1、离心率离心率 一、求离心率的大小一、求离心率的大小 1.直接求出直接求出abc、 、 ，求解求解e 例例 1：已知双曲线 2 2 2 10 x y = a a （）的一条准线与抛物线 2 6y =x的准线重合，则该双曲线的 离心率为_ 变式变式 1：若椭圆经过原点，且焦点为 11 1,03,0FF，则其离心率为_ 变式变式 2：如果双曲线的实半轴长为 2，焦距为 6，那么双曲线的离心率为_ 变式变式 3：点3,1P 在椭圆 22 22 10 xy +=ab ab 的左准线上，过点P且方向为25a=，的 光线，经直线2y=反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为_ 2.构造构造abc、 、的
2、齐次式，求解的齐次式，求解e 例例 2：已知 12 FF、是双曲线 22 22 100 xy =ab ab ，的两焦点，以线段 12 FF为边作正三角形 12 MFF，若边 1 MF的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是_ 变式变式 1：设双曲线 22 22 10 xy = ba ab 的半焦距为c，直线L过 00,a,b，两点。已知原点 到直线的距离为 3 4 c，则双曲线的离心率是_ 变式变式 2：双曲线虚轴的一个端点为M，狂歌焦点为 12 FF、， 12 120FMF =，则双曲线的离心 率是_ 3.采用第一定义求解采用第一定义求解 例例 3：已知 12 FF、是双曲线 22 22 1 x
3、y = ab 的左右焦点，双曲线恰好通过正 12 FF A的两边 12 F AF A、的中点，则双曲线的离心率是_ 变式变式 1：设椭圆的两个焦点分别为 12 FF、，过 2 F作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若 12 FPF 为等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率为_ 4.采用第二定义求解采用第二定义求解 例例 4：设椭圆 22 22 100 xy =ab ab ，的右焦点为 1 F，右准线为 1 l，若过 1 F且垂直于x轴的 弦的长等于点 1 F到 1 l的距离，则这个椭圆的离心率为_ 变式变式 1：在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则这 个椭圆的离心率为
4、_ 5.利用正余弦定理利用正余弦定理 例例 5：已知 12 FF、是椭圆 22 22 10 xy =ab ab 的两焦点，点P在椭圆上，且 12 105PFF =， 21 15PF F=，则这个椭圆的离心率为_ 变式变式 1： 已知 12 FF、是椭圆 22 22 10 xy =ab ab 的两焦点， 点P在椭圆上， 且 12 60FPF =， 三角形 12 FPF的外接圆半径为3，且 2 3PF =，则这个椭圆的离心率为_ 二、求离心率的范围二、求离心率的范围 1.由圆锥曲线由圆锥曲线xy、的范围的范围求离心率的范围，由焦半径范围求离心率的范围求离心率的范围，由焦半径范围求离心率的范围 例例
5、 1：已知 12 FF、是椭圆 22 22 10 xy =ab ab 的两焦点，点P在椭圆上，P到两焦点距离为 2:1，则椭圆的离心率取值范围为_ 变式变式 1：已知 12 FF、是双曲线 22 22 100 xy =ab ab ，的两焦点，P为右支上一点，若 12 4PF = PF，则双曲线的离心率取值范围为_ 变式变式 2：双曲线 22 22 100 xy =ab ab ，的两个焦点为 F1、F2,若 P 为其上一点，且|PF1|=2|PF2|, 则双曲线离心率的取值范围为_ 2.利用均值不等式利用均值不等式 例例 2：分别过椭圆 22 22 10 xy =ab ab 左右焦点作两条互相垂
6、直的直线，若垂足在椭圆上， 则椭圆的离心率取值范围为_ 3.利用渐近线利用渐近线 例例 3：设双曲线C的中心点为O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60的直线 11 AB和 22 A B，使 1122 AB = A B，其中 11 ,A B和 22 ,A B分别是这对直线与双曲线C的交点，则双曲线 的离心率取值范围为_ 变式变式 1：已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为60的直线 与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是_ 4.直接根据题意建立直接根据题意建立, a c不等关系求解不等关系求解 例例 4：若双曲线
7、 22 22 1(0,0) xy ab ab 上横坐标为 3 2 a 的点到右焦点的距离大于它到左准线 的距离，则双曲线离心率的取值范围是_ 变式变式 1： 椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的焦点为 1 F， 2 F， 两条准线与x轴的交点分别为MN， 若 12 MNFF，则该椭圆离心率的取值范围是_ 5.借助平面几何关系建立借助平面几何关系建立, a c不等关系求解不等关系求解 例例 5：设 12 FF，分别是椭圆 22 22 1 xy ab （0ab）的左、右焦点，若在其右准线上存在,P 使线段 1 PF的中垂线过点 2 F，则椭圆离心率的取值范围是_ 6.运用判别式建立不等
8、式关系求解运用判别式建立不等式关系求解 例例 6 ： 在 椭 圆 22 22 1(0) xy ab ab 上 有 一 点 M ， 12 ,F F是 椭 圆 的 两 个 焦 点 ， 若 2 2 1 2MFMFb，则椭圆离心率的取值范围是_ 变式变式 1：设双曲线 C：1:)0( 1 2 2 2 yxlay a x 与直线相交于两个不同的点 A、B.求双 曲线 C 的离心率的取值范围_ 课后练习课后练习 1.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则椭圆的离 心率为_ 2.在给定双曲线中，过焦点且垂直于实轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为 1 2 ，则双曲线 的离心
9、率为_ 3.设 12 FF，分别是双曲线 22 22 1 xy ab 的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使 12 90F AF =， 且 12 3AF = AF，则双曲线的离心率为_ 4.已知双曲线 22 22 1,(0,0) xy ab ab 的左，右焦点分别为 12 ,F F,点 P 在双曲线的右支上， 且 12 | 4|PFPF,则此双曲线的离心率的最大值为_ 5.已知 1 F， 2 F分别为 22 22 1 xy ab (0,0)ab的左、右焦点，P 为双曲线右支上任一点， 若 2 1 2 PF PF 的最小值为8a，则该双曲线的离心率的取值范围是_ 6.已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 右顶为 A,点 P 在椭圆上，O 为坐标原点，且 OP 垂直于 PA， 求椭圆的离心率的取值范围是_ 7.椭圆G： 22 22 1(0) xy ab ab 的两焦点为 12 (,0),( ,0)FcF c，椭圆上存在点M使 12 0FM F M.求椭圆离心率的取值范围是_ 8.设1a，则双曲线 22 22 1 (1) xy aa 的离心率的取值范围是_
