1、上上 页页下下 页页尾尾 页页首首 页页曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分复习复习 课课1.1.主要内容主要内容2.2.例题例题3.3.各种积分之间的联系各种积分之间的联系上上 页页下下 页页尾尾 页页首首 页页一、主要内容一、主要内容1 1、曲线积分曲线积分（1 1）概念）概念 LdsMf)(第一类第一类第二类第二类 LdxMf,)(LdyMf,)(LdzMf)(（2 2）两类曲线积分的联系）两类曲线积分的联系 sddst0ds)cos,cos,(cos ),(dzdydx 上上 页页下下 页页尾尾 页页首首 页页（3 3）计算）计算直接计算法直接计算法第一类：第一类：从从小小参数到参数到
2、大大参数参数；第二类：第二类：从从起点起点参数到参数到终点终点参数参数。化为对化为对L L的定位参数的定积分。的定位参数的定积分。注意：注意：先化简；先化简；间接计算法间接计算法用两类曲线积分的联系；用两类曲线积分的联系；用用GreenGreen公式及其推论、公式及其推论、StokesStokes公式公式.第二类与定向有关第二类与定向有关。上上 页页下下 页页尾尾 页页首首 页页 LQdyPdxIxQyP xQyP 0 LQdyPdxI ),(),(00yxyxQdyPdxI闭合闭合非闭非闭闭合闭合 DdxdyyPxQI)(非闭非闭补充曲线再用公式补充曲线再用公式基本基本方法方法ttytytx
3、QtxtytxPId)()(),()()(),(:)()(ttyytxx上上 页页下下 页页尾尾 页页首首 页页2 2、曲面积分曲面积分（1 1）概念）概念 dSMf)(第一类第一类第二类第二类.)(dxdyMf（2 2）两类曲面积分的联系）两类曲面积分的联系,)(dydzMf ,)(dzdxMf SddSn0dS)cos,cos,(cos ),(dxdydzdxdydz 上上 页页下下 页页尾尾 页页首首 页页（3 3）计算）计算直接计算法直接计算法第一类：化为对某两个直角坐标（第一类：化为对某两个直角坐标（的定位参的定位参 数）的二重积分；数）的二重积分；第二类：将对第二类：将对x、y的曲
4、面积分化为对的曲面积分化为对x、y的二的二重积分。重积分。注意：注意：先化简先化简；间接计算法间接计算法用两类曲面积分的联系；用两类曲面积分的联系；用高斯公式。用高斯公式。第二类与定向有关第二类与定向有关。上上 页页下下 页页尾尾 页页首首 页页3 3、Green公式、公式、Gauss公式、公式、Stokes公式公式（1 1）建立了不同维数积分间的联系）建立了不同维数积分间的联系注意：注意：定向定向。（2 2）公式及其推论在计算曲线积分、曲）公式及其推论在计算曲线积分、曲面积分中的应用面积分中的应用注意：条件。注意：条件。上上 页页下下 页页尾尾 页页首首 页页例例 1 1 计计算算 Ldyy
5、xdxxyxI)()2(422,其其 中中L为为由由点点)0,0(O到到点点)1,1(A的的曲曲线线xy2sin .思路思路:LQdyPdxIxQyP xQyP 0 LQdyPdxI ),(),(00yxyxQdyPdxI闭合闭合非闭非闭闭合闭合 DdxdyyPxQI)(非闭非闭补充曲线再用公式补充曲线再用公式二、二、例题例题上上 页页下下 页页尾尾 页页首首 页页解解xyP2 由于由于xxQ2 ,xQyP 有有xyo11A 104102)1(dyydxx故原式故原式.1523 例例 1 1 计计算算 LdyyxdxxyxI)()2(422,其其 中中L为为由由点点)0,0(O到到点点)1,1
6、(A的的曲曲线线xy2sin .上上 页页下下 页页尾尾 页页首首 页页例例 2 2 计算计算 LxxdymyedxmyyeI)cos()sin(,L为由为由)0,(a到到)0,0(的上半圆周的上半圆周0,22 yaxyx.解解myeyPx cosyexQxcos xQyP 有有xyo)0,(aAMmxQyP 但但 AMOAOAOAOALIdxdy)yPxQ(D 0 Ddxdym.82am 上上 页页下下 页页尾尾 页页首首 页页在第四卦限部分的上侧在第四卦限部分的上侧为平面为平面，其中其中求求1 C),(,),(),(2),(zyxzyxfdxdyzzyxfdzdxyzyxfdydzxzyx
7、fI例例3xyoz111 解解),1,1,1(n的的法法向向量量为为.31cos,31cos,31cos ),(31xzyxfI dSzyx)(31 dS31方程方程.21 dSzzyxfyzyxf),(31),(231 上上 页页下下 页页尾尾 页页首首 页页所所截截部部分分外外侧侧被被平平面面为为锥锥面面求求2,1,222 zzyxzdxdyzxdzdxydydzI例例4解解 21220rdrrd.215 xyDdxdyyx)(22dxdyzI 2对称性对称性41:22 yxDxy上上 页页下下 页页尾尾 页页首首 页页例例 5 5 求求yzdxdydzdxyxdydzyI4)1(2)18
8、(2 ,：曲曲线线)31(01 yxyz绕绕 y 轴轴的的旋旋转转曲曲面面,法法向向量量与与y轴轴正正向向夹夹角角恒恒大大于于2.解解221 xzy 旋旋转转面面方方程程为为 *I dvyyy)4418(*2)31(2dzdx dv zxDdzdx)(16 322 .34 xyzo132 *上上 页页下下 页页尾尾 页页首首 页页,)(lim)(10 niiiMfdMf .)()(,badxxfdMfbaR 上上区区间间.),()(,2 DdyxfdMfDR 上上区区域域三、三、各种积分之间的联系各种积分之间的联系定积分定积分二重积分二重积分积分概念的联系积分概念的联系上上 页页下下 页页尾尾
9、 页页首首 页页 dVzyxfdMfR),()(,3 上上区区域域.)()(,32 dsMfdMfRR 上上（有有向向）曲曲线线或或.),()(,3 SdSzyxfdMfSR 上上（有有向向）曲曲面面曲面积分曲面积分曲线积分曲线积分三重积分三重积分.),()(SdxdyzyxfdMf.)()(dxMfdMf 上上 页页下下 页页尾尾 页页首首 页页计算上的联系计算上的联系)(),(),()()(21面面积积元元素素 ddxdyyxfdyxfbaxyxyD baxyxyyxzyxzdzzyxfdydxdVzyxf)()(),(),(2121),(),(baLdxyxyxfdsyxf21)(,),
10、(baLdxdxxyxfdxyxf)()(,),(投投影影元元素素,),(baDxdydzzyxfdx或或,),(),(),(21 yxzyxzDdzzyxfdxdyxy或或)(体积元素体积元素dV弧长元素）弧长元素）（ds上上 页页下下 页页尾尾 页页首首 页页 xyDyxdxdyzzyxzyxfdSzyxf221),(,),(xyDdxdyyxzyxfdxdyzyxR)(,(,),(其中其中dSRQPdxdyRQdzdxPdydz)coscoscos(dsRQPRdzQdyPdxLL)coscoscos()(面面积积元元素素dS)(投影元素投影元素dxdy上上 页页下下 页页尾尾 页页首首
11、 页页理论上的联系理论上的联系1.定积分与不定积分的联系定积分与不定积分的联系)()()()()(xfxFaFbFdxxfba 牛顿牛顿-莱布尼茨公式莱布尼茨公式2.二重积分与曲线积分的联系二重积分与曲线积分的联系)()(的的正正向向沿沿LQdyPdxdxdyyPxQLD 格林公式格林公式上上 页页下下 页页尾尾 页页首首 页页3.三重积分与曲面积分的联系三重积分与曲面积分的联系 RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)(高斯公式高斯公式4.曲面积分与曲线积分的联系曲面积分与曲线积分的联系 dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR)()()(RdzQdyPdx斯托克斯公式斯托克斯公式上上 页页下下 页页尾尾 页页首首 页页定积分定积分曲线积分曲线积分重积分重积分曲面积分曲面积分计算计算计算计算计算计算Green公式公式Stokes公式公式Guass公式公式附、附、各种积分之间的联系图各种积分之间的联系图
