1、 第一章第一章 函数函数 极限极限 连续连续 第一章第一章 函数函数 极限极限 连续连续函数的定义域函数的定义域函数的极限函数的极限极限的性质与四则运算法则极限的性质与四则运算法则 函数的连续性函数的连续性 洛必达法则洛必达法则 无穷小的等价代换无穷小的等价代换两个重要极限两个重要极限 一、函数的定义域一、函数的定义域例例1 1求下列函数的定义域求下列函数的定义域xxxf253)(2(1)(1)；29)(xxf(2)(2)；)34lg()(xxf(3)(3)；)12arcsin()(xxf(4)(4)；24arccos5yxx（）解解(1)(1)在分式中，分母不能为在分式中，分母不能为零，所以
2、，解得，且，零，所以，解得，且，即定义域为即定义域为xx25320252 xx0 x52x),0()0,52()52,(2)(2)在偶次根式中，被开方式必须大于等于在偶次根式中，被开方式必须大于等于零，所以有，解得，即零，所以有，解得，即定义域为定义域为092 x33x3,3一、函数的定义域一、函数的定义域(3)(3)在对数式中，真数必须大于零，所以有在对数式中，真数必须大于零，所以有，解得，即定义域为，解得，即定义域为034x43x),43(4)(4)反正弦或反余弦中的式子的绝对值必须反正弦或反余弦中的式子的绝对值必须小于等于小于等于1 1，所以有，所以有,解得解得 ，即定义域为即定义域为
3、10 x1121x 1,0240115xx （）221111xxx 得即定义域为即定义域为 1,1一、函数的定义域一、函数的定义域).(lim)(lim)(limxfAxfAxfxxx).(lim)(lim)(lim000 xfAxfAxfxxxxxx极限存在的充分必要条件：极限存在的充分必要条件：和和 是否存在是否存在 设函数设函数 ,试讨论极限试讨论极限 ,xxxf)()(lim0 xfx)(lim0 xfx)(lim0 xfx例例2 2二、函数的极限二、函数的极限解解 由图可看出由图可看出,1lim)(lim00 xxxfxx00lim()lim1.xxxf xxxxy y11xoxxy
4、 在在 处处,函数函数 的左、右极限都存在的左、右极限都存在,但但不相等不相等,0 x)(xf故故 不存不存在在)(lim0 xfx二、函数的极限二、函数的极限三、极限的性质与四则运算法则三、极限的性质与四则运算法则设设 ,则则 lim()f xABxg)(lim(1)代数和的极限代数和的极限 存在存在,且且)()(limxgxfBAxgxfxgxf)(lim)(lim)()(lim.(2)乘积的极限乘积的极限 存在存在,且且)()(limxgxfBAxgxfxgxf)(lim)(lim)()(lim.特别地特别地,有有(i)常数因子常数因子 可提到极限符号的前面可提到极限符号的前面,即即CC
5、BxgCxCg)(lim)(lim.(ii)若若 是正整数是正整数,有有mmmmAxfxf)(lim)(lim.设设 ,则则 Axf)(limBxg)(lim(3)若若 ,商的极限商的极限 存在存在,且且0)(limBxg)()(limxgxf.BAxgxfxgxf)(lim)(lim)()(lim三、极限的性质与四则运算法则三、极限的性质与四则运算法则三、极限的性质与四则运算法则三、极限的性质与四则运算法则例例3 3 求下列极限求下列极限3233424221lim225lim561327(2)lim53(3)xxxxxxxxxxxxxx（）294 lim33xxx（）四、无穷小的性质四、无穷
6、小的性质 性质性质1 1.1 1有限个无穷小量的代数和仍然有限个无穷小量的代数和仍然是无穷小量是无穷小量性质性质1 1.2 2有界变量乘无穷小量仍是无穷有界变量乘无穷小量仍是无穷小量小量性质性质1 1.3 3常数乘无穷小量仍是无穷小量常数乘无穷小量仍是无穷小量性质性质1 1.4 4无穷小量乘无穷小量仍是无穷无穷小量乘无穷小量仍是无穷小量小量四、无穷小的性质四、无穷小的性质例例4 4求求xxx1sinlim0解解因为，所以是有界变因为，所以是有界变量；量；11sinxx1sin根据性质根据性质1.21.2，乘积是无穷小量即，乘积是无穷小量即xx1sin01sinlim0 xxx练习练习求求1li
7、msinxxx五、无穷小的等价代换五、无穷小的等价代换定义定义1.71.7 设、是同一变化过程中设、是同一变化过程中的两个无穷小量，的两个无穷小量，(1)(1)若若,则称是比则称是比高阶的高阶的无穷小量无穷小量也称是比也称是比低阶的无穷小量低阶的无穷小量0lim(2)(2)若若(是不等于零的常数是不等于零的常数)，则称与是则称与是同阶无穷小量同阶无穷小量若，则称若，则称与是与是等价无穷小量等价无穷小量记为记为 。climc1c2.等价无穷小的传递和代换的性质等价无穷小的传递和代换的性质设在同一变化过程中设在同一变化过程中（1）若）若 则则 。,（2）若）若 且且 存在存在 ，则则，limlim
8、lim。五、无穷小的等价代换五、无穷小的等价代换3.常用的等价无穷小常用的等价无穷小当当 时，有：时，有：0 x(1)sintansin(sin)x xx xxx）(2)(3(4)arcsin(5)arctan(6)ln(1)x xx xxx 21(7)1(8)11(9)1 cos2xexxx xxx 1(10)1ln(11)(1)1xnaxaxxn 五、无穷小的等价代换五、无穷小的等价代换sin5(1)ln(1)1 limlim1102ln(1)sin33 lim4 lim200sinsin2tan(1)(1)cos(5)lim6 lim3200tanx-axxxxxxxxxxxxxcosx
9、exxxxx（）（2）（）（）（）例例4 4 求下列极限求下列极限五、无穷小的等价代换五、无穷小的等价代换sinkxlim5,ksin3xx0求练习练习已知：六、两个重要极限六、两个重要极限一、第一个重要极限一、第一个重要极限1sinlim0 xxx推广公式推广公式0sin(1(limxxx（）该极限的特征是该极限的特征是（1 1）型未定式（型未定式（2 2）无穷小的）无穷小的正弦与自身的比。正弦与自身的比。二、第二个重要极限二、第二个重要极限1(1)elimxxx10lim(1)exxx推广形式推广形式1(1)elimxxx（）（）（）1()()0lim(1()exxx00第二个重要极限的特
10、征第二个重要极限的特征（1 1）型未定式。（型未定式。（2 2）1(1无穷大无穷小）例例5 5求求 xxx)31(lim33333lim(1)lim(1)xxxxexx解：解：六、两个重要极限六、两个重要极限1 2(1)lim(1)xxx练习练习 求下列极限求下列极限100ln(1)2(4)lim(1)(5)lim(1 2)(6)lim2xxxxxxxxxx sin5(1)ln(1)7 limlim110 x-axxxxx（）（8）2sin(1)(3)lim11xxx(9)lim()1xxxx 2(2)lim(1)xxx六、两个重要极限六、两个重要极限七、函数的连续性七、函数的连续性定义定义1
11、 1 设函数在点的设函数在点的某个邻域内有定义，如果当自变量的改变量某个邻域内有定义，如果当自变量的改变量趋于零时，相应函数的改变量趋于零时，相应函数的改变量 也趋于零，也趋于零，即即)(xfy 0 xxy0lim0yx，则称则称函数函数 f(x)在点在点 x 连续连续0定义定义2 2 设函数在点的某设函数在点的某个邻域内有定义个邻域内有定义,如果当时如果当时,函数函数的极限存在，且等于在点处的函数值的极限存在，且等于在点处的函数值，即，即)(xfy 0 x0 xx)(xf)(xf0 x)(0 xf)()(lim00 xfxfxx，则称函数则称函数 f(x)在点在点 x 连续连续0七、函数的连
12、续性七、函数的连续性七、函数的连续性七、函数的连续性定义定义3 3 如果函数在点不如果函数在点不连续，则称为为的一个连续，则称为为的一个间断点间断点)(xfy 0 x0 x)(xf)(xf0 x0 x)(xf由函数在某点连续的定义可知，如果由函数在某点连续的定义可知，如果在点处有下列三种情况之一，则点是在点处有下列三种情况之一，则点是的一个间断点的一个间断点七、函数的连续性七、函数的连续性0 x)(xf(1)(1)在点处，没有定义；在点处，没有定义；(2)(2)不存在；不存在；)(lim0 xfxx (3)(3)虽然存在，但虽然存在，但)(lim0 xfxx)()(lim00 xfxfxx七、
13、函数的连续性七、函数的连续性例例6 6求函数求函数 的连续区间和间断点的连续区间和间断点.21()32xf xxx解：函数的连续区间为解：函数的连续区间为1122（，）（，）（，）函数的间断点为函数的间断点为12xx和练习练习 函数 在 处连续，且()f x2x2lim()=3xf x求求 。(2)f八、洛必达法则八、洛必达法则洛必达法则（一）洛必达法则（一）若函数与满足条件：若函数与满足条件：)(xf)(xg(1)(1)，；，；0)(lim0 xgxx0)(lim0 xfxx(2)(2)与在点的某个邻域内与在点的某个邻域内(点可除外点可除外)可导，且；可导，且；)(xf)(xg0 x0 x0
14、)(xg(3)(3)（或）（或）Axgxfxx)()(lim0则（或）则（或）Axgxfxgxfxxxx)()(lim)()(lim00洛必达法则（二）洛必达法则（二）若函数若函数 与与 满足条件：满足条件：)(xf)(xg(1)(1)，；)(lim0 xgxx)(lim0 xfxx (2)(2)与与 在点在点 的某个邻域内的某个邻域内(点点 可除外可除外)可导，且可导，且 ；)(xf)(xg0 x0 x0)(xg八、洛必达法则八、洛必达法则(3)(3)()()(lim0Axgxfxx或或 .则或则或)()()(lim)()(lim00Axgxfxgxfxxxx对于法则对于法则(一一)和法则和
15、法则(二二)，把改，把改为，仍然成立为，仍然成立.0 xx x八、洛必达法则八、洛必达法则八、洛必达法则八、洛必达法则例例7 7求求 .xxxx201elim解解当时，有和当时，有和，这是型未定式由洛必达法则，这是型未定式由洛必达法则0 x02x01ex00112elim1elim020 xxxxxxx八、洛必达法则八、洛必达法则例例8 8 求求 30cos1limxxx解解当时，有和当时，有和，这是型未定式，这是型未定式.由洛必达法则由洛必达法则0 x0cos1x03x0020303sinlimcos1limxxxxxx八、洛必达法则八、洛必达法则当时，有和，当时，有和，仍是型未定式再用洛必达法则仍是型未定式再用洛必达法则0 x0sin x033x00 xxxxxx6coslim3sinlim020211(1)lim(2)lim3xxxxxxee 练习练习 求下列极限求下列极限xxxlnlim0（3）八、洛必达法则八、洛必达法则sin2cos14 lim(5)lim(6)lim30022xxxexxxxxx（）ln(1)sin(8)lim(9)lim2320 xxxxxxx 28(7)lim33xxx2ln()tan210 lim(11)limtantan32xxxxxx（）11(12)lim-1)(13)lim()1 ln1xxx(exxxx 八、洛必达法则八、洛必达法则
