 是是 D 的内点的内点;满足满足 的一切点是的一切点是 D 的界点的界点,它们都属它们都属2214xy 满足满足 的一切点都的一切点都是是 D 的界点的界点,但它们都不属于但它们都不属于 D.点点 A 与点集与点集 E 的上述关系是按的上述关系是按“内内-外外”来区分来区分的的.此外，还可按此外，还可按“疏疏-密密”来区分，即在点来区分，即在点 A
7、的近的近旁旁是否密集着是否密集着 E 中无穷多个点而构成另一类关系中无穷多个点而构成另一类关系:(i)聚点聚点 若在点若在点 A 的任何空心邻域的任何空心邻域()UA内都内都 含有含有 E 中的点，则称点中的点，则称点 A 是点集是点集 E 的聚点的聚点注注1 聚点本身可能属于聚点本身可能属于E，也可能不属于，也可能不属于E.注注2 聚点的上述定义等同于聚点的上述定义等同于:“在点在点 A 的任何邻域的任何邻域 ()U A内都含有内都含有 E 中的无穷多个点中的无穷多个点”.注注3 E 的全体聚点所构成的集合称为的全体聚点所构成的集合称为 E 的导集的导集,记记 d();EE 或或dEE作作
8、又称又称 为为 E 的的闭包闭包,记作记作 .E例如例如,对于例对于例1 中的点集中的点集 D,它的导集与闭包同为它的导集与闭包同为d22(,)14.Dx yxyD其中满足其中满足 224xy 的那些聚点不属于的那些聚点不属于D,而其余而其余 所有聚点都属于所有聚点都属于 D.(ii)孤立点孤立点 若点若点 AE,但不是但不是 E 的聚点（即存的聚点（即存 在某在某 0,使得使得(;),UAE 则称点则称点 A 是是 E 的孤立点的孤立点.注注 孤立点必为界点孤立点必为界点;内点和不是孤立点的界点必内点和不是孤立点的界点必 为聚点为聚点;既非聚点既非聚点,又非孤立点又非孤立点,则必为外点则必为
9、外点.例例2 设点集设点集(,),.Ep qp q 为任意整数为任意整数 显然显然,E 中所有点中所有点(p,q)全为全为 E 的孤立点的孤立点;并有并有 d,int,.EEEE 一些重要的平面点集一些重要的平面点集 根据点集所属的点所具有的特殊性质根据点集所属的点所具有的特殊性质,可来定义一可来定义一 些重要的点集些重要的点集.开集开集 若点集若点集 E 所属的每一点都是所属的每一点都是 E 的内点的内点(即即 E=int E),则称则称 E 为开集为开集.闭集闭集 若点集若点集 E 的所有聚点都属于的所有聚点都属于 E(),EE 即即则称则称 E 为闭集为闭集.若点集若点集 E 没有聚点没
10、有聚点d(),E 即即这时也称这时也称 E 为闭集为闭集.例如前面列举的点集中例如前面列举的点集中,(2)式所示的式所示的 C 是开集是开集;(3)式所示的式所示的 S 是闭集是闭集;(4)式所示的式所示的 D 既非开集既非开集,又又 非闭集非闭集;而而(1)式所示的式所示的 R2 既是开集又是闭集既是开集又是闭集.在在 平面点集中平面点集中,只有只有 R2 与与 是既开又闭的是既开又闭的.开域开域 若非空开集若非空开集 E 具有连通性具有连通性,即即 E 中任意两中任意两 点之间都可用一条完全含于点之间都可用一条完全含于 E 的有限折线相连接的有限折线相连接,则称则称 E 为开域为开域.简单
11、地说简单地说,开域就是非空连通开集开域就是非空连通开集.闭域闭域 开域连同其边界所成的集合称为闭域开域连同其边界所成的集合称为闭域.区域区域 开域、闭域、开域连同其一部分界点所成开域、闭域、开域连同其一部分界点所成 的集合的集合,统称为区域统称为区域.不难证明不难证明:闭域必为闭集闭域必为闭集;而闭集不一定为闭域而闭集不一定为闭域.在前述诸例中在前述诸例中,(2)式的式的 C 是开域是开域,(3)式的式的 S 是闭是闭 域域,(1)式的式的 R2 既是开域又是闭域既是开域又是闭域,(4)式的式的 D 是区是区 域域(但既不是开域又不是闭域但既不是开域又不是闭域).又如又如 (,)|0,(5)G
12、x yxy它是它是 I、III 两象限之并集两象限之并集.虽然它是开集虽然它是开集,但因但因不具有连通性不具有连通性,所以它既不是开域所以它既不是开域,也不是区域也不是区域.0,r 有界点集有界点集 对于平面点集对于平面点集 E,若若使使 (;),EU O r 其中其中 O 是坐标原点是坐标原点(也可以是其他固定点也可以是其他固定点),则称则称 E 是有界点集是有界点集.否则就是无界点集否则就是无界点集(请具体写出定义请具体写出定义).前面前面(2),(3),(4)都是有界集都是有界集,(1)与与(5)是无界集是无界集.E 为有界点集的另一等价说法是为有界点集的另一等价说法是:存在矩形区域存在
13、矩形区域 ,.a bc dE 此外，点集的有界性还可以用点集的直径来反映此外，点集的有界性还可以用点集的直径来反映,所谓点集所谓点集 E 的的直径直径,就是就是 1212,()sup(,),PPEd EPP 其中其中(P1,P2)是是 P1(x1,y1)与与 P2(x2,y2)之间的距之间的距 离离,即即 22121212(,)()().P Pxxyy 于是于是,当且仅当当且仅当 d(E)为有限值时为有限值时,E为有界点集为有界点集.根据距离的定义根据距离的定义,不难证明如下三角形不等式不难证明如下三角形不等式:121323(,)(,)(,).P PP PPP 举例讨论上述点集的性质举例讨论上
14、述点集的性质例例3 证明证明:对任何对任何2R,S S 恒为闭集恒为闭集.证证 如图如图16 4 所示所示,设设0 xS 为为的任一聚点，欲证的任一聚点，欲证（即（即 亦为亦为S0 xS 的界的界 0 x点）点）.为此为此0,由聚点定义，存在由聚点定义，存在 0(;).yUxS SS 0 x0(;)Ux (;)U y y图图 16 y0(;)(;),U yU x 再由再由为界点的定义为界点的定义,在在 的点的点.由此推知由此推知在在 内既有内既有SS(;)U y 的点的点,又有非又有非 S0 x0 xS 的任意性的任意性,为为的界点的界点,即即,这就证这就证得得 S 为闭集为闭集 注注 类似地
15、可以证明类似地可以证明:对任何点集对任何点集2dR,SS 导集导集 亦恒为闭集亦恒为闭集.(留作习题留作习题)2c2R,R.EEE例例4 4 设设 试证试证 E 为闭为闭 集的充要条件是：集的充要条件是：c,int().cEEEEE 或或SS0(;)U x 内既有内既有的点的点,又有非又有非 的点的点.所以所以,由由 dccint()EEEEEEEE 图图 16 5 证证 下面按循环流程图下面按循环流程图16 5 来分别作出证明来分别作出证明.dEEE 已知已知为闭集为闭集(即即 ),),欲证欲证E.EEE ,pE pEE为为此此或或是是的的聚聚点点 或或是是的的孤孤立立点点.dd,pEEEp
16、E若，则由得；而孤立点必属若，则由得；而孤立点必属.EEE EEE于；从而，故于；从而，故 反之显然有反之显然有 .EEE 综合起来综合起来,便证得便证得 int.EEE EEE ，cint().cEE 已知已知 欲证欲证 为此为此 c,pEpEEEpE则则而而由由故故必必为为的的 外点外点,0,(;).U pE 按按定定义义使使从从而而cccc(;),int().U pEpEEE 故故是是的的内内点点 即即 ccccint().int().EEEE有这就证得有这就证得反之显然反之显然 ccdint(),.EEEEEp 已知欲证为此已知欲证为此c(,pEpE据条件可证若不然从而由据条件可证若不
17、然从而由d,E ccint(),0,(;),pEU pE条件推知故使条件推知故使d),.pEEE 与为的聚点相矛盾故这就证得与为的聚点相矛盾故这就证得注注 此例指出了如下两个重要结论此例指出了如下两个重要结论:(i)闭集也可用闭集也可用“EEE”来定义来定义(只是使用只是使用 起来一般不如起来一般不如“dEEE ”方便方便,因为有关聚点因为有关聚点 有许多便于应用的性质有许多便于应用的性质)d.EEE (ii)闭集与开集具有对偶性质闭集与开集具有对偶性质 闭集的余集为开闭集的余集为开 集集;开集的余集为闭集开集的余集为闭集.利用此性质利用此性质,有时可以通有时可以通 过讨论过讨论 来认识来认识
18、 E.cE例例5 以下两种说法在一般情形下为什么是错的以下两种说法在一般情形下为什么是错的?(i)既然说开域是既然说开域是“非空连通开集非空连通开集”，那么闭域就是，那么闭域就是 “非空连通闭集非空连通闭集”；D(ii)要判别一个点集要判别一个点集是否是闭域是否是闭域,只要看其去除只要看其去除 边界后所得的是否为一开域边界后所得的是否为一开域,即即 DDD“若若为为开开域域,则则必必为为闭闭域域”.答答(i)例如取例如取(,)|0,Sx yxy 这是一个非空连这是一个非空连 通闭集通闭集.但因它是前面但因它是前面(5)式所示的集合式所示的集合 G 与其边与其边 SGG 界界(二坐标轴二坐标轴)
19、的并集的并集(即即),而而 G 不是不是 开域开域,故故 S 不是闭域不是闭域(不符合闭域的定义不符合闭域的定义).DEF(a)(b)(c)图图 16 6 (ii)如图如图16 6 所示所示,(a)中的点集为中的点集为 D;(b)中的点中的点 ;EDD .FEE 集为集为 (c)中的点集为中的点集为 易见易见 E 为一开域为一开域,据定义据定义 F 则为闭域；然而则为闭域；然而 ,DEEF 显然不符合它为闭域的定义显然不符合它为闭域的定义.().DDD与与不不一一定定相相同同 由此又可见到由此又可见到:二、R2上的完备性定理 平面点列的收敛性定义及柯西准则平面点列的收敛性定义及柯西准则 反映实
20、数反映实数 系完备性的几个等价定理系完备性的几个等价定理,构成了一元函数极限理构成了一元函数极限理 论的基础论的基础.现在把这些定理推广到现在把这些定理推广到 R2,它们同样是它们同样是 二元函数极限理论的基础二元函数极限理论的基础.2RnP 20RP 定义定义1 设设 为一列点为一列点,为一固定点为一固定点.00,N,(;),nNnNPU P 若若使使当当时时 则称点列则称点列 Pn 收敛于点收敛于点 P0,记作记作 00lim().nnnPPPPn 或或000(,)(,),nnnPPxyxy当当与与分分别别为为与与时时 显显然然有有000limlimlim;nnnnnnPPxxyy且且 0
21、(,),nnPP 若若记记 同样地有同样地有 0limlim0.nnnnPP 由于点列极限的这两种等价形式都是数列极限由于点列极限的这两种等价形式都是数列极限,因因 此立即得到下述关于平面点列的收敛原理此立即得到下述关于平面点列的收敛原理.定理定理16.1(柯西准则柯西准则)2RnP 收敛的充要条件是收敛的充要条件是:0,N,NnN 使使当当时时 都都有有 (,),N.(6)nn pPPp 证（必要性）证（必要性）0lim,1,0,nnPP 设设则则由由定定义义 N,()NnNnpN当当也也有有时时,恒恒有有 00(,),(,).22nnpPPPP 应用三角形不等式应用三角形不等式,立刻得到立
22、刻得到00(,)(,)(,).nn pnn pPPPPPP (充分性充分性)当当(6)式成立时式成立时,同时有同时有|(,),n pnnn pxxPP|(,).n pnnn pyyPP 这说明这说明 xn 和和 yn 都满足关于数列的柯西准则都满足关于数列的柯西准则,所以它们都收敛所以它们都收敛.00lim,lim,nnnnxxyy设从而设从而由点列收敛概念由点列收敛概念,推知推知Pn收敛于点收敛于点 P0(x0,y0).06,nPEPE为为的的聚聚点点存存在在各各项项互互异异的的例例 0lim.nnPP使得使得 (这是一个重要命题这是一个重要命题,证明留作习题证明留作习题.)下述区域套定理下
23、述区域套定理,是区间套定理在是区间套定理在 R2 上的推广上的推广.定理定理16.2(闭域套定理闭域套定理)设设 Dn 是是 R2 中的一列闭中的一列闭 域域,它满足：它满足：1(i),1,2,;nnDDn (ii)(),lim0.nnnndd Dd 图图 16 7 nD npD nPnpP 0P则存在唯一的点则存在唯一的点 0,1,2,.nPDn 证证 任取点列任取点列 ,1,2,.nnPDn ,n pnDD由由于于因因此此 ,nn pnPPD 从而有从而有(参见图参见图16 7)(,)0,.nn pnPPdn 由柯西准则知道存在由柯西准则知道存在20R,P使使得得 任意取定任意取定 n,对
24、任何正整数对任何正整数 p,有有 .n pn pnPDD 再令再令,p 由于由于 Dn 是闭域是闭域,故必定是闭集故必定是闭集,因此因此 0P作为作为 Dn 的聚点必定属于的聚点必定属于 Dn,即即0lim,1,2,.npnpPPDn 0P0,1,2,nPD n 最后证明最后证明 的唯一性的唯一性.若还有若还有 则由则由 0000(,)(,)(,)20,nnnPPPPPPdn 0000(,)0,.PPPP 得得到到即即 0lim.nnPP 推论推论 00,N,(;).nNnNDU P 当当时时注注 把上面的把上面的 Dn 改为一列闭集改为一列闭集,命题同样成立命题同样成立.下面讨论下面讨论2R
25、中的聚点定理和有限覆盖定理中的聚点定理和有限覆盖定理.定理定理16.3(聚点定理聚点定理)若若2RE 为有界无限点集为有界无限点集,则则 E 在在 R2 中至少有一个聚点中至少有一个聚点.证证 现用闭域套定理来证明现用闭域套定理来证明.由于由于 E 有界有界,因此存因此存 在一个闭正方形在一个闭正方形1DE.如图如图 16 8 所示所示,把把 D1分成四个相同的小正方形分成四个相同的小正方形,则在其中至少有一小闭则在其中至少有一小闭 正方形含有正方形含有 E 中无限多个点中无限多个点,把它记为把它记为 D2.再对再对 E1D2D3D图图 16 8 D2 如上法分成四个更小如上法分成四个更小 的
26、正方形的正方形,其中又至少有其中又至少有 一个小闭正方形含有一个小闭正方形含有 E 的无限多个点的无限多个点.如此下去如此下去,得到一个闭正方形序列：得到一个闭正方形序列：123.DDD 很显然很显然,Dn 的边长随着的边长随着 n 而趋于零而趋于零.于是由于是由闭域套定理闭域套定理,存在一点存在一点 0,1,2,.nMD n 最后最后,由区域套定理的推论由区域套定理的推论,0,n 当充分大时当充分大时0(;).nDU M 又由又由 Dn 的取法的取法,知道知道0(;)U M 中中含有含有 E 的无限多的无限多个点个点,这就证得了这就证得了M0 是是 E 的聚点的聚点.推论推论 有界无限点列有
27、界无限点列 2R,nP 必存在收敛子列必存在收敛子列 .knP(证明可仿照证明可仿照 R 中的相应命题去进行中的相应命题去进行.)定理定理16.4(有限覆盖定理有限覆盖定理)设设2RD 为一有界闭域为一有界闭域,().D 即则即则为一族开域为一族开域,它覆盖了它覆盖了 D 在在 12,n 中必存在有限个开域中必存在有限个开域 它们它们 同样覆盖了同样覆盖了D,即即 本定理的证明与本定理的证明与 R 中的有限覆盖定理中的有限覆盖定理(定理定理 7.3)相仿相仿,在此从略在此从略.注注 将本定理中的将本定理中的 D 改设为有界闭集改设为有界闭集,而将而将 改改设为一族开集设为一族开集,此时定理结论
28、依然成立此时定理结论依然成立.2R.E 例例7 设设试证试证 E 为有界闭集的充要条件为有界闭集的充要条件 .E是是:E E 的任一无穷子集的任一无穷子集 Eq 必有聚点必有聚点,且聚点属于且聚点属于 1.niiD qEqE证证(必要性必要性)E 有界有界 有界有界,由聚点定理由聚点定理,qE必有聚点必有聚点.又因又因的聚点亦为的聚点亦为 E 的聚点的聚点,而而 E 为为 闭集闭集,所以该聚点必属于所以该聚点必属于 E (充分性充分性)先证先证 E 为有界集为有界集.倘若倘若 E 为无界集为无界集,则则 存在各项互异的点列存在各项互异的点列,kPE 使使|(,),1,2,.kkPO Pk k
29、易见易见kP这个子集无聚点这个子集无聚点,这与已知条件相矛盾这与已知条件相矛盾.再证再证 E 为闭集为闭集.为此设为此设 P0 为为 E 的任一聚点的任一聚点,由聚由聚 点的等价定义点的等价定义,存在各项互异的点列存在各项互异的点列 使使,kPE 0lim.kkPP kPqEqE0P现把现把 看作看作 ,由条件由条件 的聚点的聚点(即即 )必必属属于于 E,所以所以 E 为闭集为闭集.三、二元函数 函数函数(或映射或映射)是两个集合之间的一种确定的对是两个集合之间的一种确定的对 应关系应关系.R 到到 R 的映射是一元函数的映射是一元函数,R2 到到 R 的映的映 射则是二元函数射则是二元函数
30、.定义定义2 设平面点集设平面点集 ,若按照某对应法则若按照某对应法则 f,2RD D 中每一点中每一点 P(x,y)都有唯一确定的实数都有唯一确定的实数 z 与之与之 对应对应,则称则称 f 为定义在为定义在 D 上的二元函数上的二元函数(或称或称 f 为为 D 到到 R 的一个映射的一个映射),记作记作 :R.(7)fD 也记作也记作(,),(,);zf x yx yD 或点函数形式或点函数形式(),.zf PPD 与一元函数相类似与一元函数相类似,称称 D 为为 f 的定义域的定义域;而称而称 ()(,)zf Pzf x y或或 为为 f 在点在点 P 的函数值的函数值;全体函数值的集合
31、为全体函数值的集合为 f 的的 值域值域,记作记作 .通常把通常把 P 的坐标的坐标 x 与与 y 称称()Rf D 为为 f 的自变量的自变量,而把而把 z 称为因变量称为因变量.当把当把 和它所对应的和它所对应的 一起组成一起组成 (,)x yD(,)zf x y三维数组三维数组(x,y,z)时时,三维点集三维点集 3(,)|(,),(,)RSx y zzf x yx yD便是二元函数便是二元函数 f 的图象的图象.通常该图象是一空间曲通常该图象是一空间曲 面面,f 的定义域的定义域 D 是该曲面在是该曲面在 xOy 平面上的投影平面上的投影.例例8 函数函数25zxy 的图象是的图象是
32、R3 中的一个平面中的一个平面,其定义域是其定义域是 R2,值域是值域是 R.例例9 的定义域是的定义域是 xOy 平面上的平面上的 221()zxy单位圆域单位圆域 ,值域为区间值域为区间 0,1,22(,)|1x yxy它的图象是以原点为中心的单位球面的上半部分它的图象是以原点为中心的单位球面的上半部分 (图图16 9).例例10 是定义在是定义在 R2 上的函数上的函数,它的图象是过它的图象是过 zxy原点的双曲抛物面原点的双曲抛物面(图图 16 10).xyzO1图图16 9 xyzO图图16 10 图图16 11 xyzOz1 z2 例例11 是是定义在定义在 R2 上的函数上的函数
33、,值域值域 22zxy是全体非负整数是全体非负整数,它的图象示于图它的图象示于图 16 11.若二元函数的值域若二元函数的值域 是有界数集是有界数集,则称函数则称函数 ()f Df在在 D上为一有界函数上为一有界函数(如例如例9 中的函数中的函数).否则否则,()f Df若若 是无界数集是无界数集,则称函则称函数数在在 D上为一无界上为一无界 函数函数(如例如例8、10、11 中的函数中的函数).与一元函数类似地与一元函数类似地,设设 2R,D 则有则有 ,lim().kkkfDPDf P在在上上无无界界使使 例例12 设函数设函数(此函数在以后还有特殊用处此函数在以后还有特殊用处)试用等高线
34、法讨论曲面试用等高线法讨论曲面(,)zf x y 的形状的形状.(zc c(,),zf x y 解解 用用 为一系列常数为一系列常数)去截曲面去截曲面 得等高线方程得等高线方程 22222222,()().xyxycxy xyc xyxy 或或2222,(,)(0,0),(,)0,(,)(0,0).xyxyx yf x yxyx y 当当 0c xOy时时,得得 平面上的四条直线平面上的四条直线 0,0,.xyyxyx 当当 0c 时时,由等高线的直角坐标方程难以看出它由等高线的直角坐标方程难以看出它 的形状的形状.若把它化为极坐标方程若把它化为极坐标方程,即令即令cos,sin,xryr 得
35、到得到22sin44,4sin4.rcrc 或或 如图如图16 12 所示所示,为为0,1,3,5c 所对应的一所对应的一 族等高线族等高线.+1+1+1+1+3+5+3+5+3+5+3+5-1 -1-3-5-3-5-1-3-5-1-3-5 0 0 0 0 0 0 0 0 图图 16 12 xy-505-505-10-50510图图 16 13由此便可想象曲面的大致形状如图由此便可想象曲面的大致形状如图 16 13 所示所示,坐标原点是曲面的一个鞍点坐标原点是曲面的一个鞍点,四道四道“山谷山谷”与四道与四道 “山脊山脊”在鞍在鞍 点处相汇点处相汇.四、n 元函数所有所有 n 个有序实数组个有序
36、实数组 12(,)nxxx的全体称为的全体称为 n 维向量空间维向量空间,简称简称 n 维空间维空间,记作记作 Rn.其中每个有其中每个有 序实数组序实数组 12(,)nxxx称为称为 Rn 中的一个点中的一个点;n 个个 实数实数 12,nxxx是这个点的坐标是这个点的坐标.设设 E 为为 Rn 中的点集中的点集,若有某个对应法则若有某个对应法则 f,使使 E 中每一点中每一点 12(,)nP xxx都有惟一的一个实数都有惟一的一个实数 y 与之对应与之对应,则称则称 f 为定义在为定义在 E 上的上的 n 元函数元函数,记作记作 :R,fE 1212(,),(,),nnyf xxxxxxE
37、 也常写成也常写成(),.yf PPE 或或对于后一种被称为对于后一种被称为“点函数点函数”的写法的写法,它可使多元它可使多元 函数与一元函数在形式上尽量保持一致函数与一元函数在形式上尽量保持一致,以便仿照以便仿照 一元函数的办法来处理多元函数中的许多问题一元函数的办法来处理多元函数中的许多问题;同时同时,还可把二元函数的很多论断推广到还可把二元函数的很多论断推广到(3)n 元函数中来元函数中来.复 习 思 考 题 1.试问在试问在 R 中的开集、闭集、开域、闭域、区域中的开集、闭集、开域、闭域、区域 等集合是数直线上怎样一些点集？等集合是数直线上怎样一些点集？2.设设 E,F 分别是分别是
38、R2 中的开集和闭集试问在中的开集和闭集试问在 R3 中中 E 是否仍为开集？是否仍为开集？F 是否仍为闭集？是否仍为闭集？3.R 中的单调有界性定理和确界原理中的单调有界性定理和确界原理,为什么在为什么在 R2 中没有直接对应的命题？中没有直接对应的命题？4.为什么说为什么说“在一切平面点集中，只有在一切平面点集中，只有 R2 与与 是既开又闭的点集是既开又闭的点集”？5.前面正文中有如下命题：设前面正文中有如下命题：设 2R,D 则有则有 ,lim().kkkfDPDf P在在上上无无界界使使 试为之写出证明试为之写出证明2R,DAD“若若是是AB点点,则则直直线线段段与与DD AB图图
39、16 14,BD的内点是的外的内点是的外(16-14.)参见图参见图6.:试讨论有哪些方法可用来论证如下命题试讨论有哪些方法可用来论证如下命题D 至少有一交点.”至少有一交点.”2 二元函数的极限与一元函数的极限相类似，二元函数的极限 同样是二元函数微积分的基础.但因自变量个数 的增多,导致多元函数的极限有重极限与累次极 限两种形式,而累次极限是一元函数情形下所不会出现的.一、二元函数的极限 二、累次极限 一、二元函数的极限 f2RD 0P定义定义1 设二元函数设二元函数 定义在定义在上上,为为 D 的的 一个聚点一个聚点,A是一实数是一实数.若若0,0,使得当使得当 0(;)PUPD 时时,
40、都有都有|()|,f PA 0lim().PPPDf PA 在对在对PD 不致产生误解时不致产生误解时,也可简单地写作也可简单地写作 f0PP则称则称在在 D 上当上当时以时以 A 为极限为极限,记作记作 0lim().PPf PA 0P00(,),(,)x yxy当当 P,分别用坐标分别用坐标 表示时表示时,上式也上式也 常写作常写作 00(,)(,)lim(,).x yxyf x yA 例例1 依定义验依定义验证证22(,)(2,1)lim()7.x yxxyy证证 因为因为 227xxyy22(4)2(1)xxyy|(2)(2)(2)2(1)(1)(1)|xxxyyyy|2|2|1|3|
41、.xxyyy不妨先限制在点不妨先限制在点(2,1)的方邻域的方邻域 (,)|2|1,|1|1x yxy内来讨论内来讨论,于是有于是有|3|14|1|45,yyy|2|(2)(1)5|xyxy|2|1|57.xy2277|2|5|1|xxyyxy7(|2|1|).xy0,min(1,),14 取取|2|,|1|xy 当当(,)(2,1)x y 且且 时时,就有就有 2277214.xxyy 这就证得这就证得 22(,)(2,1)lim()7.x yxxyy所以所以例例2 2 设设 2222(,)(0,0),(,)0,(,)(0,0),xyxyx yf x yxyx y，证明证明(,)(0,0)l
42、im(,)0.x yf x y 证证(证法一证法一)0,由由222222222202xyxyxyxyxyxy222211(),22xyxy可知可知 222,0,xy 当当时时 便便有有22220,xyxyxy 故故(,)(0,0)lim(,)0.x yf x y 注意注意 不要把上面的估计式错写成：不要把上面的估计式错写成：2222222210(),22xyxyxyxyxyxyxy(,)(0,0)x y(,)(0,0),x y 因为因为的过程只要求的过程只要求 即即 220,xy 0.xy 而并不要求而并不要求 (证法二证法二)作极坐标变换作极坐标变换 cos,sin.xryr 这时这时 22
43、22|(,)0|xyf x yxyxy 2211|sin4|,44rr(,)(0,0)x y 0r 等价于等价于(对任何对任何 ).由于由于 因此，因此，220,2,rxy只须只须对任何对任何 都有都有 2(,)(0,0)1|(,)0|,lim(,)0.4x yf x yrf x y 即即下述定理及其推论相当于一元函数极限的海涅归下述定理及其推论相当于一元函数极限的海涅归结结原则原则(而且证明方法也相类似而且证明方法也相类似).).定理定理16.5 0lim()PPP Df PA 的充要条件是：对于的充要条件是：对于 D 的的 任一子集任一子集 E,只要只要 仍是仍是 E 的聚点的聚点,就有就
44、有0P0lim().PPP Ef PA 1ED 01lim()PPP Ef P 推论推论1 若若,P0 是是 E1 的聚点的聚点,使使 不存在不存在,则则0lim()PPP Df P 也不存在也不存在 001212lim()lim()PPPPP EP Ef PAf PA与与120,E ED P 推论推论2 若若 是它们的聚点，使得是它们的聚点，使得12AA 0lim()PPP Df P 都存在，但都存在，但,则则不存在不存在推论推论3 极限极限 0lim()PPP Df P 存在的充要条件是：存在的充要条件是：D 中任中任 一满足条件一满足条件00lim,nnnnPPPPP 且且点点列列的的
45、它所它所 对应的函数列对应的函数列()nf P都收敛都收敛 下面三个例子是它们的应用下面三个例子是它们的应用 22(,)xyf x yxy (,)(0,0)x y 例例3 讨论讨论当当时是时是否否存在极限存在极限(注注:本题结论很重要本题结论很重要,以后常会用到以后常会用到.)解解 当动点当动点(x,y)沿着直线沿着直线 而趋于定点而趋于定点(0,0)ymx时，由于时，由于2(,)(,)1mf x yf x mxm,因此有因此有 2(,)(0,0)0lim(,)lim(,).1x yxymxmf x yf x mxm 这说明动点沿不同斜率这说明动点沿不同斜率 m 的直线趋于原点时的直线趋于原点
46、时,对应对应 的极限值不相同，因而所讨论的极限不存在的极限值不相同，因而所讨论的极限不存在210,(,)0yxxf x y ，,，其其余余部部分分.4例例设设如图如图 16-15 所示所示,当当(x,y)沿任何直线趋于原点时沿任何直线趋于原点时,相应的相应的(,)f x y都趋于都趋于 0,但这并不表明此函数在但这并不表明此函数在(,)(0,0)x y 时的极限为时的极限为 0.因为当因为当(x,y)沿抛物线沿抛物线 2(01)ykxk (,)f x y 趋于点趋于点 O 时时,将趋于将趋于1.所所以极限以极限 (,)(0,0)lim(,)x yf x y不存在不存在.(,)xyf x yxy
47、 (,)(0,0)x y 例例5 讨论讨论在在 时不时不 存在极限存在极限 解解 利用定理利用定理 16.5 的推论的推论 2,需要找出两条路径需要找出两条路径,沿沿 着着此二路径而使此二路径而使(,)(0,0)x y 时时,得到两个相异得到两个相异 的极限的极限 第一条路径简单地取第一条路径简单地取,yx 此时有此时有 2(,)(0,0)0()limlim0.2x yxyxxyxxyx 第二条路径可考虑能使第二条路径可考虑能使(,)xyf x yxy 的分子与的分子与 分母化为同阶的无穷小分母化为同阶的无穷小,导致极限不为导致极限不为 0.按此思按此思路路的一种有效选择的一种有效选择,是取是
48、取 2.yxx 此时得到此时得到222(,)(0,0)00()()limlimlim(1)1,x yxxyxxxyx xxxxyx 这就达到了预期的目的这就达到了预期的目的(非正常极限非正常极限)的定义的定义 定义定义2 设设 D 为二元函数为二元函数f的定义域，的定义域，000(,)P xy是是 D 的一个聚点的一个聚点.若若 0,0,M 使得使得 0(,)(;),(,),P x yUPD f x yM 0PP 则称则称 f在在 D 上当上当 时时,有有非正常极限非正常极限 ,记记作作 00(,)(,)lim(,),x yxyf x y (,)f x y 下面再给出当下面再给出当 时时,00
49、0(,)(,)P x yP xy或或 0lim().PPf P 仿此可类似地定义：仿此可类似地定义：00lim()lim().PPPPf Pf P 与与例例6 设设 221(,)23f x yxy .证明证明 (,)(0,0)lim(,).x yf x y 证证 此函数的图象见图此函数的图象见图16-16.2222234()xyxy 0,M 因因 ,故对故对只需取只需取 2211,022xyMM 当当时时，就就有有22221123,.23xyMMxy 即即这就证得结果这就证得结果 二元函数极限的四则法则与一元函数极限相仿二元函数极限的四则法则与一元函数极限相仿,特特 同同,这里不再一一叙述这里
50、不再一一叙述.(,)f x y()f P看作点函数看作点函数别把别把 时时,相应的证法也相相应的证法也相 二、累次极限是以任何方式趋于是以任何方式趋于 这种极限也称为这种极限也称为重重 00(,),xy的的极限极限.下面要考察下面要考察 x 与与 y 依一定的先后顺序依一定的先后顺序,相继趋相继趋 在上面的极限在上面的极限00(,)(,)lim(,)x yxyf x y中中,自变量自变量(,)x y0 x于于 与与 时时 f 的极限的极限,这种极限称为这种极限称为累次极限累次极限.0y定义定义3 设设,RxyEE ,x0 是是 Ex 的聚点的聚点,y0 是是 Ey 的的 聚点聚点,二元函数二元
