1、 第 - 1 - 页 共 11 页 - 1 - 20192020 学年第一学期期末考试卷 高三理科数学 满分：150 分 考试时间：120 分钟 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工 整、笔迹清晰。 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试 题卷上的答题无效 。 4.保持答题卡卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择
2、题：本题共 12 小题，每小题 5 分。共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.已知集合 A(x，y)|x2yl0，B(x，y)|xy0，则 AB A.x1，y1 B.1，1 C.(1，1) D. 2.已知复数 3 2 (1) i z i ，则z在复平面内对应点所在象限为 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.如图所示，ABC 中，AB2，AC2，BAC120 ，半圆 O 的直径在边 BC 上，且与边 AB，AC 都相切，若在ABC 内随机取点，则此点取自阴影部分(半圆 O 内)的概率为 A. 3 8 B. 3 6 C. 4 D. 3 4
3、.将函数 yf(x)的图象向左平移 4 后得到曲线 C1，再将 C1上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍得到曲线 C2，若 C2的解析式为 ycosx，则 f(x)的解析式为 A.ysin4x B.ycos2x C.ysin2x D.ycos4x 第 - 2 - 页 共 11 页 - 2 - 5.函数 2 ( )1 4ln(31)f xxx的定义域为 A. 1 2 ，1) B.( 1 3 ， 1 2 C. 1 2 ， 1 4 ) D. 1 2 ， 1 2 6.已知双曲线 C： 22 22 1(0,0) xy ab ab 的两条渐近线均与圆 2 22 () 4 b xay相切，则 双曲线 C 的
4、离心率为 A.3 B.2 C.3 D.4 xy2，0 7.已知实数 x，y 满足不等式 20 250 1 xy xy y ，则 3 y z x 的最大值为 A. 3 5 B. 4 5 C. 3 4 D. 3 2 8.如图所示，矩形 ABCD 的边 AB 靠在端 PQ 上，另外三边是由篱笆围成的。若该矩形的面积 为 4，则围成矩形 ABCD 所需要篱笆的 A.最小长度为 8 B.最小长度为 42 C.最大长度为 8 D.最大长度为 42 9.若 3 sin() 122 ，则 2 sin(2) 3 A. 1 2 B. 1 2 C. 3 2 D. 3 2 10.设 alog63，blog105，cl
5、og147，则 A.cba B.bca C.acb D.abc 11.如图所示，在三棱锥 PABC 中，O 为 AB 的中点，PO平面 ABC，APB90 ，PA PB2，下列说法中错误的是 第 - 3 - 页 共 11 页 - 3 - A.若 O 为ABC 的外心，则 PC2 B.若ABC 为等边三角形，则 APBC C.当ACB90 时，PC 与平面 PAB 所成角的范围为(0， 4 D.当 PC4 时，M 为平面 PBC 内动点，满足 OM/平面 PAC，则点 M 在三角形 PBC 内的轨 迹长度为 2 12.已知双曲线 C： 22 22 1(0,0) xy ab ab 的离心率为 5
6、2 ，过右焦点 F 的直线与两条渐近 线分别交于 A，B，且ABBF ，则直线 AB 的斜率为 A. 1 3 或 1 3 B. 1 6 或 1 6 C.2 D. 1 6 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13.等腰直角三角形 ABC 中，C90 ，CACB2，则CA AB 。 14.sin613 cos1063 tan30 的值为 。 15.数列(252n)2n 1的最大项所在的项数为 。 16.已知三棱锥 PABC 的四个顶点在球 O 的球面上，PABC5，PBAC13，PCAB 25，则球 O 的表面积为 。 三、解答题：本题共 6 题，共 70 分。解答应写出
7、文字说明、解答过程或演算步骤。 17.(10 分) 已知等比数列an各项均为正数，Sn是数列an的前 n 项和，且 a116，S328。 (1)求数列an的通项公式； (2)设 1 2 log nn ba，求数列bn的前 n 项和 Tn。 18.(12 分) 如图所示，在ABC 中，A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 2bsinAcosBasinB 0，a1，c2。 第 - 4 - 页 共 11 页 - 4 - (1)求 b 和 sinC； (2)如图，设 D 为 AC 边上点， 3 7 BD CD ，求ABD 的面积。 19.(12 分) 如图，三棱锥 DABC 中，ABAC2，BC
8、23，DBDC3，E，F 分别为 DB，AB 的中点，且EFC90 。 (1)求证：平面 DAB平面 ABC； (2)求二面角 DCEF 的余弦值。 20.(12 分) 高三年级某班 50 名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示， 成绩分组区间为： 80，90)，90，100)，100，110)，110，120)，120，130)，130，140)，140，150，其中 a， b，c 成等差数列且 c2a。物理成绩统计如表。(说明：数学满分 150 分，物理满分 100 分) (1)根据领率分布直方图，请估计数学成绩的平均分； 第 - 5 - 页 共 11 页 - 5 - (2)根据物
9、理成绩统计表，请估计物理成绩的中位数； (3)若数学成绩不低于 140 分的为“优” ，物理成绩不低于 90 分的为“优” ，已知本班中至少有 一个“优”同学总数为 6 人，从此 6 人中随机抽取 3 人，记 X 为抽到两个“优”的学生人教， 求 X 的分布列和期望值。 21.(12 分) 己知函数 f(x)sinxx3，f(x)为 f(x)的导函数。 (1)求 f(x)在 x0 处的切线方程； (2)求证：f(x)在( 2 ， 2 )上有且仅有两个零点。 22.(12 分) 已知圆 M：(x2)2y21，圆 N：(x2)2y249，动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，圆 心 P 的轨迹为曲线 C。 (1)求曲线 C 的方程； (2)设不经过点 Q(0，23)的直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，直线 QA 与直线 QB 的斜率 均存在且斜率之和为2，证明：直线 l 过定点。 第 - 6 - 页 共 11 页 - 6 - 第 - 7 - 页 共 11 页 - 7 - 第 - 8 - 页 共 11 页 - 8 - 第 - 9 - 页 共 11 页 - 9 - 第 - 10 - 页 共 11 页 - 10 - 第 - 11 - 页 共 11 页 - 11 -
