1、楼梯上的数学主讲人：柯老师 爸爸给洋洋出了一道题：“我们家住在四楼，每上一层楼你要1分钟，你从一楼走到四楼要几分钟？”洋洋随口答道：“4分钟。”小朋友，洋洋答得对吗？看来楼梯中也藏着数学知识。情景导入：我将带大家一起学习有关爬楼梯的问题。日常生活中与爬楼梯类似的问题，还有锯木头的段数问题，敲钟遇到的时间问题等，都是比较特殊的问题。有这样一道题目：如果每上一层楼梯需要有这样一道题目：如果每上一层楼梯需要1分钟，那么分钟，那么从一层上到四层需要多少分钟？如果你的答案是从一层上到四层需要多少分钟？如果你的答案是4分钟，那分钟，那么你就错了么你就错了.正确的答案应该是正确的答案应该是3分钟。分钟。为什
2、么是为什么是3分钟而不是分钟而不是4分钟呢？请看右图，分钟呢？请看右图，原来从一层上到四层，只要上三层楼梯，而原来从一层上到四层，只要上三层楼梯，而不是四层楼梯。不是四层楼梯。下面我们来看几个类似的问题。下面我们来看几个类似的问题。12345678例例1：裁缝有一段：裁缝有一段16米长的呢子，每天剪去米长的呢子，每天剪去2米，第几天剪去米，第几天剪去最后一段？最后一段？分析分析：如果呢子有：如果呢子有2米，不需要剪；如果呢子有米，不需要剪；如果呢子有4米，第米，第一天就可以剪去最后一段，一天就可以剪去最后一段，4米里有米里有2个个2米，只用米，只用1天；天；如果呢子有如果呢子有6米，第一天剪去
3、米，第一天剪去2米，还剩米，还剩4米，第二天就米，第二天就可以剪去最后一段，可以剪去最后一段，6米里有米里有3个个2米，只用米，只用2天；如果呢天；如果呢子有子有8米，第一天剪去米，第一天剪去2米，还剩米，还剩6米，第二天再剪米，第二天再剪2米，米，还剩还剩4米，这样第三天即可剪去最后一段，米，这样第三天即可剪去最后一段，8米里有米里有4个个2米，用米，用3天，天，我们可以从中发现规律：所用的天数比我们可以从中发现规律：所用的天数比2米的个数少米的个数少1.因因此，只要看此，只要看16米里有几个米里有几个2米，问题就可以解决了。米，问题就可以解决了。1 2 3 4 5 6 7 82米16米解：
4、解：16米中包含米中包含2米的个数：米的个数：162=8（个）（个）剪去最后一段所用的天数：剪去最后一段所用的天数：8-1=7（天）（天）答：第七天就可以剪去最后一段。答：第七天就可以剪去最后一段。例例2 2：一根木料在一根木料在2424秒内被切成了秒内被切成了4 4段，用同样的速度段，用同样的速度切成切成5 5段，需要多少秒？段，需要多少秒？分析：把一根木料切成分析：把一根木料切成2段，切段，切1次；次；把一根木料切成把一根木料切成3段，切段，切2次；次；把一根木料切成把一根木料切成4段，切段，切3次；次；可以从中发现规律：切的次数总比切的段数少可以从中发现规律：切的次数总比切的段数少1.1
5、.因此，在因此，在2424秒内切了秒内切了4 4段，实际只切了段，实际只切了3 3次，这样我们就可以求出切一次所用次，这样我们就可以求出切一次所用的时间了，又由于用同样的速度切成的时间了，又由于用同样的速度切成5 5段；实际上切了段；实际上切了4 4次，这样次，这样切成切成5 5段所用的时间就可以求出来了。段所用的时间就可以求出来了。解：切一次所用的时间：解：切一次所用的时间：2424（4-14-1）=8=8（秒）（秒）切切5 5段所用的时间：段所用的时间：8 8（5-15-1）=32=32（秒）（秒）答：用同样的速度切成答：用同样的速度切成5 5段，要用段，要用3232秒秒。例例3：三年级同
6、学三年级同学120人排成人排成4路纵队，也就是路纵队，也就是4个人一排，排成了许多排，个人一排，排成了许多排，现在知道每相邻两排之间相隔现在知道每相邻两排之间相隔1米，这支队伍长多少米？米，这支队伍长多少米？1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 19 20 21 2223 24 25 26 27 28 29 30分析问题：30排排29米米 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29解：因为每解：因为每4人一排，所以共有：人一排，所以共
7、有：1204=30（排）（排）30排中间共有排中间共有29个间隔，所以队伍长：个间隔，所以队伍长：129=29（米）（米）答：这支队伍长答：这支队伍长29米。米。例例4 4：时钟：时钟4 4点钟敲点钟敲4 4下，下，1212秒钟敲完，那么秒钟敲完，那么6 6点钟敲点钟敲6 6下，下，几秒钟敲完？几秒钟敲完？分析：分析：如果盲目地计算：如果盲目地计算：12124=34=3（秒），（秒），3 36=186=18（秒），认为敲（秒），认为敲6 6下，下，需要需要1818秒钟就错了秒钟就错了.请看下图：请看下图：时钟敲时钟敲4 4下，其间有下，其间有3 3个间隔，每个间隔是：个间隔，每个间隔是：121
8、23=43=4（秒）；（秒）；时钟敲时钟敲6 6下，其间共有下，其间共有5 5个间隔，所用时间为：个间隔，所用时间为：4 45=205=20（秒）。（秒）。！1 2 3 4 5 63个间隔个间隔12秒秒5个间隔个间隔20秒秒解：每次间隔时间为：解：每次间隔时间为：1212（4-14-1）=4=4（秒）（秒）敲敲 6 6下共用的时间为：下共用的时间为：4 4（6-16-1）2020（秒）（秒）答：时钟敲答：时钟敲6 6下共用下共用2020秒。秒。解：每一层楼梯有：解：每一层楼梯有：3636（3-13-1）1818（级台阶）（级台阶）晶晶从晶晶从1 1层走到层走到6 6层需要走：层需要走：1818
9、（6-16-1）=90=90（级）台阶。（级）台阶。答：晶晶从第答：晶晶从第1 1层走到第层走到第6 6层需要走层需要走9090级台级台阶。阶。1234567818x2=36级18x5=90级例例5.某人要到一座高层楼的第某人要到一座高层楼的第8层办事，不巧停电，电梯停层办事，不巧停电，电梯停开，如从开，如从1层走到层走到4层需要层需要48秒，请问以同样的速度走到八秒，请问以同样的速度走到八层，还需要多少秒？层，还需要多少秒？分析分析 要求还需要多少秒才能到达，必须先求出上一要求还需要多少秒才能到达，必须先求出上一层楼梯需要几秒，还要知道从层楼梯需要几秒，还要知道从4 4楼走到楼走到8 8楼共
10、走几层楼共走几层楼梯楼梯.上一层楼梯需要：上一层楼梯需要：4848（4-14-1）=16=16（秒），从（秒），从4 4楼走到楼走到8 8楼共走楼共走8-4=48-4=4（层）楼梯。到这里问题就可（层）楼梯。到这里问题就可以解决了。以解决了。12345678上上3层楼梯层楼梯48秒秒上上4层楼梯层楼梯64秒秒解：上一层楼梯需要：解：上一层楼梯需要：48（4-1）=16（秒）（秒）从从4楼走到楼走到8楼共走：楼共走：8-4=4（层）楼梯（层）楼梯还需要的时间：还需要的时间：164=64（秒）（秒）答：还需要答：还需要64秒才能到达秒才能到达8层。层。例例6 6.晶晶上楼，从晶晶上楼，从1 1楼走
11、到楼走到3 3楼需要走楼需要走3636级台阶，如果各层级台阶，如果各层楼之间的台阶数相同，那么晶晶从第楼之间的台阶数相同，那么晶晶从第1 1层走到第层走到第6 6层需要走多层需要走多少级台阶？少级台阶？分析：分析：要求晶晶从第要求晶晶从第1 1层走到第层走到第6 6层需要走多少级台阶，层需要走多少级台阶，必须先求出每一层楼梯有多少台阶，还要知道从一层走必须先求出每一层楼梯有多少台阶，还要知道从一层走到到6 6层需要走几层楼梯。层需要走几层楼梯。从从1 1楼到楼到3 3楼有楼有3-1=23-1=2层楼梯，那么每一层楼层楼梯，那么每一层楼梯有梯有36362=182=18（级）台阶，而从（级）台阶，
12、而从1 1层走到层走到6 6层层需要走需要走6-1=56-1=5（层）楼梯，这样问题就可以（层）楼梯，这样问题就可以迎刃而解了迎刃而解了。1234567818x2=36级18x5=90级解：每一层楼梯有：解：每一层楼梯有：3636（3-13-1）1818（级台阶）（级台阶）晶晶从晶晶从1 1层走到层走到6 6层需要走：层需要走：1818（6-16-1）=90=90（级）（级）台阶。台阶。答：晶晶从第答：晶晶从第1 1层走到第层走到第6 6层需要走层需要走9090级台阶。级台阶。注：例注：例1 1例例4 4所叙述的问题虽然不是上楼梯，但它所叙述的问题虽然不是上楼梯，但它和上楼梯有许多相似之处，请
13、同学们自己去体会和上楼梯有许多相似之处，请同学们自己去体会.爬楼梯问题的解题规律是：所走的台阶数爬楼梯问题的解题规律是：所走的台阶数=每层楼每层楼梯的台阶数梯的台阶数（所到达的层数减起点的层数）。（所到达的层数减起点的层数）。想一想：你有什么收获？1爬楼梯遇到的层次问题，主要要明白几楼与几层楼梯是不同的，从底楼起，楼数比楼梯层数多1。即：楼数楼梯层数1 楼梯层数楼数12锯木头的段数问题，主要要明白锯成木头的段数比锯木头的次数多1。即：段数次数1 次数段数13敲钟遇到的时间问题，主要要明白敲的次数比钟声之间的间隔数多1。即：次数间隔数1 间隔数次数1 解决这类应用题，先要考虑以上提到的这些差别，
14、再选择恰当的解题方法。1.一根木料截成3段要6分钟，如果每截一次的时间相等，那么截7段要几分钟？2.有一幢楼房高17层，相邻两层之间都有17级台阶，某人从1层走到11层，一共要登多少级台阶？3.从1楼走到4楼共要走48级台阶，如果每上一层楼的台阶数都相同，那么从1楼到6楼共要走多少级台阶？练一练：4.一座楼房每上1层要走16级台阶，到小英家要走64级台阶，小英家住在几楼？5.一列火车共20节，每节长5米，每两节之间相距1米，这列火车以每分钟20米的速度通过81米长的隧道，需要几分钟？6.时钟3点钟敲3下，6秒钟敲完，12点钟敲12下，几秒钟敲完？7.某人到高层建筑的10层去，他从1层走到5层用
15、了100秒，如果用同样的速度走到10层，还需要多少秒？8.A、B二人比赛爬楼梯，A跑到4层楼时，B恰好跑到3层楼，照这样计算，A跑到16层楼时，B跑到几层楼？9.铁路旁每隔50米有一根电线杆，某旅客为了计算火车的速度，测量出从第一根电线杆起到经过第37根电线杆共用了2分钟，火车的速度是每分多少米？10.小美要到高层建筑的11层去找她爸爸，她走到6楼一看刚好用了100秒，如果她按照这样的速度继续往上走，问她还需走多少秒才能到达11层？1.解：每截一次需要：6（3-1）=3（分钟），截成7段要3（7-1）=18（分钟）答：截成7段要18分钟。2.解：从1层走到11层共走：11-1=10（个）楼梯，
16、从1层走到11层一共要走：1710=170（级）台阶。答：从1层走到11层，一共要登170级台阶。3.解：每一层楼梯的台阶数为：48（4-1）=16（级），从1楼到6楼共走：6-1=5（个）楼梯，从1楼到6楼共走：165=80（级）台阶。答：从1楼到6楼共走80级台阶。4.解：到小英家共经过的楼梯层数为：6416=4（层），小英家住在：41=5（楼）答：小英家住在楼的第5层。5.解：火车的总长度为：520+1（20-1）=119（米），火车所行的总路程：11981=200（米），所需要的时间：20020=10（分钟）答：需要10分钟。6.解：每个间隔需要：6（3-1）=3（秒），12点钟敲12
17、下，需要3（12-1）=33（秒）答：33秒钟敲完。7.解：每上一层楼梯需要：100（5-1）=25（秒），还需要的时间：25（10-5）=125（秒）答：从5楼再走到10楼还需要125秒。8.由A上到4层楼时，B上到3层楼知，A上3层楼梯，B上2层楼梯。那么，A上到16层时共上了15层楼梯，因此B上25=10个楼梯，所以B上到101=11（层）。答：A上到第16层时，B上到第11层楼。9.解：火车2分钟共行：50（37-1）=1800（米）火车的速度：18002=900（米/分）答：火车每分行900米。分析分析：“从一层走到6层”，实际上是爬了5层楼梯，共需要100秒，从6楼走到11楼又需要爬11-6=5层楼梯，因为她爬楼的速度不变，所以爬5层还是需要100秒，由此即可解答解：“从一层走到6层”，实际上是爬了5层楼梯，共需要100秒，从六楼走到11楼又需要爬11-6=5层楼梯，所以还需要100秒，答：她还需要100秒才能到达11层点评：点评：解答此题的关键是明确：爬的层数=楼层数之差，由此即可解答此类问题
