1、建平中学建平中学 2021 学年第一学期期末考试高一数学学科学年第一学期期末考试高一数学学科说明：（说明：（2）请认真答卷，并用规范文字书写）请认真答卷，并用规范文字书写.一、填空题（每题一、填空题（每题 3 分，满分分，满分 36 分）分）1.化简：()tan-=pa_（结果用的三角函数表示1）本场考试时间为）本场考试时间为 90 分钟，总分分钟，总分 100 分；分；）2.已知函数 1xaxxf x为奇函数，则a_.3.已知扇形的圆心角是 60，其弧长为，则扇形的面积为_.（结果保留）4.已知5cos13，0,，则tan_5.函数 211f xxx 的反函数 1fx_6.方程lglg31x
2、x的解集为_.7.已知三角形的三边之比为 5：7：8，则该三角形最大角的余弦值是_.8.在ABC中，5cos13A ，3sin5B，则sinC _.9.已知方程sin3cosxxm在xR上有解，则m的取值范围是_.10.方程cossin2xx在0,2x上的解集为_.11.若函数 21xf xxa在区间0,1上有零点，则实数a的取值范围是_.12.若函数 f x是定义在0,1上的增函数，满足 00f，对任意0,1x，有()()11fxfx-+=，对于10,4x，有 2f xx恒成立，则457131313fff_.二、选择题（每题二、选择题（每题 3 分，满分分，满分 12 分）分）13.“26k
3、，kZ”是“3tan3”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件14.对于任意0,x，下列等式不能恒成立的（）A.sin22sin cosxxxB.21cos2sin2xx第1/1 5 页C.2tancotsin22xxxD.2tan2sin1tan2xxx15.设函数 f x的定义域为R，对于下列命题：若存在常数 M，使得对任意xR，有 f xM，则M是函数 f x的最小值；若函数 f x有最小值，则存在唯一的0 xR，使得对任意xR，有 0f xf x；若函数 f x有最小值，则至少存在一个0 xR，使得对任意xR，有 0f xf x；若0f x是函数
4、 f x的最小值，则存在xR，使得 0f xf x.则下列判断正确（）A.对对B.错错C.对错D.错对16.已知函数 2122xfxmxnx，记集合 0,Ax f xxR，集合 0,Bx ff xxR，若AB，且都不是空集，则mn的取值范围（）A.1,4B.1,1C.1,1D.0,4三、解答题（本题共有三、解答题（本题共有 5 大题，满分大题，满分 52 分）分）17.在ABC中，已知角6A，边2 3b，面积3ABCS.求：（1）边 c 的值.（2）角C的值.18.已知tan3.（1）求tan4的值.（2）求2sin2cossincoscos2的值.19.某村有贫困农户 100 户，他们均从事
5、水果种植，2020 年底该村每户年均纯收入为 1 万元，现成立扶贫工作组，一方面请有关专家对水果进行品种改良，提高产量；另一方面，抽出部分农户从事水果包装、销售工作，其人数必须小于种植的人数.从 2021 年初开始，若该村抽出4x户,112xZx从事水果包装、销售.经测算，剩下从事水果种植农户的每户年纯收入每年提高20 x万元，而从事包装销售农户的每户年纯收入为35x万元.（1）至 2022 年底，为使从事水果种植农户能实现脱贫（每户年均纯收入不低于 1.8 万元），至少抽出多少户从事包装、销售工作?（2）至 2021 年底，该村每户年均纯收入能否超过 1.4 万元?若能，请求出从事包装、销售
6、的户数：若不能，第2/1 5 页请说明理由.20.已知函数 1x 1x1，f xx x 1x1x1.g xx x（1）分别求fx和gx的定义域，并求fxgx的值.（2）求fx的最小值，并说明理由.（3）若a x2 x1，b tx，c x1，是否存在正整数t，使得对于任意的正数 x，对应的 a，b，c 都可以成为某个三角形三边的长?若存在符合条件的t，则求出t的值；若不存在，请说明理由.21.设函数fx是定义在0,1上的函数，若存在x00,1，使得fx在0,x0上是严格增函数，在x0,1上是严格减函数，则称fx为0,1上的单峰函数，x0称为峰点，0,1称为含峰区间（1）判断下列函数中，哪些是“0
7、,1上的单峰函数”?若是，指出峰点；若不是，说出原因：f1x 2x x2，x1第3/1 5 页f24x1.（2）若函数fx是区间0,1上的单峰函数，证明：若存在x1,x20,1，x1 x2，使得fx1 fx2，则0,x2为含峰区间；使fx1 fx2，则x1,1为含峰区间.（3）若函数fx 2ax23 x1是区间0,1上的单峰函数，求实数a的取值范围.建平中学建平中学 2021 学年第一学期期末考试高一数学学科学年第一学期期末考试高一数学学科2022.01.13命题人：审题人：说明：（命题人：审题人：说明：（1）本场考试时间为）本场考试时间为 90 分钟，总分分钟，总分 100 分；（分；（2）
8、请认真答卷，并用规范文字书写）请认真答卷，并用规范文字书写.一、填空题（每题一、填空题（每题 3 分，满分分，满分 36 分）分）1.化简：()tan-=pa_（结果用的三角函数表示）【答案】tan【解析】【分析】根据诱导公式直接求解.【详解】由诱导公式可得，()tantanpaa-=-，故答案为：tan2.已知函数 1xaxxf x为奇函数，则a_.【答案】1【解析】【分析】函数的定义域为|0 x x，利用奇函数的定义知(1)=(1)ff，代入计算即可求解.【详解】函数 1xaxxf x，定义域为|0 x x 由函数 f x为奇函数，则(1)=(1)ff即(1 1)(1)(1 1)(1)11
9、aa ，解得1a，经检验符合题意.故答案为：1.3.已知扇形的圆心角是 60，其弧长为，则扇形的面积为_.（结果保留）【答案】32【解析】【分析】根据扇形的弧长公式求出半径，再计算扇形的面积【详解】扇形的圆心角为3，弧长为，则扇形的半径为 r33l，面积为1133222Slr 故答案为：32第4/1 5 页4.已知5cos13，0,，则tan_【答案】125【解析】【分析】先由诱导公式得到5cos13，再由题意求出正弦，从而可求出结果.【详解】因为5cos13，所以5cos13，又0,，所以2512sin11313，因此sin12tancos5.故答案为125【点睛】本题主要考查三角函数给值求
10、值的问题，熟记诱导公式与同角三角函数基本关系即可，属于基础题型.5.函数 211f xxx 的反函数 1fx_【答案】10 xx【解析】【分析】根据 f x的解析式求解出x关于y的表示形式，即可得到函数 f x的反函数.【详解】由函数 211f xxx，可得10 xyy 函数 f x的反函数 110fxxx 故答案为：10 xx【点睛】本题考查函数的反函数求解，难度较易.求解反函数时注意对定义域的分析.6.方程lglg31xx的解集为_.【答案】5【解析】【分析】首先根据对数的真数大于零得到：030 xx，然后根据对数运算法则可知：lg31x x，据此求解出x的值.【详解】因为030 xx，所
11、以3,x；又因为lglg(3)lg3xxx x，第5/1 5 页所以lg31x x，所以310 x x，解得：2x 或5x，又因为3,x，所以5x.故答案为:5.7.已知三角形的三边之比为 5：7：8，则该三角形最大角的余弦值是_.【答案】17【解析】【分析】根据大边对大角及余弦定理直接计算即可.【详解】设三边长分别为5,7,8kkk，则2222549641cos2 577kkkkk，即最大角的余弦值为17.故答案为：178.在ABC中，5cos13A ，3sin5B，则sinC _.【答案】3365【解析】【分析】根据同角三角函数的基本关系及诱导公式、两角和的正弦公式求解.【详解】ABC中，
12、5cos013A ，A是钝角，故B为锐角22124sin1 cos,cos1 sin135AABB，sinsin()sin()sincoscossinCABABABAB12453135135 3365.故答案为：33659.已知方程sin3cosxxm在xR上有解，则m的取值范围是_.【答案】2 2,第6/1 5 页【解析】【分析】先求出函数sin3cosyxx的值域，即可求解.【详解】解：sin3cos2sin()2,23xxx，故2,2m，故答案为：2 2,10.方程cossin2xx在0,2x上的解集为_.【答案】35,2266【解析】【分析】先利用倍角公式化简后解方程，然后根据三角函数
13、的性质求解.【详解】解：由题意得：cossin22sin cosxxxxcos0 x或1sin2x 又0,2x当cos0 x 时，2x或32当1sin2x 时，6x或56故方程cossin2xx在0,2x上的解集为35,2266.故答案为：35,2266 11.若函数 21xf xxa在区间0,1上有零点，则实数a的取值范围是_.【答案】1,12【解析】【详解】因为函数 f x在区间0,1上有零点,则 01ff=1 210aa,解得112a.即实数a的取值范围是1,12.故答案为1,12.12.若函数 f x是定义在0,1上的增函数，满足 00f，对任意0,1x，有()()11fxfx-+=，
14、对于10,4x，有 2f xx恒成立，则457131313fff_.第7/1 5 页【答案】32#1.5【解析】【分析】根据所给条件令12x 得11()22f，再根据10,4x，有 2f xx恒成立及函数为增函数，利用两边夹的思想求出1 1,4 2x时，恒有1()2f x，即可得解.【详解】因为对任意0,1x，有()()11fxfx-+=，所以令12x，得11()22f，又对于10,4x，有 2f xx恒成立，111()2442f，由函数 f x是定义在0,1上的增函数，得1111()()2422ff，即1 1,4 2x时，恒有1()2f x，561 1,13 144,2331故4571163
15、113131322132ffff 故答案为：32二、选择题（每题二、选择题（每题 3 分，满分分，满分 12 分）分）13.“26k，kZ”是“3tan3”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据两者之间的推出关系可得条件关系.【详解】若2,6kkZ，则3tantan63，第8/1 5 页若3tan3，则,6kkZ，不能推出2,6kkZ故“2,6kkZ”是“3tan3”的充分不必要条件，故选：A.14.对于任意0,x，下列等式不能恒成立的（）A.sin22sin cosxxxB.21cos2sin2xxC.2tancotsin
16、22xxxD.2tan2sin1tan2xxx【答案】D【解析】【分析】根据二倍角的正余弦公式可判断 AB，由切化弦的方法可判断 C，取特殊值可判断 D.【详解】由二倍角的正弦公式可知 A 正确；由21cos2sin2xx可得2cos21 2sinxx，由二倍角的余弦公式可知 B 正确；当0,x时，由sincos1222tancot22sincossinsincos2222xxxxxxxxx可知 C 正确；当取2x时，左边1，右边=12，故 D 不正确.故选：D15.设函数 f x的定义域为R，对于下列命题：若存在常数 M，使得对任意xR，有 f xM，则M是函数 f x的最小值；若函数 f
17、x有最小值，则存在唯一的0 xR，使得对任意xR，有 0f xf x；若函数 f x有最小值，则至少存在一个0 xR，使得对任意xR，有 0f xf x；若0f x是函数 f x的最小值，则存在xR，使得 0f xf x.则下列判断正确（）A.对对B.错错C.对错D.错对【答案】D【解析】【分析】利用函数最小值的定义是存在一个函数值小于其它所有的函数值，则此函数值是函数的最小值判断出各命题的真假.【详解】函数最小值的定义是存在一个函数值小于其它所有的函数值.第9/1 5 页，M 不一定是满足 f x的函数值，所以可能 f x的最小值大于 M，故错误;，函数 f x有最小值，可能存在若干的0 x
18、R，使得对任意xR，有 0f xf x，故错误;，由最小值定义，若函数 f x有最小值，则至少存在一个0 xR，使得对任意xR，有 0f xf x，故正确;，由最小值的定义知，0fx是函数 f x的最小值，则存在xR，使得 0f xf x，故正确.故选：D16.已知函数 2122xfxmxnx，记集合 0,Ax f xxR，集合 0,Bx ff xxR，若AB，且都不是空集，则mn的取值范围（）A.1,4B.1,1C.1,1D.0,4【答案】B【解析】【分析】设aA，代入集合B得到0m，讨论0n 和0n 两种情况，得到2()22f xxnxn 无解，计算得到答案.【详解】,A B都不是空集，设
19、aA，则 0f a；aB，则 010ff afm，即1m .220f xxnx，当0n 时，方程的解为0 x 此时 0AB，满足；当0n 时：2()20f xxnx的解为0 x 或2xn|()0,Bx f f xxR，则 220f xxnx或 222f xxnxn AB，则2()22f xxnxn 无解，2480nn，02n 综上所述：02n，1,1)mn 故选：B三、解答题（本题共有三、解答题（本题共有 5 大题，满分大题，满分 52 分）分）17.在ABC中，已知角6A，边2 3b，面积3ABCS.求：（1）边 c 的值.（2）角C的值.【答案】（1）2c 第1 0/1 5 页（2）6【解
20、析】【分析】（1）由三角形的面积公式直接求解即可；（2）利用余弦定理可得边 a，从而可得到角 C.【小问 1 详解】由三角形面积公式可得，111sin2 33222SbcAc，解得2c【小问 2 详解】由（1）知22 3cb，故 C 为锐角，由余弦定理可得，22232cos1242 2 3242abcbcA ,即2a，所以6AC.18.已知tan3.（1）求tan4的值.（2）求2sin2cossincoscos2的值.【答案】（1）2（2）1【解析】【分析】（1）由正切的两角和公式即可求值；（2）应用正余弦倍角公式，结合弦化切思想，即可求值.【小问 1 详解】tantan3 14tan241
21、 31tantan4【小问 2 详解】2222sin2cos2sincoscossincoscos2sincoscossin22tan1tan1tan 22 3 113 1 3 .19.某村有贫困农户 100 户，他们均从事水果种植，2020 年底该村每户年均纯收入为 1 万元，现成立扶贫工作组，一方面请有关专家对水果进行品种改良，提高产量；另一方面，抽出部分农户从事水果包装、销第1 1/1 5 页售工作，其人数必须小于种植的人数.从 2021 年初开始，若该村抽出4x户,112xZx从事水果包装、销售.经测算，剩下从事水果种植农户的每户年纯收入每年提高20 x万元，而从事包装销售农户的每户年
22、纯收入为35x万元.（1）至 2022 年底，为使从事水果种植农户能实现脱贫（每户年均纯收入不低于 1.8 万元），至少抽出多少户从事包装、销售工作?（2）至 2021 年底，该村每户年均纯收入能否超过 1.4 万元?若能，请求出从事包装、销售的户数：若不能，请说明理由.【答案】（1）32；（2）从事包装、销售的户数不少于24户且不多于28户时，至 2021 年底，该村每户年均纯收入能超过 1.4万元，否则不能.【解析】【分析】（1）由题意 2020 年底该村每户年均纯收入为 1 万元，从事水果种植农户的每户年纯收入每年提高20 x，可列出211.820 x，解出x的范围，该村抽出4x户从事水
23、果包装、销售.经测算，即可求出答案；（2）根据题意知4(3)(1004)(1)140520 xxxx，即可求出x的范围，进而求出答案.【小问 1 详解】由题意知 2020 年底该村每户年均纯收入为 1 万元，从事水果种植农户的每户年纯收入每年提高20 x，至 2022年底剩下从事水果种植农户的每户年纯收入为211.8820 xx，则至少抽出32户从事包装、销售工作.【小问 2 详解】24(3)(1004)(1)14013400520 xxxxxx,112xZx，6,7x，从事包装、销售的户数不少于24户且不多于28户时，至 2021 年底，该村每户年均纯收入能超过 1.4 万元，否则不能.20
24、.已知函数 111f xxxxx，111g xxxxx.（1）分别求 f x和 g x的定义域，并求 f xg x的值.（2）求 f x的最小值，并说明理由.（3）若21axx，btx，1cx，是否存在正整数t，使得对于任意的正数 x，对应的 a，b，c 都可以成为某个三角形三边的长?若存在符合条件的t，则求出t的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）f x的定义域为(0,)、g x的定义域为(0,)；=1f xg x；（2）23；（3）存在、1、2、3.【解析】第1 2/1 5 页【分析】（1）求 f x和 g x的定义域需要满足根号下大于等于零，分母不为零，可列出方程组即可求出 f x和
25、 g x的定义域，把 f x与 g x的解析式代入 f xg x中进行化简即可得到 f xg x的值.（2）利用换元，令1,2txtx，2()1,2f tttt，知()f t的单调性即可求出 f x的最小值.（3）a，b，c 都可以成为某个三角形三边的长需要满足两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，即cabca，再把21axx，btx，1cx代入cabca中，解关于t的不等式，化简为 maxmin1()tf xf x，可求出t的取值范围，由于t是正整数，进一步求解即可.【小问 1 详解】由000110 xxxxx ，故 f x的定义域为(0,)，g x的定义域为(0,)，221111111)
26、(1)()(1)(xxxxxxxf xg xxxxxx112(1)1xxxx.【小问 2 详解】令1,2txtx，则21=2xtx，2()1,2f tttt，()f t在2,)上单调递增，2,1tx 时，函数()f x取得最小值为(1)23f【小问 3 详解】0 x，221211axxxxxc .,a b c为边长都可以构为三角形的充要条件是cabca，即221111xxxt xxxx 221111xxxxxxtxx 111111()()xxtxxg xtf xxxxx .由（1）知 11()f xg xg xf x.则()1txxff，即 maxmin1()tf xf x，由（2）知第1 3
27、/1 5 页 maxmin1=23,(,)32ffxx(23,3)2t.即存在正整数=1,2,3t，使得对于任意的正数 x，对应的 a，b，c 都可以成为某个三角形三边的长21.设函数 f x是定义在0,1上的函数，若存在00,1x，使得 f x在00,x上是严格增函数，在0,1x上是严格减函数，则称 f x为0,1上的单峰函数，0 x称为峰点，0,1称为含峰区间（1）判断下列函数中，哪些是“0,1上的单峰函数”?若是，指出峰点；若不是，说出原因：212fxxx，2141fxx.（2）若函数 f x是区间0,1上的单峰函数，证明：若存在12,0,1x x，12xx，使得12f xf x，则20
28、,x为含峰区间；使12fxfx，则1,1x为含峰区间.（3）若函数 3221fxa xx是区间0,1上的单峰函数，求实数a的取值范围.【答案】（1）212fxxx在0,1上不是单峰函数；2141fxx 在0,1上是单峰函数（2）证明（3）空集【解析】【分析】(1)利用导数的性质，判断函数的单调性，结合单峰函数的定义即可；(2)证明由单峰函数的定义推导；(3)利用单峰函数的定义和导数的性质，判断函数的单调性即可.【小问 1 详解】212 fxxx 122fxx当 1220fxx的时，101 x，故 212fxxx在0,1上不是单峰函数 2141 fxx当104x，时，24fxx 240fx 21
29、41 fxx在104，上是严格增函数第1 4/1 5 页当114x，时，22 4-fxx 240 fx 2141 fxx在114，是严格减函数而211141144 f故 2141fxx 在0,1上是单峰函数【小问 2 详解】函数 f x是区间01，上的单峰函数001x，使得 f x在00 x，上是严格增函数，在01x，上是严格减函数又存在121201,xxxx，使得12f xf x020 xx，即20 x，为含峰区间又存在121201,xxxx，使得12f xf x011xx，即11x，为含峰区间【小问 3 详解】3221 fxa xx是区间01，上的单峰函数001x，使得 f x在00 x，上是严格增函数，在01x，上是严格减函数 2621fxa x在00 x，上大于零，在01x，上小于零若0a，则 0fx，故不存在001x，使得 2621fxa x在00 x，上大于零，在01x，上小于零；若0a，则 2621fxa x在2，单调递增，故不存在001x，使得 2621fxa x在00 x，上大于零，在01x，上小于零实数 a 的取值范围为空集第1 5/1 5 页
