1、学点一学点一学点二学点二学点三学点三学点四学点四学点五学点五名师伴你行1.偶函数偶函数一般地，如果对于函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的定义域内 一个一个x，都，都有有 ，那么函数，那么函数f(x)就叫做偶函数就叫做偶函数.2.奇函数奇函数一般地，如果对于函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的定义域内 一个一个x,都都有有 ,那么函数那么函数f(x)就叫做奇函数就叫做奇函数.3.奇偶性奇偶性：那么，就说函那么，就说函数数f(x)具有奇偶性具有奇偶性.4.奇函数的图象关于奇函数的图象关于 对称对称,反过来，如果一个函数的反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是图象关
2、于原点对称，那么这个函数是 ；偶函数；偶函数的图象关于的图象关于 对称，反过来，如果一个函数的图象关于对称，反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是轴对称，那么这个函数是 .返回目录返回目录f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)如果函数如果函数f(x)是奇函数或偶函数是奇函数或偶函数原点原点任意任意任意任意奇函数奇函数y轴轴偶函数偶函数名师伴你行5.若奇函数若奇函数f(x)在在a,b上是增函数，且有最大值上是增函数，且有最大值M，则，则f(x)在在-b,-a上是上是 函数，且有函数，且有 .6.若奇函数若奇函数f(x)在在x=0处有定义，则处有定义，则f(0)=.7.若若y=
3、f(x)是偶函数，则是偶函数，则f(x)与与f(|x|)的大小关系是的大小关系是 .8.若若f(x)是奇函数或偶函数，则其定义域关于是奇函数或偶函数，则其定义域关于 对称对称.返回目录增增最小值最小值-M0f(x)=f(|x|)原点原点名师伴你行返回目录学点一学点一 奇偶性的判定奇偶性的判定判断下列函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性:（1）f(x)=(x-1);（2）f(x)=.x1x13|x3|x12【分析【分析】先观察定义域是否关于原点对称，再看先观察定义域是否关于原点对称，再看f(-x)与与f(x)之间的关系之间的关系.若若f(x)本身能化简，应先化简，再进行判断，本身能化简，应先化简，再
4、进行判断，可避免失误可避免失误.名师伴你行【解析】（1）先先确确定定函函数数的的定定义义域，域，由由 0得得-1x0，关关于于原原点点不不对对称，称，函函数数f(x)=为为非非奇奇非非偶偶函函数数.（4）由由 1-x20 x2-10 x=1.函函数数的的定定义义域域为为-1,1,于于是是f(x)=0,x-1,1.满满足足f(-x)=f(x)=0,f(-x)=-f(x)=0.f(x)既既是是奇奇函函数，数，又又是是偶偶函函数数.名师伴你行返回目录学点二学点二 由奇偶性求函数解析式由奇偶性求函数解析式设设f(x)是定义在是定义在R上的奇函数，当上的奇函数，当x0时，时，f(x)=x2+x+1,求求
5、函数解析式函数解析式.【分析【分析】由奇函数的图象关于原点对称，找由奇函数的图象关于原点对称，找x0和和x0时解析时解析式间的联系式间的联系.【解解析析】当当x0，由由已已知知得得f(-x)=x2-x+1,f(x)为为R上上 的的奇奇函函数，数，f(-x)=-f(x)=x2-x+1,f(x)=-x2+x-1,又又f(0)=-f(0),f(0)=0.x2+x+1，x0，0，x=0，-x2+x-1，x0时，时，f(x)=x|x-2|，求当，求当x0时，时，f(x)的表达式的表达式.设设x0，且满足表达式，且满足表达式f(x)=x|x-2|,f(-x)=-x|-x-2|=-x|x+2|.又又f(x)
6、是奇函数，是奇函数，f(-x)=-f(x),-f(x)=-x|x+2|,f(x)=x|x+2|.故当故当x0时，时，f(x)的表达式为的表达式为f(x)=x|x+2|.名师伴你行返回目录学点三学点三 奇偶性的证明奇偶性的证明函数函数f(x),xR,若对于任意实数若对于任意实数a,b，都有，都有f(a+b)=f(a)+f(b)，求证：求证：f(x)为奇函数为奇函数.【分析【分析】因为对于因为对于a,bR,都有都有f(a+b)=f(a)+f(b)，所以可，所以可以令以令a,b为某些特殊值，得出为某些特殊值，得出f(-x)=-f(x).【证明【证明】令令a=0，则，则f(b)=f(0)+f(b),f
7、(0)=0.又令又令a=-x,b=x，代入，代入f(a+b)=f(a)+f(b)得得 f(-x+x)=f(-x)+f(x),即即0=f(-x)+f(x),f(-x)=-f(x),f(x)为奇函数为奇函数.【评析】证明函数的奇偶性，即证明【评析】证明函数的奇偶性，即证明f(-x)=-f(x)或或f(-x)=f(x)成立成立.这需要对给定函数方程中的这需要对给定函数方程中的x,y赋值，使其变成含赋值，使其变成含f(x),f(-x)的式子，然后判定的式子，然后判定.名师伴你行返回目录设函数设函数f(x)定义在定义在 上上.证明：证明：f(x)+f(-x)是偶函数，是偶函数，f(x)-f(-x)是奇函
8、数是奇函数.),(ll证明证明:由于对任意的由于对任意的x ，必有，必有-x .可见可见f(-x)的定义域也是的定义域也是 .若设若设F(x)=f(x)+f(-x),G(x)=f(x)-f(-x).则则F(x)与与G(x)的定义域也是的定义域也是 ，显然是关于原点对称的区，显然是关于原点对称的区间间,而且而且F(-x)=f(-x)+f-(-x)=f(x)+f(-x)=F(x),G(-x)=f(-x)-f-(-x)=f(-x)-f(x)=-f(x)-f(-x)=-G(x).所以所以F（x）为偶函数，而）为偶函数，而G（x）为奇函数）为奇函数.),(ll),(ll),(ll),(ll名师伴你行学点
9、四学点四 奇偶性与单调性的综合应用奇偶性与单调性的综合应用设设函函数数f(x)是是定定义义在在(-,0)(0,+)上上的的奇奇函函数，数，且且f(x)在在(0,+)上上是是减减函函数，数，且且f(x)0，试试判判断断函函数数F(x)=在在(-,0)上上的的单单调调性，性，并并给给出出证证明明.)(1x f【分析【分析】F（x）的单调性的判定与）的单调性的判定与f(x1),f(x2)的大小有关，的大小有关，而而f(x)在在(0,+)上为减函数，可由此建立关系上为减函数，可由此建立关系.返回目录名师伴你行返回目录【解析【解析】F(x)在在(-,0)上是增函数，以下进行证明：上是增函数，以下进行证明
10、：设设x1,x2(-,0)，x10，且，且-x1,-x2(0,+),且且-x1-x2,(-x2)-(-x1)=x1-x20又又f(x)在在(-,0)(0,+)上是奇函数，上是奇函数，f(-x1)=-f(x1),f(-x2)=-f(x2),由由式得式得-f(x2)+f(x1)0,F(x2)-F(x1)=)f(xf(x)f(x)f(x)f(x1)f(x1212112名师伴你行又又f(x)在在(0,+)上上总总小小于于0，f(x1)=-f(-x1)0,f(x2)=-f(-x2)0,f(x1)f(x2)0,又又f(x1)-f(x2)0,F(x2)-F(x1)0，且且x2-x10,故故F(x)=在在(-
11、,0)上上是是增增函函数数.)(1xf返回目录【评析】解决综合性问题，关键是熟练掌握函数的性质【评析】解决综合性问题，关键是熟练掌握函数的性质.名师伴你行已知已知函数函数f(x)在在(-1,1)上有上有定义，定义，f（）=-1，当且当且仅当仅当0 x1时，时，f(x)0，且对且对任意任意x,y(-1,1)都有都有 f(x)+f(y)=f（），），试证试证明：明：（1）f(x)为为奇函奇函数；数；（2）f(x)在在(-1,1)上单上单调递调递减减.21xy1yx返回目录名师伴你行证明证明:（1）由）由f(x)+f(y)=f（）,令令x=y=0，得，得f(0)=0.令令y=-x，得，得f(x)+f
12、(-x)=f（）=f(0)=0,f(x)=-f(-x)，f(x)为奇函数为奇函数.（2）先证）先证f(x)在在(0,1)上单调递减，上单调递减，令令0 x1x20,则则f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f（）,返回目录2x1xxxy1yx2112xx1xx名师伴你行0 x1x20,1-x1x20,0,又又(x2-x1)-(1-x2x1)=(x2-1)(x1+1)0,0 x2-x11-x1x2,0 1,由题意知由题意知 0，即，即f(x2)-f(x1)0,f(x)在在(0,1)上为减函数上为减函数.又又f(x)为奇函数，且为奇函数，且f(0)=0,f(x)在在(-1,1)上单调递
13、减上单调递减.返回目录2112xx1xx2112xx1xx2112xx1xx名师伴你行学点五学点五 奇偶性在求变量范围中的应用奇偶性在求变量范围中的应用设设f(x)在在R上是偶函数，在区间上是偶函数，在区间(-,0)上递增，且有上递增，且有f(2a2+a+1)0,2a2-2a+3=2（a-）2+0,且且f(2a2+a+1)2a2-2a+3,即即3a-20,解解之之得得a .a的的取取值值范范围围是是a .【评析】该例在求解过程中用到了前面提到的减函数定【评析】该例在求解过程中用到了前面提到的减函数定义的逆命题义的逆命题.名师伴你行（1）定义在）定义在(-1,1)上的奇函数上的奇函数f(x)为减
14、函数，且为减函数，且f(1-a)+f(1-a2)0，求实数，求实数a的取值范围；的取值范围；（2）定义在）定义在-2,2上的偶函数上的偶函数g(x)，当，当x0时，时，g(x)为减函为减函数，若数，若g(1-m)g(m)成立，求成立，求m的取值范围的取值范围.返回目录（1）f(1-a)+f(1-a2)0,f(1-a)-f(1-a2),f(x)为奇函数为奇函数,f(1-a)a2-1 -11-a1 -1a2-11,解得解得0a1.（2）因为函数因为函数g(x)在在-2,2上是偶函数，则由上是偶函数，则由g(1-m)g(m)，可得，可得g(|1-m|)g(|m|),又当又当x0时，时，g(x)为减函
15、数，得到为减函数，得到|1-m|2|m|2 解之得解之得-1m|m|,.21名师伴你行返回目录1.1.在函数的奇偶性中应注意什么问题？在函数的奇偶性中应注意什么问题？（1）对于函数奇偶性的理解）对于函数奇偶性的理解函数的奇偶性与单调性的差异函数的奇偶性与单调性的差异:函数的奇偶性是相对于函数函数的奇偶性是相对于函数的整个定义域来说的，这一点与函数的单调性不同的整个定义域来说的，这一点与函数的单调性不同.从这个意从这个意义上来讲，函数的单调性是函数的义上来讲，函数的单调性是函数的“局部局部”性质，而奇偶性是性质，而奇偶性是函数的函数的“整体整体”性质，只有对函数定义域内的每一个值性质，只有对函数
16、定义域内的每一个值x，都，都有有f(-x)=-f(x)（或（或f(-x)=f(x)）,才能说才能说f(x)是奇（或偶）函数是奇（或偶）函数.奇（或偶）函数的定义域必须是关于原点对称的，如果函数奇（或偶）函数的定义域必须是关于原点对称的，如果函数的定义域不关于原点对称，则此函数既不是奇函数，也不是偶的定义域不关于原点对称，则此函数既不是奇函数，也不是偶函数函数.名师伴你行（2）函数按奇偶性分类）函数按奇偶性分类 有的函数是奇函数；有的函数是奇函数；有的函数是偶函数；有的函数是偶函数；如果对于函数定义域内任一个如果对于函数定义域内任一个x，f(-x)=f(x)与与f(-x)=-f(x)同时成立，那
17、么函数同时成立，那么函数f(x)既是奇函数，又是偶函数既是奇函数，又是偶函数.既既是奇函数又是偶函数的表达式是唯一的：是奇函数又是偶函数的表达式是唯一的：f(x)=0,xA，定义域定义域A是关于原点对称的非空数集；是关于原点对称的非空数集；有的函数既不是奇函数，也不是偶函数有的函数既不是奇函数，也不是偶函数.（3）用定义判断函数奇偶性的步骤）用定义判断函数奇偶性的步骤 考查定义域是否关于原点对称；考查定义域是否关于原点对称；判断判断f(-x)=f(x)之一是否成立之一是否成立.返回目录名师伴你行2.2.奇偶函数的图象有什么几何性质？奇偶函数的图象有什么几何性质？（1）如果一个函数是奇函数，则这
18、个函数的图象是以坐标）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，反之，如果一个函数的原点为对称中心的中心对称图形，反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数数是奇函数.如果一个函数是偶函数，则它的图象是以如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y轴为对称轴的轴轴为对称轴的轴对称图形；反之如果一个函数的图象关于对称图形；反之如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个轴对称，则这个函数是偶函数函数是偶函数.（2）若奇函数）若奇函数y=f(x)在在x=0时有定义，则由奇函数定义知时有定义
19、，则由奇函数定义知f(-0)=-f(0)，即，即f(0)=-f(0),所以所以f(0)=0.（3）奇函数在对称于原点的两个区间上的单调性一致，偶）奇函数在对称于原点的两个区间上的单调性一致，偶函数则相反函数则相反.返回目录名师伴你行返回目录1.1.如果已知函数具有奇偶性，只要画出它在如果已知函数具有奇偶性，只要画出它在y y轴一侧的图象，轴一侧的图象，则另一侧的图象可对称画出则另一侧的图象可对称画出.2.2.奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同；偶函数在奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反关于原点对称的区间上的单调性相反.3.3.判断函数的奇偶
20、性时，我们可以根据判断函数的奇偶性时，我们可以根据f(-x)=f(-x)=f(xf(x)，或是，或是根据根据f(-x)f(-x)f(xf(x)=0)=0，或是根据，或是根据f(-x)f(xf(-x)f(x)=)=1 1等途径来判断等途径来判断.4.4.利用定义判断函数的奇偶性时，既要判断利用定义判断函数的奇偶性时，既要判断f(xf(x)与与f(-xf(-x)的的关系，又不能忽略与定义域有关的问题，如关于原点对称、关系，又不能忽略与定义域有关的问题，如关于原点对称、x x的任意性等的任意性等.因此，在解题中先确定函数的定义域不仅是解题程序的需要，因此，在解题中先确定函数的定义域不仅是解题程序的需要，可以避免许多错误，而且有时还可以避开讨论，简化解题的可以避免许多错误，而且有时还可以避开讨论，简化解题的过程过程.名师伴你行名师伴你行
