1、要点梳理要点梳理1.1.二项式定理二项式定理 2.2.通项公式通项公式 1.3.21.3.2二项式定理二项式定理011()nnnrn rrn nnnnna bC aC abC abC b 1,(0,1,2,)rn rrrnTC abrn 3.3.二项式系数的性质二项式系数的性质（1 1）对称性：）对称性：（2 2）增减性与最大值：）增减性与最大值：当当n n是偶数时，是偶数时，中间的一项中间的一项 取得最大值取得最大值 .当当n n是奇数时，中间两项同时取得最大值，是奇数时，中间两项同时取得最大值，分别是分别是 和和 。（3 3）二项式系数的和二项式系数的和 =2 2n n.其中其中=.CCm
2、nnmn21Cnn21Cnn2CnnnnrnnnnCCCCC210531CCCnnn20CCnn4Cn=12n=高考二项式定理的三种题型高考二项式定理的三种题型:二项式定理二项式定理是高考主要内容之一。是高考主要内容之一。高考要求是：掌握二项式定理和二项展高考要求是：掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题。它在高考中总是以选择些简单的问题。它在高考中总是以选择和填空的形式出现，分值为和填空的形式出现，分值为5 5分。出现分。出现的题型主要有三类：的题型主要有三类：1 1、求二项展开式中指定项，如常数项、求二项展开式中指定项，如常数
3、项、有理项、整式项、系数最大的项等。有理项、整式项、系数最大的项等。2 2、求某二项式系数。、求某二项式系数。3 3、求系数和、求系数和.解解 （1 1）通项公式为）通项公式为T Tr+1r+1=，第第6 6项为常数项，项为常数项，r=5r=5时，有时，有 =0=0，即，即n=10.n=10.nxx)21(3333)21(Crrrnrnxx32)21(Crnrrnx32rn一、解答题一、解答题 1.1.已知在已知在 的展开式中，的展开式中，第第6 6项为常数项项为常数项.（1 1）求）求n n；（2 2）求含）求含x2x2项的系数；项的系数；（3 3）求展开式中所有的有理项）求展开式中所有的有
4、理项.（2 2）令）令 =2,=2,得得r=(n-6)=2,r=(n-6)=2,所求的系数为所求的系数为 Z,Z,0 0r10,10,rZ,Z,令令 =k(kZ),=k(kZ),则则10-2r=3k10-2r=3k，即，即r=5-k.r=5-k.rZrZ，k k应为偶数应为偶数.kk可取可取2,0,-22,0,-2，即，即r r可取可取2,5,8.2,5,8.第第3 3项，第项，第6 6项与第项与第9 9项为有理项，它们分别为项为有理项，它们分别为（3 3）根据通项公式，由题意得）根据通项公式，由题意得2332rn21.445)21(C22103210r3210r.)21(C,)21(C,)2
5、1(C28810551022210 xx题型一题型一 求展开式中的特定项或特定项的系数求展开式中的特定项或特定项的系数【例例1 1】在二项式在二项式 的展开式中，前三项的的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项和二项式系系数成等差数列，求展开式中的有理项和二项式系数最大的项数最大的项.利用已知条件前三项的系数成等差数利用已知条件前三项的系数成等差数列求出列求出n,n,再用通项公式求有理项再用通项公式求有理项.解解 二项展开式的前三项的系数分别是二项展开式的前三项的系数分别是1 1，n n（n-1n-1），），2 =1+n2 =1+n（n-1n-1），），解得解得n=8n=8或或n
6、=1n=1（不合题意，舍去），（不合题意，舍去），思维启迪思维启迪2n812n81nxx)21(4当当4-kZ4-kZ时，时，T Tk+1k+1为有理项，为有理项，0k80k8且且kZ,k=0kZ,k=0，4 4，8 8符合要求符合要求.故有理项有故有理项有3 3项，分别是项，分别是T T1 1=x=x4 4，T T5 5=x=x，T T9 9=x=x-2-2.n=8n=8，展开式中共展开式中共9 9项，项，中间一项即第中间一项即第5 5项的二项式系数最大且为项的二项式系数最大且为T T5 5=x.=x.求二项展开式中的指定项，一般是利用求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行，化简通项
7、公式后，令字母的指数符通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求（求常数项时，指数为零；求有理项时，指合要求（求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等），解出项数数为整数等），解出项数k+1k+1，代回通项公式即可，代回通项公式即可.438352561835探究提高探究提高,2C)21(C434842881kkkkkkkxxxT 解析解析 因为因为(1+x)(1+x)6 6的通项是的通项是T Tr+1r+1=x=xr r,令令r=5r=5得得T T6 6=x x5 5;令令r=2r=2得得T T3 3=x=x2 2,所以（所以（1-x1-x3 3）(1+x)(1+x)6 6展开式
8、展开式中中x x5 5的系数为的系数为 -=-9.-=-9.-9-9r6C56C26C56C26C.在（在（1-x1-x3 3）(1+x)6(1+x)6的展开式中，的展开式中，x5x5的系数为的系数为 .题型二题型二 求展开式中各项系数之和求展开式中各项系数之和【例例1 1】已知已知(1-2x)(1-2x)7 7=a=a0 0+a+a1 1x+ax+a2 2x x2 2+a+a7 7x x7 7.求求:(1)a:(1)a1 1+a+a2 2+a+a7 7;(2)a (2)a1 1+a+a3 3+a+a5 5+a+a7 7;(3)a (3)a0 0+a+a2 2+a+a4 4+a+a6 6;(4
9、)|a (4)|a0 0|+|a|+|a1 1|+|a|+|a2 2|+|a|+|a7 7|.|.解解:令令x=1,x=1,则则a a0 0+a+a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+a4 4+a+a5 5+a+a6 6+a+a7 7=-1 =-1 令令x=-1,x=-1,则则a a0 0-a-a1 1+a+a2 2-a-a3 3+a+a4 4-a-a5 5+a+a6 6-a-a7 7=3=37 7 (1)a(1)a0 0=1,a=1,a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+a7 7=-2.=-2.(2)(2)(-)2,2,得得a a1 1+a+a3 3+a+a5 5+a+a7 7=-1
10、 094.=-1 094.(3)(3)(+)2,2,得得 a a0 0+a+a2 2+a+a4 4+a+a6 6=1 093.=1 093.(4)(1-2x)(4)(1-2x)7 7展开式中展开式中,a,a0 0,a,a2 2,a,a4 4,a,a6 6都大于零都大于零,而而a a1 1,a,a3 3,a,a5 5,a,a7 7都小于零都小于零,|a|a0 0|+|a|+|a1 1|+|a|+|a2 2|+|a|+|a7 7|=(a =(a0 0+a+a2 2+a+a4 4+a+a6 6)-(a)-(a1 1+a+a3 3+a+a5 5+a+a7 7),),=1093-=1093-（-1094
11、-1094）=2 187=2 18707C23172317 探究提高探究提高 本题采用的是本题采用的是“赋值法赋值法”，它普遍适，它普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，在解有关问题时，用于恒等式，是一种重要的方法，在解有关问题时，经常要用到这种方法经常要用到这种方法.对形如（对形如（ax+bax+b）n n、（、（axax2 2+bx+c+bx+c）m m （a a，b b，cR,m,nNcR,m,nN*）的式子求其展开式的各项系数之）的式子求其展开式的各项系数之 和，常用赋值法，只需令和，常用赋值法，只需令x=1x=1即可；对（即可；对（ax+byax+by）n n （a a，bRbR，nN
12、nN*）的式子求其展开式各项系数之）的式子求其展开式各项系数之和，只需令和，只需令x=y=1x=y=1即可即可.一般地，若一般地，若f f（x x）=a=a0 0+a+a1 1x+ax+a2 2x x2 2+a+an nx xn n，则，则f f（x x）展开式中各项系数之和为展开式中各项系数之和为f f（1 1），奇数项系数之和），奇数项系数之和为为a a0 0+a+a2 2+a+a4 4+=+=，偶数项系数之和为，偶数项系数之和为a a1 1+a+a3 3+a+a5 5+=+=2)1()1(ff.2)1()1(ff知能迁移知能迁移2 2 设（设（2-x2-x）100100=a=a0 0+a
13、+a1 1x+ax+a2 2x x2 2+a+a100100 x x100100,求求:(1)a:(1)a0 0;(2)a (2)a1 1+a+a3 3+a+a5 5+a+a9999;(3)(a (3)(a0 0+a+a2 2+a+a4 4+a+a100100)2 2-(a-(a1 1+a+a3 3+a+a9999)2 2;(4)|a (4)|a0 0|+|a|+|a1 1|+|a|+|a2 2|+|a|+|a100100|.|.解解:（1 1）方法一）方法一:由（由（2-x2-x）100100展开式中的常数项展开式中的常数项为为 22100100，得，得a a0 0=2=2100100.方法
14、二方法二 :令令x=0 x=0，则展开式可化为，则展开式可化为a a0 0=2=2100100.（2 2）令）令x=1,x=1,得得 a a0 0+a+a1 1+a+a2 2+a+a9999+a+a100100=(2-)=(2-)100100 令令x=-1,x=-1,得得 a a0 0-a-a1 1+a+a2 2-a-a3 3+a+a100100=(2+)=(2+)100 100 330100C33联立得联立得a a1 1+a+a3 3+a+a9999=(3)(3)原式原式=（a a0 0+a+a2 2+a+a100100）+（a a1 1+a+a3 3+a+a9999）（a a0 0+a+a
15、2 2+a+a100100）-（a a1 1+a+a3 3+a+a9999）=（a a0 0+a+a1 1+a+a2 2+a+a100100）(a(a0 0-a-a1 1+a+a2 2-a-a3 3+a+a9898-a-a9999+a+a100100)=(2-)=(2-)100100(2+)(2+)100100=1.=1.(4)(4)展开式中，展开式中，a a0 0,a,a2 2,a,a4 4,a,a100100大于零，而大于零，而a a1 1,a,a3 3,a,a9999小于零，小于零，原式原式=a=a0 0-a-a1 1+a+a2 2-a-a3 3+a+a9898-a-a9999+a+a1
16、00100=(2+)=(2+)100100.2)32()32(100100333知能迁移知能迁移1 1 已知已知 的展开式的二项式系数的展开式的二项式系数和比（和比（3x-13x-1）n n的展开式的二项式系数和大的展开式的二项式系数和大992.992.求求 的展开式中，的展开式中，（1 1）二项式系数最大的项；）二项式系数最大的项；（2 2）系数的绝对值最大的项）系数的绝对值最大的项.解解 由题意知，由题意知，2 22n2n-2-2n n=992,=992,即即(2(2n n-32)(2-32)(2n n+31)=0,2+31)=0,2n n=32,=32,解得解得n=5.n=5.（1 1）
17、由二项式系数的性质知，）由二项式系数的性质知，的展开式中的展开式中第第6 6项的二项式系数最大，即项的二项式系数最大，即 =252.=252.nxx223)(nxx2)12(10)12(xx510C.80462C)1()2(C5510555106xxT（2 2）设第）设第r+1r+1项的系数的绝对值最大，项的系数的绝对值最大，rZrZ，r=3.r=3.故系数的绝对值最大的是第故系数的绝对值最大的是第4 4项，项，T T4 4=-2=-27 7xx4 4=-15 360 x=-15 360 x4 4.310C110110101011011010102101010101012C2C2C2C,2C)
18、1()1()2(CrrrrrrrrrrrrrrrrxxxT,10)1(2211,CC2C2C1101011010rrrrrrrr即得,31138 r解得可编辑方法与技巧方法与技巧1.1.通项公式最常用，是解题的基础通项公式最常用，是解题的基础.2.2.对三项或三项以上的展开问题，应根据式子的特对三项或三项以上的展开问题，应根据式子的特 点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为集点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为集项、配方、因式分解，集项时要注意结合的合理性项、配方、因式分解，集项时要注意结合的合理性和简捷性和简捷性.3.3.求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通求常数项、有理项和系数
19、最大的项时，要根据通 项公式讨论对项公式讨论对r r的限制；求有理项时要注意到指数的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性及项数的整数性.思想方法思想方法 感悟提高感悟提高4.4.性质性质1 1是组合数公式是组合数公式 的再现，性质的再现，性质2 2是从是从函数的角度研究的二项式系数的单调性，性质函数的角度研究的二项式系数的单调性，性质3 3是是利用赋值法得出的二项展开式中所有二项式系数的利用赋值法得出的二项展开式中所有二项式系数的和和.5.5.因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开在解题时根据题意，
20、给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法式各项系数和的一种重要方法.6.6.二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项数、二项式系数等方面的内在联系，涉及指数、项数、二项式系数等方面的内在联系，涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题，只需运用到二项展开式中的项和系数的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个分析，通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个分析，对于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用且重对于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用且重要的方法，同时注意二项式定理的逆用要的方法，同时注意二项式定理的逆用.r
21、nnrn CC失误与防范失误与防范1.1.要把要把“二项式系数的和二项式系数的和”与与“各项系各项系数和数和”，“奇（偶）数项系数和与奇奇（偶）数项系数和与奇（偶）次项系数和（偶）次项系数和”严格地区别开来严格地区别开来.2.2.根据通项公式时常用到根式与幂指数根据通项公式时常用到根式与幂指数的互化，学生易出错的互化，学生易出错.3.3.通项公式是第通项公式是第r+1r+1项而不是第项而不是第r r项项.一、选择题一、选择题1.1.（20092009重庆理，重庆理，3 3）(x x2 2+)+)8 8的展开式中的展开式中x x4 4的系的系数是数是（）A.16A.16B.70 B.70 C.5
22、60C.560D.1 120D.1 120 解析解析 设二项式展开式的第设二项式展开式的第r+1r+1项含有项含有x x4 4,则则T Tr+1r+1=(x=(x2 2)8-r8-r（）r r.16-2r-r=4,r=4.16-2r-r=4,r=4.x x4 4的系数为的系数为 224 4=1 120.=1 120.D Dx2x2r8C48C定时检测定时检测基础自测基础自测1.1.二项式（二项式（a+2ba+2b）n n展开式中的第二项的系数是展开式中的第二项的系数是8 8，则，则它的第三项的二项式系数为它的第三项的二项式系数为（）A.24A.24B.18B.18 C.16 C.16 D.6D
23、.6 解析解析 T T2 2=所以所以2n=82n=8，n=4,n=4,所以所以 =6.=6.D D,2C)2(C11111babannnn2Cn24C2.2.在在 的展开式中，的展开式中，x x的幂的指数是整数的项共的幂的指数是整数的项共 有有（）A.3A.3项项B.4B.4项项C.5C.5项项D.6D.6项项 解析解析 T Tr+1r+1=故当故当r=0,6,12,18,24r=0,6,12,18,24时，幂指数为整数，共时，幂指数为整数，共5 5项项.C C243)1(xx,C)1()(C65122432424rrrrrxxx3.3.在在 的展开式中，只有第的展开式中，只有第5 5项的二
24、项式系数项的二项式系数最大，则展开式中常数项是最大，则展开式中常数项是（）A.-7A.-7B.7B.7 C.-28 C.-28D.28D.28 解析解析 只有第只有第5 5项的二项式系数最大，则展开式共项的二项式系数最大，则展开式共9 9项，即项，即n=8n=8，当当r=6r=6时为常数项，时为常数项，T T7 7=7.=7.B Bnxx)12(3,x)21()1(C)x1()2x(CTr348r8rr8r3r8r81r 解析解析 T Tk+1k+1=为常数项为常数项,k=4k=4且且 （-a-a）4 4=1 120=1 120，a a4 4=16=16，a=a=2,2,当当a=2a=2时，令
25、时，令x=1,x=1,得各项系数和为得各项系数和为(1-)(1-)8 8=1=1；当当a=-2a=-2时，令时，令x=1x=1，得各项系数和为，得各项系数和为(1+)(1+)8 8=3=38 8.答案答案 C Ckkkkkk28888)(C)(Cxaxax48C12125.5.已知已知 展开式中常数项为展开式中常数项为1 1201 120，其中实数其中实数a a为常数，则展开式中各项系数的和为为常数，则展开式中各项系数的和为（）A.28A.28B.38B.38 C.1 C.1或或3838D.1D.1或或28288)(xax 二、填空题二、填空题7.7.已知已知n n为正偶数，且（为正偶数，且（
26、x x2 2-）n n的展开式中第的展开式中第4 4项的项的二项式系数最大，则第二项式系数最大，则第4 4项的系数是项的系数是 .（用数（用数字作答）字作答）解析解析 n n为正偶数，且第为正偶数，且第4 4项二项式系数最大，故展开项二项式系数最大，故展开 式共式共7 7项，项，n=6n=6，第，第4 4项系数为项系数为x2125.25)21(C3369.9.（20092009全国全国理，理，1313）（x-yx-y）1010的展开式中，的展开式中，x x7 7y y3 3的系数与的系数与x x3 3y y7 7的系数之和等于的系数之和等于 .解析解析 (x-y)(x-y)1010的展开式中含
27、的展开式中含x x7 7y y3 3的项为的项为 x x10-310-3y y3 3 (-1)(-1)3 3=-x=-x7 7y y3 3,含含x x3 3y y7 7的项为的项为 x x10-710-7y y7 7(-1)(-1)7 7=由由 =120=120知，知，x x7 7y y3 3与与x x3 3y y7 7的系数之和为的系数之和为-240.-240.-240-240310C310C710C.C73710yx710310CC4.4.在在 的展开式中，常数项为的展开式中，常数项为1515，则，则n n的一个值的一个值 可以是可以是（）A.3A.3B.4B.4C.5C.5D.6D.6
28、解析解析 通项通项T Tr+1r+1=常数项是常数项是1515，则，则2n=3r,2n=3r,且且 =15=15，验证，验证n=6n=6时，时，r=4r=4合题意合题意.D DrnC,C)1()1()(C322rnrnrrrnrnxxxnxx)1(22.2.（20092009浙江理，浙江理，4 4）在二项式在二项式 的展开式中，的展开式中，含含x x4 4的项的系数是的项的系数是（）A.-10A.-10B.10B.10 C.-5 D.5 C.-5 D.5 解析解析 的展开式的通项为的展开式的通项为 令令10-3r=4,10-3r=4,得得r=2,xr=2,x4 4项的系数为项的系数为 =10.
29、=10.B B52)1(xx 52)1(xx 25C.C)1()1(C3105)5(25rrrrrrrxxx1 10 00 01 10 00 01 1）（7 78 8r r100100r r10010099991 11001001001000 01001007 7C C7 7C C7 7C C1001001001001 19999100100C C7 7C C 余数是余数是1 1，所以是所以是星期六星期六）（999910010099990 0100100C C7 7C C7练习练习1、今天是星期五，那么今天是星期五，那么 天后的天后的这一天是星期几？这一天是星期几？10081 110003天后是星期几？那么作业：作业：1.1.课本课本 P35-36 P35-36 习题习题 1010，2.2.课课练课课练 第第1212，1313课时课时可编辑
