1、行列式的性质性质1:行列式与其转置行列式的值相等.nnnnnnaaaaaaaaa212222111211nnnnnnaaaaaaaaa212221212111复习性质2:互换行列式的两行(列),行列式变号.nnnnjnjjiniinaaaaaaaaaaaa21212111211nnnniniijnjjnaaaaaaaaaaaa21212111211 性质3:推论:如果行列式有两行两行(列列)完全相同,则此行列式为零.nnnniniinaaakakakaaaa212111211nnnniniinaaaaaaaaak212111211行列式任一行的公因子可提到行列式之外.或用常数k乘行列式任意一行
2、的诸元素,等于用k乘这个行列式.性质4:行列式中如果有两行(列)元素成比例,则此行列式等于零.性质5:nnnnininiiiinaaabababaaaa21221111211nnnnnaaaaaa2111211nnnnnaaaaaa21112111 ia2iaina1 ib2ibinb注:性质3,性质5又称为线性性质性质6:在行列式中,把某行各元素分别乘非零常数,k再加到另一行的对应元素上去,行列式的值不变.nnnnjnjjiniinaaaaaaaaaaaa21212111211nnnninjnijijiniinaaakaakaakaaaaaaaa2122112111211重要公式 TAAnA
3、,1阶方阵是 AAAnA1,21可逆阶方阵是 阶方阵是nAAkkAn3 阶方阵是nBABABABAAB,4 jijiAAankjkik0:51代数余子式的重要性质 nnmmmnBABAABBABA,1000*6 BAABBABAABnBA但一般则阶方阵是,7行列式计算(利用性质)方法:(1)化上(下)三角形法(2)降阶法(3)递归法例题例1.计算2421164214112111D解:法1(化上三角形法)计算方法:化上(下)三角形法;降阶法.05103420350021111413122rrrrrrD42rr 3500342005102111232rr 350031400051021113414
4、5rr 1457000314001510211157法2(降阶法)1413122rrrrrrD05103420350021111411jjjAa051342350可直接用对角线法则计算三阶行列式例2计算xaaaaxaaaaxaaaaxDn先观察再计算解:nDniirr21xaaaaaaxaanxanxanx)1()1()1(anxr)1(1xaaaaaaxa111 anx)1(或1cciaxaaxaaxaanx0000000001)1(1)1(naxanxaxaxax00000000011111arri anx)1(矩阵1.运算:+,-,数乘,乘法等.注意能运算的条件.矩阵乘法定义:smija
5、A nsijbB规定:A与B的乘积是一个nm阵nmijcC)(sjisjijiijbababac2211kjskikba1njmi,1;,1记作:ABC 2.注意注意:(1)矩阵乘法不满足交换律.但不是说对任意两个矩阵BA,一定有BAAB 例2002AdcbaBdcbaBAAB2222(2)两个非零非零矩阵的乘积可能是零零矩阵.(有别于数的乘法)例1111A1111B而若,0,0BA,0AB称A是B的左零因子.称B是A的右零因子.(3)一个非零矩阵如有左(右)零因子,其左(右)零因子不唯一.1111A1111B2222CCB 0,0ACAB结论:矩阵乘法不适合消去律矩阵乘法不适合消去律.ACA
6、B 不能推出CB 0A4221A1231B2117C101055ABAC0ACB 满足运算律(乘法有意义的前提下)结合律:数乘结合律:左分配律:右分配律:)()(BCACAB)()()(kBABkAABkACABCBA)(CABAACB)(又例3.特殊矩阵:单位矩阵,数量矩阵,对角矩阵,上(下)三角矩阵nnnE111nnnkkkkEnnaaaaaadiag2121),(nnnnnnnnnaaaaaLaaaaaaU1222111222112114.重要矩阵及运算性质转置矩阵可逆矩阵正交矩阵满足运算规律:TTA1A TBA2TTBA 矩阵的转置 TkA3TkA是数k TAB4TTABTkAAA21
7、TTTkAAA12对称矩阵:反对称矩阵:njiaaAjiijnn,2,1,若njiaaAjiijnn,2,1,若083801310例AAATnn是对称矩阵AAATnn是反对称矩阵可逆矩阵的逆矩阵定义,唯一性,充要条件及推论,可逆矩阵的性质定义:,),(,A,A,的逆矩阵是并称可逆简称为可逆矩阵则称使得如果存在一个矩阵对于矩阵ABAEBAABB1,:AB即记作1A.,:1的逆矩阵是唯一的则是可逆矩阵若定理AA.0,:2AA则是可逆矩阵若定理AAAAA*1,0:3且可逆若定理奇异矩阵非奇异矩阵.0 AA可逆.,:1ABEBAEAB且则若推论例.,?,求其逆矩阵若可逆是否可逆下列矩阵BA101111
8、123A321bbbB101111123A解:02101111123A101111111111210111131101211221A111312222A012313223A111211331A111312332A112313333A11A12A13AAAA*112122012121,0321可逆时 BbbbB321bbbB3211111bbbB例,02112221122211211aaaaAaaaaA1A求1121122211aaaaAA例.,4,:,01032并求它们的逆矩阵都可逆证明设方阵满足方程EAAEAAEEAAEEAAEAA)3(10110)3(1032EEAEAEEAEA)(61)
9、4(6)(4(正交矩阵及其性质定义:.,为正交矩阵则称如果设AEAAATnn定理:的一组标准正交基的列向量组为阶正交矩阵为nRAnA定理:则阶正交矩阵皆是设,nBA 111 或A TAA12.31也是正交矩阵即AAT.4也是正交矩阵AB5.矩阵的初等变换及性质掌握初等变换法求可逆矩阵的逆矩阵一般结论一般结论:.A,AkikiAEkiAkiE列乘的第表示行乘的第表示 .A,A列上加到第列乘的第表示行上加到第行乘的第表示jkikijAEikjAkijE.A,A,列对换列与第的第表示行对换行与第的第表示jijiAEjiAjiE初等矩阵是可逆的初等矩阵是可逆的 EkiEkiE 1 EkijEkijE
10、EjiEjiE,kiEkiE11 kijEkijE1jiEjiE,1结论结论:可逆矩阵可以可逆矩阵可以表示为表示为若干个初等矩阵的若干个初等矩阵的乘积乘积.。矩矩阵阵时时，E E就就变变成成A A那那么么当当A A变变成成单单位位作作同同样样的的初初等等行行变变换换，阶阶单单位位矩矩阵阵E E如如果果对对可可逆逆矩矩阵阵A A和和同同推推论论2 21 11,AEEA，初初等等行行变变换换1AEEA初等列变换初等列变换例例31 11 11 12 21 11 11 12 20 0A A阵A的逆矩阵阵A的逆矩阵用初等行变换求可逆矩用初等行变换求可逆矩100111010211001120,EA 100
11、11100112001021121rr 11010000112001021113rr 11010011102001021132rr110100212121010010211212r1102121212523211A1101002121210102523210013212rrr向量概念:线性组合,线性相关,线性无关,极大无关组,秩,向量组的等价,内积等 有关线性相关,无关,秩的重要定理,结论.结论:1.m个n维向量必线性相关.(mn)特别:m=n+12.n个n维向量线性无关 它们所构成方阵的行列式不为零.3.n维向量空间任一线性无关组最多只能包含n个向量.4 n维向量空间n个向量线性无关,则任一
12、向量可由这n个线性无关向量表示,且表法唯一.向量组A:线性相关,则向量组B:也线性相关.反之,若向量组B线性无关,向量组A也线性无关.m,21121,mm若部分相关，则整体相关；若整体无关，则部分无关(2)设mjaaaaajrrjjjrjjj,2,1,111向量组A:线性无关,则向量组B:也线性无关.反之,若向量组 B线性相关,向量组A也线性相关.m,21m,21 若r 维向量线性无关，则在每个向量上添加m个分量所得到的新向量也线性无关.等价的说法：m 个分量所得到的新向量也线性相关.若r 维向量线性相关，则在每个向量上去掉定义:.1r2;,1,A,021:021的一个极大线性无关组为那么称向
13、量线性相关个任意线性无关满足个向量中有如果在对向量组AAArArr.的秩称为向量组数Ar注意:只含零向量的向量组没有极大无关组.规定:它的秩为零.极大线性无关组极大线性无关组.1本身是一个极大无关组一个向量组线性无关.,:.20210且表示法唯一线性表示中任一向量都可由组则向量的一个极大无关组向量组AAAAr问题问题:极大无关组是否唯一极大无关组是否唯一?定理定理:向量组与它的任意一个极大无关组等价向量组与它的任意一个极大无关组等价.结论结论:等价的无关向量组包含相同个数的向量.定理定理:向量组的任意两个极大无关组相互等价,从而所含向量个数相同.等等价价向向量量组组秩秩相相等等向量组的秩的求法
14、向量组的秩的求法介绍的简便而有效的方法介绍的简便而有效的方法:(1)以向量组以向量组 中各向量作为列向量中各向量作为列向量,构成矩阵构成矩阵A;s,21(2)对对A施行初等行变换化为阶梯形矩阵施行初等行变换化为阶梯形矩阵B,B的非零行的非零行数即矩阵数即矩阵A的秩的秩,亦即原向量组的秩亦即原向量组的秩;(3)求出求出B的列向量组的极大无关组的列向量组的极大无关组;(4)A中与中与B的列向量组的极大无关组相对应的的列向量组的极大无关组相对应的部分列向量组部分列向量组,即为向量组即为向量组的极大无关组的极大无关组s,213），（），（），（），（求一个极大无关组与秩1401131302151201
15、221143212110255021100220120113114152031210211201)(4321TTTTA解：设400012000400021101201211025500220211012013000000001000211012014321，秩B.,.,4,2,1421421一个极大无关组为线性无关中对应列线性无关的第AB秩的性质秩的性质1.(推论推论3.4.4)等价矩阵有相同的秩等价矩阵有相同的秩.2.(推论推论3.4.5)对任意矩阵对任意矩阵A,3.(推论推论3.4.6)任何矩阵与可逆矩阵相乘任何矩阵与可逆矩阵相乘,其秩不变其秩不变.TArAr.,2606320401231
16、72521:aABRBaA求已知 BrArABrBrArBAr,min21.4036006320301BB可逆可逆,r(B)=3又又r(AB)=2,r(A)=2,即即0A矩阵的秩与行列式的关系矩阵的秩与行列式的关系.)(0:向量线性无关列个行的可逆的秩等于阶方阵定理nAAAnAn.)(0:向量线性相关列个行的不可逆的秩小于阶方阵推论nAAAnAn例向量组:已知321,线性无关,133322211,.,:321线性无关试证证明:用定义.0332211kkk设0)()()(133322211kkk0)()()(323212131kkkkkk,321线性无关000322131kkkkkk021100
17、11101只有零解.0321kkk.,321线性无关所以,线性方程组齐次 系数矩阵 基础解系 解的性质 解的结构非齐次 增广矩阵 解的性质 解的结构)1(011mnnmxA齐次线性方程组对对(1)我们关心何时有非零解我们关心何时有非零解.nmnm分两种情况对1必有非零解必有非零解.定理定理1给出结论给出结论.nARxAmnnm有非零解齐次线性方程组定理110 1 nARxAmnnm只有零解齐次线性方程组等价命题110 .,0,011可逆即只有零解齐次线性方程组AAnARxAnnnn特别特别:02211nnxxx 10 xAnm02121nnxxx解向量:解的性质:.1,1,12121的解也是则
18、的解是若性质xxx .1,1211的解也是则的解是若性质kxRkx解空间:.:解向量的集合S.,是向量空间封闭数乘对SS.空间为齐次线性方程组的解称S定义:基础解系.0,0,)2,)1,0,1111的一个基础解系为则称线性表示可由线性无关如果满足的解向量是设AxAAxrrrr.,0,:个解向量且每个基础解系中含的基础解系存在则定理rnAxnrArAnm bARARbxAmnnm,311有解非齐次线性方程组定理 .,.,有无穷多解时唯一解时有解nbARARnbARAR对对(2)我们关心何时有解我们关心何时有解,及何时有唯一解及何时有唯一解,无穷多解无穷多解.非齐次线性方程组)2(11mnnmbx
19、A.0,)2(,:32121的解是则的解是性质Ax*,)2(:4.3.34x则其通解为有解若定理性质.0)2(.)2(*的通解对应的为的一个特解为Ax.0,21212211的一个基础解系是为任何实数Axkkkkkkrnrnrnrn例32132132113101xxxxxxxxx,)3(;)2(;)1(,求其通解有无穷多解无解有唯一解此方程组取何值时问解11131110111,bA增广矩阵 0111311111131rr1203011113121rrrr 313003011123rr考虑1.有无解2.有解(唯一解还是无穷多解)310313003或得或得看讨论:.,2,33.,2,1,02.,3,
20、301无穷多解无解唯一解时且bArArbArArbArAr000021101101000063303211,bA特解:令2,1,0213xxx则T0,2,1*Ax=0的基础解系T1,1,11通解Rccx1*方法2由本题的特点:方程组中方程的个数与未知量个数一样,可想到先求系数行列式,利用克莱姆法则0311111111131111111112令D30或.,0,30解由克莱姆法则知有唯一时且当D矛盾方程组变为030,0321321321xxxxxxxxx.)(0232323321321321解之即可不含参变量方程组变为xxxxxxxxx矩阵的特征值与特征向量及二次型概念:特征值,特征向量特征值的性
21、质:(一)特征值与特征向量的定义和计算定义1:,阶方阵是设nA.,的特征向量的对应于特征值称为方阵非零列向量的一个特征值是方阵则称成立使维非零列向量和若数AxAxAxxn注:0.1x.2是方阵A特征方程:0212222111211nnnnnnaaaaaaaaaEAf求特征值 0EAf求特征向量xAx0 xEA即求齐次线性方程组0 xEA的非零解.小结:(二)特征值和特征向量的性质定理1:)0,(.,221121221121pkpkkkApkpkApp且为任意常数的特征向量的对应于也是则的特征向量的对应于特征值是设定理2:nijnaAn,21个特征值为的阶方阵设niiiniia11)1则Anii
22、1)2性质1(关于特征值的)则的特征向量的对应于是的特征值是若,AxA).()1(是任意常数的特征值是kkAk).()2(是正整数的特征值是mAmm.,)3(11的特征值是可逆时AA.,11的特征向量分别对应于仍是矩阵且mmkAAkAx性质3.的特征值相同和矩阵TAA性质2 一个特征向量不能属于不同的特征值(即不同的特征值所对应的特征向量不同)(对于同一个矩阵)例2 .,2),(1*2的特征值求可逆若的特征值求的特征值为设AEAAEAAxAxA相似矩阵及性质定义:BABAABBAPPPnBA:.,1记作相似与或称矩阵的相似矩阵是则称使若存在可逆矩阵阶矩阵都是设相似是等价关系:1.自反性2.对称
23、性3.传递性性质1.相似矩阵有 1.相同的行列式.2.相同的特征多项式和相同特征值.3.有相同的迹.4.有相同的秩.(二)矩阵可对角化的条件个线性无关的特征向量有与对角阵相似可对角化阶矩阵定理定理nAAn)(.1.3.51定理1.实对称矩阵A的任一个特征值都是实数.二.实对称矩阵的特征值和特征向量P146定理5.4.1推论:实对称矩阵A的特征向量均为实向量.定理2.实对称矩阵A的对应于不同特征值的特征向量是正交的.定理3.(实对称矩阵必可对角化).,1对角矩阵个特征值为对角元素的的是以使则必有正交矩阵阶实对称矩阵为设nAATTTnA本定理证明不要求实对称矩阵对角化时,求正交矩阵的步骤:(P15
24、1);A,121的全部不同的特征值即为全部不同的根的或的特征多项式求出sAEEAA;,00,2,1221iiriiiiixAExEAsi求出它的一个基础解系或解齐次线性方程组对每个特征值;,3211的一组线性无关的量是属于特征值组得到一个正交单位向量单位化正交化将iiriiiriii.,.,412122221112112121的全部特征值元素即为其主对角线上的为对角矩阵亦即使得即为所求之正交矩阵作为列向量构成矩阵的线性无关特征向量将全部不同的特征值AATTTssrssrrs二次型的定义二次型的标准形及化二次型为标准形的方法二次型正定的充要条件实对称矩阵正定的充要条件(二).二次型的定义及矩阵表
25、示称为二次型函数的二次齐次多项式个变量含有定义21,1211,12232232222113113211221112121222222),()(,:nnnnnnnnnnnnnnnnxaxxaxaxxaxxaxaxxaxxaxxaxaxxxfxxxn注:.,.1为实二次型称为实数时当为复二次型称为复数时当fafaijij2.讨论的主要问题:寻求线性变换,消去交叉项,使二次型只含平方项.nnnnnnnnxxxaaaaaaaaaxxxf2121222211121121),(.3矩阵表示2423423121214321225422),()2(43),()1(1xxxxxxxxxxxxxfyzxyzxzy
26、xf形式把下列二次型写成矩阵例 zyxzyxf321021020211解:432143215020010120021012122xxxxxxxxf例2 求对称矩阵653552321A所对应的二次型323121232221321106465,:xxxxxxxxxxxxf解矩阵的合同设线性变换(非退化的)Cyx ijTnTncCnCyyyyxxxx阶可逆矩阵为,2121yACCyCyACyfAxxfTTTT则中代入,CACCACACCTTTTT因为是对角矩阵所以CACT标准化问题变成寻找一个合适的可逆矩阵.,是对角矩阵使ACCCT定义:设A,B是数域P上两个n阶对称矩阵,若存在P上n阶可逆矩阵C,
27、使ACCBT则称A与B是合同的.记作BA合同是等价关系(自反性,对称性,传递性)二次型的标准形标准形的定义:如果二次型AxxfT0,CCyx2222211nnTTTydydydACyCyByy.的标准形为则称AxxByyTT二次型的标准形正交变换法.),2,1(,)(:2222211的特征值是其中使总存在正交变换元二次型对任一个主轴定理定理AniyyyyAPPyAxxfPyxAxxfninnTTTT化为标准形将求正交变换例323121222,2.5.6xxxxxxfTyx.5.,.4.3.2.1:写出相应标准形写出正交变换取正交阵特征向量准正交的每个特征值对应的标求出的特征值求出对应的矩阵写出
28、步骤PAAAf解:011101110A 211111112AE2,1321的特征值为A.,0,12,1得一个基础解系解齐次线性方程组对xAE101,01121正交化12121,111122211在将 单位化为21,626161,0212121.,02,23得一个基础解系解齐次线性方程组对xAE1113单位化为3131313令31620316121316121,321T则T是正交矩阵,且2111ATTATTT于是,经过正交变换X=TY原二次型化为标准形2322212yyyf正惯性指数:标准形中正系数的个数负惯性指数:标准形中负系数的个数.),1(),1()0()0(,)(,:2222211222
29、2211中正数的个数相等中正数的个数与则及使及有两个实可逆变换设有实二次型惯性定理ririkzzzfkykykykfPyxCyxrARAxxfiiirrirrT惯性定理和规范形.)()();0(;0,0,)(:)(定矩阵负称为正所对应的矩阵定二次型负正恒有如果定二次型负称为正实二次型定二次型的定义负正AAxxAxxAxxRxxAxxfTTTnT正定二次型.A:.A:都大于零个顺序主子式的为正定的对称阵定理的特征值全为正为正定的对称阵定理nAA.2232t,.3121232221正定正定使使求参数求参数例例xxxtxxxxf 3535,0532,0212,02,30101122232221tttAAttttAAttA解:
