1、第3课时 圆的方程1圆的定义圆的定义(1)在平面内，到在平面内，到定点定点的距离等于的距离等于 的的点的集合叫做圆点的集合叫做圆(2)确定一个圆的要素是确定一个圆的要素是 和和 基础知识梳理基础知识梳理定长定长半径半径圆心圆心2圆的方程圆的方程基础知识梳理基础知识梳理圆的标准方程圆的标准方程圆的一般方程圆的一般方程方程方程圆心坐圆心坐标标(a，b)半径半径r(xa)2(yb)2r2(r0)x2y2DxEyF0方程方程x2y2DxEyF0表示表示圆的充要条件是什么？圆的充要条件是什么？【思考思考提示提示】充要条件是充要条件是D2E24F0.基础知识梳理基础知识梳理2(2009年高考重庆卷改编年高
2、考重庆卷改编)圆心圆心在在x轴上，半径为轴上，半径为1，且过点，且过点(2,1)的圆的圆的方程是的方程是()Ay2(x2)21 Bx2(y2)21C(x1)2(y3)21 Dx2(y3)21答案答案：A三基能力强化三基能力强化Ax2y22x4y0Bx2y22x4y0Cx2y22x4y0 Dx2y22x4y0答案答案：C三基能力强化三基能力强化4(教材习题改编教材习题改编)以直线以直线3x4y120夹在两坐标轴间的线段为直夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程是径的圆的方程是_答案答案：x2y24x3y0三基能力强化三基能力强化5若圆若圆x2y2(a21)x2aya0关于直线关于直线xy10对称，
3、则实对称，则实数数a_.答案答案：3三基能力强化三基能力强化在解决求圆的方程这类问题时，应在解决求圆的方程这类问题时，应当注意以下几点：当注意以下几点：(1)确定圆的方程首先明确是标准方确定圆的方程首先明确是标准方程还是一般方程程还是一般方程(2)根据几何关系根据几何关系(如题中的相切、弦如题中的相切、弦长等长等)建立方程求得建立方程求得a、b、r或或D、E、F.(3)待定系数法的应用，解答中要尽待定系数法的应用，解答中要尽量减少未知量的个数量减少未知量的个数课堂互动讲练课堂互动讲练考点一考点一求圆的方程求圆的方程课堂互动讲练课堂互动讲练根据下列条件求圆的方程根据下列条件求圆的方程(1)经过坐
4、标原点和点经过坐标原点和点P(1,1)，并且圆心在直，并且圆心在直线线2x3y10上；上；(2)已知一圆过已知一圆过P(4，2)、Q(1,3)两点，两点，【思路点拨思路点拨】设出圆的标准方设出圆的标准方程或一般方程，利用待定系数法求程或一般方程，利用待定系数法求解，关键是用好所给三个独立条件解，关键是用好所给三个独立条件课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练所以所以(y1y2)2(y1y2)24y1y2E24F48,解解、组成的方程组，得组成的方程组，得D2，E0，F12或或D10，E8，F4，故所求圆的方程为故所求圆的方程为x2y22x120或或x2y210
5、 x8y40.课堂互动讲练课堂互动讲练【名师点评名师点评】一般地，已知圆一般地，已知圆心或半径的条件，选用圆的标准式方心或半径的条件，选用圆的标准式方程，否则选用一般式方程另外，还程，否则选用一般式方程另外，还有几何法可以用来求圆的方程要充有几何法可以用来求圆的方程要充分利用圆的有关几何性质，如分利用圆的有关几何性质，如“圆心圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上在圆的任一条弦的垂直平分线上”“半半径、弦心距、弦长的一半构成勾股关径、弦心距、弦长的一半构成勾股关系系”等等课堂互动讲练课堂互动讲练求轨迹方程的大致步骤：求轨迹方程的大致步骤：(1)建立平面直角坐标系，设出动建立平面直角坐标系，设出动点坐
6、标；点坐标；(2)确定动点满足的几何等式，并确定动点满足的几何等式，并用坐标表示；用坐标表示；(3)化简得方程，一般情况下，化化简得方程，一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，如有特简前后方程的解集是相同的，如有特殊情况，可适当予以说明，即删去增殊情况，可适当予以说明，即删去增加的解或补上失去的解加的解或补上失去的解课堂互动讲练课堂互动讲练考点二考点二与圆有关的轨迹问题与圆有关的轨迹问题课堂互动讲练课堂互动讲练设定点设定点M(3,4)，动点，动点N在圆在圆x2y24上运动，以上运动，以OM、ON为两边作平为两边作平行四边形行四边形MONP，求点，求点P的轨迹的轨迹【思路点拨思路点拨】先设出先
7、设出P点、点、N点点坐标，根据平行四边形对角线互相平坐标，根据平行四边形对角线互相平分，用分，用P点坐标表示点坐标表示N点坐标，代入圆点坐标，代入圆的方程可求的方程可求课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练【规律小结规律小结】解决轨迹问题，应注意解决轨迹问题，应注意以下几点：以下几点：(1)求方程前必须建立平面直角坐标系求方程前必须建立平面直角坐标系(若题目中有点的坐标，就无需建系若题目中有点的坐标，就无需建系)，否则，否则曲线就不可转化为方程曲线就不可转化为方程(2)一般地，设点时，将动点坐标设为一般地，设点时，将动点坐标设为(x，y)，其他与此相关的点设为，其他与此相关的点设为(
8、x0，y0)等等(3)求轨迹与求轨迹方程是不同的，求求轨迹与求轨迹方程是不同的，求轨迹方程得出方程即可，而求轨迹在得出方轨迹方程得出方程即可，而求轨迹在得出方程后还要指出方程的曲线是什么图形程后还要指出方程的曲线是什么图形课堂互动讲练课堂互动讲练求与圆有关的最值问题多采用几何法，求与圆有关的最值问题多采用几何法，就是利用一些代数式的几何意义进行转就是利用一些代数式的几何意义进行转课堂互动讲练课堂互动讲练考点三考点三与圆有关的最值问题与圆有关的最值问题为动直线斜率的最值问题；为动直线斜率的最值问题；(2)形形如如taxby的最值问题，可转化为直的最值问题，可转化为直线在线在y轴上的截距的最值问题
9、；轴上的截距的最值问题；(3)形形如如m(xa)2(yb)2的最值问题，的最值问题，可转化为两点间的距离平方的最值问可转化为两点间的距离平方的最值问题题课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练已知实数已知实数x、y满足方程满足方程x2y24x10.(2)求求yx的最大值和最小值；的最大值和最小值；(3)求求x2y2的最大值和最小值的最大值和最小值【思路点拨思路点拨】课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练(3)x2y2表示圆上的一点与原点表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心
10、连线与圆的两个交点处取原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值得最大值和最小值课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练(2)x2y可看作是直线可看作是直线x2yb在在x轴上的截距，当直线与圆相切轴上的截距，当直线与圆相切时，时，b取得最大值或最小值取得最大值或最小值课堂互动讲练课堂互动讲练在解决有关的实际问题时，关键在解决有关的实际问题时，关键要明确题意，掌握建立数学基本模型要明确题意，掌握建立数学基本模型的方法，将实际问题转化为数学问题的方法，将实际问题转化为数学问题解决解决课堂互动讲练课堂互动讲练考点四
11、考点四与圆有关的实际应用与圆有关的实际应用课堂互动讲练课堂互动讲练(解题示范解题示范)(本题满分本题满分12分分)有一种大型商品，有一种大型商品，A、B两地都有两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：之一购得商品后运回的费用是：A地地每公里的运费是每公里的运费是B地每公里运费的地每公里运费的3倍已知倍已知A、B两地距离为两地距离为10公里，顾公里，顾客选择客选择A地或地或B地购买这件商品的标准地购买这件商品的标准是：包括运费和价格的总费用较是：包括运费和价格的总费用较课堂互动讲练课堂互动讲练低求低求P地居民选择地居民选择A地或地或B地
12、购地购物总费用相等时，点物总费用相等时，点P所在曲线的形所在曲线的形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购物地点？的居民应如何选择购物地点？【思路点拨思路点拨】根据条件，建立根据条件，建立适当坐标系，求出点适当坐标系，求出点P的轨迹方程，的轨迹方程，进而解决相关问题进而解决相关问题课堂互动讲练课堂互动讲练【解解】如图，以如图，以A、B所在的直所在的直线为线为x轴，线段轴，线段AB的中点为原点建立的中点为原点建立直角坐标系，直角坐标系，|AB|10，A(5,0)，B(5,0).2分分设设P(x，y)，P到到A、B两地购物的两地购物的运费分别是运费分别是
13、3a、a(元元/公里公里)当由当由P地到地到A、B两地购物总费用两地购物总费用相等时，相等时，课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练【名师点评名师点评】在解决实际问题在解决实际问题时，关键要明确题意，掌握建立数学时，关键要明确题意，掌握建立数学基本模型的方法将实际问题转化为数基本模型的方法将实际问题转化为数学问题解决学问题解决课堂互动讲练课堂互动讲练(本题满分本题满分12分分)设有一个半径为设有一个半径为3 km的圆形村落，的圆形村落，A、B两人同时从村两人同时从村落中心出发，落中心出发，A向东而向东而B向北前进，向北前进，A出村后不久，改变前进方向，沿着切出
14、村后不久，改变前进方向，沿着切于村落边界的方向前进，后来恰好与于村落边界的方向前进，后来恰好与B相遇设相遇设A、B两人的速度都一定，两人的速度都一定，其比为其比为3 1，问两人在何处相遇？，问两人在何处相遇？课堂互动讲练课堂互动讲练解解：以村落中心为原点，：以村落中心为原点，A、B开开始前进方向为始前进方向为x轴、轴、y轴建立直角坐标轴建立直角坐标系系设设A、B两人速度分别为两人速度分别为3v km/h，v km/h.设设A出发出发x0小时后，在小时后，在点点P处改变前进方向，又经处改变前进方向，又经y0小时在点小时在点Q处与处与B相遇，则相遇，则P、Q两点的坐标分两点的坐标分别是别是(3vx
15、0,0)，(0，v(x0y0).4分分课堂互动讲练课堂互动讲练如图，如图，|OP|2|OQ|2|PQ|2，(3vx0)2v(x0y0)2(3vy0)2.化简得化简得(x0y0)(5x04y0)0.6分分又又x0y00，5x04y0.课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练1确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程的主要方法是待定确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于系数法，即列出关于a、b、r的方程的方程组，求组，求a、b、r或直接求出圆心或直接求出圆心(a，b)和半径和半径r，一般步骤为：，一般步骤为：规律方法总结规律方法总结(1)根据题意，设所求的圆的标准根据题意，设所求的圆的标准方程为方程为(xa)2(yb)2r2；(2)根据已知条件，建立关于根据已知条件，建立关于a、b、r的方程组；的方程组；(3)解方程组，求出解方程组，求出a、b、r的的值，并把它们代入所设的方程中去就值，并把它们代入所设的方程中去就得到所求圆的方程得到所求圆的方程规律方法总结规律方法总结2形如形如Ax2BxyCy2DxEyF0的方程表示圆的充要条件的方程表示圆的充要条件(1)x2和和y2项的系数相同，且不等项的系数相同，且不等于于0，即，即AC0；(2)没有没有xy项，即项，即B0；规律方法总结规律方法总结随堂即时巩固随堂即时巩固课时活页训练课时活页训练
