1、圆中的计算圆中的计算与圆有与圆有关的位关的位置关系置关系圆的基圆的基本性质本性质点与圆的位置关系点与圆的位置关系正多边形的相关计算正多边形的相关计算直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系扇形面积、弧长扇形面积、弧长 垂径定理，勾股定理的应用垂径定理，勾股定理的应用弧、弦与圆心角弧、弦与圆心角圆周角及其与同弧上圆心角圆周角及其与同弧上圆心角圆的对称性圆的对称性切线切线圆圆的的切切线线切线长切线长圆圆知识回顾知识回顾一一、知识结构知识结构（五）、切线长定理（五）、切线长定理二、主要定理二、主要定理（一）、相等的圆心角、等弧、等弦（一）、相等的圆心角、等弧、等弦 之间的关系及垂径定理之间的关系及垂径定
2、理（二）、圆周角定理（二）、圆周角定理（三）、与圆有关的位置关系的判别（三）、与圆有关的位置关系的判别定理定理（四）、切线的性质与判别（四）、切线的性质与判别三、基本图形（重要结论）三、基本图形（重要结论）辅助线一关于弦的问题，常常需关于弦的问题，常常需要要过圆心作弦的垂线段过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的这是一条非常重要的辅辅助线助线。圆心到弦的距离、半径、圆心到弦的距离、半径、弦长弦长构成构成直角三角形直角三角形，便将问题转化为直角三便将问题转化为直角三角形的问题。角形的问题。OPAB 在遇到与直径有关的在遇到与直径有关的问题时，应考虑作出问题时，应考虑作出直径或直径所对的圆直径或直
3、径所对的圆周角。这也是圆中的周角。这也是圆中的另一另一 种种辅助线辅助线添法。添法。辅助线二CAB.O 当遇到已知切线和切当遇到已知切线和切点时，要注意点时，要注意连接圆连接圆心和切点心和切点，以便得到，以便得到直角去帮助解题。直角去帮助解题。辅助线三OA.1.已知，如图，已知，如图，AB为为 O的直径，的直径，AB=AC,BC交交 O于点于点D，AC交交 O于于点点E,BAC=45。给出下面五个结论：。给出下面五个结论：EBC=22.5；BD=DC；AE=2EC；劣弧劣弧AE是劣弧是劣弧DE的的2倍倍 ；DE=DC。其中正确的是。其中正确的是(填序号填序号).ABCDEO析：本题主要是应用辅
4、助析：本题主要是应用辅助线二，作出直径所对的圆线二，作出直径所对的圆周角。连接、。周角。连接、。则则与与均为均为，求出各角，求出各角，得解。得解。在同圆中在同圆中,若若AB=2CD，则弦则弦AB与与2CD的大小关系是（）的大小关系是（）BDCBAOMA.AB2CD B.AB2CD C.AB=2CD D.不能确定不能确定 分析分析:我们可取我们可取AB的中的中点点M,则则AM=BM=CD,弧相等则弦相等弧相等则弦相等,在在AMB中中AM+BMAB,即即2CD AB.3.已知已知,ABC内接于内接于 O,ADBC于于D,AC=4,AB=6,AD=3,求求 O的直径。的直径。证明证明:作作 O O的
5、直径的直径AE,AE,连接连接BE,BE,则则C=E,C=E,ADC=ABE,ADC=ABE,ABE ABE ADC,ADC,AD/AB=AC/AE,AD/AB=AC/AE,即即AE=ABAE=ABAC/AD=8,O的直径为的直径为8 8分析分析:解决此类问题时解决此类问题时,我们我们通常作出直径以及它所对的通常作出直径以及它所对的圆周角圆周角,证明证明ABEADC.ABEADC.B BC CA A .O O.115100问题一问题一:当点当点O为为ABC的外心时，的外心时，BOC=问题二问题二:当点当点O为为ABC的内心时，的内心时，BOC=4.已知已知,如图如图,锐角三角形锐角三角形ABC
6、中中,点点O为形内一为形内一定点定点.A=50O.ABC当点O为外心时，则 A与 BOC为圆周角与圆心角的关系。如图。所以 BOC=100若点O为内心，则应用公式 BOC=90+0.5 A，可得 BOC=115证明一：连接AC、BCAC=CECAE=CBA，又CDABCDAB ACB=CDB=90，ACD=CBA=CAF，AF=CF 5.5.已知，如图，已知，如图，ABAB是是O O的直径，的直径，C C为为AE AE 的中点，的中点，CDABCDAB于于D D，交，交AEAE于于F F。求证：。求证：AF=CFAF=CF分析:要正线段相等,通常是证明两角相等或三角形全等。该题是证两角相等。A
7、FCEBD证明二：延长证明二：延长CDCD交交OO于于G GG若该点位N，你能证明AF=FN吗？ABAB是是O O的直径，的直径，CDABCDAB，AG=AC=CEAG=AC=CE，CAE=CAE=GCAGCA，CF=AFCF=AF 2050或130问题二问题二:当点当点O为为ABC的外心时，的外心时，A=问题一问题一:当点当点O为为ABC的内心时，的内心时，A=1.已知已知,三角形三角形ABC中中,点点O为一定点为一定点.BOC=100.当点当点O为内心时，则根据公式为内心时，则根据公式 BOC=A+90，可得，可得 A=20当点当点O为外心时，则首先要考虑圆心是在三角为外心时，则首先要考虑
8、圆心是在三角形内还是外，因此要分两种情况求解。当外心形内还是外，因此要分两种情况求解。当外心在三角形内时在三角形内时,BOC=2 A，则则 A=50，当外心在三角形外时，当外心在三角形外时，A=180-BOC=1302121你做对了吗？2.2.已知，如图，已知，如图，OAOA、OBOB为为O O的的两条半径，且两条半径，且OAOBOAOB，C C是是ABAB的中点，的中点，过过C C作作CDOACDOA，交，交ABAB于于D D，求，求ADAD的度的度数。数。BDOAC分析：求弧AD的度数，即求它所对的圆心角的度数。因此连接OD，延长DC交OB与E，可EDO=DOA=30，所以弧AD为30EB
9、 BC CA A .O O .3、已知、已知,ABC内接于内接于 O,ADBC于于D,AC+AB=12,AD=3,设设 O的半的半径为径为y,AB为为x，求，求y与与x的关系式。的关系式。分析：类似于例题，只分析：类似于例题，只要正要正ABE与与 ADC相相似即可似即可。相信你一定能解对！E答案：xxy2612(3(3x x 9)9)6.6.两个圆的半径的比为两个圆的半径的比为2:3,2:3,内切时圆心距等于内切时圆心距等于8cm,8cm,那么这两圆相交时那么这两圆相交时,圆心距圆心距d d的取值的取值 范围是范围是 解：设大圆半径解：设大圆半径R=3x,R=3x,小圆半径小圆半径r=2x r
10、=2x 依题意得：依题意得：3x-2x=83x-2x=8，解得：，解得：x=8x=8 R=24 cm R=24 cm，r=16cmr=16cm 两圆相交，两圆相交，R-rdR+rR-rdR+r 8cm d 40cm 8cm d 40cm分析分析:可根据两圆内切时可根据两圆内切时d=R-r,求出半求出半径径,当两圆相交时当两圆相交时R-rdR+r,据此可求据此可求得结果得结果.OB BADPEC 7.如图，从如图，从O O外一点引圆的两条切线外一点引圆的两条切线PAPA、PBPB，切点分别为，切点分别为A A、B B，若，若PA=8PA=8，C C为为ABAB上的一个动点（不与上的一个动点（不与
11、A A、B B两点重合），两点重合），过点过点C C作作O O的切线，分别交的切线，分别交PAPA、PBPB于点于点D D、E E，则，则PDFPDF的周长为的周长为 析：根据切线长定理可知，PA=PB，而DE切 O于C，所以又有DA=DC，EC=EB，从而PDE的周长=PD+DC+CE+PE=PA+PB 解：解：PA、PB、DE 为的切线，为的切线，切点为切点为A、B、C，则，则PA=PB；DA=DC；EC=EB。PDE的周长的周长=PA+PB=16 16 8.如图，在如图，在RtABC中，中，C=90若以若以C为为圆心、圆心、r为半径画为半径画 C.若若AC=3，BC=4,试问：试问：当当
12、r满足什么条件时，则满足什么条件时，则 C与直线与直线AB相切？相切？当当r满足什么条件时，则满足什么条件时，则 C与直线与直线AB相交？相交？当当r满足什么条件时，则满足什么条件时，则 C与直线与直线AB相离？相离？HACB析：当直线与圆相切时，d=r，所以只要算出圆心到AB的距离即可。相离d r;相交 d r.略解：d=CH=2.4(1).d=2.4=r(2).r2.4(3).0r2.4 9.已知：如图，在已知：如图，在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，以，以ABAB为直径的为直径的O O交交BCBC于点于点D D，过点，过点D D作作DEACDEAC于于点点E.E.求证求证DED
13、E为为O O的切线的切线。ODEBAC.分析：证明切线常分析：证明切线常用两种方法；一为用两种方法；一为d=r;d=r;另一为切线的另一为切线的判定定理。该题已判定定理。该题已知知DEDE与圆有公共点，与圆有公共点，故用第二种证法故用第二种证法证一：连接ODOD=OBOD=OB，AB=ACAB=AC则则B=C=BDOB=C=BDO，ODACODAC，又又 DEACDEAC，OD DEOD DE，所以，所以DEDE为为O O的切线的切线证法二：连接OD、AD1324AB为直径，BDA=90又AB=AC，点D为BC的中点 1=3，而 2=3，DEACDEAC 1+4=90 2+4=90 DEDE为
14、为O O的切线的切线 4.已知：如图，已知：如图，ABAB、ACAC与与O O相切于点相切于点B B、C C，A=50A=50，P P为为O O上异于上异于B B、C C的一个动点，的一个动点，则则BPC BPC 的度数为的度数为 （）A.40 B.65 C.115 D.65 或或115 分析：在解决此问题时,应注意点P为一动点,它可能在劣弧BC上,也可能在优弧上,但万变不离其中,应用辅助线三,连接OB、OC得直角,即可求解。POB BAC.65P115D8 86 6ABC5.5.如图如图RtRtABCABC中中,AB=10,BC=8,AB=10,BC=8,以点为圆心以点为圆心,4.8 4.8
15、为半径的圆与线段为半径的圆与线段ABAB的位置关系的位置关系 是是_;_;D相切4.8r6r=4.8 或6r8当当 _ _ 时时,OO与线段与线段ABAB没交点没交点;当当_时时,OO与线段与线段ABAB有两个交点有两个交点;当当 _ _ 时时,OO与线段与线段ABAB仅有一交点仅有一交点;设设O O的半径为的半径为r,r,则则0r4.8 或或r8本题应注意本题应注意的是的是:圆于线圆于线段的公共点段的公共点的个数的个数,而非而非与直线的公与直线的公共点的个数共点的个数.乙甲10.10.如图甲如图甲,A,A是半径为是半径为2 2的的O O外一点外一点,OA=4,AB,OA=4,AB是是O O的
16、切线的切线,B,B为切点为切点,弦弦BCOA,BCOA,连接连接AC,AC,求求阴影部分的面积阴影部分的面积.点拨点拨:图中的阴影是不规则图形图中的阴影是不规则图形,不易直接求不易直接求出出,所以要将其转化为与其面积相等的规则所以要将其转化为与其面积相等的规则图形图形,在等积转化中在等积转化中.可根据平移、旋转可根据平移、旋转或轴对称等图形变换；或轴对称等图形变换；可根据同底（等底）可根据同底（等底）同高同高(等高等高)的三角形面积相等进行转化的三角形面积相等进行转化.解:如图一:连接OB、OC.BC/OA，,S阴影=S扇形OBC,AB为O的切线，OBAB.OA=4，OB=2，AOB=60.B
17、C/OA,AOB=OBC=60.OB=OC,OBC为正三角形,COB=60,S阴影=60 4/360=2/3OBCABCSS 6.6.如图所示如图所示,A,A、B B、C C、D D、E E相互外离，它们的半径都是相互外离，它们的半径都是1 1，顺次连接五个圆心，顺次连接五个圆心得到五边形得到五边形ABCDEABCDE，求图中五个扇形（阴影部分），求图中五个扇形（阴影部分）的面积之和的面积之和。分析：因为五个圆时等圆，所以根据扇形面积计算公式得：S=（A+B+C+D+E）=1.53602RA3602R3602R B 3602R ED3602R C 3602R 点拨:化 整为零、化分散为集中的整
18、体策略是解题的重要方法。11：如图，已知O的弦 AB所对的圆心角等于140o，则弦AB所对的圆周角的度数为_.OAB70o或110oCC错解:70 错因:忽视了弦所对的圆周角有两类。.正解：当圆周角在优弧上时，圆周角为140 的一半70；当圆周角在劣弧上时，则与70互补，为110。误区警示 12 12、如图、如图,以以O O为圆心的两同心圆的半径为圆心的两同心圆的半径分别是分别是11cm11cm和和9cm,9cm,若若P P与这两个圆都与这两个圆都相切相切,则这个圆的半径为则这个圆的半径为 错解：1cm错因：忽视了和两圆都是内切关系的情况。正解：先考虑夹在圆环内的小圆半径为1cm，再，再看和中
19、间小圆内切的圆看和中间小圆内切的圆半径为半径为4.5cm。1cm或或4.5cm误区警示1313、已知、已知ABAB是是O O的直径的直径,AC,AC是弦是弦,AB=2,AC=,AB=2,AC=,在图中画出弦在图中画出弦AD,AD,使得使得AD=1,AD=1,求求CADCAD的度数的度数.2ADCB45D6015错解：105错因：以A为顶 点且长度为1的弦有两条，其一与AC在直径的同侧，其二与AC在直径的异侧。应分两种情况讨论。正解：当在直径的两侧时；正解：当在直径的两侧时；连接连接BC，BD；则则ABC为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，CBA=45；在直在直角角 ABD中中2AD=AB，BA
20、D=60 CAD=60+45=105当当AC、AD在直径的同侧时，则在直径的同侧时，则 CAD=6045=15误区警示14.已知圆内接已知圆内接ABC中，中，AB=AC，圆，圆心心O到到BC的距离为的距离为3，半径为，半径为7。求腰。求腰长长AB.错解：错解：如图，过点如图，过点A作作ADBC于于D，连，连接接OB,AB=AC,BD=DC.即即AD垂直垂直平分平分BC,AD过圆过圆心心O,AD=AO+OD=7+3=10在直角在直角OBD中，中，403722222ODOBBD3524010222BDADABDAC.OB误区警示错因分析：只考虑圆心ABC在内部，而忽略了圆心ABC在外部的情况。正解
21、：除上述第一种情况外，还有另一种情况。B.OACD如图，过点A作ADBC于D，连接OB,由第一种情况可得:AD过圆心O,AD=AO-OD=7-3=4402BD142404222BDADAB综上所述:腰AB长为352或142误区警示 7 7、在直径为、在直径为400mm400mm的圆柱形油槽内，装入的圆柱形油槽内，装入一部分油，油面宽一部分油，油面宽320mm320mm，求油的深度，求油的深度.分析分析:本题是以垂径定理为考查点的几何应用题，本题是以垂径定理为考查点的几何应用题，没有给出图形，直径长是已知的，油面宽可理解为没有给出图形，直径长是已知的，油面宽可理解为截面圆的弦长，也是已知的，但由
22、于圆的对称性，截面圆的弦长，也是已知的，但由于圆的对称性，弦的位置有两种不同的情况，如图弦的位置有两种不同的情况，如图(1)(1)和和(2)(2)图图(1)(1)中中OC=120CD=80(mm)OC=120CD=80(mm)图图(2)(2)中中OC=120OC=120CD=OC+OD=320(mm)CD=OC+OD=320(mm)8.8.半径分别是半径分别是20 cm20 cm和和15 cm15 cm的两圆相交，的两圆相交，公共弦长为公共弦长为24 cm24 cm，求两圆的圆心距？，求两圆的圆心距？O O1 1O O2 2=O=O2 2C-OC-O1 1C C=16-9=7.=16-9=7.
23、O O1 1O O2 2=O=O2 2C+OC+O1 1C C=16+9=25.=16+9=25.分析:解此题时应考虑圆心是在公共弦的同侧还是异侧，因此应分两种情况。15.15.在一服装厂里有大量形状为等腰直角三角在一服装厂里有大量形状为等腰直角三角形的边角布料（如图）现找出其中一种，测得形的边角布料（如图）现找出其中一种，测得C=90C=90，AC=AB=4AC=AB=4，今要从这种三角形中剪，今要从这种三角形中剪出一种扇形，做成不同形状的玩具，使扇形的出一种扇形，做成不同形状的玩具，使扇形的边缘半径恰好都在边缘半径恰好都在ABCABC的边上，且扇形的弧的边上，且扇形的弧与与 ABCABC的
24、其他边相切，请设计出所有可能符的其他边相切，请设计出所有可能符合题意的方案示意图，并求出扇形的半径。合题意的方案示意图，并求出扇形的半径。（只要画出图形，并（只要画出图形，并 直接写出扇形半径）直接写出扇形半径）CAB感悟圆中的数学思想分析：扇形要求弧线与三角形的边相切，半径都分析：扇形要求弧线与三角形的边相切，半径都在三角形边上，相切的情况有两种在三角形边上，相切的情况有两种（1）与其中一边相切（直角边相切、斜边相切）与其中一边相切（直角边相切、斜边相切）（2）与其中两边相切（两直角边相切、一直角边）与其中两边相切（两直角边相切、一直角边和一斜边相切）和一斜边相切）并且尽量能使用边角料（即找
25、最大的扇形）并且尽量能使用边角料（即找最大的扇形）（1）与一直角边相切可如图）与一直角边相切可如图(1)所示所示（2）与一斜边相切如图）与一斜边相切如图(2)所示所示（3）与两直角边相切如图）与两直角边相切如图(3)所示所示（4）与一直角边和一斜边相切如图）与一直角边和一斜边相切如图(4)所示所示解：可以设计如下图四种方案：解：可以设计如下图四种方案：r1=4 r2=2 r3=2 r4=4 -422(1)(3)(2)(4)16.如图如图,残破的轮片上残破的轮片上,弓形的弦为弓形的弦为480,高为高为70,求原轮片的直径求原轮片的直径.(精确到精确到1)解:OCAB,OC是半径,2BD=AB=4
26、80.设OB=R,在直角OBD中,70240222RR解得:R446原轮片的直径为2R4462=892 在解决此类问题时,往往 在直角三角形的基础上,建立方程,应用勾股定理求解.感悟圆中的数学思想OCADB17.如图如图,为一圆锥形粮堆为一圆锥形粮堆,从正面看是边从正面看是边长为长为6米的正三角形米的正三角形ABC,粮堆母线粮堆母线AC的的中点中点P处有一老鼠正在偷吃粮食处有一老鼠正在偷吃粮食,此时此时,小猫小猫正在正在B处处,它要沿圆锥侧面到达它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老处捕捉老鼠鼠,则小猫所经过的最短路线是则小猫所经过的最短路线是米米.(结果保留根号结果保留根号)解析:此类问题是将立体图形
27、问题转化到平面图形问题来解决.该题是将圆锥侧面展开为扇形,如图.连接BP,则最短距离即为线段BP的长.解:由已知条件可得圆锥的侧面积为18,36062n=18,解得n=180,则BAP=90,又AB=6 m,AP=3m,由勾股定理的BP=53mPACB.感悟圆中的数学思想PABC9.已知的已知的 O半径为半径为3,点点P是直线是直线上上a的一点的一点,OP长为长为5,则直线则直线a与与 O的位置关系为的位置关系为()A.相交 B.相切 C.相离 D.相交、相切、相离都有可能由于由于OP与直线与直线a的位置不确定，的位置不确定，所以直线所以直线a与与 O的位置关系的位置关系可能有如下三种情况。可
28、能有如下三种情况。aO5PaPO5aOP5D相交相交相切相切 相离相离10.10.已知如图已知如图(1)(1)，圆锥的母线长为，圆锥的母线长为4 4，底面圆半，底面圆半径为径为1 1，若一小虫，若一小虫P P从点从点A A开始绕着圆锥表面爬行开始绕着圆锥表面爬行一圈到一圈到SASA的中点的中点C C，求小虫爬行的最短距离，求小虫爬行的最短距离.(1)(2)本题是将圆锥侧本题是将圆锥侧面展开，得一扇面展开，得一扇形，先求一圆心形，先求一圆心角。得解。角。得解。你做对了吗？解：侧面展开图如图解：侧面展开图如图(2)(2)221=,n=901=,n=90SA=4SA=4，SC=2SC=2AC=2 .
29、AC=2 .即小虫爬行的最短距离为即小虫爬行的最短距离为2 2.on18045518、一圆弧形桥拱，水面、一圆弧形桥拱，水面AB宽宽32米，当米，当水面上升水面上升4米后水面米后水面CD宽宽24米，此时上米，此时上游洪水以每小时游洪水以每小时0.25米的速度上升，再米的速度上升，再通过几小时，洪水将会漫过桥面？通过几小时，洪水将会漫过桥面？圆的实际应用此题实际是应用了转化的思想，把实际问题转化为圆的问题求解解：过圆心解：过圆心O作作OEAB于于E，延长后交，延长后交 CD于于F，交弧，交弧CD于于H，设，设OE=x，连结，连结OB，OD，由勾股定理得，由勾股定理得 OB2=x2+162 OD2
30、=(x+4)2+122 X2+162=(x+4)2+122X=12OB=20FH=4 40.25=16（小时）（小时）答：再过答：再过16小时，洪水将会漫过桥面。小时，洪水将会漫过桥面。圆的实际应用19.如图所示，草地上一根长如图所示，草地上一根长5m的绳的绳子，一端拴在墙角的木桩上，另一端子，一端拴在墙角的木桩上，另一端拴着一只小羊拴着一只小羊R。那么，小羊在草地。那么，小羊在草地上的最大活动区域的面积是上的最大活动区域的面积是()427.D213.C427.B213.A解析:小羊的活动范围如图所示,为三个四分之一圆,中间一圆的半径为5m,面积为 ；两边的半径为1m，面积为 ；故总面积为42
31、541427B4m4mDFOECNMR11.如图，在足球比赛场上，甲、乙两名对员如图，在足球比赛场上，甲、乙两名对员互相配合向对方球门互相配合向对方球门MN进攻，当甲带球冲进攻，当甲带球冲到到A时，乙已跟随冲到时，乙已跟随冲到B B点，此时甲是选择自点，此时甲是选择自己射门命中率高，还是将球传给乙，让乙射己射门命中率高，还是将球传给乙，让乙射门命中率高？门命中率高？分析：射门的命中分析：射门的命中率的高低与射门点率的高低与射门点对球门两个边框对球门两个边框M、N的张角的大小有关，的张角的大小有关，张角越大，命中率张角越大，命中率就越大，于是可以就越大，于是可以考虑过考虑过M、N以及以及A、B中
32、的任一点作圆，中的任一点作圆，比较比较 MANMAN与与MBNMBN的大小。的大小。解：过点解：过点M、N、B作圆，显作圆，显然然A点在圆的外部，设点在圆的外部，设MA交交圆于圆于C，则则MCNMAN，又又 MCN=MBN，MBN MAN。故。故 在在B点射门好。点射门好。即甲将球传向乙，让乙射门命中率高即甲将球传向乙，让乙射门命中率高。CBANM 1212古尔邦节，古尔邦节，6 6位朋友均匀地围坐在圆桌旁共度位朋友均匀地围坐在圆桌旁共度佳节圆桌半径为佳节圆桌半径为60cm60cm，每人离圆桌的距离均为，每人离圆桌的距离均为10cm10cm，现又来了两名客人，每人向后挪动了相同的，现又来了两名客人，每人向后挪动了相同的距离，再左右调整位置，使距离，再左右调整位置，使8 8人都坐下，并且人都坐下，并且8 8人之人之间的距离与原来间的距离与原来6 6人之间的距离（即在圆周上两人人之间的距离（即在圆周上两人之间的圆弧的长）相等设每人向后挪动的距离为之间的圆弧的长）相等设每人向后挪动的距离为x x，根据题意，可列方程（，根据题意，可列方程（）2(6010)2(6010)68x2(6010)62(60)8x2(60)82(60)6xx2 (6 0)2 6 086xA、B、C、D、B
