1、高等数学（上）总复习高等数学（上）总复习第一章第一章 函数与极限函数与极限内容提要与典型例题内容提要与典型例题1.1.理解函数的定义与特性：理解函数的定义与特性：函数的三要素函数的三要素定义域、值域、法则；定义域、值域、法则；四种特性四种特性有界性、单调性、奇偶性、周期性。有界性、单调性、奇偶性、周期性。一、函数一、函数注意常用函数注意常用函数：复合函数、分段函数、初等函数：复合函数、分段函数、初等函数2.2.会求函数的定义域及函数表达式会求函数的定义域及函数表达式二、极限二、极限1.1.理解数列的极限的定义及性质；理解数列的极限的定义及性质；2.2.理解函数的极限的定义及性质；理解函数的极限
2、的定义及性质；0lim()xxf xA 00lim()lim().xxxxf xf xA00lim()lim()xxxxf xf x 0lim()xxf x不存在不存在注意一个结论：注意一个结论：应用：当分段函数在分段点左、右两侧表达式不应用：当分段函数在分段点左、右两侧表达式不同时，求函数在分段点的极限同时，求函数在分段点的极限3.3.理解无穷小与无穷大的概念，无穷小的阶的理解无穷小与无穷大的概念，无穷小的阶的概念；会进行无穷小的比较。概念；会进行无穷小的比较。特别注意：等价无穷小特别注意：等价无穷小无穷小与极限的关系：无穷小与极限的关系：其中其中 为为0 xx 时的无穷小量时的无穷小量.A
3、xfxx)(lim0 Axf)(,（1 1）利用极限的运算法则）利用极限的运算法则4.4.极限的计算极限的计算)0)(lim()(lim)(lim)()(lim)(lim)(lim)()(lim)(lim)(lim)()(lim)(lim)(lim)xgxgxfxgxfxgxfxgxfxgxfxgxfxgxfa其中其中存在，则存在，则、设在同一极限过程中，设在同一极限过程中，);(lim)()(lim,0)(lim);(lim)()(lim,)(lim)xgBxgxfBxfxgAxgxfAxfb 则则则则可简化求极限的过程可简化求极限的过程复复合合函函数数求求极极限限)c 设设,)(lim0a
4、xxx且且 x 满足满足100 xx时时,)(ax,)(limAufau则有则有)(lim0 xfxxAufau)(lim；、分分母母中中共共同同的的零零因因子子”型型不不定定式式，约约去去分分子子“00)d；母母同同除除以以最最大大的的无无穷穷大大”型型不不定定式式，分分子子、分分“)e mnmnmnbabxbxbaaxxammmnnnx0lim0011010（0，0，m,n为非负整数为非负整数).0a0bf f)幂指函数的极限运算幂指函数的极限运算.)(lim,)(lim,)(lim)(000BxgxxxxxxAxfBxgAxf 则则设设（2 2）利用连续函数的性质求极限）利用连续函数的性
5、质求极限)()(lim)()000 xfxfxxfaxx 连连续续，则则在在点点若若)()(lim()(lim)(,)(lim),(),()000000ufxgfxgfuufuxgxguufybxxxxxx 则则点连续，点连续，在在).()()(lim()(lim),()(lim,)()(lim),(),()000000000 xgfufxgfxgfufufuxgxgxguufycxxxxuuxx 则则（3 3）利用无穷小的运算性质）利用无穷小的运算性质a)a)有限个无穷小量的代数和仍为无穷小量。有限个无穷小量的代数和仍为无穷小量。b)b)有限个无穷小量的乘积仍为无穷小量。有限个无穷小量的乘积
6、仍为无穷小量。c)c)有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,)0(01,01)aaad（4 4）利用等价无穷小的替换简化计算）利用等价无穷小的替换简化计算:,0时时当当xsin xtan xarcsin x,x,x,xcos1x,221x11nx,1xn)1ln(x1e x,xx321sintanxxxxx arctanaxaxln1 xx 1)1(（5 5）利用重要极限）利用重要极限1sinlim)1(0e)11(lim)2(或e)1(lim10注注:代表相同的表达式代表相同的表达式（6 6）利用极限的存在准则）利用极限的存在准则夹逼定理夹逼定理单调有界数列必有极限
7、单调有界数列必有极限（7）洛必达法则）洛必达法则求不定式的极限求不定式的极限注意注意:应用洛必达法则的应用洛必达法则的条件：条件：)()(lim)3(xFxfax 为有限数为有限数A(或为或为 ),)()(lim)1(是不定式是不定式xFxfax,)()()()2(内可导内可导在在与与aUxFxf）（或（或 AxFxfxFxfaxax)()(lim)()(lim方法：方法：，可可转转化化为为其其他他不不定定式式00,0,1,000若若)()(limxFxf，满满足足洛洛必必达达法法则则的的条条件件且且型型仍仍属属,00)()(lim)()(limxFxfxFxf)()(limxFxf 可可继继
8、续续使使用用洛洛必必达达法法则则但此时又要注意若出现但此时又要注意若出现循环形式循环形式就要就要另谋他法了。另谋他法了。例例 计算下列极限计算下列极限(2)lim2 sin2nnnxsin0(4)limxxx154(3)lim1xxxx20tansin(1)limsinxxxxx三、连续三、连续1.1.理解函数连续的定义；理解函数连续的定义；)(xfy 在0 x的某邻域内有定义,)()(lim00 xfxfxx则称函数.)(0连续在xxf设函数且函数)(xf在点0 x(1)(xf在点0 x即)(0 xf(2)极限)(lim0 xfxx(3).)()(lim00 xfxfxx连续必须具备下列条件
9、:存在;有定义,存在;对自变量的增量,0 xxx有函数的增量)()(0 xfxfy)()(00 xfxxf)()(lim00 xfxfxx)()(lim000 xfxxfx0lim0yx)()()(000 xfxfxf左连续左连续右连续右连续函数0 x)(xf在点连续有下列等价命题:注意：注意：极限与连续的关系极限与连续的关系:极限极限 连续连续;)(lim0Axfxx.)()(lim00 xfxfxx 连续函数必有极限连续函数必有极限,有极限不一定是连续函数有极限不一定是连续函数.第一类间断点第一类间断点:)(0 xf及)(0 xf均存在,)()(00 xfxf若称0 x,)()(00 xf
10、xf若称0 x第二类间断点第二类间断点:)(0 xf及)(0 xf中至少一个不存在,称0 x若其中有一个为振荡,称0 x若其中有一个为,为可去间断点可去间断点.为跳跃间断点跳跃间断点.为无穷间断点无穷间断点.为振荡间断点振荡间断点.2.2.会判断函数在一点是否连续性，若是间断点会判断函数在一点是否连续性，若是间断点能够指出间断点的类型。能够指出间断点的类型。3.3.理解闭区间上连续函数的性质理解闭区间上连续函数的性质（1 1）有界性与最大值最小值定理）有界性与最大值最小值定理（2 2）零点定理与介值定理）零点定理与介值定理第二章第二章 导数与微分导数与微分一、导数与微分的概念一、导数与微分的概
11、念1.导数的定义导数的定义 设函数设函数)(xfy 在点在点0 x0limxx00)()(xxxfxf xyx 0lim存在存在,)(xf并称此极限为并称此极限为)(xfy 则称函数则称函数若若的某邻域内有定义的某邻域内有定义,在点在点0 x处处可导可导,在点在点0 x的的导数导数.;0 xxy;)(0 xf;dd0 xxxy0d)(dxxxxf记作记作:)()(0 xfxfy0 xxx0 xxy)(0 xf xyx0limxxfxxfx)()(lim000hxfhxfh)()(lim0002.2.导数定义的三种形式导数定义的三种形式例：设函数例：设函数 ，求，求()(1)(2)(100)f
12、xxxx(1).f 曲线)(xfy 在点),(00yx的切线斜率为)(0 xf 切线方程切线方程:)(000 xxxfyy法线方程法线方程:)()(1000 xxxfyy)0)(0 xf3.3.导数的几何意义导数的几何意义4.4.左导数与右导数左导数与右导数xxfxxfxyxx )()(limlim0000)0(x)0(x在点0 x的某个右右 邻域内)(xfy 若极限设函数有定义,(左)则称此极限值为)(xf在 处的右右 导数导数,0 x记作)(0 xf存在,(左左)(0 xf定理定理 函数在点0 x)(xfy,)()(00存在与xfxf且)(0 xf.)(0 xf可导的充分必要条件是注：求分
13、段函数在分段点的导数要用导数的定义注：求分段函数在分段点的导数要用导数的定义2,1(),1 xxf xaxbx例例 设函数设函数为了使函数为了使函数 在在 处连续且可导，处连续且可导，应取什么值应取什么值?()f x1x,a b的微分微分,定义定义:若函数)(xfy 在点 的增量可表示为0 x)()(00 xfxxfy(A 为不依赖于x 的常数)则称函数)(xfy 而 称为xA在)(xf0 x点记作yd,df或即xAyd)(xoxA在点0 x可微可微,5.5.微分的定义微分的定义的高阶无穷小。的高阶无穷小。只差是关于只差是关于与与）微分）微分（的线性函数；的线性函数；是是）微分）微分注：（注：
14、（xydyxdy 21定理定理:函数)(xfy 在点 可微的充要条件充要条件是0 x处可导，在点0)(xxfy,)(0 xfA且即xxfy)(d0dxxfy)(d0 求微分的方法求微分的方法函数连续函数连续函数可导函数可导有极限有极限函数可微函数可微二、熟练应用公式及法则求函数的导数及微分二、熟练应用公式及法则求函数的导数及微分1.1.求下列函数的导数求下列函数的导数(1)3ln2xxeyxsin(2)(0)xyxx1(3)arcsin1xyx22(4)(tan)(sin)yfxfx2.2.求隐函数的导数及微分求隐函数的导数及微分例例 设函数设函数 由方程由方程 所确定，求所确定，求()yf
15、xx yxye220(1);(2).xd ydydxxyOab)(xfy)()(bfaf第三章第三章 导数的应用导数的应用1.微分中值定理及其相互关系微分中值定理及其相互关系 0)(fxyOab)(xfy)()()()()()(FfaFbFafbfabafbff )()()(10)1(!)1(1)(nnnxxf xxF)(泰勒中值定理)()()(000 xxxfxfxf nnnxxxf)(00)(!1 0n)()()(bfafxxF 柯西中值定理 拉格朗日中值定理 罗尔定理 2.微分中值定理的主要应用微分中值定理的主要应用(1)研究函数或导数的性态研究函数或导数的性态(2)证明恒等式或不等式证
16、明恒等式或不等式(3)证明有关中值问题的结论证明有关中值问题的结论解题方法解题方法:利用利用逆向思维逆向思维,设辅助函数设辅助函数,一般一般(1)证明含一个中值的等式或根的存在证明含一个中值的等式或根的存在,(3)若结论中涉及含中值的两个不同函数若结论中涉及含中值的两个不同函数,可用原函数法找辅助函数可用原函数法找辅助函数.多用多用罗尔定理罗尔定理,可考虑用可考虑用柯柯西中值定理西中值定理.(2)证明不等式多用拉格朗日中值定理证明不等式多用拉格朗日中值定理例例 证明不等式：当证明不等式：当 时，时，0 x ln(1)1xxxx公式 称为 的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式.)(xf公式 称为n 阶泰
17、勒公式的拉格朗日余项拉格朗日余项.二、泰勒二、泰勒(Taylor)中值定理中值定理:内具有的某开区间在包含若),()(0baxxf1n直到阶的导数,),(bax时,有)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn其中10)1()(!)1()()(nnnxxnfxR则当)0(之间与在xx带有佩亚诺佩亚诺(Peano)余项的余项的n 阶泰勒公式阶泰勒公式.)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(0nxxo称为麦克劳林麦克劳林(Maclaurin)公式公式.,00 x则有)(x
18、f)0(fxf)0(1)1(!)1()(nnxnxf2!2)0(xf nnxnf!)0()(在泰勒公式中若取,)10(x记二、利用导数研究函数的性态：二、利用导数研究函数的性态：的的正正负负性性的的单单调调性性函函数数)()(.1xfxf 不存在的点不存在的点驻点及驻点及单调区间的分界点单调区间的分界点函数函数)()(xfxf 讨论函数的单调区间可以按以下步骤进行：讨论函数的单调区间可以按以下步骤进行：1 1）确定函数）确定函数 的定义域；的定义域；)(xf2 2）求）求 ，找出，找出 和和 不存在的点，不存在的点，以这些点为分界点，把定义域分成若干区间；以这些点为分界点，把定义域分成若干区间
19、；)(xf0)(xf)(xf 3 3）在各个区间上判别）在各个区间上判别 的符号，以此确定的符号，以此确定 各区间上的单调性。各区间上的单调性。)(xf 的的正正负负性性的的凹凹凸凸性性曲曲线线)()(.2xfxfy 不不存存在在的的点点的的根根及及拐拐点点凹凹凸凸区区间间的的分分界界点点曲曲线线)(0)()(xfxfxfy 的拐点的一般步骤：的拐点的一般步骤：求曲线求曲线)(xfy )(),()1(xfxf 求求kxxxfxf,)(0)()2(1不存在的点不存在的点的根及的根及解出解出 义义区区间间分分段段；按按大大小小顺顺序序排排列列，将将定定把把kxx,)3(1.)()(,()()4(号
20、号左、右临近两侧是否异左、右临近两侧是否异在在曲线的拐点曲线的拐点是否为是否为判断判断在各区间段上的符号，在各区间段上的符号，由由iiixxfxfxxf .)5(凸凸区区间间近近一一步步可可得得到到曲曲线线的的凹凹的连续性及导函数例例 填空题填空题(1)设函数上连续，在),()(xf的则)(xf其导数图形如图所示,单调减区间为 ;极小值点为 ;极大值点为 .),0(),(21xx),(),0,(21xx21,xx0 x提示提示:)(xf根据的正负作 f(x)的示意图.单调增区间为 ;)(xf O2x1xyxOx)(xf1x2xO)(xfx .在区间 上是凸弧;拐点为),0(),(21xx)0(
21、,0(,)(,(,)(,(2211fxfxxfx提示提示:)()(xfxf 的可导性及根据的正负作 f(x)的示意图.形在区间 上是凹弧;则函数 f(x)的图(2)设函数上可导，在),()(xf的图形如图所示,),(),0,(21xx)(xf O2x1xyx2x)(xf 1x3.求函数的极值、最值：求函数的极值、最值：极值极值函数在定义域内部局部的最值函数在定义域内部局部的最值极值点极值点定义域内增、减区间的分界点定义域内增、减区间的分界点求函数极值点的方法求函数极值点的方法：（极值第一、第二判别法）：（极值第一、第二判别法）二阶导数,且处具有在点设函数0)(xxf,0)(0 xf0)(0 x
22、f,0)()1(0 xf若则 在点 取极大值;)(xf0 x,0)()2(0 xf若则 在点 取极小值.)(xf0 x(极值第二判别法极值第二判别法)判断驻点是否是极判断驻点是否是极值点值点此此方方法法失失效效不不存存在在或或0)()(0 xfxf最大值与最小值问题最大值与最小值问题,)(上连续在闭区间若函数baxf则其最值只能在极值点极值点或端点端点处达到.求函数最值的方法求函数最值的方法:(1)求 在 内的极值可疑点)(xf),(bamxxx,21(2)最大值 maxM,)(1xf,)(2xf,)(,mxf,)(af)(bf最小值 minm,)(1xf,)(2xf,)(,mxf,)(af)
23、(bf特别特别:当 在 内只有一个极值可疑点时,)(xf,ba 当 在 上单调单调时,)(xf,ba最值必在端点处达到.若在此点取极大 值,则也是最大 值.(小)对应用问题,有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大 值点或最小值点.(小)区区间间。函函数数曲曲线线的的拐拐点点和和凹凹凸凸区区间间、极极值值点点及及，求求函函数数的的驻驻点点、单单调调设设例例7323 xxy例例 一房地产公司有一房地产公司有5050多套公寓要出租。当月租金多套公寓要出租。当月租金定为定为10001000元时，公寓会全部租出去。当月租金每增元时，公寓会全部租出去。当月租金每增加加5050元时，就会多一套公寓租不
24、出去，而租出去的元时，就会多一套公寓租不出去，而租出去的公寓每月需花费公寓每月需花费100100元的维修费。试问房租定为多元的维修费。试问房租定为多少可获得最大收入？少可获得最大收入？第四章第四章 不定积分不定积分一、理解原函数与不定积分的概念。一、理解原函数与不定积分的概念。二、掌握不定积分的基本性质二、掌握不定积分的基本性质不不全全为为零零的的实实数数存存在在原原函函数数，则则设设nikdxfkdxfknifiiniiiniii,2,1,1,11 三、三、求不定积分的基本方法求不定积分的基本方法1.直接积分法直接积分法通过简单变形通过简单变形,利用基本积分公式和运算法则利用基本积分公式和运
25、算法则求不定积分的方法求不定积分的方法.2.换元积分法换元积分法xxfd)(第一类换元法第一类换元法tttfd)()(第二类换元法第二类换元法(代换:)(tx3.分部积分法分部积分法vuxvud使用原则使用原则:1)由v易求出 v;2)xvud比xvud好求.xvud解题技巧解题技巧:的一般方法及选取vu把被积函数视为两个函数之积,按“反对幂指三反对幂指三”的顺序,前者为 后者为u.v分部积分题目的类型分部积分题目的类型:1)直接分部化简积分直接分部化简积分;2)分部产生循环式分部产生循环式,由此解出积分式由此解出积分式;(注意注意:两次分部选择的两次分部选择的 u,v 函数类型不变函数类型不变,解出积分后加解出积分后加 C)常见于被积函数为指数函数与三角函数相乘常见于被积函数为指数函数与三角函数相乘例例 计算下列不定积分计算下列不定积分1(2)11dxx3(4)lnxxdx2arcsin(3)1xdxx15(1)(2sin2)xxx dx
