1、 浙江浙江 2019 年高三年高三百校百校高仿真模拟联考高仿真模拟联考 数学数学 本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共 6 页，选择题部分 1 至 3 页；非选择题部分 3 至 6 页.满分 150 分.考试用时 120 分钟. 考生注意： 1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置 上. 2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一 律无效. 参考公式： 若事件, A B互斥，则 ()( )( )P ABP AP B 若事件, A B相互独立，则 ()( ) ( )P ABP A P
2、 B 若事件A在一次试验中发生的概率为p，则n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 ( )C(1)(0,1,2, ) kkn k nn P kppkn 台体的体积公式 1122 1 3 VSS SSh 其中 12 ,S S分别表示台体的上、下底面积h表示台体的高 柱体的体积公式 VSh 其中S表示柱体的底面面积，h表示柱体的高锥体的体积公式 1 3 VSh 其中S表示锥体的底面面积，h表示锥体的高球的表面积公式 2 4SR 球的体积公式 3 4 3 VR 其中R表示球的半径 选择题部分（共选择题部分（共 40 分）分） 一一、选择题选择题：本大题共本大题共 10 小题小题，每小题每小题 4
3、 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的. 1.已知集合|21 x Ax， |ln(1)Bx yx，则AB等于（ ） A |0x x B |1x x C |01xx D |01xx 2.双曲线 22 1 43 yx 的渐近线方程是（ ） A 3 2 yx B 2 3 3 yx C 4 3 yx D 3 4 yx 3.已知i为虚数单位，复数z满足2 1 z i i ，则复数z的虚部是（ ） Ai Bi C1 D1 4.在ABC中，角, ,A B C的对边分别是, ,a b c，若2 2cb， 22 2abbc，则角A等于（
4、） A 4 B 3 C 2 D 2 3 5.已知等差数列 n a的公差为d，若 39 58aa，则“ 2 1a ”是“2d”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 6.某几何体的三视图如图所示，侧视图下方为矩形，上方为半圆，则该几何体的体积是（ ） A12 B6 C12 2 D6 2 7.函数 | |2 ( )2 x f xex在 2,2上的图象大致为（ ） A B C D 8.已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab ，过原点的直线交椭圆于, A B两点，以AB为直径的圆过右焦点F， 若, 12 3 FAB ，则此椭圆离心率的取值范围是（
5、 ） A 2 , 31 2 B 26 , 23 C 2 0, 2 D 6 ,1 3 9.已知函数( )f x的定义域为R，下列函数使方程( ( )f f xx的实数根的个数最多的为（ ） A 2 ( )f xxx B( )exf x C( )sinf xx D( ) |21|f xx 10.已知矩形ABCD，4AB ，2 2BC ，沿对角线BD将BCD折成BCD，若点 C 在平面ABD 上的射影在ABD内部 （不包含边界） ， 设二面角CBDA 的平面角大小为， 二面角CADB 的 平面角大小为，CD与平面ABD所成的角为，则, , 三个角的大小关系是（ ） A B C D 非选择题部分（共非
6、选择题部分（共 110 分）分） 二、填空题二、填空题：本大题共本大题共 7 小题小题，多空题每小题多空题每小题 6 分，单空题每小题分，单空题每小题 4 分，共分，共 36 分分. 12.已知随机变量X的分布列如下，若()0.5E X ，则mn_，()D X _. X 1 0 1 P m 0.3 n 12.已知 545 015 (21)(1)xxaa xa x，则 125 aaa_， 3 a _. 13.已知函数( )log (1)2 a f xx（0a 且1a ）的图象恒过定点P，则定点P的坐标是_，过 点P的直线l交圆 22 :4240C xyxy于, A B两点，当|AB取最小值_时，
7、对应直线l的斜 截式方程是_. 14.已知变量, x y满足不等式组 1 21 21 xy xy xy ， 则 1 4zx y的最大值是_， 若使 2 (0)zmxy m 取得最大值的最优解有无数个，则m_. 15.袋中装有质地、大小完全相同的 3 个黑球，2 个白球，1 个红球，从中依次随机地取球，每次取一个球， 取后不放回.如果取到 3 个黑球就结束取球，则取 4 次时就结束的概率为_. 16 已知非零向量, ,a b c，若, a b的夹角为 4 ，ca，cb的夹角为 3 4 ，且| 4ab，|14cb， 则b c的最大值是_. 17.记 , min , , a b c a b b ba
8、 ， 2 ( )min 36,52f xxmxnx， 0m，xR， 2 21,0 ( ) 2 ,0 x x g x xx x ，若函数( )f x的最大值为 3，( )( )h xg xm有 3 个零点，则实数n的取值范 围是_. 三、解答题三、解答题：本大题共本大题共 5 小题小题，共共 74 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤. 18.已知 1 ( )2sin sin 32 f xxx . （1）求 5 12 f 的值； （2）若 1 25 f ，求sin的值. 19.如图， 已知PAD为等边三角形， 四边形ABCD为直角梯形，ABCD，90D
9、AB， 平面PAD 平面ABCD，2ABADCD，E为PB的中点. （1）求证：CE平面PAD. （2）求PB与平面PCD所成角的正弦值. 20.已知数列 n a的前n项和为 n S，且22 nn Sa，数列 n b为等差数列 11 3ba， 45 2ba. （1）求 n a， n b的通项公式； （2）记 nnn cab，求数列 n c的前n项和 n T. 21.已知点M到直线2x 的距离比它到点(1,0)F的距离大 1. （1）求点M的轨迹C的方程. （2）设点( , )N a b，0a ，0b ，过N作曲线C的切线，切点为,P Q，延长NO（O为坐标原点） 交直线PQ于点A，且OAPQ.
10、 求证：直线PQ经过定点R，并求出点R的坐标. 求 | | AR AN 的最大值. 22.已知函数( )ln(1)()f xxaxa aR. （1）求函数( )f x在区间2,3上的最大值； （2）设函数( )f x有两个零点 12 ,x x，求证： 12 2e2xx. 2019 年高三高仿真模拟浙江百校联考年高三高仿真模拟浙江百校联考 数学参考答案数学参考答案 1.C 集合|21 |0 x Axx x厖， |1Bx x，所以 |01ABxx. 2.B 双曲线 22 1 43 yx 的渐近线方程为 22 0 43 yx ，即 2 3 3 yx . 3.D 由2 1 z i i ，得(2)(1)
11、3ziii，故复数z的虚部是 1. 4.A 将2 2cb代入 22 2abbc，得5ab，故 222 2 cos 22 bca A bc ，因为三角形中 (0, )A，所以 4 A . 5.A 由 39 58aa， 得 2 24ad， 若 2 1a ， 则42d ， 所以2d ， 故2d成立； 若2d， 则 2 22a ，所以 2 1a ，所以 2 1a 不一定成立.故选 A. 6.D 该 几 何 体 的 下 部 分 是 一 个 长 方 体 ， 上 部 分 是 半 个 横 放 的 圆 锥 ， 其 体 积 2 11 32 1136 232 V . 7.A 函数 | |2 ( )2 x f xex
12、在 2,2上是偶函数，其图象关于y轴对称，故排除 C. 因为 2 (2)80fe，所以排除 D. 当0,2x时，( )e4 x fxx，令( )0fx ，得4 x ex，在同一坐标系中，作出 1 x ye， 2 4yx 的图象（图略） ，可得两图象在0,2上有一个交点，即( )fx 在0,2上有一个零点 0 x， 当 0 0,xx时，( ) 0fx ，( )f x 为增函数，当 0,2 xx时，( ) 0fx ，( )f x为减函数，排除 B.故选 A. 8.B 设椭圆的焦距为2c，由题意，知| 2ABc，| 2 cosFAc，| 2 sinFBc. 结合椭圆定义， 可知| 2FAFBa， 即
13、2c o s2s i n2cca， 则 11 sincos 2sin 4 e ， 由, 12 3 ，得 26 , 23 e . 9.D 由 2 22 xxxxx， 得 43 20xx， 求 解 恰 有 两 根 ； 因 为1 x ex， 所 以 12 x ex eexx，对应方程无解；在区间0, 2 上，因为sinxx，所以sin(sin )sinxxx成 立，显然, 2 x 时也成立，结合奇函数的性质，可知对应方程只有一解；由|2 ( )1|xf x，得 1 ( ) 2 x f x 或 1 ( ) 2 x f x ，结合图象可知对应方程共有四解.故选 D. 10.C 如图，取AB的中点G，连接
14、CG交BD于点O， 因为4AB ，2 2BC ，所以 GBAD BCAB ，所以GBCDAB，故CGBD，故点 C 在底面 上的射影E在OG上. 过E作EFAD，连接ED，依题意可知COE，CFE ，CDE ， 显然EOEFED，即 EOEFED CECECE ，也就是tantantan， 又观察图形可知, , 均为锐角，所以. 11.0.06 0.45 由分布列性质和期望公式，得0.7mn，0.5nm，解得0.1m ，0.6n ，所以 0.06mn . 由方差计算公式，得 222 ()( 1 0.5)0.1(00.5)0.3(1 0.5)0.60.45D X . 12.3 84 令0x ，
15、得 0 2a ； 令1x ， 得 015 1aaa.故 125 3aaa.展开式中含 3 x 的项为 2321313 54 C (2 ) ( 1)C( 1)84xxx，所以 3 84a . 13.(0,2) 22yx 无论a取何值，当0x 时，2y ，故定点P的坐标为(0,2). 要使|AB取最小值，只需lCP，故1 lCP k k . 又因为 1 2 CP k ，所以2 l k ，所以直线l的斜截式方程是22yx. 14.3 1 如图所示的阴影部分为不等式组 1 21 21 xy xy xy 的可行域， 其中( 1, 1)A ， 当直线 1 4zxy 经 过点( 1, 1)A 时， 1 4z
16、xy 取得最大值 3. 由 2 (0)zmxy m，得 2( 0)ymxz m ，依题意知1m ，1m . 15. 3 20 解法 1（有序法） ：设X为取球的次数，则X的值可能为 3，4，5，6 次，根据题意，因为取 4 次 时就结束，所以前三次应该取到两个黑球和一个其他颜色的球，第四次一定是取到黑球，故 2131 3331 1111 6543 C C A C3 (4) C C C C20 P X . 解法 2（无序法） ：设X为取球的次数，则X的值可能为 3，4，5，6 次，根据题意，因为取 4 次时就结束， 所 以 前 三 次 应 该 取 到 两 个 黑 球 和 一 个 其 他 颜 色
17、的 球 ， 第 四 次 一 定 是 取 到 黑 球 ， 所 以 21 33 3 6 C C13 (4) C320 P X . 16.21 设OAa，OBb，OCc，因为, a b的夹角为 4 ，ca，cb的夹角为 3 4 ，所以, , ,O A C B 四点共圆. 因为4AB ，14CB ， 3 4 ACB，所以在ABC中， 根据正弦定理，可得 7 sin 4 BAC， 3 cos 4 BAC，所以 3 cos 4 BOC. 在OBC中 ， 由 余 弦 定 理 得 22 2 2| | |cosBCbcb cBOC， 即 1 1 4| | 2 b c， 所 以 | c o s2 1bcbcB O
18、 C，当且仅当| |bc时，取等号.故b c的最大值是 21. 7.(2,3) 设 1 36yx, 2 52yx，易知当x 时， 1 y ； 当x 时， 2 y . 直线36yx，52yx分别经过点( 1,3)，(1,3)且这两点关于y轴对称，抛物线 2 ymxn关于 y轴对称且开口向上，因为函数( )f x的最大值为 3，故满足 2 ( 1)3mn，所以3mn.函数 2 21,0 ( ) (1)1,0 x x g x xx ，其图象如图所示， 由函数( )( )h xg xm有 3 个零点知，方程( )g xm有三个实数根，所以实数m的取值范围是(0,1)， 故3(2,3)nm，即实数n的取
19、值范围是(2,3). 18.解： （1）因为 11 ( )2sin sin2sinsin coscos sin 32332 f xxxxxx 2 131 sin3sin cossin2cos21 222 xxxxx，所以( )sin 21 6 f xx ， 所以 553 sin11 12662 f . （2）由 1 25 f ，得 1 sin1 65 ，即 4 sin 65 ，故 3 cos 65 . 当 3 cos 65 时， 34 3 sinsinsincoscossin 66666610 ； 同理，当 3 cos 65 时， 34 3 sin 10 . 19.（1）证明：取AP的中点F，
20、连接,EF DF. 因为,E F分别为,PB PA的中点，所以EFAB， 1 2 EFAB， 根据题意，CDAB， 1 2 CDAB，所以EFCD，EFCD， 所以四边形EFDC为平行四边形，所以CEDF. 又因为DF 平面PAD，CE 平面PAD，所以CE平面PAD. （2） 解： （方法 1） 由题意可知， 点B到平面PCD的距离等于点A到平面PCD的距离.取PD的中点G， 连接AG. 因为平面PAD 平面ABCD，90DAB，ABCD，CD 平面ABCD，平面PAD 平面 ABCDAD，所以CD 平面PAD. 因为AG 平面PAD， 所以CDAG， 又PAD为等边三角形， 且G为PD的中
21、点， 故AGPD， 因为CDPDD，所以AG 平面PCD，即线段AG为点A到平面PCD的距离. 不妨设2CD ，则24ABADCD，故2 3AG ， 易知PAB为直角三角形，故求得4 2PB . 设PB与平面PCD所成的角为，则 6 sin 4 ，所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为 6 4 . （方法 2）如图，设,AD BC的中点分别为,O M，易知OMAB， 因为平面PAD 平面ABCD，平面PAD 平面ABCDAD，BAAD，BAC平面ABCD，所以 BA 平面PAD. 又因为OP平面PAD，所以BAOP，所以OMOP. 又因为PAD为等边三角形，所以OAOP，从而易知,OA OM
22、 OP互相垂直，故以,OA OM OP所 在直线分别为, ,x y z轴建立空间直角坐标系. 不妨设2CD ，则(0,0, 3)P，(1,2,0)B，( 1,1,0)C ，( 1,0,0)D ， 所以( 1,1,3)PC ，( 1,0,3)PD ，(1,2,3)PB ， 设平面PCD的一个法向量为( , , )mx y z， 由0m PC，0m PD得 30 030 xyz xz ，所以0y . 令1z ，得3x ，则(3,0,1)m . 设PB与平面PCD所成的角为，则组 |6 sin|cos,| 4| | m PB m PB mPB ，所以直线PB与平面 PCD所成角的正弦值为 6 4 .
23、 20.解： （1）当1n 时， 111 22aSa，得 1 2a ； 当2n 时， 11 22 nn Sa ，由 1nnn aSS ，得 1 2 nn aa . 故 n a为等比数列，其公比为 2，所以2n n a . 由 1 2a ， 11 3ba，得 1 6b ， 45 230ba， 因为 n b为等差数列，所以其公差8d ，所以82 n bn. （2）因为282 n nnn cabn，所以当5n时，0 n c ，当5n 时，0 n c . 所以当5n时， 21 1122 4222n nnn Tbababann . 当5n 时， 12 11225555 24294 n nnn Tbaba
24、baababnn . 故数列 n c的前n项和 21 12 4222,5 24294,5 n n n nnn T nnn . 21.（1）解：方法 1）设( , )M x y，根据题意，得 22 |2|(1)1xxy，两边平方，并整理得点M的 轨迹C的方程为 2 4yx. （方法 2）根据题意，点M到直线1x 的距离与它到点(1,0)F的距离相等，由抛物线的定义知，点M 的轨迹为以原点为顶点，(1,0)F为焦点的抛物线，故M的轨迹C的方程为 2 4yx. （2）证明：取抛物线 2 4yx第一象限的部分，其解析式为2yx，求导数得 1 y x ， 设 11 ,P x y在第一象限，则切线NP的方
25、程为 11 1 yyxx x ， 化简得 11 2yyxx. 类似地，求得切线NQ的方程为 22 2yyxx. 又因为点( , )a b在两切线上，所以 11 2byax， 22 2byax，所以直线PQ的方程为 2()byxa. 由ONPQ， 得 2 1 b a b ，2a ， 故直线PQ的方程为2(2)byx， 显然， 直线PQ经过定点(2,0)， 即R点的坐标为(2,0). 解：如图， | tantan() | AR ANRxRNRON AN ，tan 24 bb xRN a ， tan 2 b RON ，故 2 |222 |844 2 ARbb ANbb （当2 2b时，取到最大值）.
26、 故 | | AR AN 的最大值为 2 4 . 22.（1）解：函数( )ln(1)f xxaxa的定义域为(1,)， 11(1) ( ) 11 a x fxa xx ， 因为10x ，所以当0a时，( )0fx ，函数( )f x在定义域内是单调增函数，故( )f x在区间2,3上 的最大值为(3)ln22fa. 当0a 时，由( )0fx ，得 1 1x a ，当 1 11x a 时，( )0fx ，当 1 1x a 时，( )0fx ， 所以( )f x在区间 1 1,1 a 上单调递增，在区间 1 1, a 上单调递减，若 1 2 13 a 剟，即 1 1 2 a剟， 则( )f x
27、在区间2,3上的最大值为 1 1ln1fa a ； 若 1 13 a ，即 1 0 2 a，则( )f x在区间2,3上是增函数，故( )f x最大值为(3)ln22fa； 若 1 12 a ，即1a ，则( )f x在区间2,3上是减函数，故( )f x最大值为(2)fa . 综上，当 1 2 a 时，( )f x的最大值为ln22a； 当 1 1 2 a剟时，( )f x的最大值为ln1a； 当1a 时，( )f x的最大值为a. （2）证明：因为函数( )f x有两个零点 12 ,x x，所以0a 且 1 10f a ，即 1 ln10 a ，所以 1 e a ， 所以 1 113e a
28、 . 不妨设 12 xx，因为(2)0fa ，110 aaa f eaaeae，所以 12 1 21e1 a xx a . 构造函数 11 ( )11H xfxfx aa ， 1 0,x a ，则 32 2 2 ( )0 1 () a x H x ax ， 所以函数( )H x在区间 1 0, a 上为增函数，故( )(0)0H xH， 所以 11 11fxfx aa . 又因为 1 11 10,x aa ，所以 211 11 11f xf xfx aa 11 112 112fxfx aaa ， 因为 12 1 21xx a ，所以 2 x， 1 2 2x a 均在( )f x的单调递减区间 1 1, a 上， 故 21 2 2xx a ，所以 21 2 22e2xx a . 故 12 22xxe.
