1、南京外国语学校 20182019 学年度第一学期期中高一年级 数学试题（A 卷） 一、填空题一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 3 分，共 42 分请把答案写在答 卷纸相应 位置上 ） 1. 已知集合1,2,3,6A= ,| 23Bxx= ，则AB =_ 【答案】1,2； 【解析】由交集的定义可得 2. 幂函数yx=的图象是_（填序号） x y O x y O x y O x y O 【答案】； 【解析】 1 2 yx=，在()0,+单调递增，比yx=增长的慢则选 3. 把函数() 2 22yx=+的图象向左平移1个单位，再向上平移一个单位，所得图象对应的函数解析式是 _ 【答案】 2
2、24yxx=+； 【解析】()() 2 2 122124yxxx=+ =+ 4. 偶函数( )yf x=的图象关于直线2x =对称，( )33f=，则()1f =_ 【答案】3； 【解析】由偶函数可得()( )11ff=，( )( )13ff=则()13f = 5. 集合U = R，()1,2A= ，()|ln 1Bx yx=，则图中阴影部分所 代表的集合为_（结果用区间的形式表示） U BA 5 【答案】)1,2； 【解析】(),1B = 图像中阴影部分为)1,2 U AB = 6. 若函数( )2f xxa=+的单调递增区间是)3,+，则a的值为_ 【答案】6； 【解析】函数在, 2 a
3、单调递减，在, 2 a + 单调递增，则36 2 a a= 7. 已知函数( )()0,1 x f xaaa=且，如果以()() 11 ,P xfx，()() 22 ,Q xf x为端点的线段的中点在y轴 上，那么( )() 12 f xf x=_ 【答案】1； 【解析】 12 0xx+=， 1212 0 1 xxxx aaaa + = 8. 函数( )37lnf xxx=+的零点位于区间(),1n n+()nN内，则n=_ 【答案】2； 【解析】函数在()0,+单调递增，( )21 ln20f= +，( )32ln30f=+则零点在()2,3之间 9. 若关于x的方程 2 420xxa=在区
4、间()1,4内有解，则实数a的取值范围是_ 【答案】)6, 2； 【解析】转化成 2 42xxa=有交点，) 2 426, 2xx ，则)6, 2a 10. 若函数( ) 2 21 x x a fx = + 是奇函数，则使( ) 1 3 f x 成立的x的取值范围为_ 【答案】()1,+； 【解析】( ) 1 00 1 1 a f = + 1a=. 211 213 x x + 即224 x ，则()1,x+ 11. 某商品在近30天内每件的销售价格P（单位：元）与销售时间t（单位：天）的函数关系为 20,025; 100,2530. tt P tt + = + ，tN，且该商品的日销售量Q（单
5、位:件）与销售时间t（单位：天）的函 数关系为()40 030,Qttt= + N，则这种商品的日销售量金额最大的一天是30天中的第_ 天 【答案】10； 6 【解析】 ()() ()() 2040,025; 40100, 2530. ttt S ttt + = ，可得 max 10,900tS= 12. 已知函数( ) 2 log,0; 3 ,0. x x x fx x = 且关于x的方程( )0f xxa+=有且只有一个实根，且实数a的取值范 围是_. 【答案】1a ； 【解析】结合( )f x的图象，原方程可以理解为( )yf x=与yxa= 只有一个交点所以1a ，1a 13. 如果函
6、数( ) ()21,1; ,1. x a xx f x ax + = 满足对任意 12 xx都有 ()() 12 12 0 f xf x xx 成立，那么a的取值范围 是_ 【答案】 3 ,2 2 ； 【解析】即( )f x在R上单调递增， 20 3 1,2 2 21 a aa aa + . 14. 已知函数( ) 2 f xxbx=+，若( )()ff x的最小值与( )f x的最小值相等，则实数b的取值范围是_ 【答案】( ),02,+； 【解析】( )min 2 b f xf = ,则( )min 2 b f x 即 2 42 bb 解得0b或2b 二、解答题二、解答题（本大题共 6 小
7、题，共计 58 分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答 案写在答题纸的指定区域内） 15. （8 分） 已知幂函数( ) () 2 1*mm f xxm + =N的图象经过点()2,8 试确定m的值 ； 求满足条件()()21faf a的实数a的取值范围 【答案】 1m=； 3 2 a 【解析】 2 1 281 mm m + + = =或2m=(舍). ( ) 3 f xx=，( )f x在R上单调递增，由()()21faf a可得 3 21 2 aaa . 7 16. 已知( ) 2 43f xxx=+. 作出函数( )f x的图象； 写出函数( )f x的单调递增区间 写出
8、集合( )|Mmf xm=使方程有四个不相等的实根. 【答案】 见解析； ()1,2和()3 +，； |01Mmm=； 【解析】见右图； 单调递增区间为()1,2和()3 +，； 由图象可得()0,1m则|01Mmm=. 17. 设全集U = R，集合 1 |2 2 x Ax = ， () 2 |lg0,Byyxa=+=+ 求() UA B； 求实数a的值 【答案】()1, +；1； 【解析】(, 1A= ，()1, UA= + 则()()1, UA B = +； () 22 lg0,1,xaxa+=+ +则1a = 18. 已知函数( )()log4 a f xax=，其中常数1a . 当1
9、,2x，函数( )f x恒有意义，求实数a的取值范围； 是否存在这样的实数a，使得函数( )f x在区间1,2上的最大值为1？如果存在，试求出a的值， 如果不存在，请说明理由 【答案】()1,2；不存在 【解析】原题可化为40ax在1,2上恒成立， 40 2 420 a a a ，又因为1a 所以()1,2a； 由题意可得4ax在1,2上的最大值为a，由于1a ，所以4ax单调递减4aa=，解得 2a =，但此时在2x =处没有定义，所以不存在. 19. 已知函数( )ee xx f x =（xR,且e为自然对数的底数） 判断函数( )f x的单调性与奇偶性； x y 1 2 2 3 4 4-
10、2-4 -1 O x y 1 2 2 3 4 4-2-4 -1 O 8 是否存在实数t，使不等式() () 22 0f xtf xt+对一切的xR都成立？若存在，求出t的值，若 不存在说明理由 【答案】 证明见解析； 存在， 1 2 t = 【解析】函数定义域为R，关于 0 对称，() xx fxee =，则()( )0fxf x+=，则( )f x是奇函数，以 下证明( )f x在R上单调递增： 任取 12 ,x x R，令 12 xx，( )()() 12 1212 1212 12 ee1 eeee10 e ee e xx xxxx xxxx f xf x =+=+ 所以函数单调递增. 存
11、在，证明：() ()() 2222 f xtf xtf tx=等价成 22 xttx ，则 22 0xxtt+ 对一 切的xR都成立，则 () 2 140tt = +可得 1 2 t = 20. 已知函数( ) 2 21f xxexm= +，( )() 2 0 e g xxx x =+. 若( )yg xm=有零点，求m的取值范围； 确定m的取值范围，使得( )( )0g xf x=有两个相异实根. 【答案】)2 , e +； 2 12eem +；. 【解析】 2 e xm x += 22 0xmxe+=在0x有根，当0 2 m 时则 2 2 02 4 m eme+或 2me(舍)，当0 2
12、m 时，( ) 2 0fe=，则( )00f无解，则2me. 结合图象，可得( )gx与( )f x有交点时可以看出 2 12eem +，以下详细证明； 记( )( )( )() 2 2 e 12e1h xg xf xxxm x =+ +，则可以证明( )h x在()0,e上单调递减，在 ()e,+上单调递增证明如下： 任取() 12 ,0,ex x ，令 12 xx，( )()() 2 121212 12 e 2e+1h xh xxxxx x x =+ ，由于 12 2e0xx+， 2 12 e 10 x x ， 12 0xx所以( )() 12 h xh x，所以函数在()0,e上单调递减
13、；同 理可证得在()e,+上单调递增，所以( )eh为函数最小值，根据零点定理( )e0h，解得 2 12eem +，以下说明必存在函数值大于零： 首先说明()e,+上，当2em时，( ) 2 2 e 2e10h mmm m =+ +，当 2 12ee2em+时， 9 () e 2e2e10 2 hm=+ +；所以在()e,+上只有一个零点 再说明()0,e上，( ) 2222 ee2e4e 2e 22 mxx h xmx xxx =+，所以取 2 ee min 22m ，即 2 ee 22m ，中 较小值，当 2 ee 22m 即e em时， 2 eee 0 2e m h ；当 2 ee 22m 即e em时， 23 2 ee 10 2 hm mm ；所以在()0,e上只有一个零点； 综上， 2 12eem + 10
