1、微分方程的基本概念微分方程的基本概念含未知函数的导数含未知函数的导数(或微分或微分)的方程称为的方程称为微分方程；微分方程；未知函数是一元函数的微分方程，称为未知函数是一元函数的微分方程，称为常微分方程常微分方程;未知函数是多元函数的微分方程，称为未知函数是多元函数的微分方程，称为偏微分方程偏微分方程；微分方程中未知函数的导数的最高阶数，称为微分微分方程中未知函数的导数的最高阶数，称为微分方程的方程的阶阶.能使微分方程成为恒等式的函数，称为微分方程能使微分方程成为恒等式的函数，称为微分方程的的解解.微分方程的解、通解与特解微分方程的解、通解与特解 如果微分方程的解中含任意常数如果微分方程的解中
2、含任意常数,且独立的且独立的(即即不可合并而使个数减少的不可合并而使个数减少的)任意常数的个数与微分任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解为微分方程的方程的阶数相同，这样的解为微分方程的通解通解.不包含任意常数的解为微分方程不包含任意常数的解为微分方程特解特解.可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程1定义 形如 (1)dyf x g ydx的方程称为可分离变量的方程.特点-等式右端可以分解成两个函数之积，其中一个只是x的函数，另一个只是y的函数2解法:10dyf x dxg yg y分离变量得两端积分得通解:1dyfx dxg y齐次方程齐次方程如果一阶微分方程 可以化成的形式，则称此
3、方程为齐次微分方程齐次微分方程这类方程的求解分三步进行：（1）将原方程化为方程 的形式（2）作变量代换以 为新的未知函数（注意，仍是 的函数），就可以把齐次微分方程化为可分离变量的微分方程来求解d(,)dyf x yxddyyxxddyyxxyuxuuxv由 ，得 v两端求导，得v代入方程中，得 yuxdyduuxdxdx)(udxduxu这是变量可分离的微分方程分离变量并积分，得（3）求出积分后，再以 代回，便得到所求齐次方程的通解 dd()uxuuxyuxyux一阶线性微分方程一阶线性微分方程形如的方程称为一阶线性微分方程，其中P(x)，Q(x)是连续函数，且方程关于y及 是一次的，Q(x
4、)是自由项.xydd为一阶线性非齐次方程，则称如果0)(xQ，即如果0)(xQ为一阶线性齐次方程.d()()(1)dyPx y Qxxd()()dyP x yQ xxd()0 (2)dyP x yx一阶线性非齐次微分方程的求解步骤如下:1.先求(2)0)(ddyxPxy的通解：分离变量后得xxPyyd)(d，的形式，得任意常数写成CxxPyClnd)(ln ln化简后，方程(2)的通解为其中C为任意常数.()dxe (3)P xy C，2.利用“常数变易法”求线性非齐次方程(1)的通解：设(4)e)()d(，xxPxCy是方程(1)的解，其中C(x)为待定常数,将(4)式求其对x的导数，得，x
5、xPxxPxCxPxCxy)d()d(e)()(e)(dd 代入方程(1)中，得，)(e)()(e)()(e)()d()d()d(xQxCxPxCxPxCxxPxxPxxP化简后，得，xxPxQxCd)(e)()(5)de)()(d)(，CxxQxCxxP将上式积分，得其中C为任意常数.把(5)式代入(4)式中，即得方程(1)的通解为 通过把对应的线性齐次方程的通解中的任意常数变易为待定函数，然后求出线性非齐次方程的通解，这种方法称为常数变易法.()d()de()ed).(6)P xxP xxyQ xx C二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程 一、二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线
6、性微分方程 二、二、常系数线性齐次微分方程解的结构常系数线性齐次微分方程解的结构 三、三、二阶常系数线性齐次微分方程的解法二阶常系数线性齐次微分方程的解法 的方程，称为二阶线性微分方程.当 时，方程(1)成为0)(xf称为二阶线性齐次微分方程，当 时，方程(1)称为二阶线性非齐次微分方程.0)(xf/形如 当系数P(x)、Q(x)分别为常数p、q时，则称方程为二阶常系数线性齐次微分方程，称方程/为二阶常系数线性非齐次微分方程.()()()(1)y Px y Qx yf x()()0 (2)yP x y Q x y0 (3)y py qy()()0)(4)y py qyf xf x定理 设y1(
7、x)，y2(x)是二阶常系数线性齐次微分方程(3)的两个解，则 也是方程(3)的解，其中C1,C2是任意常数.)()(2211xyCxyCy一、二阶常系数线性齐次微分方程解的性质与通解结构一、二阶常系数线性齐次微分方程解的性质与通解结构定理 如果函数y1(x)与y2(x)是二阶常系数线性齐次微分方程(3)的两个线性无关的特解，则就是方程(3)的通解.1 12 212()()(,)y Cy xCy xC C为 任 意 常 数求二阶常系数齐次线性微分方程(3)的通解步骤：1.写出特征方程，并求出特征方程的两个根；2.根据两个特征根的不同情况，按照公式(6)、(7)或(8)写出微分方程的通解.可使用
8、下表:0qypyy02qprr两个不相等的实根21rr 特征方程:微分方程:两个相等的实根21rr 一对共轭复根)0(,21irxrxrCCy21ee21xrxCCy1e)(21)sin cos(e21xCxCyx的两个根r1,r2的通解二阶常系数非齐次线形微分方程v二阶常系数非齐次线形微分方程的一般形式为：v当 时，二阶常系数非齐次线形v微分方程具有形如 v的特解，其中 是与 同次（m次）的多项式，而k按 是不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2。()ypyqyfx()()xmf xpx e*()kxmyx Qx e()mQx()mPxv当 或 时，v由欧拉公式
9、知道，和 v分别是 的实部和虚部。v而方程 具有形如v 的特解，其中 是与 同次（m次）的多项式，而k按 是不是特征方程的根、是特征方程的单根依次取0或1。v方程 和 v的特解分别是（9）式的特解的实部和虚部。()()cosxmf xP x ex()sinxmP x ex()cosxmP x ex()()sinxmf xP x ex()()()(cossin)ixxmmP xeP xex ix()()(9)ixmypy qy P xe*()()kixmyx Qx e()mQx()mPx()cosxmypy qy P xex()sinxmypy qy P xex 欧拉方程v形如v的方程称为欧拉方
10、程，其中 为常数。v欧拉方程的特点是：方程中各项未知函数导数的阶数与其乘积因子自变量的幂次相同。v解法：作变量替换 将自变量x换成t，则有 ()1(1)11()nnnnnnx ypx yp xyp yf x12,npppln,txetx或22222332333211,()1(32)dydy dtdy d yd ydydxdt dxx dtdxxdtdtd yd yd ydydxxdtdtdt，同理，有，v如果采用记号D表示对自变量t的求导运算v则上述结果可以写为v将上述变换代入欧拉方程，则可化为以t为自变量的常系数线性微分方程，求出该方程的解后，把t换为v ，即得欧拉方程的解。ddt23(),(1,(1(2(1(1kkxyDy x yD Dyx yD DDx yD DDky）y,）。ln x
