1、 江苏省江苏省 2019 届届五月五月百校百校联考数学试卷联考数学试卷 数学试卷数学试卷 考生注意： 1.本试卷共 200 分.考试时间 150 分钟. 2.请将各题答案填写在答题卡上. 3.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一一、填空题、填空题：本大题共本大题共 14 小题小题，每小题每小题 5 分，共计分，共计 70 分，请把答案填写在答题卡相应位置上分，请把答案填写在答题卡相应位置上. 1.设全集UR，集合 2 |20Ax xx， |0Bx x，则集合()ACuB_. 2.设复数z满足(2)12zii （i为虚数单位） ，则z的模为_. 3.已知双曲线 22 22 1(0,0) xy
2、ab ab 的一条渐近线经过点(1,2)，则该双曲线的离心率为_. 4.各项均为正数的等比数列 n a中， n S为其前n项和，若 3 1a ，且 52 2SS，则公比q的值为_. 5.下表是关于青年观众的性别与是否喜欢综艺“奔跑吧，兄弟”的调查数据，人数如下表所示： 不喜欢 喜欢 男性青年观众 40 10 女性青年观众 30 80 现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n个人做进一步的调研， 若在 “不喜欢的男性青年观众” 的人中抽取了 8 人，则n的值为_. 6.根据如图所示的伪代码，输出I的值为_. 7.甲，乙两队参加关于“一带一路”知识竞赛，甲队有编号为 1，2，3 的三名运动员
3、，乙队有编号为 1，2， 3，4 的四名运动员，若两队各出一名队员进行比赛，则出场的两名运动员编号相同的概率为_. 8.函数ln 32 xx y 的定义域为_. 9.设, x y满足约束条件 220 10 210 xy xy xy ，则 1 2 x z y 的取值范围是_. 10.将函数( )sinf xx的图象向右平移 3 个单位长度后得到( )yg x函数的图象，则函数( ) ( )f x g x的最 大值为_. 11.如图，在直四棱柱 1111 ABCDABC D，中，底面ABCD是平行四边形，点E是棱 1 BB的中点，点F是 棱 1 CC上靠近Q的三等分点， 且三棱锥 1 AAEF的体
4、积为 2， 则四棱柱 1111 ABCDABC D， 的体积为_. 12.在面积为 6 2 的ABC中，2 3AB AC若点M是AB的中点， 点N满足2ANNC， 则B NC M 的最大值是_. 13.在平面直角坐标系xOy中，已知圆 22 :(1)1C xy及点( 3,0)A，设点P是圆C上的动点，在 ACP中，若ACP的角平分线与AP相交于点( , )Q m n，则 22 mn的取值范围是_. 14.已知函数 2 11 ,0 ( )62 ln,0 a xx f xx xx x ，若关于z的方( )()0f xfx在定义域上有四个不同的解， 则实数a的取值范围是_. 二、解答题二、解答题：本
5、大题共本大题共 6 小题，共计小题，共计 90 分分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说朋、证明过请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说朋、证明过 程或演算步骤程或演算步骤. 15.如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是正方形，PAD为等边三角形，,M N分別是, AB AD的中 点，且平面PAD 平面ABCD. （1）证明：CM 平面PNB； （2）设点E是棱PA上一点，若PC/平面DEM，求:PE EA的值. 16.在ABC中， 4 ABC ，D是边BC上一点，且5AD ， 3 5 ADC. （1）求BD的长； （2）若ABC的面积为 14，求AC的长. 17.如图，已知椭
6、圆 22 22 1(0) xy ab ab 经过点 6 2, 2 ，且离心率 1 2 e ，过右焦点F且不与坐标 轴垂直的直线l与椭圆C相交于,M N两点. （1）求椭圆C的标准方程； （2）设椭圆C的右顶点为A，线段MN的中点为H，记直线, , OH AM AN的斜率分别为 012 ,k k k，求 证： 12 0 kk k 为定值. 18.如图，某市一学校H位于该市火车站O北偏东45方向，且4 2OHkm，已知, OM ON是经过火车 站O的两条互相垂直的笔直公路，及圆弧CD都是学校道路，其中CEOM，DFON，以学校H为 圆心，半径为2km的四分之一圆弧分别与, CE DF相切于点, C
7、 D.当地政府欲投资开发AOB区域发展 经济， 其中,A B分别在公路, OM ON上， 且AB与圆弧CD相切， 设OABd，AOB的面积为 2 Skm （1）求S关于 0 的函数解析式； （2）当为何值时，AOB面积S为最小，政府投资最低？ 19.已知函数 2 ( )2(3)2 lnf xxaxax，其中aR. （1）函数( )f x在1x 处的切线与直线210xy 垂直，求实数a的值； （2）若函数( )f x在定义域上有两个极值点 12 ,x x，且 12 xx. 求实数a的取值范围； 求证： 12 0f xf x. 20.已知正项数列 n a的前n项和 2 2,* nn SanN .
8、（1）若数列 n a为等比数列，求数列 n a的公比q的值； （2）设正项数列 n a的前n项和为 n T，若1 n b ，且 2 1 21 nn Tbn . 求数列 n a的通项公式； 求证： 1 123 12 2 n i b i aaaa . 高三数学考试卷参考答案高三数学考试卷参考答案 一一、填空题：本大题共填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 70 分分. 1.(0,1 2.1 3.5 4. 51 2 5.32 6.7 7. 1 4 8.(0,) 9. 1 ,1 5 10. 3 4 11.12 12. 8 3 2 6 3 13. 7272 , 33 1
9、4. 1 ,0 3 二二、解答题解答题 15. （1）证明：在正方形ABCD中，,M N分别是,AB AD的中点， BMAN，BCAB，90MBCNAB， MBCNAB， BCMNBA. 又90BCMBMC， 90NBABMC， CMBN. PAD为等边三角形，N是AD的中点， PNAD. 又平面PAD 平面ABCD，PN 平面PAD，平面PAD平面ABCDAD， PN平面ABCD. 又CM 平面ABCD， CMPN. BN，PN 平面PNB，BNPNN， CM平面PNB. （2）解：连接AC交DM于点Q，连接EQ. PC平面DEM，PC 平面PAC，平面PAC平面DEMEQ， PCEQ. :
10、PE EACQ QA. 在正方形ABCD中，AMCD，且2CDAM， :2CQ QACD AM. :2PE EA. 16.解： （1）据题意， 3 cos 5 ADC，且(0, )ADC， 所以 2 2 34 sin1cos1 55 ADCADC . 所以sinsinsincoscossin 444 BADADCADCADC 42322 525210 . 在ABD中，据正弦定理可知， sinsin ADBD BBAD ， 所以 52 sin1 sin10 sin 4 AD BDBAD B . （2）在ABD中，据正弦定理可知 sinsin ADAB BADB ， 所以 54 sinsin()s
11、in4 2 sinsinsin5 sin 4 ADADAD ABADBADCADC BBB . 因为ABC的面积为 14，所以 1 sin14 2 BA BCB，即 1 4 2sin14 24 BC ， 得7BC . 在ABD中，据余弦定理可知， 22222 2cos(4 2)724 27cos25 4 ACBABCBA BCB ， 所以5AC . 17.（1）解：设椭圆的焦距为2c，则 1 2 c a ，即2ac，所以 2222 3bacc. 依题意， 22 23 1 2ab ，即 22 23 1 423cc ，解得 2 1c ，1c 所以2a ， 2 3b . 所以椭圆C的标准方程为 22
12、 1 43 xy . （2）证明：依题意，直线l的斜率存在，且不为 0，设其为k， 则直线l的方程为(1)yk x，设 11 ,M x y， 22 ,N x y. 与椭圆联立 22 1, 43 (1), xy yk x 整理得 2222 4384120kxk xk， 故 2 12 2 2 12 2 8 , 43 412 . 43 k xx k k x x k 所以 2 12 2 4 243 H xxk x k ， 2 3 1 43 HH k yk x k ， 所以 2 02 2 3 3 43 44 43 H H k y k k kxk k . 又 121212 12 12 12121212 1
13、1234 222224 k xk xx xxxyy kkk xxxxx xxx 22 22 22 22 4128 234 3 4343 4128 24 4343 kk kk k kkk kk ， 所以 12 0 3 4 3 4 kk k k k 为定值，得证. 18.解： （1）以点O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系， 则(4,4)H，在RtABO中，设ABl， 又OAB，故cosOAl，sinOBl. 所以直线AB的方程为1 cossin xy ll ，即sincossincos0xyl. 因为直线AB与圆H相切， 所以 22 |4sin4cossincos| 2 sincos l .
14、(*) 因为点H在直线AB的上方， 所以4sin4cossin cos0l， 所以(*)式可化为4sin4cossin cos2l，解得 4(sincos )2 sincos l . 所以 4(sincos )2 sin OA ， 4(sincos )2 cos OB . 所以AOB面积为 2 12(sincos )1 2,0, 2sin cos2 SOA OB . （2）令2(sincos )1t，则 2 23 sincos 8 tt ， 且2(sincos )12 2sin1(1,2 21 4 t ， 所以 2 2 2 16 2 32 23 1 8 t S tt tt ，(1,2 21t.
15、 令 12 21,1 7 m t ， 2 2 14 ( )3213 33 g mmmm ，所以()g m在 2 21,1 7 上单调 递减. 所以，当 2 21 7 m ，即 4 时，()g m取得最大值，S取最小值. 答：当 4 时，AOB面积S为最小，政府投资最低. 19.解： （1）依题意， 2 ( )2(3)2 lnf xxaxax，0x ， 故 2 ( )22(3) a fxxa x ，所以(1)44fa， 据题意可知， 1 (44)1 2 a ，解得 1 2 a . 所以实数a的值为 1 2 . （2）因为函数( )f x在定义域上有两个极值点 12 ,x x，且 12 xx， 所
16、以 2 ( )22(3)0 a fxxa x 在(0,)上有两个根 12 ,x x，且 12 xx， 即 2 22(3)20xaxa在(0,)上有两个不相等的根 12 ,x x. 所以 2 2(3) 0, 22 4(3)160, 20, a a a 解得01a. 当01a时，若 1 0xx或 2 xx， 2 22(3)20xaxa，( )0fx，函数( )f x在 1 0,x和 1, x 上单调递增；若 12 xxx， 2 22(3)20xaxa，( )0fx，函数( )f x在 12 ,x x上单 调递减，故函数( )f x在(0,)上有两个极值点 12 ,x x，且 12 xx. 所以，实
17、数a的取值范围是01a. 由可知， 1212 ,0x xxx是方程 2 22(3)20xaxa的两个不等的实根， 所以 12 12 3, , xxa x xa 其中01a. 故 22 12111222 2(3)2 ln2(3)2 lnf xf xxaxaxxaxax 2 12121212 22(3)2 lnxxx xaxxax x 22 (3)22(3)(3)2 ln2 ln49aaaaaaaaaa， 令 2 ( )2 ln49g aaaaa，其中01a.故( )2ln26g aaa， 令( )( )2ln26h ag aaa， 2 ( )20h a a ，( )( )h ag a在(0,1)
18、上单调递增. 由于 33 20h ee ，(1)40h， 所以存在常数 3,1 te，使得( )0h t ，即ln30tt ，ln3tt ， 且当(0, )at时，( )( )0h ag a，( )g a在(0, ) t上单调递减； 当( ,1)at时，( )( )0h ag a，( )g a在( ,1)t上单调递增， 所以当01a时， 222 ( )( )2 ln492 (3)4929g ag tttttt ttttt， 又 3,1 te， 22 29(1)1010ttt ， 所以( )10g a ，即( )100g a . 20.解： （1）依题意可得 13 2Sa， 24 2Sa，两式相
19、减，得 243 aaa，所以 2 222 aa qa q， 因为0 n a ，所以 2 10qq ，且0q ，解得 15 2 q . （2）因为 2 1 21 nn Tbn ，所以 2 12 22 nn Tbn ， 两式相减，得 22 121 21 nnn bbb ，即 2 2 21 1 nn bb . 因为0 n b ，所以 21 1 nn bb ，即 21 1 nn bb . 而当1n 时， 2 12 22Tb，可得 2 2b ，故 21 1bb， 所以 1 1 nn bb 对任意的正整数n都成立， 所以数列 n b是等差数列，公差为 1，首项为 1， 所以数列 n b的通项公式为 n b
20、n. 因为 2 2 nn Sa ，所以 13 2 nn Sa ，两式相减，得 132nnn aaa ，即 312nnn aaa ， 所以对任意的正整数2n，都有 21nnn aaa . 令 123451 23451 12 2222222 i n inn n bnn i aaaaaaaa P ， 而当1,2,3n 时， 123 2 n aaa P 显然成立， 所以当4n， * nN时， 12323343221 23451 2222222 nnnn n nn aaaaaaaaaaa P 12323323421 23451451 22222222222 nnnn nnnn aaaaaaaaaaa 123233212123421 234512323451 222222222222222 nnnn nnnn aaaaaaaaaaaaaaa 12312112332123121 23233345123451 22222222222222222 nnnn nnnn aaaaaaaaaaaaaaaaa 123123123 21 333 11113 24224224 nnnnn aaaaaaaaa PPPPP ， 所以 123 3 3 24 nn aaa PP ，即 123 3 3 24 nn aaa PP ， 所以 123 12 2 i n i b i aaaa ，得证.
