1、初三期末指导（提升题训练）初三期末指导（提升题训练）圆的综合题（2022苏州）如图，AB是O的直径，AC是弦，D是的中点，CD与AB交于点EF是AB延长线上的一点，且CFEF（1）求证：CF为O的切线；（2）连接BD，取BD的中点G，连接AG若CF4，BF2，求AG的长（2022宿迁）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D、M均为格点【操作探究】在数学活动课上，佳佳同学在如图的网格中，用无刻度的直尺画了两条互相垂直的线段AB、CD，相交于点P并给出部分说理过程，请你补充完整：解：在网格中取格点E，构建两个直角三角形，分别是ABC和CDE在RtAB
2、C中，tanBAC，在RtCDE中， ，所以tanBACtanDCE所以BACDCE因为ACP+DCEACB90，所以ACP+BAC90，所以APC90，即ABCD【拓展应用】（1）如图是以格点O为圆心，AB为直径的圆，请你只用无刻度的直尺，在上找出一点P，使，写出作法，并给出证明；（2）如图是以格点O为圆心的圆，请你只用无刻度的直尺，在弦AB上找出一点P使AM2APAB，写出作法，不用证明（2022常州）现有若干张相同的半圆形纸片，点O是圆心，直径AB的长是12cm，C是半圆弧上的一点（点C与点A、B不重合），连接AC、BC（1）沿AC、BC剪下ABC，则ABC是 三角形（填“锐角”、“直角
3、”或“钝角”）；（2）分别取半圆弧上的点E、F和直径AB上的点G、H已知剪下的由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为6cm的菱形请用直尺和圆规在图中作出一个符合条件的菱形（保留作图痕迹，不要求写作法）；（3）经过数次探索，小明猜想，对于半圆弧上的任意一点C，一定存在线段AC上的点M、线段BC上的点N和直径AB上的点P、Q，使得由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为4cm的菱形小明的猜想是否正确？请说明理由三角形综合题（2022泰州）已知：ABC中，D为BC边上的一点（1）如图，过点D作DEAB交AC边于点E若AB5，BD9，DC6，求DE的长；（2）在图中，用无刻度的直尺和圆规在AC边
4、上作点F，使DFAA；（保留作图痕迹，不要求写作法）（3）如图，点F在AC边上，连接BF、DF若DFAA，FBC的面积等于CDAB，以FD为半径作F，试判断直线BC与F的位置关系，并说明理由（2022扬州）如图1，在ABC中，BAC90，C60，点D在BC边上由点C向点B运动（不与点B、C重合），过点D作DEAD，交射线AB于点E（1）分别探索以下两种特殊情形时线段AE与BE的数量关系，并说明理由；点E在线段AB的延长线上且BEBD；点E在线段AB上且EBED（2）若AB6当时，求AE的长；直接写出运动过程中线段AE长度的最小值（2022苏州）（1）如图1，在ABC中，ACB2B，CD平分AC
5、B，交AB于点D，DEAC，交BC于点E若DE1，BD，求BC的长；试探究是否为定值如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由（2）如图2，CBG和BCF是ABC的2个外角，BCF2CBG，CD平分BCF，交AB的延长线于点D，DEAC，交CB的延长线于点E记ACD的面积为S1，CDE的面积为S2，BDE的面积为S3若S1S3S22，求cosCBD的值初三期末指导（提升题训练）圆的综合题（2022苏州）如图，AB是O的直径，AC是弦，D是的中点，CD与AB交于点EF是AB延长线上的一点，且CFEF（1）求证：CF为O的切线；（2）连接BD，取BD的中点G，连接AG若CF4，BF2，求AG的长
6、【解答】（1）证明：如图，连接OC，OD.OCOD，OCDODC，FCFE，FCEFEC，OEDFEC，OEDFCE，AB是直径，D是的中点，DOE90，OED+ODC90，FCE+OCD90，即OCF90，OD是半径，CF是O的切线（2）解：过点G作GHAB于点H设OAODOCOBr，则OFr+2，在RtCOF中，42+r2（r+2）2，r3，GHAB，GHB90，DOE90，GHBDOE，GHDO，G为BD的中点，BGBD，BHBO，GHOD，AHABBH6，AG（2022宿迁）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D、M均为格点【操作探究】在
7、数学活动课上，佳佳同学在如图的网格中，用无刻度的直尺画了两条互相垂直的线段AB、CD，相交于点P并给出部分说理过程，请你补充完整：解：在网格中取格点E，构建两个直角三角形，分别是ABC和CDE在RtABC中，tanBAC，在RtCDE中， ，所以tanBACtanDCE所以BACDCE因为ACP+DCEACB90，所以ACP+BAC90，所以APC90，即ABCD【拓展应用】（1）如图是以格点O为圆心，AB为直径的圆，请你只用无刻度的直尺，在上找出一点P，使，写出作法，并给出证明；（2）如图是以格点O为圆心的圆，请你只用无刻度的直尺，在弦AB上找出一点P使AM2APAB，写出作法，不用证明【解
8、答】解：【操作探究】在网格中取格点E，构建两个直角三角形，分别是ABC和CDE在RtABC中，tanBAC，在RtCDE中，tanDCE，所以tanBACtanDCE所以BACDCE因为ACP+DCEACB90，所以ACP+BAC90，所以APC90，即ABCD故答案为：tanDCE；【拓展应用】（1）如图中，点P即为所求作法：取格点T，连接AT交O于点P，点P即为所求；证明：由作图可知，OMAP，OM是半径，；（2）如图中，点P即为所求作法：取格点J，K，连接JK交AB于点P，点P即为所求（2022常州）现有若干张相同的半圆形纸片，点O是圆心，直径AB的长是12cm，C是半圆弧上的一点（点C
9、与点A、B不重合），连接AC、BC（1）沿AC、BC剪下ABC，则ABC是 三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）；（2）分别取半圆弧上的点E、F和直径AB上的点G、H已知剪下的由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为6cm的菱形请用直尺和圆规在图中作出一个符合条件的菱形（保留作图痕迹，不要求写作法）；（3）经过数次探索，小明猜想，对于半圆弧上的任意一点C，一定存在线段AC上的点M、线段BC上的点N和直径AB上的点P、Q，使得由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为4cm的菱形小明的猜想是否正确？请说明理由解答】解：（1）AB是直径，直径所对的圆周角是直角，ABC是直角三角形，故答案为：
10、直角；（2）如图，四边形EFHG或四边形EFGH即为所求（3）小明的猜想正确理由：如图2中，设CMCA，CNCB，取APBQ4，则，MNAB，MNPQ4，四边形MNQP是平行四边形，MPCO，PM4，MN4，四边形MNQP是菱形，边长为4，小明的猜想正确三角形综合题（2022泰州）已知：ABC中，D为BC边上的一点（1）如图，过点D作DEAB交AC边于点E若AB5，BD9，DC6，求DE的长；（2）在图中，用无刻度的直尺和圆规在AC边上作点F，使DFAA；（保留作图痕迹，不要求写作法）（3）如图，点F在AC边上，连接BF、DF若DFAA，FBC的面积等于CDAB，以FD为半径作F，试判断直线B
11、C与F的位置关系，并说明理由【解答】解：（1）如图中，DEAB，CDECBA，DE2；（2）如图中，点F即为所求（3）结论：直线BC与以FD为半径作F相切理由：作BRCF交FD的延长线于点R，连接CRAFBR，AAFR，四边形ABRF是等腰梯形，ABFR，CFBR，SCFBSCFRABCDFRCD，CDDF，直线BC与以FD为半径作F相切（2022扬州）如图1，在ABC中，BAC90，C60，点D在BC边上由点C向点B运动（不与点B、C重合），过点D作DEAD，交射线AB于点E（1）分别探索以下两种特殊情形时线段AE与BE的数量关系，并说明理由；点E在线段AB的延长线上且BEBD；点E在线段A
12、B上且EBED（2）若AB6当时，求AE的长；直接写出运动过程中线段AE长度的最小值【解答】解：（1）AE2BE，理由如下：DEAD，AED+EAD90ADEBDE+BDA，BEBD，AEDBDE，EADBDA，ABBD，BEBDAB，AE2BE；AE2EB，理由如下：如图：BAC90，C60，B30，EBED，EDBB30，AEDEDB+B60，DEAD，EDA90，EAD30，AE2ED，AE2EB；（2）过D作DFAB于F，如图：FADDAE，AFD90ADE，AFDADE，即，设DFm，则AF2m，在RtBDF中，BFDF3m，AB6，BF+AF6，即3m+2m6，m，AF，DF，AD
13、，AFDADE，即，AE；作AE的中点G，连接DG，如图：ADE90，DG是斜边上的中线，AE2DG，DGAGEG，当AE最小时，DG最小，此时DGBC，B30，BG2DG，AE2DGBG，BEAG，AGEGBE，此时AEAB4，答：线段AE长度的最小值为4，法2：过A做AGBC于G，过E做EHBC于H，如图：ADE90，EDH90ADGDAG，EHDAGD90，AGEHDHDG，BAC90，C60，B30，AGAB3，EHBE（6AE），DHDG3EH，AE2AD2+DE2AG2+DG2+DH2+EH29+DG2+DH2+EH2，DG2+DH22DHDG，AE29+2DHDG+EH2，即AE
14、29+6EH+EH2，AE2（3+EH）2，AE0，EH0，AE3+EH，EH（6AE），AE3+（6AE），AE4答：线段AE长度的最小值为4，（2022苏州）（1）如图1，在ABC中，ACB2B，CD平分ACB，交AB于点D，DEAC，交BC于点E若DE1，BD，求BC的长；试探究是否为定值如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由（2）如图2，CBG和BCF是ABC的2个外角，BCF2CBG，CD平分BCF，交AB的延长线于点D，DEAC，交CB的延长线于点E记ACD的面积为S1，CDE的面积为S2，BDE的面积为S3若S1S3S22，求cosCBD的值【解答】解：（1）CD平分ACB，ACDDCBACB，ACB2B，ACDDCBB，CDBD，DEAC，ACDEDC，EDCDCBB，CEDE1，CEDCDB，BC；DEAC，同可得，CEDE，1，是定值，定值为1；（2）DEAC，又S1S3S22，设BC9x，则CE16x，CD平分BCF，ECDFCDBCF，BCF2CBG，ECDFCDCBD，BDCD，DEAC，EDCFCD，EDCCBDECD，CEDE，DCBECD，CDBCED，CD2CBCE144x2，CD12x，过点D作DHBC于点H，BDCD12x，BHBCx，cos20
